( a 2 ) 2 + ( b 2 ) 2 c>0, infatti:

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "( a 2 ) 2 + ( b 2 ) 2 c>0, infatti:"

Transcript

1 CIRCONFERENZA Definizione Luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso C, detto centro. Fissato nel piano un sistema di riferimento cartesiano, la circonferenza di centro C (α,β) e raggio r è l'insieme dei punti P ( x, y) che soddisfano alla relazione: poiché: si ha: CP=r CP= ( x α) +( y β ) ( x α) +( y β) =r che rappresenta l'equazione di una circonferenza noto il centro C (α,β) e il raggio r. Sviluppando i calcoli otteniamo: posto: x + y α x β y+α +β r =0 a= α, b= β, c=α +β r l'equazione della circonferenza assume la seguente forma: x + y +a x+b y Tenendo presente le sostituzioni fatte, si ha: α= a,β= b, r = ( a ) + ( b ) c Un'equazione algebrica di secondo grado x + y +a x+b y rappresenta una circonferenza sse ( a ) + ( b ) c>0, infatti: 1. r = ( a ) + ( b ) c>0, x + y +a x+b y rappresenta una circonferenza di centro C ( a, b ) e raggio r= ( a ) + ( b ) c. r = ( a ) + ( b ) c=0, x + y +a x+b y rappresenta una circonferenza di raggio nullo ed è soddisfatta soltanto dal punto C ( a, b ) 3. r = ( a ) + ( b ) c<0, x + y +a x+b y non rappresenta una circonferenza reale. Riconoscere che le equazioni: a. x + y 8 x 6 y=0 b. x + y 8 x 6 y+5=0 c. x + y 8 x 6 y+100=0 rappresentano, ciascuna, una circonferenza e determinarne il centro e il raggio. a. x + y 8 x 6 y=0 ( 8 ) + ( 6 ) 0=16+9=5 > 0 e quindi l'equazione x + y 8 x 6 y=0 rappresenta una circonferenza di centro C (4,3) e raggio r= 5=5

2 b. x + y 8 x 6 y+5=0 rappresenta soltanto il punto C (4,3) c. x + y 8 x 6 y+100=0 ( 8 ) + ( 6 ) 5= = 0 ( 8 ) + ( 6 ) 100= < 0 e quindi l'equazione non rappresenta una circonferenza Posizione di un punto rispetto ad una circonferenza Sia C una circonferenza e sia P un punto del piano allora: se d ( P,C )=r il punto appartiene alla circonferenza; se d ( P, C )< r il punto è interno alla circonferenza; se d ( P, C )> r il punto è esterno alla circonferenza; Determinare la posizione del punto A( 1, ) rispetto alle seguenti circonferenze: a. x + y 4 x y+=0 b. x + y +7 x y+=0 c. x + y x+ y+8=0 a. x + y 4 x y+=0 ( 1) +() 4( 1) ()+= > 0 b. x + y +7 x y+=0 c. x + y x+ y+8=0 ( 1) +() 7 += < 0 il punto è esterno alla circonferenza; il punto è interno alla circonferenza; (1) +( ) +1+ 8= = 0 il punto appartiene alla circonferenza; Posizione di una retta rispetto ad una circonferenza Sia C una circonferenza e sia s una retta del piano allora: se d (s,c )=r la retta è tangente alla circonferenza; se d (s,c )<r la retta è secante la circonferenza; se d (s,c )>r la retta è esterna alla circonferenza;

3 Determinare la posizione della s : 3 x+4 y=0 rispetto alle seguenti circonferenze: a. x + y 4 x y+1=0 b. x + y 4 x y 0=0 c. x + y 4 x y+4=0 a. x + y 4 x y+1=0 Centro della circonferenza: C (,1) Raggio della circonferenza: r= b. x + y 4 x y 0=0 Centro della circonferenza: C (,1) Raggio della circonferenza: r=5 c. x + y 4 x y+4=0 Centro della circonferenza: C (,1) Raggio della circonferenza: r=1 d (s,c )= 3()+4(1) 3 +4 = 10 5 ==r retta tangente d (s,c )= 3()+4(1) 3 +4 = 10 5 = < r retta secante d (s,c )= 3()+4(1) 3 +4 = 10 5 = > r retta esterna Coordinate degli eventuali punti d'intersezione della circonferenza S con la retta r: S : x + y +a x+b y r : a ' x+b' y+c' =0 Per determinare i punti di intersezione, risolviamo il seguente sistema: x + y +a x+b y a ' x+b' y+c' =0

