L X sistema generico di carichi p X (x,y), p Y (x,y) e p Z (x,y) agenti sull elemento, il problema

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1 Lezione n. 1 Le lastre piane inflesse L equazione generale di Germain-Lagrange In aggiunta allo studio di strutture con prevalente sviluppo monodimensionale (travi, pilastri, strutture rappresentabili con aste in genere), in cui si ha che una dimensione (la lunghezza) risulta preponderante rispetto alle altre due (le dimensioni trasversali della sezione), occorre spesso analizzare il comportamento di elementi in cui si abbiano due dimensioni prevalenti sulla terza. È questo il caso di alcune strutture piane: in generale, si definiscono lastre elementi piani in cui lo spessore assuma un valore trascurabile rispetto alle altre due dimensioni in pianta. Considerando quindi un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, in cui gli assi coordinati e giacciano nel piano della lastra e sia ad esso ortogonale (con la consueta regola di definire complessivamente una terna destrorsa), si prenderanno in esame solidi in cui L,L L avendo indicato con L, L e L le dimensioni caratteristiche di riferimento lungo i tre assi. La dimensione lungo, indicata come L spessore e generalmente ritenuta costante lungo tutto lo sviluppo della lastra, verrà indicata con la lettera s anziché L. È possibile dimostrare che, introdotto un L sistema generico di carichi p (x,y), p (x,y) e p (x,y) agenti sull elemento, il problema elastico può essere diviso in due parti, ottenendo due soluzioni distinte, tra loro energeticamente ortogonali: in una prima parte del problema si possono considerare agenti soltanto i carichi lungo la giacitura dell elemento (quindi p e p ), ottenendo un problema piano la cui soluzione definisce gli sforzi cosiddetti di membrana ; una seconda L (s) analisi riguarda l azione dei carichi orto- gonali alla giacitura del solido (p ) e conduce alla definizione delle caratteristiche di sollecitazione nella lastra inflessa (o piastra). In questa parte, si analizzerà il comportamento di una lastra su cui agiscano soltanto carichi ortogonali al piano; per semplicità di scrittura, si denoteranno tali carichi con p(x,y) anziché p (x,y). Ipotesi generali I carichi lungo z danno luogo localmente ad una distribuzione di tensioni ortogonali al piano medio della lastra. Ad esempio, ipotizzando che il carico sia applicato sulla faccia superiore dell elemento, si ha una tensione che varierà dal valore p per z=-s/ al valore 0 per z=s/. Ma se la lastra è abbastanza sottile, p non può avere un valore elevato, e quindi la risulterà piccola rispetto alle altre tensioni. Di conseguenza, si può supporre che, ad esclusione di zone in cui agiscano cari- Gianni Bartoli/Claudio Mannini/Carlo Guastini Appunti di Tecnica delle Costruzioni () Revisione 8/05/1

2 Lezione n. 1 pag. I. chi assimilabili a carichi concentrati, =0 sia identicamente nulla e si instauri quello che viene spesso definito stato piano di tensione 1. Tale ipotesi è paragonabile a quella che viene effettuata nello studio delle travi comunque caricate utilizzando la teoria del De S. Venant (la cosiddetta teoria tecnica delle travi), in cui si trascurano comunque le tensioni normali nelle giaciture che contengono l asse della trave, ritenendo che le fibre longitudinali possano trasferire mutuamente soltanto tensioni tangenziali. Di conseguenza, nello studio delle lastre inflesse (anche ad asse curvo, come verrà evidenziato successivamente nel caso dei serbatoi) il legame tra le tensioni normali e le corrispondenti deformazioni (nel caso di materiale elastico lineare, omogeneo e isotropo) è espressa dalle equazioni E x x y 1 E y y x 1 z 0 dove e sono le due direzioni che identificano il piano della lastra, e è la direzione normale uscente dal piano, Come si può osservare, le relazioni scritte sono le stesse valide nel caso generale qualora si sostituisca il termine E (definito come E/(1- )) ad E. Si può facilmente verificare tale affermazione utilizzando la forma completa delle equazioni di legame e imponendo z =0: x G x x y z y G y x y z z G z x y z 0 Dalla terza equazione, con semplici passaggi, si ottiene z x y G che, sostituita nella prima, conduce a x G x x y G G x y x G Introducendo le due costanti E e al posto di G e, e ricordando le espressioni E, G, G 1 si ha 1 1 G G G e quindi 1 G G x G x x y x y x y da cui il risultato x y 1 In realtà lo stato tensionale che nasce in una lastra inflessa non è uno stato piano, stante la presenza delle tensioni tangenziali σ e σ ; limitando l attenzione alle sole componenti nel piano (x, y), le equazioni costitutive che si ottengono sono tuttavia le stesse di una lastra caricata nel proprio piano in stato piano di tensione. Gianni Bartoli/Claudio Mannini/Carlo Guastini Appunti di Tecnica delle Costruzioni () Revisione 8/05/1

