Elemento Finito (FE) per travi 2D

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1 Eemento Fnto (FE) per trav D Govann Formca corso d Cacoo Automatco dee Strutture AA. 9/1

2 Premesse a modeo modeo fsco prncp d banco e dsspazone { Pest P nt = { q u S u = P nt φ modeo smuato (dscretzzazone) sceta d funzon d forma per u φ ta da rappresentare bene (cnematca/dnamca dscreta, o nodae) carch ottenut d conseguenza S u Ku u = u : cnematca u : deformazon q : carch S : soectazon K : rgdezze

3 Premesse a modeo trave d Euero-Bernou γ[s] & GA u [s] =ϑ[s] T [s] =GA γ[s] probema assae dsaccoppato da queo fessonae EQL { T [s]+q [s] = M [s]+µ[s]+t [s] = { u [s] =ϑ[s] ϑ[s] u CMP χ[s] =ϑ [s] u u [s] CST { M[s] =EJχ[s] s u 1 [s]

4 Premesse a modeo M [s]+µ [s] q [s] = EJχ [s]+µ [s] q [s] = EJu [s]+µ [s] q [s] = probema assae dsaccoppato da queo fessonae EQL { T [s]+q [s] = M [s]+µ[s]+t [s] = { u [s] =ϑ[s] ϑ[s] u CMP χ[s] =ϑ [s] u u [s] CST { M[s] =EJχ[s] s u 1 [s]

5 Premesse a modeo u [s] è ameno una funzone d ordne 4 n s u [s] = c + c 1 s + c s + c 3 s 3 + c 4 s 4 + u [s] = c 1 + c s + 3c 3 s + 4c 4 s 3 + u [s] = c + 6c 3 s + 1c 4 s + [s] = 6c 3 + 4c 4 s + [s] = 4c 4 + u u termn che dpendono da carch dstrbut termn che costruscono un sstema d forze autoequbrato sono nec. 4 parametr d eemento

6 Costruzone de FE a sceta dea forma d u [s] ( funzone d forma ) è nea sceta d 4 parametr noda u [] = u () u [] =u () u [s] tae che u [] = ϑ u [] =ϑ ϑ ϑ u () u () s

7 Costruzone de FE u [s] = c + c 1 s + c s + c 3 s 3 ϑ[s] u [s] = c 1 + c s + 3c 3 s c = u () c 1 = ϑ c = ϑ +ϑ c 3 = ϑ + ϑ +3 u () u () u () u () 3 u [] = u () u [] =u () u [] = ϑ u [] =ϑ u [s] =u ()+ϑ (s s )+ϑ + ϑ ϑ[s] =ϑ (1 s )+ϑ + ϑ ( s + s3 )+u () u () (3s s3 ) ( s +3 s )+6u () u () (s s )

8 Costruzone de FE - dscretzzazone a costruzone de vettore d rsposta strutturae e dea matrce d rgdezza de eemento è ne termne P nt φ P nt = M[s] χ[s] EJu [s] u [s] = u () 3 ( u () u ()+ ϑ + ϑ ) u () 3 ( u () u ()+ ϑ + ϑ ) + ϑ EJ ( 3 u () 3 u ()+ ϑ + ϑ ) + ϑ EJ ( 3 u () 3 u ()+ ϑ + ϑ )

9 Costruzone de FE - dscretzzazone P nt = M[s] χ[s] EJu [s] u [s] = u () 3 ( u () u ()+ ϑ + ϑ ) u () 3 ( u () u ()+ ϑ + ϑ ) + ϑ EJ ( 3 u () 3 u ()+ ϑ + ϑ ) + ϑ EJ ( 3 u () 3 u ()+ ϑ + ϑ ) termn ncoonnat che motpcano u () u () ϑ ϑ costtuscono vettore d rsposta strutturae, organzzato come (corrspondent) azon dnamche T T M M anaogo sgnfcato per a matrce d rgdezza

10 Costruzone de FE - dscretzzazone per a parte assae s consdera una funzone d forma neare: u 1 [s] =u 1 ()+ u 1() u 1 () s P nt = N N[s] ε[s] EAu 1[s] u 1[s] = u 1 () EA ( u 1 () u 1 ()) u 1 () EA ( u 1 () u 1 ()) u1() u1() s

11 Cnematca/Dnamca dea trave EA u 1() u1() EA u 1() EA u 1() EA u 1() P nt = = u 1 () EA u 1 () EA u 1 () u 1 () EA u 1 () +u 1 () EA u() N u 1 () u 1 () EA u 1() EA u 1() N

12 Cnematca/Dnamca dea trave u () u () u () 1EJ 3 u () 1EJ 3 u () 1EJ 3 u () T u () / M u ()

13 Cnematca/Dnamca dea trave ϑ EJ ϑ 4EJ ϑ ϑ ϑ ϑ T 4EJ ϑ /3 M EJ ϑ

14 notazone matrcae parametr noda raccot n un vettore defnt n un sstema rfermento ocae a eemento u 1 () u 1 () u e = u () u () ϑ ϑ ϑ u () 3 ϑ u () s 1 vettore d rsposta strutturae P nt = s e u e u e s e s e è tae che a matrce d rgdezza K e è tae che P nt = u e K e u e ossa s e K e u e

