Progetto: Cutting Stock Bidimensionale

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1 Relazione 24 agosto 2010 v1.0 Relazione_progetto_cs2d_1.0.pdf Corso in Metodi e Modelli per l'ottimizzazione Combinatoria Progetto: Cutting Stock Bidimensionale Relazione Alberto Zatton Registro delle modifiche: Versione Data Descrizione delle modifiche /08/10 Verifica generale, preparazione per la consegna /08/10 Prima stesura Relazione Versione / 13

2 Indice 1 Introduzione Scopo del documento Descrizione del documento Specifica del progetto Un problema di cutting stock bidimensionale Obiettivi del progetto Punti sviluppati Tecniche risolutive Two-Dimensional Uncostrained Guillotine Cutting Stock Tecnica esatta: PL con generazione di colonne Tecnica euristica: pattern building Implementazione Tecnica esatta: PL con generazione di colonne Tecnica euristica: pattern building Test Formulazione dei problemi e ambiente di test Risultati...10 Appendice A: Il programma cs2d...12 Installazione...12 Compilazione...12 Esecuzione...12 Bibliografia...13 Relazione Versione / 13

3 1 Introduzione 1.1 Scopo del documento Il presente documento è la relazione finale del progetto Cutting Stock Bidimensionale, realizzato per l'esame del corso di Metodi e Modelli per l'ottimizzazione Combinatoria. Si descriveranno di seguito il tema del progetto, le tecniche utilizzate per la soluzione e la loro implementazione. 1.2 Descrizione del documento Il documento è diviso in cinque parti principali e una appendice: 1. Introduzione, in cui viene descritto il documento. 2. Specifica del progetto, in cui viene riportata la specifica del progetto con la descrizione del problema. 3. Tecniche risolutive, in cui vengono brevemente descritte le metodologie utilizzate per la risoluzione del problema in esame. 4. Implementazione, in cui viene descritto come le tecniche precedenti sono state implementate nel programma cs2d, risultato del progetto. 5. Test, nella quale sono riportati i risultati dei test effettuati utilizzando un set di istanze del problema. 6. Appendice A, contenente note tecniche per la compilazione e l'uso del programma cs2d. Relazione Versione / 13

4 2 Specifica del progetto In questa parte viene riportata la specifica del progetto, indicandone i punti sviluppati. 2.1 Un problema di cutting stock bidimensionale La società Taglioben produce semilavorati per l industria del legno ricavando dei pezzi di piccola dimensione da pannelli di dimensione standard. Sia i semilavorati che i pannelli hanno due dimensioni e pertanto il problema risulta un estensione del problema di taglio dei tondini di ferro (una sola dimensione). 2.2 Obiettivi del progetto Si richiede di sviluppare una combinazione congrua dei seguenti punti: 1. sviluppare i modelli e le tecniche di generazione di colonne suggerite da un articolo della letturatura proposto dal docente (estensione delle tecniche di generazione di colonne al caso bidimensionale); 2. sviluppare un euristica costruttiva; 3. sviluppare una tecnica metaeuristica. Si richiede in ogni caso di applicare le tecniche a diverse istanze di varia dimensione (numero di richieste) e valutarle in termini (ad esempio) di qualità del rilassamento continuo (se applicabile), qualità dei risultati ottenuti e tempi impiegati. 2.3 Punti sviluppati Per la soluzione del problema sopra descritto, sono stati sviluppati i punti 1 (generazione di colonne) e 2 (euristica). Per quanto riguarda la tecnica di generazione di colonne, il testo di riferimento dal quale estrarre un possibile algoritmo risolutivo è stato proposto dal docente [1]. La tecnica euristica è stata ricavata da una pubblicazione frutto della ricerca dello studente [2]. Relazione Versione / 13

