Numeri razionali Costruzione aritmetica e costruzione geometrica (con un cenno alla costruzione geometrica dei numeri reali)

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1 Numeri razioali Costruzioe aritmetica e costruzioe geometrica (co u ceo alla costruzioe geometrica dei umeri reali) Espoiamo brevemete due costruzioi di Q, l'isieme dei umeri razioali positivi, la prima aritmetica, la secoda geometrica. Ciò sigifica che la costruzioe si foderà el primo caso sulle proprietà del semigruppo (abeliao regolare ordiato archimedeo) N, che ha come supporto l'isieme dei umeri aturali (usiamo il medesimo simbolo per deotare la struttura e il suo sostego), el secodo uelle dell'aalogo (el seso che gode di tutte le proprietà diazi elecate, e i più della divisibilità) semigruppo Σ S, o più semplicemete Σ, che ha come supporto l'isieme dei segmeti liberi dello spazio ordiario S (se e darà u ceo di descrizioe el paragrafo 5). No è ifodato riteere che: - N corrispoda all'ituizioe del discreto (tempo, palesemete "futuro"; Z, l'isieme degli iteri relativi, corrispoderebbe ivece a tutto il tempo); - Σ a uella del cotiuo (spazio; si badi bee però, "spazio geometrico", "spazio ideale", o "del pesiero", e o "spazio fisico" reale! - o etriamo i particolari sull'eorme pasticcio di deomiazioi ormai "tradizioali" che però appaioo purtroppo del tutto iadeguate, umeri reali, umeri irrazioali, umeri complessi, etc.).. L'idea che sovritede alla costruzioe aritmetica è la seguete. I umeri razioali soo collegati a ua relazioe di euivaleza ρ sull'isieme N N delle coppie ordiate di umeri aturali. L'euivaleza tra due coppie ordiate (a,b) e (c,d) si eucia ache i termii di proporzioalità: (a,b) ρ (c,d) a : b = c : d (che si legge: a sta a b come c sta a d). Q o è altro che l'isieme uoziete N N/ρ, sicché, dal puto di vista della "atura" dei umeri razioali, cocepiti come "gradezze" di origie aritmetica, sussiste la seguete relazioe di iclusioe isiemistica: Q P(N N). La classe di euivaleza della coppia ordiata (a,b) si idica co il simbolo familiare b a, sicché: [(a,b)] = b a. Si ha a che fare uidi co due be distiti

2 cocetti, uello di coppia ordiata di umeri aturali e di umero razioale associato. Se si volesse, si potrebbe itrodurre u terzo cocetto, corrispodete secodo oi i maiera adeguata a uello ituitivo di frazioe, relativo alle coppie ordiate costituite da u umero razioale e da u suo rappresetate (a,b), ossia (,(a,b)), co = [(a,b)], ma su ciò o isistiamo. La defiizioe di ρ trae origie dalle segueti "ecessarie" proprietà (che si può pesare, se si vuole, defiiscao ρ i casi particolari). Le lettere latie miuscole desigao, com'è da attedersi, umeri aturali ualsiasi. () () a c b d = = b d a c a a = b = x b x (i virtù di (), vale l'aaloga: b a = b x a = x) () a ma = ("ivariaza di scala"). b mb Dalle proprietà precedeti discede la defiizioe geerale di ρ. Ifatti, se a c a ca c ac ca ac =, deve essere ache, per (), =, =, = e uidi: cb = ad b d b cb d ad cb ad a da c bc da bc (per ()). Se si preferisce, =, =, = e uidi la stessa idetità: b db d bd db bd da = bc. Perveuti alla codizioe "ecessaria": (4) bc = ad, è facile costatare che essa defiisce effettivamete ua relazioe di euivaleza i N N, la uale soddisfa la (), la () e la (). Come dire pure che esiste ua e ua sola relazioe di euivaleza del tipo i discorso soddisfacete alle codizioi predette. Si oti il ruolo esseziale che, i ciò che precede, riveste la commutatività del prodotto tra umeri aturali. Costruito l'isieme Q, il passo successivo cosiste el "trasferimeto" della struttura algebrica (di somma e prodotto) da N a Q, idem per la relazioe d'ordie. (5) a c da bc da = = b d db bd bdbc

3 (6) (7) a c ca bc ca = = b d cb bd bd a c da bc da bc. b d db bd Naturalmete bisoga "verificare" che le tre regole euristiche precedeti defiiscoo effettivamete strutture del tipo ricercato su Q, idipedetemete cioè dalla scelta dei rappresetati di ciascuo dei umeri razioali coivolti elle operazioi algebriche o ella relazioe d'ordie. Si potrà poi verificare la validità di alcue proprietà algebriche che estedoo le aaloghe già valide i N, per esempio la distributività della somma rispetto al prodotto, etc.. Osservazioi importati. Secodo la costruzioe acceata, N o è u sottoisieme di Q, uidi scrivere N Q o è corretto. Però, esiste ovviamete u'immersioe caoica di N i Q, sicché tra i due isiemi umerici i oggetto esiste ua relazioe del tipo che abbiamo altrove chiamato ua uasi-iclusioe: a N Q a am =. m L'operazioe di divisioe i N è u'operazioe biaria estera: N N Q (a,b) che corrispode iet'altro che alla proiezioe caoica del domiio sul suo isieme uoziete che figura uale codomiio. Quado il risultato è u umero itero (aturale), si dice che b divide a, e tale circostaza si idica spesso i simboli co: b a.. Detto uidi che u umero razioale Q può essere cocepito come ua totalità di coppie ordiate di umeri aturali, e che uado si scrive = b a si è scelto u rappresetate ella relativa classe di euivaleza (rispetto a ρ), dedichiamo uesto paragrafo allo studio delle rappresetazioi i forma frazioaria di u fissato umero razioale. E' maifesto che ell'isieme comparirà ua e ua sola coppia ordiata (m,) tale che m sia il miimo di tutti i primi elemeti (umeratori) delle coppie a, b

4 ordiate apparteeti a (poiché N è u isieme bee ordiato, e ua ρ-classe di euivaleza o è vuota). E' facile persuadersi che, se m è il miimo umeratore di ua frazioe esprimete, il corrispodete sarà il miimo deomiatore. Quado si scrive = m si dice che il umero razioale è stato espresso ai miimi termii. Vogliamo dimostrare adesso il seguete fodametale: Teorema. Ferme restado le otazioi precedeti, = m = b a 4 implica che esiste u umero aturale tale che a = m, b = (si dice ache che a e b soo euimultipli rispettivi di m e di ). Facciamo precedere la dimostrazioe del Teorema da ua serie di cosiderazioi di pura atura aritmetica. Itroduciamo prima di tutto la fuzioe aritmetica ψ : N N che associa ad ogi umero aturale il umero dei suoi divisori, sicché sarà: ψ() =, ψ() =, ψ() =, ψ(4) =, ψ(5) =, ψ(6) = 4,.... U umero aturale si chiama primo se ψ() =, cioè, se è maggiore di, e i suoi uici divisori soo e. Teorema. Ogi umero aturale > o è primo, o è u prodotto di umeri primi. Dim. è u umero primo, è u umero primo, 4 è uguale a per, etc.. Preso i geerale u umero aturale, si comici a scorrere la successioe,, 4,..., rispodedo alla domada: divide? Se sì, si fiisce, e si ricomicia dal umero "aturale", poedo la domada: divide? Se o, ci si chiede: divide? 4 divide?, etc., fiché o si trova u umero aturale p che divide, evetualmete p =. E' ovvio che p è ecessariamete u umero primo (se o lo fosse, avremmo dovuto rispodere sì a ua precedete domada relativa a u divisore proprio di ). Ciò osservato, si prede i cosiderazioe il umero "aturale" p, e se uesto o è uguale ad si itera il procedimeto, fio ad arrivare a dimostrare il teorema (i modo assolutamete "costruttivo") ella seguete forma più precisa: Teorema. Dato u ualsiasi umero aturale >, è possibile determiare uivocamete ua "seueza" fiita... di umeri primi, tale che risulti:

