DIETRO LE QUINTE DELLA MATEMATICA

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1 DIETRO LE QUINTE DELLA MATEMATICA TEKNOTRE Anno Accademico Lezione n. 6 ( ) PERUCCO Pieraldo

2 Dalla Logica alla Geometria Da regole empiriche a una rigorosa costruzione fondata sulla sistematica applicazione del metodo logico A I greci pensano che le proposizioni matematiche possono essere formulate in teoremi, fornendo una rigorosa dimostrazione logica Teorema : ogni triangolo isoscele ha anche uguali i due angoli opposti ai lati uguali. B C

3 Processi mentali 1) Disegno centinaia di triangoli isosceli, verifico che ciascuno di essi gode della proprietà X, quindi comincio a pensare che la proprietà vale per tutti i triangoli isosceli : Metodo INDUTTIVO 2) Faccio un tipo di ragionamento, puramente logico (cioè fondato esclusivamente sull uso del discorso, e indipendente da conferme sperimentali) attraverso il quale mi convinco che la proprietà X deve valere in generale, indipendentemente dal singolo triangolo preso in considerazione : Metodo DEDUTTIVO (o apodittico)

4 Idealismo e astrazione Riduzione della geometria, a una serie di ragionamenti apodittici, che non fanno più ricorso all esperienza. Non si fà riferimento a figure concrete, ma a figure ideali. Tendenza all astrazione. Idealismo di Platone: gli oggetti concreti sono soltanto delle realizzazioni più o meno imperfette delle idee. Il ragionamento apodittico, conferisce alle proposizioni, un grado di certezza ben maggiore di quello che si può ottenere attraverso l esperienza e il metodo induttivo.

5 Euclide - Gli Elementi Gli elementi : raccolta di tutte le nozioni che stanno alla base della costruzione apodittica della geometria Esempio perfetto di organizzazione di un corpo di dottrine scientifiche Modello fondamentale per il pensiero matematico e scientifico dei successivi venti secoli.

6 Problemi La certezza del ragionamento apodittico si può riferire soltanto ad entità ideali e a rapporti fra di esse considerati in astratto. Non può impegnare la realtà fisica, che fa ricorso all esperienza e all osservazione per trovare certezze In matematica NON esiste qualcosa come la verità assoluta Si può solo parlare di verità delle affermazioni matematiche nell ambito di un dato insieme di regole di ragionamento di un sistema logico

7 Presupposti Il processo dimostrativo è congegnato in modo che da alcuni fatti, supposti veri, si deducono altri fatti come conseguenza logica. Risalendo la catena dei teoremi si arriverà a qualche proprietà fondamentale che deve essere accettata senza dimostrazione Tutto l edificio della geometria di Euclide è fondato : - sulle nozioni di tre enti fondamentali (punto, retta e piano) definiti facendo ricorso alla intuizione fisica. - sulla accettazione di alcuni postulati introdotti senza dimostrazione

8 Architettura della Geometria Euclidea (in sintesi) Partendo dalla nozione di 3 soli enti fondamentali, e da un numero limitato di proprietà di questi enti, espresse dai postulati, si può, con processo apodittico, dedurre un gran numero di proprietà dello spazio, espresse da altrettanti teoremi.

9 Certezze e dubbi La perfezione del ragionamento matematico induce filosofi e teologi a credere nell esistenza di una verità assoluta sulla natura del mondo Il processo di riduzione della conoscenza del mondo esterno alla logica è corretto? Come possono gli enti ideali della geometria, concepiti e definiti in modo rigorosamente astratto, entrare in rapporto con la realtà fisica?