5 3 Tecniche risolutive In questo capitolo sono presentate le tecniche utilizzate per risolvere il problema di cutting stock bidimensionale, prese dalla letteratura di settore. La prima è una tecnica proposta da Gilmore e Gomory [1] che prevede la costruzione del problema principale (il master ) in passi successivi (problemi slave ) per poi trovare la soluzione ottima attraverso una tecnica di programmazione lineare intera. La seconda è una tecnica euristica proposta da Yanasse [2] che costruisce direttamente la soluzione fissando semplici regole per la generazione di schemi di taglio. 3.1 Two-Dimensional Uncostrained Guillotine Cutting Stock Prima di addentrarsi nella spiegazione delle tecniche, occorre precisare che entrambe risolvono un sottoproblema del cutting stock bidimensionale, precisamente l'unconstrained guillotine cutting stock. In questo sottoproblema, più semplice dell'originale, il taglio dello stock avviene sempre da un lato all'opposto, dividendo il pezzo originale in due. Inoltre il numero di un certo tipo di rettangoli da ottenere (prodotti finiti) non è limitato superiormente. Per ogni istanza del problema è invece indicato il numero di prodotti finiti minimo da raggiungere. Formalmente, ogni istanza di problema fornisce i seguenti dati: La dimensione W x L dello stock Le dimensioni wi x li per ogni rettangolo i da ottenere (prodotti finiti), per i da 1 a m; La domanda Ni per ogni rettangolo i da ottenere, per i da 1 a m; Il problema consiste nel tagliare lo stock W x L con tagli a ghigliottina in modo da ottenere i rettangoli del tipo e nella quantità richiesta, minimizzando lo scarto di prodotto. Uno schema di taglio è composto dal tipo e dalla quantità di rettangoli ottenuti tagliando lo stock. 3.2 Tecnica esatta: PL con generazione di colonne L'algoritmo è stato proposto da Gilmore e Gomory nel 1965 [1] ed è l'estensione al caso bidimensionale di un loro precedente lavoro sul cutting stock mono-dimensionale. Il problema è modellato in programmazione lineare nel modo seguente: La matrice A del modello è formata da m righe e un numero molto elevato di colonne, una per ogni possibile schema di taglio. Una colonna [a1,a2,a3,...,am] della matrice A è formata dalle quantità di rettangoli i (per i da 1 a m) prodotta dallo schema di taglio corrispondente alla colonna. Considerando X vettore delle variabili, una per ogni schema di taglio, 1 vettore riga contenente solo valori 1 e N vettore delle domande [N1, N2,...,Nm], il problema può essere formulato come: min 1 x X s.t. A x X = N Relazione Versione / 13

6 Il problema principale è troppo complesso per essere modellato interamente (tutte le combinazioni di taglio danno luogo ad un numero di variabili troppo elevato). Il problema principale è quindi scomposto in: Problema Master: risolvere con tecniche di Programmazione Lineare il modello precedente, utilizzando in A le colonne fornite dal Problema Slave; Problema Slave: generare una colonna ammissibile e migliorante per il Problema Master. La difficoltà di questa tecnica consiste proprio nella generazione di una nuova colonna nel Problema Slave. Nel loro paper Gilmore e Gomory propongono un algoritmo di risoluzione basato sulla soluzione di un problema di zaino multiplo. Il problema di zaino multiplo è il seguente: max { 1 a1 + 2 a m am } s.t. [a1, a2,...,am] è uno schema di taglio dello stock con tagli a ghigliottina e la somma delle aree dei rettangoli deve essere minore o uguale dell'area del rettangolo in stock. i sono i valori ottimali delle variabili duali del Problema Master, detti anche prezzi ombra. Il problema di zaino multiplo precedente, in presenza di tagli a ghigliottina, può essere risolto in due stadi successivi: due normali problemi di zaino. I due stadi sono: 1. Calcolare, per ogni wi, i*, il valore ottimo ottenibile inserendo rettangoli wj x lj, con wj <= wi, in una striscia di prodotto alta wi e lunga L. 2. Risolvere il problema di zaino: max 1* b1 + + m* bm s.t. W >= b1w1 + b2w bmwm La soluzione del secondo stadio è anche la soluzione del problema di zaino multiplo. Lo schema di taglio è dato da i rettangoli scelti nel primo stadio moltiplicati per i numero di volte che la corrispondente striscia è stata utilizzata nel secondo stadio. L'algoritmo non è ad ogni modo pensato per ottenere soluzioni con variabili intere, ma nel continuo. Nei casi pratici è necessaria un'euristica per ottenere una soluzione a variabili intere a partire dalla soluzione ottima dell'algoritmo. 3.3 Tecnica euristica: pattern building L'algoritmo è stato proposto da Yanasse et al. nel 1991 [2]. La versione originale è composta da due sottoproblemi: Relazione Versione / 13