5 5 =.... Ovviamete, il umero è primo se e soltato se la precedete seueza cosiste di u solo elemeto. Alla decomposizioe di i u prodotto di umeri primi si arriva i maiera certamete uivoca, i virtù dell'algoritmo sopra descritto, ma o è chiaro a priori che ua siffatta decomposizioe sia uica. Vale a dire, che o si possa descrivere u'altra procedura che arrivi a u'aaloga seueza fiita r r... di umeri primi tale che = r r r... e che sia distita dalla precedete (el seso che o le due seueze abbiao lughezze diverse, o umeri primi diversi appaiao ello stesso puto della seueza). Ciò può essere per fortua escluso, grazie al seguete: Lemma di Euclide. Se u umero primo p divide u prodotto di umeri aturali ab, allora p divide certamete o a o b (ossia, divide b se o divide a, e divide a se o divide b). Ifatti, se... = r r r..., ecco che per esempio r, dividedo il prodotto che figura el LHS della precedete idetità, deve dividere uo dei fattori che vi appaioo, ma, essedo uesti primi, r o potrà che coicidere co uo di uesti, azi co il miimo, sicché ecessariamete r =, etc., dal mometo che si potrà allora scrivere:... = r r..., e così via. Perverremo alla dimostrazioe del precedete lemma (che costituisce la Prop. 0 del Libro VII degli Elemeti di Euclide) soltato dopo alcue utili cosiderazioi che esporremo el paragrafo seguete. Limitiamoci per il mometo a osservare che la decomposizioe, o fattorizzazioe, di u umero aturale i u prodotto di umeri primi di cui sopra è uidi uica, e che ci si può limitare alla cosiderazioe di umeri primi distiti ualora si itroduca per ciascuo di essi la relativa molteplicità, fio ad arrivare uidi a ua fattorizzazioe ella forma: h h h =.... Se si itroduce la successioe p = < p = < p = 5 <... di tutti i umeri primi, si può defiire, per ogi umero primo p, la fuzioe molteplicità di p i (per umeri aturali ), i simboli h p (): sarà uesta uguale a 0 se p o divide, e uguale altrimeti al massimo espoete h per cui p h divide. La successioe delle molteplicità h (), h (),... (dove si è scritto per semplicità h () i luogo di h p (), etc.), sarà defiitivamete ulla, tale cioè che h p () = 0 per tutti i umeri primi da u certo umero i poi (da u certo idice i poi). Tale circostaza dà seso al seguete prodotto ifiito, che è u modo di esprimere la decomposizioe uica di i u prodotto di umeri primi (teorema

6 6 fodametale dell'aritmetica): h () h () h () = p p p... h = p () p. Il teorema fodametale dell'aritmetica permette di calcolare esplicitamete la fuzioe ψ(): Teorema 4. Sia u umero aturale arbitrario maggiore di. Se viee scritto h h h caoicamete come =..., allora risulta: ψ() = (h ) (h ) (h ).... [La fuzioe ψ() o va cofusa co la fuzioe di Eulero ϕ(), che calcola il umero degli elemeti di σ primi co, ossia tali che o abbiao alcu divisore a comue co trae. E' chiaro che ϕ() =, e che ϕ(p) = p- per ogi umero primo p. Ioltre ϕ(p h ) = p h -p h- per ogi espoete aturale h. Il calcolo completo della fuzioe ϕ si effettua per il tramite della decomposizioe di u umero aturale i fattori primi, e del seguete importate lemma, che euciamo seza dimostrazioe: se a e b soo due umeri aturali primi tra loro, allora ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b). ϕ risulta cioè, ma solo per tali coppie di umeri, ua fuzioe moltiplicativa.] Termiiamo uesto paragrafo osservado che dal lemma di Euclide si ottiee facilmete la dimostrazioe i sospeso (del teorema ). Dim. (del teorema ). Sia duue m p primo a m =. I forza dell'ipotesi che b costituisce la (l'uso dell'articolo determiativo è legittimo) rappresetazioe ei miimi termii del umero razioale i parola, si sa che m ed soo primi tra loro, ovvero o hao u divisore comue trae (altrimeti uesto evetuale divisore comue maggiore di si potrebbe cacellare a umeratore e deomiatore ella rappresetazioe della frazioe, perveedo così a termii acora più miimi, u assurdo). Dalla mb = a si deduce uidi che m divide a, ed divide b (se m ed o soo uguali ad, si utilizzi la loro fattorizzazioe uica i u prodotto di umeri primi, ciascuo dei uali, co la relativa molteplicità, o potrà "stare" i, e dovrà allora stare i a; abbiamo fatto riferimeto al caso di m), ovvero che: esistoo umeri aturali u, v N tali che a = um, b = v. Ma mb = a = mv = um u = v, sicché ecco dimostrato il teorema per = u = v. [Abbiamo provato il teorema a partire dal lemma di Euclide, seguedo u procedimeto iverso a uello del grade geometra alessadrio. Egli ifatti dimostrò il lemma i uestioe a partire dal teorema, e la circostaza si preseta così semplice che o vi isistiamo - e itediamo ciò o el seso

7 che è semplice dimostrare il teorema, besì che è semplice dimostrare che esso implica il lemma di Euclide!]. Prima di offrire la dimostrazioe lasciata i sospeso (del lemma di Euclide), dedichiamo ualche attezioe alle (coosciute si dalle scuole medie) costruzioi del massimo comue divisore e miimo comue multiplo di due umeri a, b arbitrariamete fissati i N. I simboli, rispettivamete: D = MCD(a,b), m = mcm(a,b). E' chiaro ifatti a priori che, dati due umeri aturali a, b, gli isieme dei rispettivi divisori soo fiiti e o disgiuti (cotegoo etrambi il umero ), sicchè la loro itersezioe è o vuota e limitata, d'ode l'esisteza di u massimo comue divisore. Aalogamete, esistoo di certo dei multipli comui (per esempio: ab, e uidi ifiiti, almeo: ab, ab,...), sicché l'isieme dei multipli comui è o vuoto e si può itrodurre il miimo comue multiplo (per il buo ordiameto di N). Algoritmo euclideo delle divisioi successive e calcolo del MCD. Ua volta che si abbia a disposizioe la fattorizzazioe uica di u umero aturale i u prodotto di umeri primi, è facile dimostrare che il MCD coicide co il prodotto di tutti i primi comui ai due umeri i oggetto, presi co la miima delle molteplicità co cui essi appaioo elle fattorizzazioi i parola, metre il mcm coicide co il prodotto di tutti i primi comui e o comui ai due umeri i oggetto, presi co la massima delle molteplicità co cui essi appaioo elle fattorizzazioi i parola. I uesta sezioe illustriamo u procedimeto per il calcolo esplicito del MCD e del mcm che o fa ricorso alla fattorizzazioe i umeri primi, la cui determiazioe è sez'altro più laboriosa. Suppoedo per esempio a b, potremo sez'altro scrivere (efatizziamo uado opportuo la preseza di u prodotto, e la distizioe tra i "ruoli" dei fattori, co il simbolo ): (8) a = b r, grazie al oto elemetare algoritmo della divisioe co resto (per difetto). I due coefficieti e r, il primo dei uali è u elemeto di N, il secodo u elemeto di N 0, risultao uivocamete determiati dalla precedete idetità ualora il resto vega scelto positivo o ullo, e miore del divisore b (rammetiamo che a si dice il dividedo della divisioe e il relativo uoziete). Osserviamo che l'algoritmo delle divisioi successive si può far partire ache dal caso a < b, 7

