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1 Esercizi Trigonometria Es. n. pag 7. Sviluppa con le formule di duplicazione e semplifica le seguenti espressioni: cos α + sen α + sen α Applichiamo le formule di duplicazione a cos α e sen α cos α sen α + senα cosα + sen α semplificando: cos α + sen α + senα cosα che risulta essere uguale a: (cosα + senα) Es. n. 5 pag 7. Con le informazioni date calcola quanto richiesto: tg α =, con < α <. Calcola sen α, cos α Sappiamo che: tg α = con < α < ora eleviamo ambo i membri al quadrato: tg α = essendo sen α tg α = sostituendo: cos α sen α = cos α aggiungiamo ad ambo i membri: sen α cos α + sen α + = + mcm: = dalla relazione fondamentale della trigonometria: cos α cos α sen α + cos α = per α per cui sostituendo avremo: = cos α cos α = cos α = = = = Inoltre poiché in < α < il nostro coseno è negativo avremo: cos α = cosα = Il seno è dato dalla relazione: sen α = cos α = = = 0 0 = 0 Poiché nell intervallo < α < il nostro seno è positivo avremo: 0 0 = = 0 0 sen α = Pagina di 7

2 A questo punto applicando le formule di duplicazione dobbiamo calcolare: 0 sen α = senα cos α = = = = cosα = sen α = = 0 50 = = = = 5 Es. n. 80 pag 7. Calcola il valore delle seguenti espressioni: sen arctg Usando la calcolatrice troviamo l angolo la cui tg è ¾=0,75 che corrisponde a circa,887 Moltiplicato per avremo 7,775 calcoliamo ora il sen(7,775 )=0, che risulta essere appunto /5 Es. n. 7 pag 75. Traccia il grafico delle seguenti funzioni dopo aver trasformato le loro equazioni:???? Es. n. 0 pag 75. Mediante le formule di duplicazione, trasforma le seguenti espressioni in espressioni lineari del seno e del coseno: cos sen cos MCM= cos sen cos ( cos sen cos ) (*) Sappiamo dalle formule di duplicazione che sen = sen cos, ed inoltre dalla formula cos = cos avremo che cos = cos + per cui sostituendo nella (*): ( cos + sen) ( cos sen) Pagina di 7

3 Es. n. 7 pag 7. Fra le seguenti espressioni, una sola non è equivalente a = + k. Quale? A. = + k B. = + k C. = k = + k D. = k = + k E. = k Es. n. 7 pag 7. ASSOCIA a ciascuna espressione della prima riga un espressione della seconda riga che descriva gli stessi angoli. ) = k ) = + k ) = + k a) = k b) = + k c) = + k k= 0 5 k k 5 k k 0 + k k 5 7 Es. n. 7 pag 7. Rappresenta nella circonferenza goniometrica le seguenti soluzioni di equazioni goniometriche. a ) = + k b ) + k Pagina di 7

4 Es. n. 78 pag 7. In ogni figura sono indicate le soluzioni di un equazione goniometrica. Scrivi il risultato nella forma più sintetica possibile, indicando anche la periodicità. a ) = + k a ) 5 = + k + k c ) = + k Risolvi le seguenti equazioni in R. Es. n. 87 pag 75. sen + = sen + sen sen = sen = sen = impossibile perché deve essere sen Es. n. 88 pag 75. sen = 0 sen = sen = Dal risultato precedente abbiamo che gli angoli per cui il seno è = sono 0 e 50 quindi tutti gli angoli che hanno il seno = saranno k + e 5 + k noi però abbiamo il sen = quindi per calcolare basta dividere tutto per ottenendo k = + k e + k = + k = + k V + k 8 8 Pagina di 7

5 Es. n. 8 pag 75. sen + = 0 sen = Dal risultato precedente abbiamo che gli angoli per cui il seno è = sono 0 e 00 (oppure-0 ) quindi tutti gli angoli che hanno il seno = saranno + k e + k noi però abbiamo il sen = quindi per calcolare basta moltiplicare tutto per ottenendo : + k = + k e + k = + k Quindi il risultato finale sarà: = + k V + k Es. n. 0 pag 75. sen = 0 sen Per risolvere l equazione poniamo = = y otteniamo l equazione goniometrica ausiliaria in y, che risolviamo nel modo consueto: seny =. Le soluzioni sono y = k + e y 5 = + k sostituiamo questi valori nell equazione = y 5 ottenendo: = + k e = + k da cui risolvendo: + = + + k = + k = + k = + + k = + k = + k Soluzione: = k + V 7 = + k Es. n. pag 75. sen = 0 Per risolvere l equazione poniamo = y otteniamo l equazione goniometrica ausiliaria in y, che Pagina 5 di 7

6 risolviamo nel modo consueto: seny = 0. Le soluzioni sono y = 0 + k y = k sostituiamo questo valore alla y nell equazione = y ottenendo: = k da cui risolvendo: = k che è lo stesso che scrivere = + k con k numero relativo cioè per k Ζ. Es. n. pag 75. sen = 0 sen = L angolo il cui seno è uguale ad risulta essere: = k + Es. n. pag 77. cos = L angolo il cui coseno è uguale ad risulta essere: = 0 + k = k Es. n. pag cos = cos = 8 L angolo il cui coseno è uguale ad 8 risulta essere: = ± arccos + k 8 Es. n. pag 77. cos + = 0 cos = L angolo il cui coseno è uguale a 5 = ± + k Es. n. pag 77. risultano essere 50 e (o anche -50 ) quindi avremo: cos = cos + 8 cos cos = 8 cos = cos = = impossibile. Es. n. 5 pag 77. cos = 0 cos = Dal risultato precedente abbiamo che l angolo per cui il coseno è = risulta essere 0 + k = k noi però abbiamo il cos = quindi per calcolare basta moltiplicare tutto per ottenendo : = k = 8k Pagina di 7

7 Es. n. pag 77. cos = 0 Nota importante: essendo il coseno una funzione pari sappiamo che cosα = cos( α ) e quindi possiamo riscrivere la nostra equazione come: cos = 0 Per risolvere l equazione poniamo = y otteniamo l equazione goniometrica ausiliaria in y, che risolviamo nel modo consueto: cos y = 0. Le soluzioni sono y = + k sostituiamo questo valore alla y nell equazione = y ottenendo: = + k da cui risolvendo: + = + + k = = + k = + k 8 8 Es. n. pag 78. tg = 0 tg = L angolo la cui tangente è uguale ad risulta essere: = + k Es. n. 7 pag 78. tg = L angolo la cui tangente è uguale a risulta essere: = arctg + k Pagina 7 di 7

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