Verifiche 4 C a. s. 2008/2009 Risolvi le disequazioni

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1 Verifiche 4 C a. s. 008/009 6 log Risolvi le disequazioni 1) 6 7 ; ) ; 3) 65 4) 5) log 1log log 4 7log 5 log log. 1 log. Rappresentare le seguenti funzioni dopo aver determinato eventuali punti d intersezione con gli assi cartesiani. 9) y = ) y = 4 11) y = ) Per ciascuna delle funzioni che seguono decidi se può essere rappresentata dal grafico sottostante motivan do la risposta che hai dato a) b) c) d) y x 8) In figura è rappresentato il grafico della funzione di equazione y = - + 3, rappresenta il grafico della funzione y = 3 e determina i suoi punti d intersezione con gli assi cartesiani

2 y x - 13) Per ciascuna delle espressioni che seguono, in cui a è un numero reale, A) logln1 B) ln( log1 C) ln(log1 D) logln1 decidi se può essere calcolata: per ogni valore di a / solo per a positivo / solo per a negativo / per nessun valore di a / per tutti i valori di a tranne uno. Motiva ciascuna delle risposte che hai dato. 14) Calcola quanto vale: Log 31 log31. Per quali altri valori delle basi dei logaritmi la somma ha valore uguale a quello che hai trovato? Motiva la risposta. 15) L uguaglianza log log affermazione è vera o falsa? Giustifica la risposta che hai dato. Trigonometria è verificata per ogni b > 0 e a > 0 e diverso da 1 Questa 1) Data l espressione: α α 3 α π α α a) Riporta tutti i termini a funzioni di α b) Esprimi l espression e ottenuta in fu nzione solo di cosα ) Data l espressione: α α π α 5π πα a) Riporta tutti i termini a funzioni di α b) Esprimi l espressione ottenuta solo in funzioone di senα 3) Calcola il valore dell espressione: π π π π. Quali angoli, sostituiti a, fanno assumere all espressione lo stesso valore? Giustifica la risposta che hai dato.

3 4) Date le funzioni di equazione y = a sen(x + α), ricava per quali valori di a e α si ottiene una funzione che ha un massimo in π;. Rappresenta [ 0, π] la funzione ottenuta. 5) Date le funzioni di equazione y = cos(x + α), ricava per quale valore di α la funzione vale zero se. 6) In figura sono rappresentati i grafici delle funzioni di equazione a) b) 1 Associa a ogni funzione il suo grafico motivandolo. Per ciascuna funzione scrivi le coordinate del massimo, del minimo, del punto d intersezione con l asse delle ordinate. Calcola il valore assunto da ciascuna funzione per x = π e per x = - π 3 y 1 0 x.5π π 1.5π π 0.5π 0 0.5π π 1.5π π.5π ) Rappresenta in [ - π, π] la funzione di equazione y = - + cos π. A partire dal grafico ottenuto rappresenta la funzione di equazione y = π. 8) Rappresenta in, la funzione di equazione y = tg(x + 1). 9) Rappresentare in [ - π, π] la funzione di equazione y = senxcosx + cos x +. 10) Data una circonferenza di raggio r, sia AB una corda che ha misura uguale al raggio; tracciare la corda CB perpendicolare in B ad AB. Indicato con P un generico punto dell arco AC, a cui non appartiene B, esprimere la somma PC PB 3. AP Rappresentare il grafico della funzione ottenuta in [0, π] e mettere in evidenza il tratto di grafico relativo al problema. 11) Data una semicirconferenza di diametro AB = r, tracciare la corda AC = r e la retta t tangente in C alla semicirconferenza, indicare con D il punto in cui t interseca il prolungamento del diametro. Indicato con P un punto dell arco BC, determinare per quali posizioni di P la somma dei quadrati dei lati del quadrilatero DBPC vale 14r. 1) Data la retta r di equazione x y 4 = 0 a) ricavare le equazioni delle rette che passano per il punto A(4; 0) e formano un angolo di 45 con la retta r b) ricavare l equazione della bisettrice dell angolo che la retta r forma con la direzione positiva dell asse x 13) Indicare con r, s due semirette di origine A tra loro perpendicolari e tracciare internamente all angolo la semiretta t di origine A che forma con r l angolo α = arcos. Indicato con B il punto di r tale che AB 5, proiettare B su t e chiamare C la

4 proiezione, quindi unire C con il punto D si s per il quale è AD. Calcolare BC CD. 14) = 0 x 15) 6sen + 3cos x 5 senx cosx 0 16) 0 17) Geometria dello spazio 18) Una piramide retta a base quadrata ha altezza 4a e le facce laterali formano un angolo α = artg con il piano di base. a) Calcolare la superficie della piramide. b) Determinare a quale distanza dal vertice della piramide si deve tracciare un piano parallelo al piano di base per ottenere una piramide che ha superficie laterale pari al 90% della superficie laterale della piramide assegnata. 19) Una piramide ha per base un triangolo isoscele ABC di lati AB AC e angolo al vertice α = arcos. Sapendo che l altezza AV misura 3a, calcolare la superficie della piramide e l angolo che la faccia VBC forma con il piano di base. 0) In un piano α sono dati una retta r e un punto P che ha distanza 4a da r, indicare con Q la proiezione di P su r. Tracciare la retta s perpendicolare al piano α in P e indicare con A un punto di s che ha distanza 3a da α. Determinare a quale distanza da Q si deve prendere un punto R di r in modo che la retta AR formi con α un angolo β = arcsen con il piano α. 1) Sono date due rette sghembe r, s ; per ciascuna delle affermazioni che seguono decidere se è vera o falsa e motivare la risposta a) una retta parallela a r non può essere parallela a s b) una retta parallela a r può essere incidente a s c) una retta che è perpendicolare a r è perpendicolare anche a s d) una retta perpendicolare a r può essere perpendicolare a s Analisi ) Verificare che lim log 4 = 3) Verificare che lim = 1

5 4) Dato un quadrato ABCD di lato 1 calcolare la sua area. Indicare con A B C D i punti medi dei lati e calcolare l area del quadrato ottenuto. Indicare con A B C D i punti dei lati del quadrato A B C D e calcolare l area del nuovo quadrato. Continuando a ripetere la successione si ottiene una successione di aree a n. Calcolare lim e verificare, con la definizione, il limite ottenuto. 5) È assegnato un triangolo ABC rettangolo in A, con l angolo in B di 60 e il cateto AB di misura 1. Come in figura proietta A su BC nel punto A 1, quindi proietta A 1 su AB in A, proietta A su BC in A 3, continua la costruzione con la stessa dinamica sino ad ottenere il punto A 6 su AB. Calcola la somma delle aree dei triangoli colorati. Se la costruzione prosegue all infinito e si continuano a colorare i triangoli che hanno un cateto su AB e l altro cateto parallelo ad AC, qual è la somma delle aree degli infiniti triangoli? C A B

6 6) Una pulce compie un primo salto di lunghezza a, il secondo salto è 3 1 del primo, il terzo salto è 3 1 del secondo; la pulce continua a saltare in questo modo. a. riesce a oltrepassare un punto posto a distanza 1. a dal punto di partenza? Perché? b. riesce a oltrepassare un punto posto a distanza 1.8 a dal punto di partenza? Perché? Calc ola i seguenti limiti 7 > 0 8 a 9 a 30) sapendo n = calcola Per ciascuna delle successioni che seguono decidi se è convergente, divergente o oscillante. 31) a n = 3) a n = cosnπ +n 33) a n = cosnπ n 34) a n =