8 8 coveedo di scrivere baalmete a = 0 b a. [La possibilità di effettuare tale "operazioe" riposa sul cosiddetto postulato di Archimede: a b a = b (a-b), ma o è detto che sia a-b < b, cioè a < b. Se a b, si scrive a = b (a-b), e si ripete il ragioameto: o è detto che sia (a-b) < b, ovvero a < b, e se a b si va avati. Il procedimeto deve avere comuue termie, co il primo umero aturale tale che b > a (elle attuali ipotesi ), e la divisioe co resto sarà espressa allora dall'idetità: a = (-) b (a-(-)b), dove il resto a-(-)b è maggiore o uguale di zero e strettamete miore di b (vedi ache uato se e dirà el paragrafo 7.] Se r = 0 o c'è molto da dire: b divide a, e b a =. Se ivece r > 0, la disuguagliaza r < b permette di iterare l'algoritmo della divisioe co resto al caso dei due umeri aturali b ed r (rispettivamete dividedo e divisore), perveedo così a ua uova idetità del tipo: (9) b = r r, co u uovo uoziete e u uovo resto r < r. Se per esempio r o è zero, possiamo riscrivere: (0) r = r r, etc.. Suppoiamo per semplicità che sia proprio r = 0. I effetti, i uesto che si chiama l'algoritmo euclideo delle divisioi successive, la seueza dei resti r, r, r,... è mootòa strettamete decrescete: r > r > r >..., sicché il procedimeto deve ecessariamete arrestarsi a u certo passo i cui il resto diveta zero (oi abbiamo appea supposto, per esamiare u caso particolare, che sia il terzo). Ripropoiamo allora le tre idetità otteute, i vista di ua loro elaborazioe che permetta di dedurre delle iteressati iformazioi, mettedo i risalto la circostaza che deve risultare ecessariamete, elle attuali codizioi,, perché altrimeti sarebbe r = r, cotro l'ipotesi r < r. () a = b r () b = r r () r = r. Bee, si comprede subito che: Teorema 5. r, l'ultimo resto o ullo ella catea di divisioi successive, coicide co il massimo comue divisore dei umeri a e b. Dim. Ifatti, ogi umero aturale d che divida a e b deve dividere

9 ecessariamete r = a - b, e uidi ache r = b - r. Riassumedo, si procede dall'alto verso il basso: d a, b d a, b, r d a, b, r, r. Viceversa, è chiaro che r è u divisore di a e di b, dal mometo che esso risulta u divisore di r (dalla ()), e uidi u divisore di b (i forza della ()), e ifie u divisore di a, i forza della (): r divide b ed r, e uidi divide pure a = b r. Riassumedo, si procede adesso dal basso verso l'alto: r r r r, b r r, b, a. Dalle idetità sopra riportate si deduce ache l'idetità di Bézout, [Così deomiata (come talora accade i uesti casi, la cosuetudie appare però ifodata) da Etiee Bézout (70-78), autore di 6 volumi di u Cours de mathématiue ( ), dal uale fu estratto il primo mauale americao di geometria aalitica (pubblicato el 86), e di ua Théorie géérale des euatios algébriues (779).] che esprime il MCD di due umeri aturali a e b come combiazioe lieare a coefficieti iteri, ovviamete co sego, degli stessi a e b. Ossia: Teorema 6. Esistoo elemeti λ, µ Z, tali che valga la relazioe: D = MCD(a,b) = λa µb. Dim. Cotiuado a rimaere el caso particolare preso i cosiderazioe, ua possibile coppia di valori λ, µ che realizzao l'idetità i oggetto si trova subito el seguete modo. Dalla () si trae r = b - r, e sostituedo ui il valore di r che si trova dalla (), vale a dire: r = a - b, ecco che si ottiee ifie: r = b - r = b - (a- b) = ( )a - b (si procede dal basso verso l'alto, a partire dalla peultima idetità), cvd. Può essere iteressate otare che, coformemete alla costruzioe illustrata, i segi positivo o egativo compaioo alterativamete davati all'uo o all'altro dei coefficieti λ, µ, a secoda della lughezza della catea di divisioi successive, e che comuue esistoo ifiiti valori di λ, µ (positivi o egativi; potrebbe ache essere per esempio λ = 0, µ =, se b divide a) per i uali sussiste u'idetità del tipo di Bézout. Risulta ifatti: (b)a (-a)b = 0 (come dire che a e b soo sempre liearmete dipedeti su Z), sicché risulta pure, sommado: D = (λb)a (µ-a)b, o ache, sottraedo: D = (λ-b)a (µa)b, e ioltre, evidetemete: D = (λb)a (µ-a)b, etc.. Il procedimeto fa compredere che si può sempre scegliere per esempio il coefficiete λ positivo, o egativo, ad arbitrio, e che lo stesso vale per µ. Azi, che se abbiamo u'idetità del tipo D = λa µb, co λ positivo e maggiore di b, si può ridurre il coefficiete di a fio a farlo divetare miore di b (al limite uguale a zero, se D = b, ossia b divide a). Ci si persuade facilmete che, escluso il caso baale D = b, esistoo azi ua e ua sola idetità di Bézout del tipo: D = λ'a µ'b, co λ' positivo e miore di b (corrispodetemete, µ' sarà 9

