Precorso di Matematica Maria Margherita Obertino Università degli Studi di Torino Di.S.A.F.A.

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1 Precorso di Matematica Maria Margherita Obertino Università degli Studi di Torino Di.S.A.F.A. Scomposizione dei polinomi in fattori primi ( 2.4 del testo) Equazioni di primo grado ( 3.1 del testo) Equazioni di secondo grado ( 3.2 del testo) MATEMATICA CdS Scienze e Tecnologie Agrarie e Scienze Forestali ed Ambientali

2 Prodotti notevoli: Scomposizione in fattori primi: Esercizi ( 3a 2b) 4 "R. # 81a 4 216a 3 b + 216a 2 b 2 96ab 3 +16b 4 $ % ( 7xy 2x) ( 7xy 2x) "R. # 4x 2 49x 2 y 2 $ % ( 1+ x) 2 (1 x) 2 + 4x [ R. 8x] 5x 3 y 10x 2 y 2 + 5x 2 y " # R. 5x 2 y(x 2y +1) $ % 2ax + 2bx + 3a + 3b + a 2 + ab R. (a + b)(2x + 3+ a) [ ] [ ] [ ] x 2 + 2x 3 [ R. (x + 3)(x 1) ] a(x + y)+ ab(x + y) 2 R. a(x + y)(1+ bx + by) (2 + a b)(2 a + b)+ (a b) 2 R. 4 a 3 x 3 a 2 + ab ax bx = (b + x)(b x) ab + ax + a =

3 Scomposizione dei binomi del tipo A n - B n A n - B n è divisibile per 1. A-B? 2. A+B? Consideriamo A n -B n come un polinomio nella variabile A à P(A) Per la regola di Ruffini se P(A) si annulla in A=B, il polinomio è divisibile per il binomio (A-B) P(A) si annulla in A= -B, il polinomio è divisibile per il binomio (A+B) P(A) = A n B n P(A = B) = B n B n = 0 A n - B n è sempre divisibile per A-B P(A) = A n B n P(A = B) = ( B) n B n = 0 per n pari P(A = B) = ( B) n B n 0 per n dispari A n - B n è divisibile per A+B se n è pari NON divisibile per A+B se n è dispari Si scompone P(A) eseguendo la divisione di P(A) per i binomi divisori

4 Scomposizione dei binomi del tipo A n + B n A n + B n è divisibile per 1. A-B? 2. A+B? Consideriamo A n -B n come un polinomio nella variabile A à P(A) Per la regola di Ruffini se P(A) si annulla in A=B, il polinomio è divisibile per il binomio (A-B) P(A) si annulla in A= -B, il polinomio è divisibile per il binomio (A+B) P(A) = A n + B n P(A = B) = B n + B n 0 A n + B n NON è divisibile per A-B P(A) = A n + B n P(A = B) = ( B) n + B n = 0 per n dispari P(A = B) = ( B) n + B n 0 per n pari A n + B n è divisibile per A+B se n è dispari NON divisibile per A+B se n è pari Si scompone P(A) eseguendo la divisione di P(A) per i binomi divisori

5 Scomposizione mediante la regola di Ruffini Condizione necessaria ma NON sufficiente affinchè un polinomio P(x) = a 0 x n + a 1 x n a n-1 x + a n sia divisibile per (x-b) o (x+b) è che b sia divisore del termine noto a n Condizione necessaria ma NON sufficiente: P(x) divisibile per (x±b) à a n divisibile per b Vero a n divisibile per b à P(x) divisibile per (x±b) Può non essere vero Per scomporre un polinomio: si cercano i divisori del termine noto a n à b 1, b 2,.. si determina per quali b i il polinomio P(x) si annulla: P(b 1 )=0? Se si il polinomio è divisibile per (x-b 1 ) P(b 2 )=0? Se si il polinomio è divisibile per (x-b 2 ) si divide il polinomio per i divisori (x-b i ) individuati Es. scomporre P(x) = x 3 + 3x 2 4 Metodo di scomposizione

6 Tipologie di equazioni Equazioni Algebriche Trascendenti Razionali Irrazionali x +1 +1= 2x Intere Fratte Intere Fratte ln(x + 3) = 5 sen(x) 4cos(x) = tg(2x) a x+8 = 2