7 1) Pattern building: dato un rettangolo stock, determinarne il pattern di taglio a seconda dei rettangoli da produrre; 2) Enumeration scheme: vista la possibilità di avere rettangoli stock di dimensioni diverse, determinare quali utilizzare per massimizzare il risultato finale. Dei due sottoproblemi è stato utilizzato il primo, in quanto nella formulazione del problema di questo progetto non sono previsti rettangoli stock con grandezze diverse. Il Pattern building si propone di costruire in iterazioni successive uno schema di taglio per il rettangolo stock, utilizzando esclusivamente i rettangoli la cui domanda non è ancora stata soddisfatta. In questo caso quindi la domanda è esattamente soddisfatta e non si ha sovraproduzione di un determinato rettangolo come nel caso precedente. L'algoritmo si compone dei seguenti passi: 1. ordina i rettangoli da produrre secondo un preciso criterio. I criteri possibili possono essere: lunghezza decrescente, altezza decrescente, area decrescente; 2. scegli il primo rettangolo dalla lista e inseriscilo in basso a sinistra nel rettangolo in stock; 3. se la domanda del rettangolo è soddisfatta, toglilo dalla lista; 4. ritaglia il rettangolo dallo stock, praticando due tagli a ghigliottina ottenendo due rettangoli di materia prima più piccoli; 5. inserisci i due rettangoli ottenuti nella lista della materia prima; 6. ripeti dal punto 2. scegliendo come stock il primo dei rettangoli nella lista della materia prima o un nuovo stock se la lista è vuota, fino all'esaurimento della domanda. Al punto 4 i tagli possibili dello stock possono essere: Head cut: lo stock è tagliato in orizzontale all'altezza del rettangolo inserito Rip cut: lo stock è tagliato in verticale in corrispondenza della lunghezza del rettangolo inserito. Il più delle volte è necessario scegliere secondo quale ordine effettuare i tagli, i quali possono produrre due differenti rettangoli di materia prima. L'ordine di taglio è scelto calcolando uno score per ogni possibile combinazione di taglio in questo modo: Scelgo uno dei due rettangoli di materia prima; per ogni rettangolo i la cui domanda Ni non è ancora soddisfatta, controllo se può essere incluso nel rettangolo di materia prima. Se si, aggiungo Ni allo score; ripeto per il secondo rettangolo di materia prima; L'ordine di taglio con lo score più elevato è quello scelto per proseguire con l'algoritmo principale. Relazione Versione / 13