10 egativo, e il suo opposto miore di a), e u'uica altra del tipo: D = λ"a µ"b, co µ" (che risulta uguale a µ'a) positivo e miore di a, e λ" (che risulta uguale a λ'-b) egativo co opposto miore di b (potremmo chiamare caoiche ueste due particolari e distite idetità di Bézout). Complemeto. A proposito di idetità di Bézout caoiche, ci si persuade approfodedo u po' il discorso che uella otteibile mediate l'algoritmo sopra idicato, a partire dalla catea di divisioi successive: a = b r, b = r r, r = r. r,..., r - = r -. r, r - = r. è certamete ua delle due tali (si suppoga al solito a > b, e si escluda acora il caso baale D = b; come abbiamo già acceato, risulterà λ positivo e µ egativo, o viceversa, a secoda della parità della lughezza della catea, ossia, come pure presto si dirà, a secoda della parità della profodità del umero razioale b a ). Comiciamo co il otare che alla medesima idetità di Bézout desumibile dalla catea di divisioi successive si può arrivare procededo dall'alto verso il basso, aziché dal basso verso l'alto, per il che coverrà di itrodurre dal secodo passo della costruzioe i poi tre diverse idetità. Val forse la pea di mettere i evideza esplicitamete prima che: D = MCD(a,b) = MCD(b,r ) = MCD(r,r ) =... = MCD(r -,r ) = r, e uidi che il procedimeto descritto cosiste sostazialmete el perveire a D costruedo via via coppie di umeri che ammettoo sempre D come MCD, ma divetao progressivamete più "piccole" (i u ovvio "ordiameto" stabilito compoete per compoete: si paragoa il primo elemeto di ua coppia co il primo elemeto di u'altra, e lo stesso si fa per i due secodi), fio al caso fiale di ua coppia (r -,r ) tale che r divida r -, e uidi risulti D = r. Primo passo, a = b r : a = b r /// r = a - b Secodo passo, b = r r : a = b r = ( r r ) r = ( ) r r /// b = r r /// r = b - r = b - (a- b) = - a ( ) b [Data la catea strettamete discedete a > b > r > r >... > r ( = lughezza della catea a meo = profodità di è supposto essere u umero aturale), ella prima delle tre b idetità idicate si esprime a come combiazioe lieare della coppia di umeri immediatamete successivi; la medesima cosa vale per uato riguarda b; i resti r etc. si esprimoo ivece sempre come combiazioe lieare (ovviamete a coefficieti iteri relativi, metre elle prime due idetità i coefficieti soo umeri aturali) di a e di b.] Terzo passo, r = r r : a = ( ) r r = ( ) ( r r ) r = = [ ( ) ] r ( ) r /// b = r r = ( r r ) r = = ( ) r r /// r = r - r = ( a - b) - [- a ( ) b] = = ( ) a - [ ( )] b, etc.. Si comprede isomma come si possao descrivere le tre idetità otteute all'i-mo passo r i- = i r i- r i (i ) el seguete modo: a = A i r i- B i r i /// b = C i r i- D i r i /// r i = E i a F i b, e tutto sta a compredere cosa accade al passo successivo, cioè l'(i)-mo. Le idetità i esame vao modificate teedo coto della uova divisioe: r i- = i r i r i, co l'effetto che apputo: a = A i r i- B i r i = A i ( i r i r i ) B i r i = ( i A i B i ) r i A i r i. Aalogamete per b risulta: 0

11 b = C i r i- D i r i = C i ( i r i r i ) D i r i = ( i C i D i ) r i C i r i, metre per il resto r i si ottiee: r i = r i- - i r i = (E i- a F i- b) - i (E i a F i b) = = (E i- - i E i ) a (F i- - i F i )) b. Isomma, la seueza dei coefficieti A i, B i è defiibile ricorsivamete attraverso la regola: A i = i A i B i ; B i = A i, la uale ha validità per ogi valore dell'idice i (i particolare, se i >, l'idetità A i = i A i B i si può riscrivere come A i = i A i A i- ). e permette di calcolarli tutti facilmete a partire da A =, B =. Lo stesso sussiste per la seueza dei coefficieti C i, D i, che è defiibile ricorsivamete attraverso la regola: C i = i C i D i ; D i = C i, la uale ha validità adesso per ogi valore dell'idice i (i particolare, se i >, l'idetità C i = i C i D i si può riscrivere come C i = i C i C i- ). Notiamo che la defiizioe ricorsiva rimae ivariata, ma si parte dai valori: C =, D =. Guardiamo ifie a uella che più ci iteressa delle tre idetità otteute ad ogi passo, ossia la r i = E i a F i b (i cui possiamo semplicemete supporre i ; si tratta di uella che potremmo dire ua seueza di "idetità di Bézout", l'ultima delle uali risulta l'idetità desiderata). La defiizioe ricorsiva che cotrolla la seueza dei coefficieti E i, F i è, per ogi i > : E i = E i- - i E i, e lo stesso vale per le F: F i = F i- - i F i. Si parte aturalmete adesso da: E =, E = -, a cui si accompagao le aaloghe: F = -, F =. Ciò permette di stabilire le idetità che collegao i coefficieti E, F ai coefficieti A, C: E i = (-) i- C i ; F i = (-) i A i. (per ogi i > ). La dimostrazioe è abbastaza agevole. Si verifica direttamete la validità delle idetità i parola el caso i = (E = -C = - ; F = A = ), e poi si procede per iduzioe (si suppoga uidi i > ), utilizzado la defiizioe ricorsiva diazi illustrata. E i = E i- - i E i = (-) i- C i- - i (-) i- C i = (-) i (C i- i C i ) = (-) i C i (si rammeti che attualmete C i = i C i C i- ); F i = F i- - i F i = (-) i- A i- - i (-) i A i = (-) i (A i- i A i ) = (-) i A i (si rammeti che attualmete A i = i A i A i- ). Ciò premesso, è chiaro che, perveuti all'-mo passo (uello i cui appare l'ultimo resto r diverso da zero) si ottiee l'idetità di Bézout che adavamo cercado: r = D = E a F b = λa µb, ossia che: λ = E = (-) - C ; µ = F = (-) A. Tata cura ei dettagli serve ad assicurare che, a parte il sego, λ è miore di b, allo stesso modo che µ è miore di a. Ifatti: b = C r - D r C < b; a =.A r - B r A < a. (Iformiamo che ritroveremo le medesime defiizioi ricorsive di cui sopra i: dove ci occuperemo di frazioi cotiue e dei loro covergeti. Dato ache uato se e vedrà ui el prossimo paragrafo, possiamo presetare subito la seguete idetità: a A = r- A -r A r A -r A A - A = = =, b C r C r C r C r C C C la uale dimostra che il rapporto tra A e C esprime proprio la frazioe b a, ridotta però ai "miimi termii".) Cocludiamo uesto lugo complemeto iformado che el prosieguo del corso si descriverà la situazioe i esame attraverso gli ideali dell'aello dei umeri iteri (relativi) Z. L'ideale geerato da due umeri aturali a, b è apputo l'isieme delle loro combiazioi lieari a coefficieti iteri relativi, ed è facile dimostrare che u siffatto ideale è ecessariamete pricipale, ovvero è geerato da u solo elemeto (l'ideale è costituito isomma dalla totalità dei multipli di uesto elemeto). I effetti tutti gli ideali di Z soo pricipali, sicché si parlerà di u aello a ideali pricipali (sottolieiamo che coverrà comuue occuparsi di aelli commutativi e uitari - ed evetualmete privi di divisori dello zero, el ual caso si parla di domii, o domii d'itegrità - sia per o dover distiguere tra multipli destri e multipli siistri di u elemeto, o tra ideali destri e ideali siistri, sia per poter -