7 Equazioni algebriche Una equazione algebrica è un uguaglianza tra espressioni algebriche A(x,y, z) = B(x,y, z) soddisfatta solo per alcuni valori delle lettere che vi compaiono (variabili). Tali valori costituiscono l insieme delle soluzioni S dell equazione S = {(x 0, y 0, z 0 ) : A(x 0, y 0, z 0 ) = B(x 0, y 0, z 0 )} Equazione determinata à numero finito di soluzioni 3x+9=0 Equazione impossibile à nessuna soluzione, S=0 x 2 +5=0 Equazione indeterminata à infinite soluzioni x+y=3

8 Primo principio di equivalenza Equazioni equivalenti: equazioni per cui le soluzioni dell una sono tutte e sole le soluzioni dell altra Primo principio di equivalenza: aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri di una equazione uno stesso numero o una stessa espressione contenente l'incognita, otteniamo una equazione equivalente a quella data. Es. 2x+3 =4 à 2x+3-3=4-3 à 2x=4-3 à 2x=1 Regola del trasporto: possiamo trasportare un termine di un'equazione da un membro all'altro cambiandogli il segno. Es. 2x+4 =4 à 2x=4-4 à 2x = 0 Ossia: 2x+4 =4 à 2x = 0 Regola di cancellazione: Se uno stesso termine compare in entrambi i membri di un'equazione esso può essere soppresso.

9 Secondo principio di equivalenza Secondo principio di equivalenza: moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una equazione per uno stesso numero diverso da zero o per una stessa espressione che non possa annullarsi, si ottiene una equazione equivalente a quella data. 2x Es. 2x =1 à à 2 = 1 2 x = 1 2 5x + 3 = 17 1 ( 5x + 3) = 1 ( 17) 5x 3 =17 Regola del cambiamento di segno: cambiando i segni a tutti i termini di un'equazione si ottiene una equazione equivalente a quella data. 8x + 2 = 4 2 (4x +1) = 2 2 4x +1= 2 Se tutti i termini di un'equazione hanno un fattore comune, dividendo tutti i termini per tale fattore si ottiene una equazione equivalente a quella data.

10 Equazioni di primo grado in una variabile Equazioni in cui è presente una sola variabile incognita la quale compare con grado massimo 1. Equazione di primo grado ridotta a forma normale ax + b = 0 x variabile incognita b termine noto Risolvere l equazione significa trovare i valori di x per cui l uguaglianza è soddisfatta. Si utilizzano i principi di equivalenza 1. Aggiungendo o sottraendo una stessa quantità ad entrambi i membri dell uguaglianza il risultato non cambia à porto il termine noto a secondo membro cambiandolo di segno ax=-b 2. Moltiplicando o dividendo per una stessa quantità diversa da zero entrambi i membri dell uguaglianza il risultato non cambia à divido entrambi i membri dell equazione per il coefficiente di x (a) x = b/a

11 In generale. Ridurre in forma normale un equazione A(x) = B(x) con A e B due espressioni algebriche nella variabile x, significa: trasportare l espressione B(x) a primo membro eseguire i calcoli e le riduzioni dei termini simili arrivando ad un espressione del tipo P(x) = 0 à equazione in forma normale Si dice grado di un equazione il massimo esponente con cui l incognita compare nell equazione ridotta in forma normale

12 Equazioni di secondo grado La forma normale di un equazione di 2 grado completa è: a x 2 + b x + c = 0 con a, b, c numeri reali e a 0 FORMULA RISOLUTIVA: Δ > 0 Δ = 0 x = b ± b2 4ac 2a Δ=b 2-4ac discriminante dell equazione Δ < 0 due soluzioni reali e distinte due soluzioni reali coincidenti nessuna soluzione reale Casi particolari: b=0 à equazioni PURE: ax 2 +c=0 à x = ± (c / a) c=0 à equazioni SPURIE: ax 2 +bx=0 à x=0; x=-b/a

13 3x x x 2 7 = 3x (x +1) 2 + (x + 2) 2 = 41 (x 3) 2 = 9 5x Esercizi Determinare k tale che l equazione x 2 + (k +1)x +1= 0 = 4 + 3x x 2 ammetta due soluzioni coincidenti