TEORIA DELLE MATRICI. dove aij K. = di ordine n, gli elementi aij con i = j (cioè gli elementi a 11

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1 1 TEORIA DELLE MATRICI Dato u campo K, defiiamo matrice ad elemeti i K di tipo (m, ) u isieme di umeri ordiati secodo m righe ed coloe i ua tabella rettagolare del tipo a11 a12... a1 a21 a22... a2 A = a a... a m1 m2 m dove aij K 1 i m 1 j Ua matrice A del tipo (m, ) è composta da m elemeti disposti secodo m righe e secodo coloe. Tutti gli elemeti vegoo idicati co doppio idice, il primo idica la riga, il secodo la coloa. I modo compatto ua matrice si può idicare co A= ( a ij ) i= 1,..., m j= 1,..., Se m la matrice è rettagolare, se m = la matrice è quadrata. I quest ultimo caso il umero delle righe (o coloe) prede il ome di ordie della matrice. Diamo adesso delle defiizioi di uso frequete. 1) Chiamasi liea della matrice idifferetemete ua riga o ua coloa, liee parallele più righe o più coloe. 2) I due liee parallele si dicoo corrispodeti gli elemeti di ugual posto, cioè l elemeto p mo dell ua co l elemeto p mo dell altra, qualuque sia p. 3) Ua liea si dice ideticamete ulla se soo tutti ulli i suoi elemeti. 4) Due liee si dicoo uguali o proporzioali quado gli elemeti dell ua soo uguali o proporzioali ai corrispodeti dell altra. 5) Ua matrice si dice ulla se ha ulli tutti i suoi elemeti. 6) Due matrici si dicoo simili quado hao lo stesso umero di righe e di coloe, i due matrici simili si dicoo corrispodeti gli elemeti di ugual posto. 7) Due matrici di m elemeti: A= ( aij ) eb= ( bij ) soo uguali se soo uguali tutti i corrispodeti elemeti, cioè se a = b per ogi i e per ogi j. 8) I ua matrice quadrata A ( a ij ) ij ij = di ordie, gli elemeti aij co i = j (cioè gli elemeti a 11, a 22,..., a ) costituiscoo la diagoale pricipale, metre gli elemeti a1, a2( 1),..., a 1 costituiscoo la diagoale secodaria. 9) I ua matrice quadrata, due elemeti aik, aki che hao gli stessi idici, ma i ordie iverso, si dicoo coiugati, i loro posti soo simmetrici rispetto alla diagoale pricipale. Gli elemeti che stao sulla diagoale pricipale soo coiugati di se stessi. Nel caso particolare che gli elemeti siao tra loro uguali, cioè sia aik = aki, la matrice quadrata si dice simmetrica. 1

2 2 L isieme di tutte le matrici m a coefficieti i K si idica cok m,. Data ua matrice A K m,, la trasposta di A è la matrice che si idica co t A, otteuta da A scambiado fra loro le righe co le coloe. Es. - A = 1 4 K , 3 t A= 2 5 K m, t m, I geerale, se A K, A K. Si ha t t t ( A+ B) = A+ B L isieme K m, si può dotare di ua struttura algebrica. Comiciamo, ifatti, a defiire u operazioe di somma tale che K m, sia u gruppo abeliao (cioè gode della proprietà commutativa). 3, 2 Somma di matrici Siao A= ( a i, j ) e B ( b i j ) B è ua matrice C ( c i j ) =, due matrici m a coefficieti i K. La matrice somma A + =, defiita da ci, j= ai, j+ bi, j coi, j N : 1 i m 1 j Quidi la matrice C è la matrice otteuta sommado gli elemeti corrispodeti di A e di B. Es. Siao assegate le matrici: A = B = La matrice somma sarà: A+ B = C = Per cui otteiamo: C =

3 3 La somma di due matrici A e B è defiita solo quado A e B hao lo stesso umero di righe e lo stesso umero di coloe. L operazioe somma di matrici soddisfa le proprietà dei gruppi abeliai : a1) A + (B +C) = (A + B) + C ABC K m,,, a2) A + B = B + A m, a3) 0 K : A+ 0= 0+ A= A a4) A K m, m, B K : A+ B= B+ A= 0 Per quato riguarda il prodotto ell isieme K m, delle matrici m è possibile itrodurre due tipi di prodotto : prodotto estero matrice per scalare prodotto itero righe per coloe. Prodotto di ua matrice per uo scalare m A= a K, ua matrice m a coefficieti el campo K e λ uo scalare, cioè u Sia ( ij) elemeto del campo su cui si opera. Chiamiamo prodotto di λ per A la matrice m, C = ( aij) K doveaij = λ aij i = 1,..., me j = 1,..., I altre parole, la matrice C = λ A è la matrice otteuta moltiplicado ogi elemeto di A per il umero λ. a11... a1 a21... a2 A =... a... a m1 m a11... a1 a21... a2 λ A = λ =... a... a m1 m λa11... λa1 λa21... λa2... λa... λa m1 m Il prodotto matrice per scalare gode di quattro fodametali proprietà: m, 1) proprietà associativa: ( λ µ ) A= λ ( µ A) A K λ, µ K 2) distributiva ( λ + µ ) A = λ A + µ A m, 3) distributiva λ( A + B) = λ A + λ B A, B K λ K 4) prodotto per 1 1 A = A ( 1) A = A Cosideriamo l isieme K m, co le operazioi di somma e di prodotto per uo scalare così defiita. K m, rispetto alla somma è u gruppo abeliao, metre rispetto al prodotto, che è u prodotto estero, gode delle quattro proposizioi sopra elecate. Per cui, l isieme K m, delle matrici m a coefficieti i K è u esempio di spazio vettoriale, ua struttura su 3