4 Condizioni per determinare l'equazione di una circonferenza Scrivere l'equazione della circonferenza determinata dalle seguenti condizioni: a. passa per il punto A( x A ) e ha il centro nel punto C (α,β). Il raggio r è la lunghezza del segmento CA L'equazione richiesta è r=ca ( x α) +( y β ) =r Scrivere l'equazione della circonferenza con centro C (,3). e passante per A(4,) Il raggio r è la lunghezza del segmento CA L'equazione richiesta è ( x ) +( y 3) = r=ca= (4 ) +( 3) = b. i punti A( x A ) e B( x B ) sono estremi di un diametro. Il centro della circonferenza è il punto medio del segmento AB, C ( x A +x B + y B ). Il raggio può essere determinato come lunghezza del segmento CA: Equazione della circonferenza: r=ca ( x α) +( y β ) =r Scrivere l'equazione della circonferenza che ha A(4,3)e B(,1) come estremi di un diametro. Punto medio del segmento AB x C = 4+ =3, y C= 3+1 = C (3,). Il raggio può essere determinato come lunghezza del segmento CA: L'equazione richiesta è r=ca= (4 3) +(3 ) = ( x 3) +( y ) = c. è tangente alla retta t : a x+b y e ha il centro nel punto C (α,β). Il raggio r della circonferenza è la distanza tra il centro C e la retta Pertanto l'equazione richiesta è: r=d(c, t )= a α+b β+c a +b ( x α) +( y β) =r t : a x+b y

5 Scrivere l'equazione della circonferenza tangente alla retta t : 3 x+4 y=0 e con centro C (, 1). Il raggio r della circonferenza è la distanza tra il centro C e la retta t : 3 x+4 y=0 Pertanto l'equazione richiesta è: r=d(c, t )= 3()+4(1) = = ( x ) +( y 1) =4 d. passa per i punti A( x A ) e B( x B ) e ha il centro sulla retta a' x+b' y+c ' =0. I metodo (consigliato) I punti A( x A ), B (x B ) sono gli estremi di una corda, l'asse di tale corda passa per il centro della circonferenza. Determiniamo la direzione AB AB. AB=B A=( x B x A ) segmento AB. Punto medio M ( x A+ x B e il punto medio M della corda direzione ortogonale all'asse del + y B ) L'asse della corda AB è la retta che passa per M ed è ortogonale alla direzione AB s : ( x B x A ) ( x x M )+( y B ) ( y y M )=0 asse: L'intersezione tra l'asse della corda e la retta a' x+b' y+c '=0 ci fornisce il centro della circonferenza. La distanza Circonferenza: II metodo a ' x+b' y+c ' =0 ( x B x A ) ( x x M )+( y B ) ( y y M )=0 x=α y=β CA è il raggio della circonferenza cercata. ( x α ) +( y β) =r Scriviamo l equazione generica di una circonferenza: C : x + y +a x+b y C (α,β) Perché tale circonferenza passi per i punti A( x A ), B( x B ) devono essere soddisfate le seguenti condizioni: A(x A ) C, significa che le coordinate del punto soddisfano l equazione della circonferenza. ( x A ) +( y A ) +a x A +b y A B( x B ) C, significa che le coordinate del punto soddisfano l equazione della circonferenza. ( x B ) +( y B ) +a x B +b y B C ( a, b ) a' x+b' y+c ' =0 significa che le coordinate del centro soddisfano l equazione della retta. a' ( a ) +b' ( b +c '=0 )