3 Lezione n. 1 pag. I. x E E x y x y Gli stessi passaggi conducono all espressione vista per y. Le espressioni che invece legano le deformazioni alle tensioni sono quelle già note in cui si ponga z =0: 1 x x y E 1 y y x 1 E z x y E mentre per gli elementi extra-diagonali continua a valere la consueta equazione di legame ij G ij i j Equazioni di congruenza e di legame Lo studio della lastra inflessa viene affrontato con riferimento al piano medio, ipotizzando, come unica componente di spostamento quella lungo, ossia introducendo un campo di spostamenti w(x,y). Il campo scalare w descrive una superficie che caratterizza la configurazione della deformata del piano medio della piastra; in analogia al corrispondente campo di spostamenti v(z) che viene definito per le travi inflesse, tale superficie prende il nome di superficie elastica. Ancora in analogia allo studio della deformazione della trave inflessa, si introduce l ipotesi di conservazione della normale rettilinea, ossia si ipotizza che, una volta noto lo spostamento del piano medio della lastra, sia possibile risalire allo spostamento dei punti lungo lo spessore dell elemento, ipotizzando che ogni segmento inizialmente parallelo all asse indeformato rimanga rettilineo e normale alla configurazione deformata del piano medio; in altre parole, i piani contenenti l asse si mantengono localmente piani e ortogonali alla superficie deformata della lastra. L analogia con lo studio delle travi inflesse è evidente: nel caso monodimensionale si considera infatti di poter trascurare la deformabilità per taglio (che produrrebbe ingobbamenti e scorrimenti, conducendo ad una configurazione deformata che comporterebbe la perdita della planarità della sezione e dell ortogonalità di quest ultima rispetto alla configurazione deformata della linea d asse), ipotizzando la cosiddetta regola della conservazione delle sezioni piane. Considerando due punti del piano medio della piastra, posti a distanza dx tra loro (quindi analizzando il comportamento nel piano -), si ha che una variazione positiva di spostamento w produce una rotazione (il cui segno è negativo rispetto al verso dell asse, uscente nel disegno) pari a w(x) dw dx w(x) dw dx w x La rotazione che viene indicata con sarebbe, in termini vettoriali, una rotazione in direzione dell asse. La scelta di utilizzare la denominazione precedente nasce, conformemente a tutta la trattazione delle lastre inflesse, dall utilizzare un sistema di pedici che individuano la striscia alla quale si riferiscono (nel caso in esame, una striscia disposta lungo la direzione dell asse ), piuttosto che la grandezza vettoriale vera e propria. rappresenta quindi la rotazione letta lungo strisce parallele all asse o, equivalentemente, riferite a sezioni della lastra che hanno come normale la direzione dell asse. Gianni Bartoli/Claudio Mannini/Carlo Guastini Appunti di Tecnica delle Costruzioni () Revisione 8/05/1