15 Rsposta strutturae de eemento s e = 1EJ 3 1EJ 3 u ()+ u ()+ 4EJ u () u ()+ EJ EA u 1() ϑ 1EJ 3 ϑ EA u 1() ϑ + 1EJ 3 ϑ u ()+ u ()+ EJ ϑ ϑ u () u ()+ 4EJ ϑ ϑ N T M N T M

16 Matrce d rgdezza de eemento K e = EA 1EJ 3 1EJ 3 4EJ EJ EA 1EJ 3 1EJ 3 EJ 4EJ NB: matrce smmetrca K K e e (termn ugua rspetto aa poszone reatva aa dagonae)

17 carch dstrbut > forze noda equvaent effetto de carch vautato sua potenza esterna, mantenendo e stesse funzon d forma esempo d carco costante P est = q 1 q 1 [s] u 1 [s] q 1 q 1 ( = q 1 u 1()+ q 1 u 1 ()+ u 1() u 1 () u 1() q 1 s ) souzone agguntva come forze noda ( souzone d ncastro perfetto ) q 1 / q 1 N non compare n termn d deformata u 1 [s]

18 carch dstrbut > forze noda equvaent P est = esempo d carco costante q 1 q q q q 1 q [s] u [s] q ( stessa funzone cubca usata prma ) u ()+ ϑ (s s )+ = q u ()+ q u ()+ q 1 ϑ q 1 ϑ / q 4 q T q q 1 M q 1 souzone agguntva come forze noda ( souzone d ncastro perfetto ) non compare n termn d deformata u [s]

19 sstema ocae > sstema gobae vettore u e nea parte de so spostament noda è modfcato n funzone de assetto de asta u 1 () =u X () cos α + u Z () sn α u () = u X () sn α + u Z () cos α ϑ u () u 1 () =u X () cos α + u Z () sn α u () = u X () sn α + u Z () cos α ϑ u () 3 1 α s Z Y X

20 ocae > gobae... n SAP grafco d Moment 3-3 grafco d Shear -

21 sstema ocae > sstema gobae c = cos α s = sn α u e u e ne sstema gobae U e u 1 () u () ϑ u 1 () u () ϑ = c s s c 1 c s s c 1 u X () u Z () ϑ u X () u Z () ϑ matrce d trasformazone D e

22 sstema ocae > sstema gobae vettore de parametr noda dventa ne sstema gobae u e ne sstema ocae u e = D e U e a matrce d rgdezza dventa D e K e D e n quanto (D ) (D ) P nt = u e K e u e = U e e Ke U e e U ( ) e D e K e D U e e n modo duae, se sstema coae, dventa ne stema gobae n quanto f e P est = u e f e U e è un vettore d forze noda ne F e = D e f e ( ) D U e e f e ( ) D e f e

23 verso Tmoshenko: mod natura a souzone d ncastro perfetto non ha termn deformatv e souzon (autoequbrate) fornscono un andamento de momento neare M[s] =M + M M s che può essere scomposto n parte smmetrca e antsmmetrca M[s] =M 1 [s]+m [s] M 1 [s] =M s M [s] =M a M a s con { Ms =(M + M ) / M a =(M M ) / così che P nt = M[s] EJ M 1 [s] EJ + M [s] EJ

24 verso Tmoshenko: mod natura M M M M / M M M M + M M + M M 1 M M M M M M M M M parte con tago

25 verso Tmoshenko: mod natura u () 4EJ EJ ϑ ϑ 1EJ 3 ϑ u () ϑ u () ϑ 1EJ 3 ϑ u () ϑ ϑ EJ u () u () u () 1EJ 1EJ 3 u () 3 u () ϑ 4EJ u () ϑ M = M = M + M M M + EJ rotazone rgda u ()+ 4EJ u ()+ EJ ϑ ϑ u () EJ u () 4EJ ϑ ( ) ϑ ϑ ( u () u () + ϑ + ϑ ) ϑ

26 verso Tmoshenko: mod natura M s = M + M M a = M M EJ ( ϑ ϑ ( ϑ + ϑ ) + u () u () ) dnamca smmetrca cnematca smmetrca M + M M + M ϑ ϑ ϑ ϑ M M M M M M dnamca antsmmetrca M M a meno dea rotazone rgda ϑ + ϑ cnematca antsmmetrca ϑ + ϑ

27 verso Tmoshenko: mod natura P nt = Ms := Ma := M + M M M M[s] EJ M M M M M 1 [s] + EJ = 4 EJ ( ϑ ϑ } {{ } ϑ s M + M M M M 1 [s] =M s s M [s] =M a M a M [s] = M s EJ EJ + M a 3 EJ ( 1 EJ ϑ + ϑ u () u () } {{ } ϑ a ) + ϑ s := ϑ a := ϑ ϑ ϑ + ϑ ϑ ϑ ) ϑ + ϑ

28 trave d Tmoshenko P nt = + T [s] GA = M[s] EJ (M a /) GA M 1 [s] + EJ = 4 EJ ( ϑ ϑ } {{ } = 4 EJ } {{ } k s ϑ s + ϑ s 4M a GA M [s] EJ ) + 1 EJ ϑ a } {{ } k a a(1 + β) 1 EJ = M s EJ + M a 3 EJ ( ϑ + ϑ + β { }} { 1EJ GA Ma 3 EJ u () u () } {{ } ϑ a da Euero-Bernou a Tmoshenko basta un coeffcente )