12 sempre aoverare u elemeto tra i multipli di se stesso). Di siffatti geeratori e esistoo precisamete due, uo dei uali positivo, l'altro egativo, e si prova seza difficoltà che il geeratore positivo (l'uso dell'articolo determiativo è adesso legittimo) coicide proprio co il MCD dei due umeri a, b. Gli algoritmi sopra descritti adrao allora itesi come "programmi" capaci di idividuare tale geeratore mediate semplici operazioi aritmetiche a partire dai due umeri assegati, ma è chiaro che uato abbiamo imparato precede i u ordie "aturale" la teoria degli aelli astratti, azi, che forisce ua motivazioe per lo studio di essa. Per esempio, si itroduce la classe dei cosiddetti domii bézoutiai, ossia di uei domii tali che ogi loro ideale fiitamete geerato sia pricipale (u domiio bézoutiao tale che ogi suo ideale sia fiitamete geerato - a tale circostaza si fa riferimeto dicedo che il domiio è oetheriao [I oore di Emily (Emmy) Noether (88-95), figura di ua certa rilevaza ella storia dell'algebra del XX secolo.] - è uidi iet'altro che u domiio a ideali pricipali, ma l'iteresse della defiizioe cosiste precisamete el fatto che esistoo domii bézoutiai o oetheriai). L'aello Z e uello dei poliomi i ua idetermiata sopra u campo K ualsiasi costituiscoo due otevoli esempi di domii bézoutiai che soo ache oetheriai (addirittura di domii euclidei, co termiologia che prede le mosse proprio da uato abbiamo i precedeza discusso), metre u aello di poliomi i più idetermiate, oostate i suoi coefficieti siao presi sempre i u campo, e sebbee preseti diverse "buoe proprietà" che lo redoo simile a Z (per esempio, vi si può acora parlare di fattorizzazioe uica i poliomi "primi", e di MCD di due poliomi), cessa di essere bézoutiao, acorché ogi suo ideale cotiui a risultare fiitamete geerato (tale ultimo risultato, relativo cioè alla oetheriaità di u tale domiio, è cosegueza di u famoso teorema di Hilbert, il cosiddetto teorema della base). Grazie all'idetità di Bézout possiamo dimostrare fialmete il lemma di Euclide (e uidi il teorema fodametale dell'aritmetica che da esso dipede, come abbiamo visto). Dim. (del lemma di Euclide). Suppoiamo ifatti, ferme restado le otazioi, che p ab, e che p o divida a. I umeri p e a risultao allora primi tra loro, ossia: MCD(p,a) =, e uidi potremo scrivere λp µa = per certi umeri iteri relativi λ, µ. Da uesta idetità si trae, moltiplicado etrambi i membri per b, e suppoedo per esempio ab = p ( N): b = λpb µab = λpb µp = p(λb µ), ciò che esprime apputo b come u multiplo di p (è appea il caso di otare che il termie λb µ, a priori u umero itero relativo, è certamete u umero aturale), cvd. (Si osservi voledo che la dimostrazioe illustrata dimostra immediatamete, seza passare cioè attraverso il teorema fodametale dell'aritmetica, il seguete euciato "più geerale": se a, b, p soo tre umeri aturali ualsiasi tali che p ab, allora dall'ipotesi che a e p siao primi tra loro si deduce che p divide ecessariamete b). Essedo ormai ovvio che i divisori comui di a e b soo tutti e soli i divisori di D (e uidi i umero fiito, pari a ψ(d)), occupiamoci ivece dei multipli

13 comui ad a e b. Sussiste il seguete: Teorema 7. m = mcm(a,b) = D ab, e i multipli comui ad a e b soo tutti e soli i multipli di m. Dim. E' itato evidete che la uatità D ab = a D b = b D a è u umero aturale, e che si tratta di u multiplo comue ad a e b. Proveremo adesso che, se viceversa è u multiplo comue ad a e b, ossia = ha = b, per certi umeri aturali h,, allora è u multiplo di m, ossia, esiste u umero aturale t tale che = tm. Bee, dato che D è il massimo comue divisore di a e b, risulterà a = Da', h b b' b = Db', co a', b' primi tra loro, sicché = ha = b = =. L'ultima a a' frazioe è espressa ai miimi termii, sicché, i virtù del teorema, h e sarao euimultipli rispettivamete di b' e a': h = rb', = ra', per ualche b a ab umero aturale r. Isomma, = ha = rb'a = ra = b = ra'b = rb = r = rm, D D D cvd. 4. La rappresetazioe di u umero razioale come "frazioe cotiua limitata". Dall'algoritmo euclideo delle divisioi successive abbiamo tratto fiora due cosegueze iteressati: il calcolo del MCD, e l'idetità di Bézout. Facciamo vedere che da esso si può dedurre u'altra idetità istruttiva, alla uale premettiamo ualche cosiderazioe geerale. Ogi umero razioale positivo x (il discorso varrà tal uale per i umeri reali positivi) si potrà sempre scrivere i modo uico ella forma x = [x] x', dove [x] N 0 è u umero itero positivo o ullo che si dice la parte itera di x, e viee scritto ualche volta come It(x), metre x' è u umero razioale compreso tra 0 (icluso) e (escluso), che si dice la parte decimale di x, o ache la matissa di x: x' = Mt(x) = x-it(x). Risulta ovviamete It(x) = 0 ses 0 < x <, e Mt(x) = 0 ses x è u umero aturale. [Si osservi che la restrizioe ai soli umeri positivi o ulli dipede tra l'altro dalla circostaza che siamo abituati a scrivere per esempio -,4, che sigifica -(0,4), e uidi --0,4, aziché -4 0,86, sicché dovremmo "decidere" se porre It(-,4) = - oppure It(-,4) = -4, el primo caso itroducedo u'approssimazioe per eccesso aziché per difetto, come ivece più cosueto.] Ciò premesso, ripartiamo dalle idetità (), (), (), e riscriviamo l'ultima di

14 esse ella forma r = r (procediamo uidi pure stavolta dal basso verso l'alto, a partire però dall'ultima idetità). Sostituedo uesta espressioe ella () si ottiee: 4 b = r e da uesta: r = ( )r, r = b. Possiamo adesso sostituire tale valore ella (), fio a trovare: a = b r = = b b = ( )b, ergo, l'idetità alla uale miravamo: (4) a = ( b ). Seza essua perdita di geeralità, abbiamo dimostrato uidi metà del seguete: Teorema 8. Ogi umero razioale x = b a (a, b N) tale che x, ossia a b, idividua ua -pla ordiata ( N) di umeri aturali (,,..., ), co se, tale che risulti: x =... Viceversa, ogi siffatta -pla ordiata (,,..., ), co se, rimae associata el modo idicato a uo ed u solo umero razioale x >, che deoteremo co il simbolo x = [ ;,... ] (capiremo presto il sigificato di uel puto e virgola; se =, scriveremo semplicemete x = [ ] - seza essu problema i ordie ad utilizzo delle paretesi uadrate per defiire la parte itera di u umero razioale o reale)..