4 Lezione n. 1 pag. I. P Pʹ s u w Pʹ φ φ Di conseguenza, un punto sulla verticale di P subisce uno spostamento orizzontale w ux, y z tg z z x Analogamente, studiando lo stesso problema in direzione, v x, y z tg z w z y Al campo di spostamenti individuato corrisponde un campo di deformazioni definito nel piano della lastra dalle tre relazioni u w w z z x x x x v w w z z y y y y 1 u v 1 w w w z z z y x y x x y x y in cui si è fatto uso del Teorema di Schwarz, stante la necessaria derivabilità del campo scalare w(x,y) w w x y y x Di conseguenza, utilizzando il legame elastico definito precedentemente si ottiene E E w w z 1 1 x y E E w w z 1 1 y x w E w E w G z G z z (1 ) x y 1 x y 1 x y Dalle equazioni precedenti si nota che: Gianni Bartoli/Claudio Mannini/Carlo Guastini Appunti di Tecnica delle Costruzioni () Revisione 8/05/1

5 Lezione n. 1 pag. I.5 le tensioni hanno andamento lineare lungo lo spessore (in quanto le derivate seconde di w non dipendono da z), con punto di nullo in corrispondenza del piano medio (distribuzione antimetrica); la distribuzione delle tensioni dà luogo ad una risultante nulla e ad un momento risultante diverso da zero se integrata lungo lo spessore della lastra. σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ Si possono quindi introdurre le caratteristiche di sollecitazione, che nel caso dello studio delle lastre vengono riferite all unità di lunghezza, ossia ai valori che si hanno su una sezione della lastra di altezza s e base unitaria. È da ricordare che, essendo le caratteristiche di sollecitazione riferite all unità di lunghezza, queste si misurano in [F/L] = [FL -1 ] per le sollecitazioni taglianti [FL/L] = [F] per le sollecitazioni flessionali e torcenti Occorre inoltre osservare che, anche se un momento per unità di lunghezza è rappresentato (dimensionalmente) da una forza, si preferisce in genere adottare la scrittura in termini di FL/L, proprio per evidenziare il fatto che di momento si tratta. In altre parole, si useranno spesso unità di misura del tipo Nm/m (Newton metro per metro) o kgcm/cm (kilocentimetri per centimetro), in modo da sottolineare la grandezza momento per unità di lunghezza. Per evidenziare il fatto che queste grandezze sono riferite ad una striscia di larghezza unitaria, si utilizzano di solito le lettere minuscole (di solito [n, m, q]) in luogo delle lettere maiuscole che identificano le corrispondenti caratteristiche di sollecitazione nelle travi (ossia [N, M, T]). s/ s/ E w w E w w s m z dz z dz 1 s/ 1 x y s/ 1 x y s/ s/ E w w E w w s m z dz z dz 1 s/ 1 y x s/ 1 y x s/ s/ E w E w s E w s m m z dz z dz (1 ) 1 x y 1 x y 1 x y 1 s/ s/ 1 Dall uguaglianza delle tensioni tangenziali e discende l uguaglianza delle due caratteristiche di sollecitazione m e m. La quantità s /1 rappresenta il momento di inerzia rispetto all asse baricentrico di una sezione di base 1 ed altezza s, ed è quindi analoga al momento di inerzia che compare nella definizione del legame momento-curvatura di una trave inflessa. Per semplicità di scrittura, introducendo il parametro di rigidezza flessionale B E s B 1 1 Gianni Bartoli/Claudio Mannini/Carlo Guastini Appunti di Tecnica delle Costruzioni () Revisione 8/05/1