4 4 cui soo defiite due operazioi ua itera (somma) e l altra estera (prodotto per uo scalare) Prodotto itero righe per coloe Per quato riguarda il prodotto itero, il più importate è il prodotto righe per coloe. Tale prodotto è possibile quado il umero delle coloe della prima matrice è uguale al umero delle righe della secoda matrice. m, p, q Quidi, se A = ( aij ) K e B = ( bij ) K il prodotto A B è defiito solo se = p. Se le matrici A e B soddisfao a questa codizioe, si dicoo compatibili per la moltiplicazioe. Co questa codizioe, si defiisce il prodotto tra le matrici A e B. m q A B = C = ( cij ) K, La matrice C del tipo (m, q) il cui elemeto geerico c ij è dato da cij = ail blj = a 1b1 + a 2b a b l= 1 i j i j i j La relazioe precedete afferma che per otteere l elemeto c ij di C si cosidera la riga i - esima di A e la coloa j - esima di B, si eseguoo i prodotti dei termii corrispodeti e si sommao i prodotti così otteuti. a11 a12... a1 j... a1 a21 a22... a2 j... a A B = ai1 ai ai a a a m1 m2 m b11 b12... b1 j... b1 q b21 b22... b2 j... b2q = bi1 bi biq b b... bj... b q 1 2 c11 c c1 q c21 c22... c2q... = cij cm cm... cmq 1 2 Per questo il prodotto di matrici prede il ome di prodotto righe per coloe. 4

5 5 Si vede facilmete che il prodotto A B = C è del tipo (m, q). Ifatti, poiché il geerico elemeto c ij si ottiee dalla i - esima riga di A e dalla j - esima coloa di B, e poiché A K m, pq, e B K co = p, allora i può assumere soltato i valori 1,...,m metre j può assumere solo i valori 1,...,q, per cui la matrice A B = C ha tate righe e coloe quate e ha B. Esempio A= K B = 0 3 K , 32, ( ) ( 1) ( 1) 22, A B = C K C = c ij = 1 1+ ( 1) ( 1) + ( 1) 3+ 3 ( 1) Avremo pertato 4 3 C = 7 7 Esempio 2 A= B A B 1 2 = 1 = 1+ 4 = Proprietà del prodotto di matrici Il prodotto di matrici gode delle segueti proprietà 1) Sia A K m,, B K, p, C K p, q allora risulta A ( B C) = ( A B) C 2) Se A e B soo matrici del tipo (m, ) e C è ua matrice del tipo (, p) allora ( A + B) C = AC + BC (proprietà distributiva a siistra) Se ivece A è ua matrice m e B e C soo matrici p allora AB ( + C) = AB + AC (proprietà distributiva a destra) Duque, il prodotto righe per coloe gode della proprietà associativa (1) e della proprietà distributiva rispettivamete a siistra e a destra rispetto alla somma. Si ha ioltre: 5

6 6 se A K m, e B K, p ed è α R allora α( AB) = ( α A) B = A( α B) Il prodotto di matrici o è commutativo, per cui se A K m, e B K, m soo defiite etrambe le matrici prodotto A B = C K mm e B A C K, = ', i geerale risulta C = A B B A = C'. Ciò è sicuramete vero se si cosiderao matrici quadrate Esempio A= K B K = , 22, A B = B A= 3 10 quidi A B B A Teorema di Biet Le defiizioi date, riguardati il prodotto fra matrici, soo giustificate dal seguete teorema di Biet : Date due matrici simili A e B di m righe ed coloe, il determiate del loro prodotto per righe è ullo se < m ; se le matrici soo quadrate il determiate del loro prodotto è uguale al prodotto dei loro determiati; se >m il determiate del loro prodotto è uguale alla somma di tutti i prodotti che si ottegoo moltiplicado ogi miore di A di ordie m per il miore corrispodete di B. Altre proprietà algebriche delle operazioi matriciali Se A è ua matrice e c è u elemeto del campo K su cui si opera, cioè m m,, tk K A K m, t t : e c K ( ca) = c A t A A Se A e B soo matrici m allora t t t ( A+ B) = A+ B Se A K m, allora t ( t A)) = A Se A è ua matrice m e B è ua matrice p allora risulta t t t ( A B) = B A Quidi avremo: La trasposta del prodotto di due matrici si ottiee moltiplicado le trasposte delle matrici i ordie iverso. 6