15 5 Il umero (-) N 0 si può chiamare la profodità di x. E' ovvio che la profodità di x è uguale a zero se e soltato se x è u umero aturale. Dim. Sostazialmete maca soltato di persuadersi che la rappresetazioe diazi determiata per il umero razioale x è da esso uicamete determiata, cioè che da u'idetità del tipo (procediamo acora i u caso particolare): x = =... si deduce =, =, =, etc.. (ui i coefficieti i rappresetao maifestamete dei umeri aturali, ma potrebbe essere a priori ache uguale a zero). Diviee aturalmete adesso fodametale l'ipotesi che l'ultimo termie della "parte frazioaria" di ua siffatta rappresetazioe, uado presete, sia maggiore o uguale di, perché altrimeti dall'idetità = o è possibile dedurre il risultato desiderato. 4 Bee, tutto si riduce a osservare che vale il seguete "piccolo lemma", che euciamo i corso d'opera: u umero razioale del tipo y = m m... m per certi umeri aturali m i (i =,...,, u ualsiasi umero aturale), oltre che sempre diverso da zero, è miore o uguale ad, ed è uguale ad ses = e m =. La dimostrazioe dell'asserto è pressoché immediata. Comiciamo co il fatto che y è diverso da zero, ua circostaza abbastaza ovvia, ma che proviamo comuue per iduzioe su. Se =, il umero razioale o è zero. Se >, il umero z = uidi o è tale eppure il ostro y = razioale m m... m m m o è zero per l'ipotesi iduttiva, e z. Ciò premesso, se =, il umero o è superiore a, e coicide co ses m =. Se, possiamo itrodurre l'iverso di y (che sappiamo essere diverso da zero),,

16 y - = m m... m. E' chiaro che y - > m (perché il secodo addedo el RHS della precedete idetità, u termie che appare effettivamete i virtù dell'ipotesi ammessa, è diverso da zero), sicché abbiamo y - > y <, cvd. Toriamo adesso alla dimostrazioe mometaeamete iterrotta. L'idetità = risulta stabilita poiché uesti due umeri iteri rappresetao la parte itera dei umeri razioali i discorso, sicché abbiamo ecessariamete: = si ottiee =.... Passado agli iversi dei due termii di tale idetità,..., e si capisce che = o potrà essere, perché sappiamo che il LHS dell'idetità o è u itero ( diverso da 0 e miore di per ipotesi). Il termie 6 è u umero razioale... compare uidi effettivamete, ed è u umero razioale miore di, i forza dell'ipotesi, e del "piccolo lemma". Quidi dall'idetità i esame si deduce che e soo le rispettive parti itere dei umeri razioali i cosiderazioe, sicché certamete =, e =... uovo gli iversi di ambo i membri, =. Questa diveta, di uovo uguagliado di..., e possiamo ripetere il ragioameto perveedo fialmete alla coclusioe. > o potrà essere, perché altrimeti il RHS dell'idetità o sarebbe u umero itero, che compare al LHS. Quidi, = e =, cvd. Quato precede ammette u'ovvia aaloga euciazioe el caso di umeri razioali positivi miori di, ossia dal caso a < b, bastado partire el teorema 8 dal caso = 0. (Tra uesti umeri o ce 'è essuo che sia itero. Corrispodoo biuivocamete ai umeri razioali maggiori di tramite la corrispodeza x x -. Il umero x = riveste u ruolo particolare, poiché è l'uico umero razioale positivo tale che x = x -, e comuue voledo si potrà scrivere, co riferimeto al simbolismo precedete itrodotto, x = [].)

17 7 Euciamo lo stesso l'ormai scotato relativo asserto. Teorema 9. Ad ogi umero razioale positivo x = b a (a, b N) tale che x <, ossia a < b, soo uivocamete associabili u umero aturale (che si dice la profodità di x) e u'uica -pla ordiata di umeri aturali (,,..., ), co, tali che risulti: x =... Viceversa, ogi siffatta -pla ordiata (,,..., ), co, rimae associata el modo idicato a uo ed u solo umero razioale x, 0 < x <, che deoteremo come x = [0;,,... ]. [Isomma, il teorema 9 rappreseta le matisse o ulle dei umeri razioali, metre el teorema 8 si trova aggiuta a tali matisse la parte itera.] E' istruttivo osservare che il primo coefficiete ell'espasioe di cui al teorema forisce il umero razioale di profodità (cioè, u iverso di u umero aturale maggiore di ) più vicio a x tra uelli maggiori o uguale di x. Aalogamete,. rappreseta ivece il umero razioale di profodità più vicio a x tra uelli però miori o uguale di x, etc.. La seguete figura cerca di rappresetare, sebbee o perfettamete dal puto di vista dell'ordie tra i umeri idicati, la stratificazioe dei umeri razioali x, 0 x, i base alla loro profodità (si cosidera ache lo 0 di profodità 0, come tutti gli iteri). - Profodità 0: 0 e, metre aturalmete, al di fuori dell'itervallo chiuso I, ci soo,, Profodità : gli iversi di,,..., ossia / > / > /4 > /5 >...

18 e aturalmete, al di fuori di I: / =/ > / = 4/ > /4 = 5/4 > /5 = 6/5 >... / = 5/ > / = 7/ > /4 = 9/4 > /5 = /5 >... / > / > /4 > /5 >... etc.. - Profodità Gli iversi dei umeri riportati elle righe precedeti al di fuori di I: / < /4 < 4/5 < 5/6 <..., /5 < /7 < 4/9 < 5/ <..., etc. e aturalmete, al di fuori di I: / = 5/ < /4 = 7/4 < 4/5 = 9/5 < 5/6 = /6 <... /5 = 7/5 < /7 = 0/7 < 4/9 = /9 < 5/ = 6/ < / = 8/ < /4 = /4 < 4/5 = 4/5 < 5/6 = 7/6 <... /5 = /5 < /7 = 7/7 < 4/9 = /9 < 5/ = 7/ <... e così via... [Vale la pea di iformare da ultimo che era abitudie per esempio degli egiziai di cercare di rappresetare la matissa di u umero razioale (positivo o itero) come somma di umeri razioali miori di e di profodità, ossia di iversi di umeri iteri maggiori di. E' ovvio per esempio che: =, ma il "gioco" delle cosiddette frazioi egiziae cosiste el trovare decomposizioi co deomiatori distiti, e uidi per esempio: = = (usado per la decomposizioe che viee offerta el papiro di Ahmes, circa 650 AC - detto ache papiro di Rhid, dal ome dell'atiuario scozzese che lo acuistò i Egitto el 858), e poi più "corte" possibile, o evetualmete co deomiatori più piccoli possibile, etc., u argometo iteressate e forse acora o del tutto esplorato.] 5. La costruzioe di Q per via geometrica parte dalla cosiderazioe del semigruppo Σ dei segmeti liberi dello spazio ordiario S, o se si preferisce della retta ordiaria R (si badi bee alla distizioe tipografica tra R e R). I uesto secodo caso si tratta semplicemete di classi di euivaleza di segmeti di R, dove l'euivaleza è uella idotta dal gruppo delle traslazioi di R. Diciamoe brevemete ualcosa i più. Si predoo le mosse dall'isieme dei segmeti di R, idichiamolo brevemete co Seg(R), i sottoisiemi idividuati da u'arbitraria coppia (o ordiata) di puti distiti, che si chiamao estremi del segmeto. I segmeti soo sottoisiemi della retta che, i uato alla loro "atura", soo cocepiti "rigidi", ma il termie o deve idurre i euivoco: o c'è essu riferimeto alla "realtà materiale", uella di cui si sta parlado è ua "realtà ideale". Essi, come i puti, o soo maifestamete dei "umeri", sebbee si possao sempre "cofrotare" tra loro, e i ualche caso (segmeti cotigui, cioè co u solo vertice comue) "sommare". La possibilità della citata operazioe di cofroto si esplicita attraverso la costatazioe che l'ituizioe 8