6 Lezione n. 1 pag. I.6 analogo al parametro EJ che compare nell equazione della linea elastica, si possono riscrivere le equazioni precedenti nella forma compatta m m m w w B x y w w B y x w B 1 x y Giova ancora evidenziare l analogia con le analoghe espressioni (equazioni indefinite di congruenza) valide nel caso dello studio delle travi inflesse, dove sussiste la relazione d v M EJ dz La presenza di un comportamento bidimensionale anziché monodimensionale comporta l insorgere dei momenti torcenti m e la dipendenza dalla curvatura in direzione ortogonale a quella considerata, funzione anche del coefficiente di Poisson. Il legame tra tensioni e caratteristiche di sollecitazione assume allora la forma: E w w m z z 1 x y s 1 E w w m z z 1 y x s 1 E w m z 1 z 1 x y s 1 analogamente allo studio del problema della trave inflessa, per la quale vale l equazione di Navier M J y La presenza di momenti flettenti in generale comporta, per equilibrio, l insorgere di caratteristiche di sollecitazione taglianti. Sempre in analogia alle travi inflesse, si introducono delle sollecitazioni di taglio q e q (anch esse definite per unità di lunghezza della lastra), considerate positive se producono un differenziale positivo del momento flettente corrispondente. Si avrà quindi q s/ dz s/ q s/ dz s/ m q m +dm q Gianni Bartoli/Claudio Mannini/Carlo Guastini Appunti di Tecnica delle Costruzioni () Revisione 8/05/1

7 Lezione n. 1 pag. I.7 Convenzioni adottate Nelle relazioni scritte in precedenza, è da evidenziare l ovvio collegamento biunivoco tra tensioni e caratteristiche di sollecitazione nello studio delle lastre inflesse; in un qualsiasi punto della lastra, alle tensioni normali e tangenziali corrispondono momenti flettenti e torcenti collegati da un legame lineare rispetto alla distanza dal piano medio. Da questo collegamento diretto discendono le convenzioni adottate nella definizione e nella caratterizzazione del segno delle varie grandezze introdotte. Da un punto di vista delle definizioni, come già accennato nel caso delle rotazioni (cfr. nota ), i pedici identificano le tensioni dalle quali le grandezze derivano; ad esempio, il momento flettente m assume il pedice perché è quello prodotto dalle tensioni normali σ, sebbene, da un punto di vista vettoriale, il suo asse coincida con l asse. Utilizzando un altro punto di vista, si può dire che il momento flettente m inflette le fibre disposte in direzione, ossia agisce su sezioni della lastra la cui normale ha la stessa direzione dell asse. Considerazioni analoghe valgono per i momenti m e m e per i tagli q e q (quindi, ad esempio, alle variazioni del momento flettente m lungo si accompagna generalmente la presenza di un taglio q, anch esso con il pedice perché entrambi si riferiscono alle stesse fibre, ossia a quelle disposte nella direzione,). La differenza nelle denominazioni adottate usualmente nello studio delle travi è evidente; nel caso di quest ultime, infatti, i momenti assumono un pedice riferito alla direzione dell asse momento, e non alla direzione delle tensioni che essi provocano (ad esempio, nell usuale riferimento che vede l asse della trave disposto lungo ed i carichi in direzione, un momento M è tale perché, anche se produce (o deriva da) tensioni σ, il suo asse momento ha la direzione dell asse ). Le convenzioni sui segni positivi delle caratteristiche di sollecitazione sono anch esse definite sulla stessa falsariga, ossia in linea con le convenzioni adottate nella definizione delle tensioni. Su sezioni di normale concorde con gli assi coordinati, si considereranno positive le caratteristiche di sollecitazione indotte da tensioni positive nel semispazio positivo della lastra (ossia corrispondente a z>0). In altre parole, in funzione dell orientazione dell asse normale al piano della lastra, sono positivi i momenti che provocano (o discendono da) tensioni positive per z>0 e tensioni negative per z<0. q q m m m m Nel caso particolare in cui fosse uguale a zero (ricordiamo, che è comunque un valore abbastanza piccolo), le tensioni normali avrebbero esattamente la stessa espressione che competerebbe ad un solido visto come la sovrapposizione di tante strisce inflesse lungo x e altrettante in direzione y. In questo caso, infatti, le espressioni precedenti si modificherebbero in: Gianni Bartoli/Claudio Mannini/Carlo Guastini Appunti di Tecnica delle Costruzioni () Revisione 8/05/1