6 Per determinare l'equazione della circonferenza richiesta bisogna determinare a, b, c, cioè risolvere il seguente sistema: (x A) +( y A ) +a x A +b y A ( x B ) +( y B ) +a x B +b y B a' ( a ) +b' ( b +c ' =0 ) L'equazione della circonferenza cercata è quindi: C : x + y +a x+b y Scrivere l'equazione della circonferenza passante per i punti A( 1, 3), B(3, 1) e con il centro sulla retta 4 x+3 y =0. I punti A( 1, 3), B(3, 1) sono gli estremi di una corda, l'asse di tale corda passa per il centro della circonferenza. Determiniamo la direzione AB e il punto medio M della corda AB. AB=B A=(4, ) direzione ortogonale all'asse del segmento AB. Punto medio M ( x A +x B + y B ) : M (1, ) L'asse della corda AB è la retta che passa per M ed è ortogonale alla direzione AB asse: s : 4( x 1)+( y+)=0 x+ y=0 L'intersezione tra l'asse della corda e la retta 4 x+3 y =0, ci fornisce il centro della circonferenza. x+ y=0 4 x+3 y =0 x= 1 C ( 1,) y= La distanza CA=5 è il raggio della circonferenza cercata. Circonferenza: ( x+1) +( y ) =5 e. passa per i punti A( x A ), B( x B, y b ) e C ( x C, y c ). I metodo Scriviamo l equazione generica di una circonferenza: C : x + y +a x+b y Perché tale circonferenza passi per i punti A( x A ), B( x B ) e C ( x C, y C ), devono essere soddisfate le seguenti condizioni: A( x A ) C, significa che le coordinate del punto soddisfano l equazione della circonferenza. ( x A ) +( y A ) +a x A +b y A B( x B ) C, significa che le coordinate del punto soddisfano l equazione della circonferenza. C ( x C, y C ) ( x B ) +( y B ) +a x B +b y B C, significa che le coordinate del punto soddisfano l equazione della circonferenza. ( x C ) +( y C ) +a x C +b y C

7 Per determinare l'equazione della circonferenza richiesta bisogna determinare a,b,c, cioè bisogna risolvere il seguente sistema: L'equazione della circonferenza cercata è quindi: II metodo (consigliato) ( x A) +( y A ) +a x A +b y A ( x B ) +( y B ) +a x B +b y B ( x C ) +( y C ) +a x C +b y C C : x + y +a x+b y I punti A( x A ), B( x B ) e C ( x C, y C ), individuano un triangolo. Gli assi dei tre lati del triangolo si incontrano in un unico punto detto circocentro. Tale punto risulta essere il centro della circonferenza cercata. Determiniamo le direzioni AB, AC e BC e i punti medi dei segmenti AB, AC e BC. AB=B A=( x B x A ), AC =C A=( x C x A, y C y A ), BC=C B=(x C x B, y C y B ). M ( x A+x B N ( x A + x C R ( x B +x C + y B ) punto medio del segmento AB + y C ) punto medio del segmento AC + y C ) punto medio del segmento BC asse del segmento AB asse del segmento AC asse del segmento BC ( x B x A ) ( x x M )+( y B ) ( y y M )=0 ( x C x A ) ( x x N )+( y C ) ( y y N )=0 ( x C x B ) ( x x R )+( y C y B ) ( y y R )=0 L'intersezione tra due degli assi ci fornisce il centro della circonferenza C '(α,β) Mentre la distanza tra un suo punto e il centro ci fornisce il raggio ( es. r=ac ' ) L'equazione della circonferenza cercata è quindi: C : ( x α) +( y β) =r Scrivere l'equazione della circonferenza γ passante per i punti A(1,0), B( 3,) e C ( 3,4). I metodo Scriviamo l equazione generica di una circonferenza: C : x + y +a x+b y Perché tale circonferenza passi per i punti A(1,0), B( 3,) e C ( 3,4), devono essere soddisfate le seguenti condizioni: A(1,0) C, significa che le coordinate del punto soddisfano l equazione della circonferenza. 1+0+a+0 a+c+1=0