19 dello spazio ricoosce i Seg(R) l'esisteza di ua relazioe ρ di preordie totale aturale (o vale cioè la proprietà atisimmetrica, abbiamo solamete riflessività e trasitività), collegata alla relazioe d'ordie o totale di iclusioe (iclusioe isiemistica, di origie perciò puramete "logica") e al cocetto di traslazioe. U segmeto ab sarà miore o uguale di u segmeto cd se esiste ua traslazioe τ di R tale che τ( ab ) è icluso i cd, metre aturalmete ua traslazioe di R rimae defiita come ua particolare corrispodeza biuivoca τ di R i sé (o, se si preferisce, u automorfismo di R ella categoria degli spazi totalmete ordiati - si fissi adesso arbitrariamete u verso di R), che iduce u morfismo d'ordie (automorfismo) ache i Seg(R): ab cd τ( ab ) τ( cd ), per ogi coppia di segmeti di R. Cioè preordie totale aturale su Seg(R) e traslazioi soo cocetti strettamete itercoessi, uo defiisce l'altro, seza possibilità, ci sembra, di poter decidere uale dei due "vega prima". Dovedo scegliere, ci piace pesare che la ostra mete "veda" el gruppo delle traslazioi di R u particolare sottogruppo (strettamete -trasitivo) di tutte le corrispodeze biuivoche di R i sé grazie a cui effettua il ricooscimeto di chi tra due segmeti sia "più piccolo" di u altro, sed de hoc satis. La relazioe di preordie appea descritta o è maifestamete ua relazioe d'ordie, e iduce coseguetemete su Seg(R) ua relazioe d'euivaleza o baale (per la uale el liguaggio comue, e della geometria classica, si usa il termie uguagliaza, che rischia l'itroduzioe di u ulteriore fraitedimeto, data l'affiità sematica tra uguagliaza e idetità, meglio uidi cogrueza), che permette di costruire il relativo isieme uoziete Σ, i cui elemeti diremo segmeti liberi (o astratti) di R. [Si oti che o appare difficile trasportare le cosiderazioi sopra esposte al caso dell'itero spazio tridimesioale S, mediate l'itroduzioe di ua più ricca feomeologia di "movimeti rigidi" dell'ambiete - traslazioi, rotazioi, e loro prodotti - co l'effetto di avere ache i uesto caso u isieme Seg(S), e u isieme uoziete che sarà palesemete "aturalmete isomorfo" a Σ. Vale a dire Σ S Σ R, co simbolismo che ci pare autoesplicativo.] L'isieme Σ così itrodotto possiede ua relazioe d'ordie aturale (ereditata dal preordie aturale i Seg(R)), ma il bello è che esso ammette ache ua struttura algebrica aturale, che rimae ivece assete da eti geometrici uali R, P, S (che soo soltato sostegi di strutture d'ordie o topologiche; P desiga ovviamete il piao ordiario). Si può defiire ifatti la somma di due segmeti liberi semplicemete giustappoedo due loro rappresetati, prededoe l'uioe isiemistica, e ifie la relativa classe di euivaleza. U'operazioe metale che corrispode evidetemete alla "somma" di due "cammii" (di tipo aalogo è la somma di vettori, ella retta o ello spazio). Σ è uidi il sostego di u semigruppo abeliao (additivamete scritto) aluato particolare, che riassume i sé tutte le proprietà geometriche delle uali 9

20 si ha bisogo al fie di descrivere precisamete il procedimeto di misura di u segmeto rispetto a u altro, come vedremo el paragrafo successivo. Tale semigruppo risulta assai "simile" ad N, poiché è privo di elemeto eutro, regolare, ordiato, archimedeo, etc., ma ha i più ua proprietà che risulterà fodametale sia per la teoria che abbiamo i mete: la divisibilità. Vale a dire, per ogi umero aturale e ogi elemeto α Σ, l'euazioe (ella ξ): ξ = α ammette ualche soluzioe i Σ. Essa è maifestamete uica, perché ξ = η = α implica ecessariamete ξ = η. Se fosse ifatti ξ > η, avremmo per esempio ξ > η, data la compatibilità tra struttura d'ordie e struttura algebrica: α, β, γ, δ Σ, (α β) (γ δ) α γ β δ. La divisibilità, pur esprimedosi i modo puramete algebrico, ha aturalmete u'origie geometrica (che fa ricorso ad altre proprietà della retta, ma i special modo alla sua possibilità di immersioe el piao ordiario P; uidi, alle caratteristiche della retta derivati da proprietà della geometria piaa). Illustriamo i uel che segue il procedimeto che idividua la soluzioe dell'euazioe precedete el caso =, ossia l'operazioe di tricotomia di u segmeto arbitrario (o libero) ab di R. 0 Si cosidera u ualsiasi segmeto ab della retta ordiaria R, pesata però immersa el piao ordiario P tramite ua retta arbitraria R di P). Dal puto a si traccia la perpedicolare P alla retta R, e su P si cosidera il segmeto aa' uguale ad ab. Quidi lo si riporta tre volte di seguito, costruedo i segmeti aa', a' a' ', a' ' a' ''. Sulla retta Q, perpedicolare ad R el puto b, si cosiderao i puti b', b'', b''', corrispodeti rispettivamete di a', a'', a''' per proiezioe perpedicolare. Si prede ifie i esame la diagoale ab' '' del rettagolo abb'''a'''. Essa iterseca il segmeto a' b' el puto y', il segmeto a' ' b' ' el puto y'', e le proiezioi perpedicolari di y', y'' sulla retta R, che abbiamo detto rispettivamete t' e t'',

21 foriscoo la desiderata "tricotomia" del segmeto ab, ossia: ax' x' x' ' x' ' b (il simbolo si riferisce alla relazioe d'euivaleza idotta dal gruppo delle traslazioi, che, come abbiamo già detto, si dice co termie geometrico proprio cogrueza), e ax' x' x' ' x' ' b = ab. I altre parole, se sull'asse perpedicolare si rappreseta il umero itero, su uello di parteza appare il suo "iverso" /. I virtù dell'uicità della soluzioe i discorso, per ogi N e ogi α Σ, sarà lecito itrodurre il segmeto libero α, che si può dire l'-ma parte di α (u sottomultiplo di α tramite il umero aturale, allo stesso modo che α è u multiplo di α, sempre tramite il umero ). E' facile persuadersi che siamo di frote a due azioi (uitarie) del semigruppo moltiplicativo (N, ) su Σ: tali che, "baalmete": N Σ Σ (multiplo) (,α) α N Σ Σ (sottomultiplo) (,α) α m( α) = (mα) = m α (l'ultima idetità va itesa come ua defiizioe del "simbolo" m α). I particolare: ( α) = (α) = α = α = α, ( m α) = mα, etc.. Sarebbe facile a uesto puto costatare che u'evetuale idetità del tipo: m m' α = α ' è idipedete dal segmeto α, e che essa sussiste se, e soltato se, vale m' m l'idetità = tra i "corrispodeti" umeri razioali (corrispodeti cioè ' alle coppie ordiate di umeri aturali che appaioo el cotesto), ossia se, e soltato se, si verifica: m' = m'. Isomma, partedo adesso da u'azioe isiemistica (i effetti, u'azioe uitaria del semigruppo moltiplicativo prodotto