8 4 Implementazione Il programma cs2d frutto del progetto è stato scritto in c++. Al suo interno contiene l'implementazione degli algoritmi descritti precedentemente, permettendo di risolvere istanze del problema e proporre i risultati. Per risolvere talune parti del progetto, ci si è affidati ad una libreria esterna (SCIP, [3]) che risolveva già parte del problema. In questo capitolo sono discussi i dettagli implementativi delle due tecniche descritte nel capitolo precedente. 4.1 Tecnica esatta: PL con generazione di colonne L'algoritmo parte generando una soluzione ammissibile del problema, utilizzando un diverso schema di taglio per tipo di rettangolo i. Ogni schema di taglio è il più semplice possibile: il rettangolo stock è diviso solo in rettangoli di una sola tipologia. Il modello è risolto da un algoritmo di programmazione lineare utilizzando SCIP [3]. Dalla soluzione data da SCIP, si ricavano le variabili duali. Queste sono utilizzate nel sottoproblema di generazione di colonne. A differenza di quanto scritto in [1], il problema dello zaino non viene risolto con una funzione ricorsiva ma con una iterativa (diretta trasposizione della ricorsiva), per migliorare la resa del programma. Se il pattern generato dal sottoproblema è migliorante per il problema principale, esso viene aggiunto nel modello e si riparte dalla soluzione del rilassamento continuo. In caso contrario, la soluzione del problema principale trovata è ottima. L'implementazione segue direttamente l'algoritmo presentato in [1]. Non essendo pensato per il caso intero, il modello finale è in un secondo tempo risolto con un algoritmo di Programmazione Lineare Intera per ottenere la soluzione definitiva. 4.2 Tecnica euristica: pattern building L'implementazione di questo algoritmo segue quanto presentato in [2] ma scegliendo una delle varianti proposte. In particolare: L'ordinamento iniziale è stato fissato in base all'altezza dei rettangoli da produrre, mentre l'algoritmo originale prevede varie iterazioni dello stesso con ordinamento iniziale diverso. Numerosi test su istanze diverse del problema hanno evidenziato come la differenza nel risultato finale sia minima, non giustificando n ripetizioni dell'algoritmo; I rettangoli da produrre non sono ruotabili (come avviene nell'algoritmo 3.2); Una volta scelta la tipologia di taglio (punto 4 dell'algoritmo) nella lista dei rettangoli in stock viene accodato per primo il rettangolo con l'area più estesa. Relazione Versione / 13

9 Il pattern generato è utilizzato fino all'esaurimento della domanda di un rettangolo; successivamente si passa alla generazione di un nuovo pattern. Il programma continua in questo modo fino all'esaurimento di tutte le domande. Relazione Versione / 13

10 5 Test In questa sezione sono presentati i risultati dei test effettuati con il programma cs2d, confrontandoli e traendone le considerazioni finali. 5.1 Formulazione dei problemi e ambiente di test Per effettuare i test sono stati utilizzati i problemi presentati originariamente in [6] e reperibili online attraverso la OR-Library [4]. OR-Library è un sito web che raccoglie problemi appartenenti ai diversi campi della Ricerca Operativa e ne mette a disposizione il testo. I 13 problemi disponibili sono stati cosi formulati: da 1 a 4, la grandezza L x W del rettangolo stock è 250 x 250; da 5 a 8, 500 x 500; da 9 a x 1.000; il rettangolo stock del problema 13 misura invece x 3.000; per ogni problema, le misure li x wi dei rettangoli da produrre sono state fissate scegliendo valori interi random dalle distribuzioni [L/4, 3L/4] e [W/4, 3W/4]; il numero di pezzi da produrre per ogni rettangolo (domanda) è stato fissato a li x wi. I test sono stati effettuati su una macchina virtuale Linux Ubuntu ospitata in un computer con processore Intel Core 2 Duo a 2.26 Ghz, 4Gb di RAM e sistema operativo Windows 7 Ultimate. Alla macchina virtuale sono stati resi disponibili un core e 1Gb di RAM. Ogni problema è stato risolto 10 volte. Per ognuno sono stati ricavati il numero dei rettangoli stock utilizzati, la percentuale di materia prima sprecata (area totale dei rettangoli stock utilizzati area totale dei rettangoli ricavati, rispetto all'area totale dei rettangoli stock utilizzati) e il tempo medio di risoluzione in millisecondi. Il programma recupera il valore del tempo in centesimi di secondo. 5.2 Risultati I risultati dei test sono presentati in tabella 1. Nella prima colonna è indicato il nome del problema, successivamente per i due algoritmi in esame si riportano i valori ottenuti con il programma cs2d (stock utilizzati), la percentuale di materia prima scartata e il tempo medio di risoluzione. Relazione Versione / 13

