Unità Didattica N 08 I sistemi di primo grado a due incognite U.D. N 08 I sistemi di primo grado a due incognite

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1 66 Unità idtti N 08 I sistemi di primo grdo due inognite U.. N 08 I sistemi di primo grdo due inognite 01) Coordinte rtesine 0) I sistemi di primo grdo due inognite 0) Metodo di sostituzione 04) Metodo del onfronto 05) Metodo di ddizione e sottrzione 06) Metodo di Crmer

2 Unità idtti N 08 I sistemi di primo grdo due inognite 67 Coordinte rtesine Su di un rett r onsiderimo un punto O, detto origine, un verso positivo indito on un frei ed un segmento unitrio. In questo so l rett r diesi sse delle sisse e viene indit ol simolo e di solito è disegnt in posizione orizzontle. O U P Ogni punto P r individu il segmento OP. Noi sppimo he OP è un numero rele he esprime l misur del segmento OP rispetto l segmento ssunto ome segmento unitrio. Adesso ponimo : OP e onvenimo di onsiderre positivo ( negtivo ) se P si trov ll destr ( sinistr ) di O. Il numero diesi siss del punto P. qunto imo detto è evidente he esiste un orrispondenz iunivo fr i numeri reli reltivi R ed i punti P di un rett r sull qule imo fissto un punto origine O, un verso positivo, un unità di misur per i segmenti. Adesso onsiderimo due rette orientte ed fr loro perpendiolri. L rett è orientt d sinistr verso destr, l rett è orientt dl sso verso l lto. Si O il punto omune lle rette ed. Si P un punto qulsisi del pino. Si H l proiezione ortogonle di P sull rett e K l proiezione ortogonle di P sull rett. ed Si OH l siss del punto H rispetto ll rett OK orientt, si l siss del punto K rispetto ll rett orientt. I numeri reli reltivi si diono le oordinte rtesine del punto P. Si srive P (, ) e si legge << P di oordinte ed >>. è dett siss del punto P, è dett ordint del punto P. L rett orientt è dett sse delle sisse o sse delle, l rett orientt è dett sse delle ordinte o sse delle. Le due rette ed ostituisono un sistem di ssi rtesini ortogonli. Il punto O è detto origine degli ssi. III II K o P(,) I IV P H

3 68 Unità idtti N 08 I sistemi di primo grdo due inognite qunto si è detto si dedue he esiste un orrispondenz iunivo fr le oppie ordinte di numeri reli ed i punti di un pino riferito d un sistem di ssi rtesini. Le rette ed dividono il pino in 4 prti isun delle quli prende il nome di qudrnte. Le rette ed e le loro due isettrii dividono il pino in 8 prti, isun delle quli prende il nome di ottnte. Sistem di primo grdo due inognite Sistem di primo grdo due inognite è l insieme di due equzioni di primo grdo due inognite di ui voglimo trovre, qundo esiste, l soluzione omune. Ridotto form normle o noni o tipi, ssume l seguente form : dove ed sono le inognite, ed 1 sono i oeffiienti dell inognit, e 1 sono i oeffiienti dell inognit, e 1 sono i termini noti. Un sistem di primo grdo due inognite può essere risolto on 4 metodi diversi : 1) metodo del onfronto ) metodo di sostituzione ) metodo di ddizione e sottrzione detto nhe metodo di riduzione 4) metodo di Crmer. Si proede ome segue : METOO I SOSTITUZIONE 1) Si risolve un delle due equzioni rispetto ll ( rispetto ll ) ) L espressione osì rivt si sostituise nel l ltr equzione l posto dell ( dell ). Si ottiene un equzione di primo grdo in ( ) l ui soluzione dà il vlore dell ( ) ) Il vlore trovto per l ( per l ) viene sostituito nell espressione preedentemente trovt, pervenendo osì l vlore dell ( dell ) , , 17 4, ,

4 Unità idtti N 08 I sistemi di primo grdo due inognite 69 METOO EL CONFRONTO Si proede ome segue : 1) Si risolvono le due equzioni del sistem rispetto ll medesim inognit,d esempio rispetto d ) Si uguglino le due espressioni lgerihe ottenute e si perviene d un equzione di primo grdo in ) Si risolve quest equzione ottenendo il vlore dell, ioè si ottiene o 4) Il vlore dell ltr inognit ( nel nostro so ) si ottiene sostituendo quello trovto o in un qulsisi delle due espressioni preedentemente trovte , , 1, ( ) ,, METOO I AIZIONE E SOTTRAZIONE ( o di riduzione o dell ominzione linere ) Si proede ome segue : 1) Se voglimo rivre l llor isogn eliminre l ) Si lol il m..m. tr i oeffiienti dell, ioè tr e 1. Si k m.. m.(, 1 ). Si moltiplino mo i memri dell prim equzione per k ed mo i memri dell seond equzione per k 1. Ottenimo due equzioni nelle quli i termini ontenenti l hnno oeffiienti uguli od opposti. ) Sommimo o sottrimo mo i memri delle due equzioni osì ottenute pervenendo d un equzione di primo grdo nell, risolt l qule ottenimo il vlore dell,d esempio o. 4) Il vlore dell ltr inognit ( nel nostro so l ) può essere determinto on un proedimento nlogo, oppure sostituendo il vlore trovto o in un delle due equzioni del sistem e risolvendo l equzione d un inognit ( nel nostro so in ) he ne risult mm...( 7, ) 14, 14, sommimo memro memro,

5 70 Unità idtti N 08 I sistemi di primo grdo due inognite mm...(,) 5 15, 15 5, Si sottre memro memro METOO I CRAMER ti quttro numeri,, 1, il numero diesi determinnte del seondo ordine e si ottiene sottrendo dl prodotto dei termini dell digonle disendente il prodotto dei termini dell digonle sendente. Se il sistem he voglimo risolvere è ridotto form noni, ioè è del tipo : llor imo : determinnte del sistem determinnte formto di oeffiienti delle inognite determinnte dell inognit determinnte he si ottiene dl determinnte del sistem sostituendo l olonn dei oeffiienti dell on l olonn dei termini noti determinnte dell inognit determinnte he si ottiene dl determinnte del sistem sostituendo l olonn dei oeffiienti dell on l olonn dei termini noti Le soluzioni del sistem dto i vengono fornite dlle due seguenti frzioni : 1 1, ,