Problema. Sistemi lineari. Problema. Problema. Quali sono i potenziali in ogni nodo? Leggi di Kirkoff e di Ohm:

Transcript

1 Problema 4 Ω 3 3 Ω 2 2 Ω 40 V Sistemi lineari 2 Ω Ω 2 Ω Ω Ω 4 Ω Ω 0 V Quali sono i potenziali in ogni nodo? 2 4 Ω Problema 3 3 Ω 2 2 Ω 40 V 4 Ω Problema 3 3 Ω 2 2 Ω 40 V 2 Ω Ω 2 Ω Ω 2 Ω Ω 2 Ω Ω Ω 4 Ω Ω 0 V Ω 4 Ω Ω 0 V Leggi di Kirkoff e di Ohm: La somma delle correnti entranti in un nodo è uguale a zero 3 Sistema di 6 equazioni nelle 6 incognite V i 4

2 Sistema lineare Motivazioni Molti problemi si possono rappresentare mediante un sistema lineare La soluzione di un sistema lineare costituisce un sottoproblema di moltissime applicazioni del calcolo scientifico 5 6 Obiettivo Il problema Studiare algoritmi per il calcolo della soluzione numerica di sistemi lineari Numeri di macchina (File esercizisistemi.doc) 7 8 2

3 Ipotesi su A Teorema di esistenza e unicità 9 0 Metodi per il calcolo della soluzione DIRETTI: con un numero finito di operazioni si calcola la soluzione. SISTEMI FACILI : diagonali ITERATIVI: si costruisce una successione di vettori che all infinito si avvicina alla soluzione del sistema. 2 3

4 SISTEMI FACILI : triangolari Algoritmo di sostituzione all avanti inferiore superiore Si può dimostrare che l inversa di una matrice triangolare inferiore (superiore) è ancora una matrice triangolare inferiore (superiore) 3 4 Algoritmo di sostituzione all indietro Complessità computazionale degli algoritmi di sostituzione all avanti e all indietro Divisioni e moltiplicazioni 5 6 4

5 Sistemi qualunque La soluzione è: Domanda: è una buona idea? Perchè non si calcola l inversa per risolvere un sistema Scarsa accuratezza: Esempio Risposta: (floating point con β=0, t=6) Scarsa efficienza: maggiore complessità computazionale 7 8 Sistemi qualunque Metodo di Cramer : esempio Complessità computazionale del metodo di Cramer Se nsec per eseguire il prodotto e

6 Metodo di eliminazione Metodo di eliminazione * + * Metodo di eliminazione Metodo di eliminazione * + Sistema triangolare equivalente

7 Strategia: Costruire un sistema equivalente più semplice Combinazioni lineari delle righe della matrice (= equazioni del sistema) I coefficienti della combinazione lineare si dicono moltiplicatori Algoritmo di eliminazione di Gauss Si aggiorna il triangolo superiore della matrice e il termine noto; Elemento perno o pivot Cambiamo punto di vista Operazioni matriciali Le combinazioni lineari delle righe di una matrice si possono esprimere come prodotti matrice-matrice

8 Operazioni matriciali Operazioni matriciali * Operazioni matriciali Trasformazioni di Gauss Matrice triangolare superiore Matrici triangolari inferiori unitarie con i moltiplicatori nel triangolo inferiore 3 Trasformazione elementare di Gauss applicata alla colonna 32 8

9 Passo 2 Passo La condizione per poter proseguire con il 2 passo dell algoritmo è che a (2) k Passo

10 Dopo n- passi Dopo n- passi 4 dove triangolare superiore 42...dove......e si può dimostrare che

11 Fallimento dell algoritmo L algoritmo è ben definito se tutti i perni sono non nulli Condizione sufficiente Se tutti i minori principali di A sono non nulli, allora tutti gli elementi pivot sono diversi da zero e l algoritmo di Gauss può essere applicato. Inoltre si ha Esistono matrici non singolari su cui l algoritmo fallisce, poiché si incontrano perni nulli Riassumendo Teorema Se tutti i minori principali di A sono non nulli, tranne al più l ultimo, allora esistono una matrice L triangolare inferiore unitaria ed una matrice triangolare superiore R tali che Inoltre Inoltre Si può dimostrare che se A è non singolare la fattorizzazione è unica E vero il viceversa: se A ammetto un unica fattorizzazione allora tutti i minori principali sono non nulli. FATTORIZZAZIONE DI A 5 52

12 Complessità computazionale Passo Calcolo moltiplicatori Divisioni Aggiornamento degli Somme e prodotti Complessità computazionale della fattorizzazione di Gauss 2 k n Soluzione di un sistema Sostituzione all avanti Sostituzione all indietro Osservazione Si scrive la matrice A come prodotto di matrici semplici La soluzione del sistema si ottiene risolvendo i due sistemi semplici associati

13 Esempio