11 Gilmore & Gomory Yanasse Test problem value Waste Time (sec) value Waste Time (sec) gcut % % < gcut % % < gcut % % < gcut % % < gcut % % < gcut % % < gcut % % < gcut % % < gcut % % < gcut % % < gcut % % < gcut % % < gcut % % < Tabella 1: Risultati dei test a confronto Come si può notare, l'algoritmo di Gilmore e Gomory fornisce i risultati migliori, seppur con uno spreco di materia prima generalmente superiore al 30%, con un picco del 44%. Questi valori elevati fanno supporre un possibile miglioramento all'implementazione dell'algoritmo, confermata dal test n. 9 dove l'algoritmo di Yanasse fornisce un risultato migliore. Il passaggio da variabili nel continuo a variabili intere, step aggiuntivo rispetto all'algoritmo originale, che di fatto rende la soluzione euristica, non altera significativamente i risultati in quanto differisce mediamente di un rettangolo stock aggiuntivo rispetto alla soluzione del rilassamento continuo. I tempi elevati di soluzione sono riconducibili alla risoluzione iterata del problema master con un numero di variabili sempre maggiori; il tempo si accresce quante più colonne (pattern ammissibili) sono generate. L'algoritmo euristico di Yanasse raggiunge in parte il suo scopo, avvicinandosi notevolmente ai valori ottenuti dall'algoritmo precedente ma con tempi di soluzione estremamente ridotti. Mediamente si ha il 6% scarto in più rispetto a Gilmore e Gomory. Per quanto riguarda il tempo di esecuzione, in tabella è riportato il valore < secondi a causa della scarsa granularità nel reperimento del tempo, che non permette di ottenere un valore preciso (il tempo di esecuzione restituito dal programma è sempre 0). Confrontato con i risultati dell'algoritmo precedente resta comunque una soluzione da non prendere in considerazione per una applicazione reale, se non per problemi estremamente complessi che richiedono una soluzione veloce: un esempio di tale categoria di problemi è il n. 13, dove Gilmore e Gomory ottiene un risultato decisamente migliore ma al prezzo di 16 minuti circa di esecuzione. Relazione Versione / 13

12 Appendice A: Il programma cs2d In questa sezione sono illustrati i dettagli per l'installazione, la compilazione e l'utilizzo del programma cs2d. Installazione Il programma necessita della libreria SCIP [3] installata e funzionante per poter eseguire. A sua volta SCIP si basa su un solver, quello utilizzato per i test è SoPlex [5]. Maggiori informazioni sull'installazione delle librerie sono presenti nel sito web indicato in Bibliografia. Una volta installate correttamente le due librerie, scompattare il file cs2d-1.0.zip in una cartella, modificare il file Makefile nella sezione path inserendo la root directory di SCIP nella variabile SCIPDIR, ad es: SCIPDIR = /home/vadmin/scip Compilazione Da terminale, entrare nella cartella root di cs2d (dove è presente il Makefile) e lanciare il comando make. Esecuzione Da terminale, entrare nella cartella root di cs2d e lanciare il comando:./cs2d data-file dove data-file è un valido file di input per il programma. Un valido file di input ha la seguente struttura: Numero tipologie di rettangolo da produrre [a capo]; Lunghezza rettangolo stock [spazio] altezza rettangolo stock [a capo]; Per ogni rettangolo da produrre: lunghezza [spazio] altezza [spazio] quantità [a capo]; A titolo di esempio, nella cartella data sono presenti i file di input dei test riportati in questa relazione e ricavati dalla OR-Library. Il file cs2d.conf contiene le opzioni di esecuzione del programma: DEBUG: Impostare a 1 per eseguire in modalità debug (informazioni aggiuntive in caso di errore) DISPLAY_PATTERNS: Impostare a 1 per una semplice visualizzazione a video dei pattern generati. Relazione Versione / 13

13 Bibliografia [1] Gilmore P.C. and Gomory R.E., "Multistage Cutting Stock Problems of Two and More Dimensions (1965) [2] Yanasse H.H. et al, "Two-Dimensional Cutting Stock with Multiple Stock Sizes (1991) [3] SCIP, Solving Constraint Integer Problems [4] OR-Library [5] SoPlex, Sequential object-oriented simplex Relazione Versione / 13