10 Critiche all impostazione euclidea 1) Insoddisfacente definizione degli enti fondamentali, ricondotta, alla fine, ad una forma di intuizione fisica, o comunque ad operazioni non esclusivamente logiche. 2) Insoddisfacente giustificazione dei postulati, ricondotta a un generico criterio di evidenza, e per cui in sostanza si rende ancora necessario un ricorso massiccio alla intuizione fisica. (su una retta esistono infiniti punti) 3) Uso, nelle deduzioni, del discorso comune, con tutte le sue imprecisioni, e con tutta la carica di esperienze e di intuizioni più o meno inconsciamente celate in esso; si introducono, spesso nascostamente, nuovi postulati non enunciati formalmente, con grave danno del rigore logico.

11 Critiche (seguito) il punto è ciò che non ha parti : in questo modo la definizione formale risulta del tutto inutile, mentre diventa essenziale il ricorso alla esperienza. Retta : la linea che giace ugualmente rispetto a tutti i suoi punti. Non accettata evidenza del V postulato (divenuto celebre come postulato delle parallele ). Se i concetti fondamentali della geometria non possono essere fondati senza un sostanziale ricorso all'esperienza, sembra impossibile ridurre tutta la geometria ad un fatto puramente logico

12 EVIDENZE l intuizione dello spazio e del tempo, sono «cablati» nel nostro cervello non è possibile usare l evidenza dei sensi, o dei pensieri, per trarre conclusioni assolutamente certe sulla natura e lo scopo definitivi di ogni «vera realtà» Kant Le leggi che regolano la natura può darsi che siano state imposte dalle nostre categorie di pensiero: esse però, non riflettono necessariamente la vera natura delle cose

13 La geometria dei Greci e sue conseguenze Si parte da verità assolute, evidenti di per sè. Scienza nella quale molte verità assolute possono essere ricondotte a poche verità, ancora assolute ed in più evidenti. Geometria come modello perfetto della ricerca della verità attraverso la razionalizzazione dell esperienza sensibile dello spazio prossimo (corrisponde all ideale greco di una verità eterna ed immortale) La Geometria si propone di trovare le relazioni logiche fra i concetti spaziali, ossia si propone di far vedere che, ammesse come «vere» certe relazioni spaziali, allora non è più possibile dubitare che ne siano false certe altre, che si chiamano conseguenze logiche delle prime.

14 Mettiamo nuove basi logiche Per il rigore della costruzione logica è indispensabile che i postulati, cioè le proposizioni iniziali che vengono accettate senza dimostrazione, siano esattamente elencati e formulati all inizio della trattazione, mentre ogni altra affermazione deve essere dedotta da essi mediante dimostrazione A partire dalla metà del secolo XVIII si sviluppò un profondo processo critico, che aveva per scopo di fornire sicure basi teoriche a tutta la struttura teorica della geometria euclidea : si giunge così ad una rielaborazione di tutto il pensiero matematico su nuove basi logiche

15 La Geometria Razionale Gli oggetti spaziali vengono sostituiti con concetti geometrici la cui proprietà essenziale è l'astrattezza. Sono oggetti geometrici : i punti, le rette, i piani, le linee... questi vengono detti oggetti (o concetti) primitivi Le proprietà degli oggetti primitivi vengono fissate con certe proposizioni dette assiomi. (esempio di assioma : «per due punti distinti passa una retta ed una sola»). Stabilito un certo numero di assiomi, non contraddittori e coerenti, da essi si deducono tutte le proprietà delle figure geometriche, non per mezzo di osservazioni, disegni e misurazioni concrete, ma per mezzo di ragionamenti.

16 Il Postulato delle parallele Data una retta r ed un punto P fuori di essa, esiste una ed una sola retta s passante per il punto dato e parallela alla retta data. P s 90 r

17 La geometria come modello per la Fisica Le conseguenze logiche degli assiomi sono conformi all esperienza sensibile. L uso corretto degli assiomi conduce a prevedere i risultati dell esperienza sensibile prima ancora di eseguirla. La Geometria può essere considerata il modello ideale della Fisica. La Geometria è il primo capitolo della Fisica. Si concepiscono nuove geometrie e come dimostrò Einstein, e come le osservazioni hanno in seguito confermato, la geometria alla base dell Universo è NON EUCLIDEA