8 Lezione n. 1 pag. I.8 caso =0 m m w B x w B y m E z z s 1 1 m E z z s 1 1 w x w y La differenza sostanziale tra lo studiare il comportamento di una lastra inflessa e l analisi di un sistema composto da strisce inflesse tra loro ortogonali, sta nella collaborazione tra le strisce nelle due direzioni, offerta dalla presenza del momento torcente m = m, che assume valori diversi da zero anche nel caso in cui fosse nullo. Il momento torcente nasce per correggere la differenza di rotazione tra strisce infinitesime tra loro adiacenti. Provando a considerare due strisce, ad esempio lungo x, tra loro infinitamente vicine, queste subiranno, in generale, momenti flettenti m diversi tra loro e, di conseguenza, rotazioni anch esse diverse; dal momento che due strisce infinitamente vicine non possono avere rotazioni diverse (stante la necessaria continuità materiale che deve essere mantenuta) è necessario che nasca un ulteriore sollecitazione (il momento torcente, appunto) in grado di ripristinare tale congruenza. In altre parole, il momento torcente è necessario per garantire la continuità in direzione trasversale delle rotazioni flessionali, come è facilmente intuibile osservando l espressione del momento torcente m nella seguente forma: m B w x y y w x y 1 B1 B1 cioè si ha torsione se la rotazione delle strisce lungo x varia lungo y; in questo caso, il momento torcente ha il ruolo di opporsi a tale variazione di rotazione, ripristinando la congruenza. In maniera analoga, il momento m può essere visto come la sollecitazione generata dalla variazione lungo x delle rotazioni. Per il fatto che l insorgere dei momenti m sia imputabile alla collaborazione laterale tra strisce contigue, tali momenti prendono spesso il nome di momenti di sostentamento. A titolo di esempio, nella lastra in figura, se la striscia AB, pensata inizialmente indipendente da una striscia contigua CD, ruotasse di una quantità maggiore rispetto a quest ultima, il rispetto della congruenza non sarebbe garantito. Il comportamento bidimensionale fa sì che nascano tra le due strisce azioni tangenziali che ripristinano la continuità della lastra, il cui integrale su elementi di larghezza unitaria fornisce il valore del momento torcente, tanto più elevato quanto più le due strisce tendono a deformarsi in maniera diversa. a c e φ, 1 φ,1 b d f Equazioni indefinite di equilibrio Le tre condizioni di equilibrio (rotazione attorno all asse, rotazione attorno all asse, traslazione in direzione ) danno luogo ad altrettante equazioni di equilibrio. Considerando un elemento infinitesimo di dimensioni (dx, dy, s), l equilibrio alla rotazione rispetto a impone la validità dell uguaglianza seguente, dove i momenti sono valutati rispetto al baricentro dell elemento stesso dx q dx m m q dy q dx dy m dy m dx dy m dx m dydx 0 x x y Nell equazione precedente si può notare che: Gianni Bartoli/Claudio Mannini/Carlo Guastini Appunti di Tecnica delle Costruzioni () Revisione 8/05/1

9 Lezione n. 1 pag. I.9 i differenziali del primo ordine si annullano; il differenziale del terzo ordine, rappresentato dal momento offerto dal differenziale del taglio, può essere trascurato. In definitiva, si ottiene m m x y q dy dx dx dy dy dx 0 e quindi, data l arbitrarietà dell estensione dx dy dell area considerata q m x m y Analogamente, considerando l equilibrio alla rotazione in direzione, si ottiene q m y m x dy q dy q dx dx m dy - - m dx m dy pdx dy m dx q q dydx y m m dydx y m m dydx y q q dx dy x m m dx dy x m m dx dy x Al solito, l espressione precedente rappresenta la generalizzazione al caso delle lastre inflesse della prima equazione indefinita di equilibrio per le travi inflesse, dove si afferma che la sollecitazione di taglio equilibra la variazione di momento flettente dm T dz L equilibrio in direzione verticale fornisce infine l espressione q q x y pdx dy q dy q dx dy q dx q dy dx 0 cioè Gianni Bartoli/Claudio Mannini/Carlo Guastini Appunti di Tecnica delle Costruzioni () Revisione 8/05/1