8 B( 3,) C ( 3,4) C, significa che le coordinate del punto soddisfano l equazione della circonferenza a+ b 3 a+b+c+13=0 C, significa che le coordinate del punto soddisfano l equazione della circonferenza a+4 b 3 a+4b+c+5=0 Per determinare l'equazione della circonferenza richiesta bisogna determinare a,b,c, cioè bisogna risolvere il seguente sistema: a+c +1=0 3a+ b+c+13=0 a=0 b= 6 3a+4 b+c+5=0 c= 1 L'equazione della circonferenza cercata è quindi: II metodo (consigliato) C : x + y 6 y 1=0 I punti A(1,0), B( 3,) e C ( 3,4), individuano un triangolo. Gli assi dei tre lati del triangolo si incontrano in un unico punto detto circocentro. Tale punto risulta essere il centro della circonferenza cercata. Determiniamo le direzioni AB, AC e BC e i punti medi dei segmenti AB, AC e BC. AB=B A=( 4,), AC =C A=( 4,4) e BC=C B=(0,). M ( 1,1) punto medio del segmento AB N ( 1,) punto medio del segmento AC P ( 3,3) punto medio del segmento BC asse del segmento AB: 4( x+1)+( y 1)=0 4 x+ y 6=0 x+ y 3=0 asse del segmento AC: 4( x+1)+4( y )=0 4 x+4 y 1=0 x+ y 3=0 asse del segmento BC: y 3=0 L'intersezione tra due degli assi ci fornisce il centro della circonferenza C ' (0,3) x+ y 3=0 y=3 x=0 y=3 Mentre la distanza tra un suo punto e il centro ci fornisce il raggio. L'equazione della circonferenza cercata è quindi: r= AC ' = 1+9= 10 C : x +( y 3) =10 f. è tangente nel punto A( x A ) alla retta t : a x+b y e ha il centro sulla retta s ' : a' x+b' y+c ' =0 La tangente a una circonferenza in un suo punto è perpendicolare al raggio che congiunge il centro della circonferenza con il suo punto di tangenza. Determiniamo la retta passante per A( x A ) e perpendicolare a t :a x +b y : s : x=x A +a t y= y A +b t

9 Il centro della circonferenza da determinare è l'intersezione tra la retta s' e la retta s: x=x A +at y= y A +b t a ' x+b' y+c' =0 Il raggio r è la lunghezza del segmento CA Circonferenza: C (α,β) C : ( x α) +( y β) =r Scrivere l'equazione della circonferenza tangente alla retta t di equazione 4 x +3 y 18=0 nel punto A(3, ) e avente il centro sulla retta r di equazione x+ y+=0. La tangente a una circonferenza in un suo punto è perpendicolare al raggio che congiunge il centro della circonferenza con il suo punto di tangenza. Determiniamo la retta passante per A(3, ) e perpendicolare a 4 x+3 y 18=0: a: x=3+4t y=+3t Il centro della circonferenza da determinare è l'intersezione tra la retta a e la retta r: x=3+4 t y=+3 t x+ y+=0 Il raggio r è la lunghezza del segmento CA Circonferenza: x=3+4 t y=+3 t 3+4t++3t +=0 r=ca=5 ( x+1) +( y+1) =5 x= 1 y= 1 t = 1 C ( 1, 1) g. passante per i punti A( x A ), B( x B ) e tangente alla retta t : a x+b y. I punti A( x A ), B( x B ) sono gli estremi di una corda, l'asse di tale corda passa per il centro della circonferenza. Determiniamo la direzione AB e il punto medio M della corda AB. AB=B A=( x B x A ) direzione ortogonale all'asse del segmento AB. Punto medio M ( x A +x B + y B ) L'asse della corda AB è la retta che passa per M ed è ortogonale alla direzione AB asse: s :( x B x A ) ( x x M )+( y B y A ) ( y y M )=0 Dette (α,β) le coordinate del centro C della circonferenza e d la distanza di C dalla retta tangente, ricaviamo la seguente equazione: C s ( x B x A ) (α x M )+( y B ) (β y M )=0 CA=d (C,t ) ( x A α) +( y A β) = a α+b β +c a +b