22 diretto (N, ) (N, )), ma di chiara iterpretazioe geometrica: (N N) Σ Σ m ((m,),α) α, e adado a idagare uado due coppie ordiate di umeri aturali (m,) e m m' (m',') agiscoo allo stesso modo su Σ (cioè, apputo, α = α per ogi ' segmeto libero α i Σ - o per uo soltato, è la stessa cosa!), si ritrova la stessa relazioe di euivaleza ρ descritta el paragrafo ). Propoiamo ua serie di verifiche istruttive (per u fissato α Σ): (5) (6) (7) m m' ' α = α α = α ' m m' m m' α = α m = m' m m α = α (per ogi umero aturale ), la cui aalogia co le (), (), () o sfuggirà di certo allo studete. Forita duue per uesta via u'iterpretazioe geometrica della relazioe di euivaleza ρ - ma o acora ua costruzioe geometrica di Q, poiché siamo sempre rimasti alla Q P(N N) - coviee ormai procedere co lo studio della teoria geerale della misura sul semigruppo Σ, itroducedo cioè: - ua relazioe d'euivaleza (diciamola acora ρ, co leggero abuso di otazioe, i uato è legata a ua proporzioalità, sebbee tra coppie ordiate di segmeti liberi, e o di umeri aturali) i Σ Σ; - l'isieme uoziete Σ Σ/ρ, che verrà ad essere l'isieme dei umeri reali positivi R ; uidi, dal puto di vista della "atura" di detti umeri, sussiste l'iclusioe isiemistica: R P(Σ Σ). Saremo costretti allora a ricooscere che tra i umeri reali ve e soo alcui che possoo dirsi reali razioali (corrispodeti al caso di coppie ordiate di segmeti tra loro commesurabili, tali cioè che uo sia u multiplo di u sottomultiplo dell'altro), il cui isieme sarà allora u vero sottoisieme di R, e sarà lecito idicare co Q, dal mometo che risulterà caoicamete isomorfo all'isieme Q precedetemete costruito per via aritmetica (l'isomorfismo i

23 oggetto sarà i geerale u isomorfismo di tutte le strutture aturali di cui i umeri razioali soo il supporto, algebriche e d'ordie). Risulterà isomma: Q R P(Σ Σ), e o più Q P(N N). La costruzioe geometrica dei umeri reali positivi (che comprede come caso particolare uella dei umeri razioali positivi!), e l'itroduzioe delle relative strutture aturali - compresa l'azioe (di gruppo moltiplicativo) R Σ Σ che è preludio alla ozioe di spazio vettoriale reale - esula dal modesto ambito di uesto corso itroduttivo di Algebra, ma el prossimo paragrafo se e darà comuue rapido u ceo. 6. Si è ormai compreso che ua costruzioe geometrica aturale dei umeri reali positivi (uelli co sego proverrao dalla cosiderazioe di vettori aziché di segmeti, compreso il vettore ullo) deve predere le mosse dal semigruppo Σ. La uita defiizioe del libro V degli Elemeti di Euclide ricoduce precisamete la ozioe di misura di u segmeto libero α rispetto a u segmeto libero β a ua relazioe di euivaleza ρ (proporzioalità) ell'isieme delle coppie ordiate Σ Σ, sicché tutta la costruzioe assomiglia formalmete a uella già illustrata el paragrafo. La misura di α rispetto a β è la stessa che la misura di γ rispetto a δ, i simboli: α : β = γ : δ (i parole: α sta a β come γ sta a δ) se, e soltato se, per ogi coppia ordiata (m,) di umeri aturali, risulta: (8) mα < β mγ < δ, mα > β mγ > δ, mα = β mγ = δ. La procedura logica che guida la precedete defiizioe è abbastaza aturale. Si itera α u certo umero arbitrario m di volte (m u elemeto di N), aalogamete β u certo umero di volte, fio a produrre mα = αα... m volte, e β = ββ... volte. Si fa altrettato co γ e δ rispettivamete, i modo da produrre cioè pure mγ e δ. Orbee, se risulta mα < β, deve essere ache mγ < δ; se risulta ivece mα > β, deve essere ache mγ < δ; ifie, se accade che sia mα = β, deve essere ache mγ = δ. Nell'ultimo caso α e β si dicoo tra loro commesurabili, e la misura di α rispetto a β, si può rappresetare semplicemete co il umero reale razioale m. Se α e β soo tra loro icommesurabili (l'ituizioe ordiaria dello spazio esige l'esisteza di tali coppie di segmeti, ossia di tali puti della retta; si pesi al celebre caso della diagoale e del lato di u uadrato), il relativo umero reale (esprimete cioè la misura di α rispetto a β) si dice irrazioale (vale a dire, reale o razioale).

24 4 [L'attezioe posta ei cofroti di coppie di segmeti ache tra loro icommesurabili può essere cosiderata la ovità all'origie dell'idagie greca sulla geometria ("razioalizzazioe della geometria", o "geometria di precisioe", da Pitagora ad Euclide attraverso Eudosso), del tutto lotaa dalle "applicazioi pratiche" che caratterizzao le matematiche elaborate da altre culture, almeo per uato fiora coosciuto.] Riportiamo per comodità dello studete (ma ache per apprezzare i vataggi offerti dal modero sitetico liguaggio simbolico) la famosa defiizioe ell'origiale euclideo, secodo la traduzioe che e viee forita i: The thirtee boos of Euclid's Elemets, Sir Thomas L. Heath, Dover Publicatios Ic., New Yor, 956, vol. II, p. 4: «Magitudes are said to be i the same ratio, the first to the secod ad the third to the fourth, whe, if ay euimultiples whatever be tae of the first ad third, ad ay euimultiples whatever of the secod ad fourth, the former euimultiples alie exceed, are alie eual to, or alie fall short of, the latter euimultiples respectively tae i correspodig order». α Essedo palese che ρ è effettivamete ua relazioe d'euivaleza, la misura µ(α,β) viee ad essere defiita come la ρ-classe di euivaleza [(α,β)], i simboli ache β α. Ossia, u umero reale (positivo) o è altro che ua frazioe, i cui umeratore e deomiatore soo segmeti liberi dello spazio ordiario. E' ovvio che si potrà porre = α α, = α α α, etc., ualuue sia α. Cioè, esiste u'immersioe aturale di N i R, o tale però da costrigerci a cosiderare i umeri aturali u caso particolare di umeri reali, azi. Aalogamete, si porrà α = α α, α α α = α α m disuguagliaza:, etc.. La relazioe mα < β si iterpreta co la β < (ossia il umero razioale è u'approssimazioe α β α iferiore del umero reale ), oppure co la disuguagliaza: > (ossia il α m β umero razioale m è u'approssimazioe superiore del umero reale β α ), etc.. m 7. Aggiugiamo al precedete paragrafo u'appedice storico-filosofica, ma o solo. Vale la pea ifatti aggiugere che per la fodametale relazioe di euivaleza i esame abbiamo utilizzato la descrizioe offerta da Euclide. Pur