10 Lezione n. 1 pag. I.10 q x q y pdx dy dx dy dydx 0 e quindi q x q y p analogo al caso delle travi inflesse dt p dz avendo indicato con p il carico ortogonale all asse della trave. Mettendo insieme le tre relazioni appena trovate, si ottiene infine l equazione indefinita di equilibrio m x x m y m y y m x p m x m x y m y p Equazione della superficie elastica Combinando le equazioni di congruenza e di legame con quelle di equilibrio, si ottiene l equazione che definisce la superficie elastica, ossia la configurazione del piano medio della lastra a seguito della deformazione provocata dai carichi. Sostituendo la definizione dei momenti in funzione delle derivate seconde dello spostamento, le equazioni di equilibrio alla rotazione assumono la forma: m m w w w w w q B B 1 B x y x x y y x y x x y m m w w w w w q B B 1 B y x y y x x x y y x y corrispondenti alla relazione che nel caso delle travi lega il valore del taglio alla derivata terza dello spostamento d v T EJ dz Sostituendo le espressioni appena trovate nell equazione di equilibrio alla traslazione, si perviene all espressione finale q q w w w w w w w p B B B x y x x x y y y x y x x y y ossia w x x w y w y che, introducendo l operatore Laplaciano x y può essere scritta sinteticamente nella forma p B Gianni Bartoli/Claudio Mannini/Carlo Guastini Appunti di Tecnica delle Costruzioni () Revisione 8/05/1

11 Lezione n. 1 pag. I.11 p w w B L equazione della superficie elastica prende il nome di equazione di Germain-Lagrange, dal nome dei primi due studiosi che l hanno introdotta: a Sophie Germain (1811) si deve infatti l individuazione dell espressione, mentre Lagrange successivamente definì correttamente i passaggi che portano alla soluzione del problema (1815). Tuttavia, l equazione assunse la forma riportata soltanto qualche anno più tardi, quando prima Navier e poi Poisson individuarono la dipendenza di B dal cubo dello spessore. L equazione è ancora una volta molto simile all equazione della linea elastica delle travi inflesse, in cui la dipendenza dal carico applicato della derivata quarta dello spostamento è espressa dalla ben nota relazione d w p dz EJ Da Wikipedia: Nel 1809 l'accademia delle Scienze indisse un concorso per trovare una spiegazione matematica agli esperimenti del fisico Chladni sulle vibrazioni delle superfici elastiche. Napoleone stesso era molto interessato a questo risultato, al punto da offrire come premio al vincitore una medaglia d'oro da 1 kg. Sophie Germain si dedicò a questa nuova sfida e, alla scadenza dei due anni fissati dall'accademia delle Scienze, fu la sola a presentare un lavoro. La commissione si rifiutò tuttavia di riconoscerle il premio per via di alcuni errori che Lagrange, membro della commissione giudicatrice, aveva evidenziato. Con l'aiuto delle stesso Lagrange, Sophie Germain ottenne la soluzione corretta del problema della piastra. Tale soluzione, però, per spirito maschilista di cui la storia della scienza non è esente, è comunemente nota come equazione differenziale di Lagrange: solo recentemente la soluzione è più correttamente citata come equazione di Germain-Lagrange. Il concorso fu comunque indetto una seconda volta nel 181 e neppure allora il lavoro della candidata fu ritenuto soddisfacente a causa di certe lacune nella dimostrazione. Solo nel 1815, al terzo tentativo, la tenace perseveranza di Sophie fu premiata, ottenendo finalmente il riconoscimento dovuto. Ella, però, si rifiutò di partecipare alla cerimonia di premiazione perché pensava che i giudici non avessero apprezzato pienamente il suo lavoro e che la comunità scientifica non le manifestasse il rispetto dovuto. Certamente Poisson, il suo principale rivale sul soggetto dell'elasticità ed anche giudice al concorso, inviò un formale e laconico ringraziamento al suo lavoro ma evitò ogni seria discussione con la studiosa e continuò ad ignorarla in pubblico. Gianni Bartoli/Claudio Mannini/Carlo Guastini Appunti di Tecnica delle Costruzioni () Revisione 8/05/1