10 per β=β 1, α=α 1 otteniamo: C (α 1,β 1 ) e r=ca per β=β, α=α otteniamo: C (α,β ) e r=ca ( x A α) +( y A β) = (a α+b β+c) a +b β=β 1 β=β C : ( x α 1 ) +( y β 1 ) =r C : ( x α ) +( y β ) =r Scrivere l'equazione della circonferenza passante per i punti A(,5), B (0,5) e tangente alla retta x+ y 1=0. I punti A(,5), B(0,5) sono gli estremi di una corda, l'asse di tale corda passa per il centro della circonferenza. Determiniamo la direzione AB Punto medio L'asse della corda asse: AB=B A=(, 0) M ( x A +x B + y B ) : M ( 1,5 ) e il punto medio M della corda AB. direzione ortogonale all'asse del segmento AB. AB è la retta che passa per M ed è ortogonale alla direzione AB s : ( x+1 )+0 ( y 5)=0 x= 1 Dette (α,β) le coordinate del centro C della circonferenza e d la distanza di C dalla retta tangente, ricaviamo la seguente equazione: C s C ( 1, β) per β=4, otteniamo: C ( 1,4) e r=ca= per β=1, otteniamo: C ( 1,1) e r=ca= 50 CA=d(C,t) 1+(β 5) = 1+β 1 1+β 10β +5= β 4β +4 β 16β+48=0 β=4 β=1 C : ( x+1) +( y 4) = C : ( x+1) +( y 1) =50

11 Rette tangenti Rette tangenti alla circonferenza x + y +a x+b y nel punto A( x A ). Sia A S ( x A ) +( y A ) +a x A +b y A +c 0 Scriviamo l'equazione del fascio di rette di centro A: F : a'( x x A )+b' ( y )=0 Una retta è tangente a una circonferenza quando la sua distanza dal centro è eguale al raggio. Centro della circonferenza: C (α,β) Raggio della circonferenza: r d (F,C )= a ' (α x A )+b' (β y A ) a ' +b' a' (α x A )+b' (β ) a' +b' =r Sia A S ( x A ) +( y A ) +a x A +b y A La retta tangente alla circonferenza in A risulta perpendicolare al raggio vettore CA retta tangente: CA=A C=( x A x C y C ) ( x A x C ) ( x x A )+( y A y C ) ( y )=0 Data la circonferenza x + y 6 x 8 y=0, si determinino: a. le rette tangenti alla circonferenza uscenti dal punto A(, 1) b. le rette tangenti alla circonferenza uscenti dal punto O(0,0) x + y 6 x 8 y=0, rappresenta una circonferenza di centro C (3,4 ) e raggio r=5 a. Il punto A non appartiene alla circonferenza, infatti: ( ) +( 1) 6( ) 8( 1) 0

12 Scriviamo l'equazione del fascio di rette di centro A: F : a( x+)+b( y+1)=0 Una retta è tangente a una circonferenza quando la sua distanza dal centro è eguale al raggio. Centro della circonferenza: C (3, 4) Raggio della circonferenza: r=5 per a=0, otteniamo la retta y+1=0 per b=0, otteniamo la retta x+=0 d (F,C )= 5a+5b a +b 5a+5b a +b =5 a+b a +b =1 a +b +ab=a +b ab=0 b. L'origine degli assi appartiene alla circonferenza, infatti: (0) +(0) 6(0) 8(0)=0 La retta tangente alla circonferenza in O risulta perpendicolare al raggio vettore OC =C O=(3,4) retta tangente: 3( x 0)+4( y 0)=0 3 x+4 y=0 OC Rette di direzione u(l, m) tangenti alla circonferenza di equazione x + y +a x+b y Scriviamo il fascio improprio di rette con direzione F u(l, m): : m x l y+k=0 Una retta è tangente a una circonferenza quando la sua distanza dal centro è eguale al raggio. m α l β +k d (F,C )= l +m m α l β+k l +m =r Data la circonferenza C x + y + x y 3=0 si determinino le equazioni delle rette tangenti a C parallele alla direzione u(4, 3) Scriviamo il fascio improprio di rette con direzione u(4, 3) 3 x 4 y+k=0 la circonferenza C ha centro in C ( 1, 1) e raggio r=5; basta quindi imporre che il centro C abbia distanza pari al raggio dalla generica retta di equazione 3 x 4 y+k=0 3 4+k =5 7+k =5 k 7=±5 5 k=3 k= 18

13 per k =3, otteniamo la retta 3 x 4 y +3=0 per k = 18, otteniamo la retta 3 x 4 y 18=0 Rette ortogonali alla direzione n(a ', b') e tangenti alla circonferenza di equazione x + y +a x+b y Scriviamo il fascio improprio di rette con direzione n(a ',b' ): F : a' x+b' y+k=0 Una retta è tangente a una circonferenza quando la sua distanza dal centro è eguale al raggio. a ' α+b' β+k d (F,C )= a' α+b' β+k (a') +(b') (a ') +( b' ) =r Data la circonferenza C x + y 6 x 8 y=0, si determinino le equazioni delle rette tangenti a C perpendicolari alla direzione n(3, 4) Scriviamo il fascio improprio di rette con direzione u(4, 3): F : 3 x+4 y+k=0 Una retta è tangente a una circonferenza quando la sua distanza dal centro è eguale al raggio. C (3,4),r=5 d (F,C )= 9+16+k 9+16 = k+5 k+5 =5 k+5 =5 5 5 per k=0, otteniamo la retta 3 x+4 y=0 per k = 50, otteniamo la retta 3 x + 4 y 50=0 k+5=±5

PIANO. AB= ( x B x A ) 2 +( y B y A ) 2 AB= (2 2) 2 +(3 6) 2 =3 AB= 3 6 =3 AB= (5 0) 2 +(7 7) 2 =5. x A. +x B 2 M ( 2 ) y M = =3 2 2 =9 2

PIANO. AB= ( x B x A ) 2 +( y B y A ) 2 AB= (2 2) 2 +(3 6) 2 =3 AB= 3 6 =3 AB= (5 0) 2 +(7 7) 2 =5. x A. +x B 2 M ( 2 ) y M = =3 2 2 =9 2 PIANO 1. Calcolare la distanza tra i punti delle seguenti coppie: Distanza tra due punti A( x A, y A ) e B( x B, y B ) AB= ( x B x A ) 2 +( y B y A ) 2 a. A(1, 2) B(2, 1) AB= (1 2) 2 +(2 1) 2 = 1+1= 2

Dettagli

Appunti sulla circonferenza

Appunti sulla circonferenza Liceo Falchi Montopoli in Val d Arno - Classe a I - Francesco Daddi - 1 dicembre 009 Appunti sulla circonferenza In queste pagine sono trattati gli argomenti riguardanti la circonferenza nel piano cartesiano

Dettagli

Liceo Scientifico Michelangelo - Forte dei Marmi. Esercizi sulla circonferenza svolti - Classe Terza

Liceo Scientifico Michelangelo - Forte dei Marmi. Esercizi sulla circonferenza svolti - Classe Terza Liceo Scientifico Michelangelo - Forte dei Marmi Esercizi sulla circonferenza svolti - Classe Terza Esercizio 0. Stabilire se le equazioni x + y x + 3y + e x + y x + 6y 3 rappresentano una circonferenza

Dettagli

Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole.

Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole. Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole. Teoria in sintesi Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono

Dettagli

LA CIRCONFERENZA. Ricaviamola. Tutti i punti P che stanno sulla circonferenza hanno la proprietà comune che

LA CIRCONFERENZA. Ricaviamola. Tutti i punti P che stanno sulla circonferenza hanno la proprietà comune che LA CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C, detto centro. Si ottiene tagliando un cono con un piano perpendicolare al suo asse. La distanza fra ognuno

Dettagli

Esercizi e problemi sulla parabola

Esercizi e problemi sulla parabola Esercizi e problemi sulla parabola Esercizio 1. Si consideri l'insieme di parabole: con k R, k 1. Γ k : y = (k + 1)x x + k 4 (a) Determinare, per quali k, la parabola passa per l'origine. (b) Determinare,

Dettagli

1. conoscere le nozioni fondamentali della geometria analitica del piano e dello spazio

1. conoscere le nozioni fondamentali della geometria analitica del piano e dello spazio Terzo modulo: Geometria analitica Obiettivi 1 conoscere le nozioni fondamentali della geometria analitica del piano e dello spazio interpretare geometricamente equazioni e sistemi algebrici di primo e

Dettagli

Appunti sulla circonferenza

Appunti sulla circonferenza 1 Liceo Falchi Montopoli in Val d Arno - Classe 3 a I - Francesco Daddi - 16 aprile 010 Appunti sulla circonferenza In queste pagine sono trattati gli argomenti riguardanti la circonferenza nel piano cartesiano

Dettagli

Compito in classe del 29/01/2013 LA CIRCONFERENZA per il Liceo Scientifico

Compito in classe del 29/01/2013 LA CIRCONFERENZA per il Liceo Scientifico www.matematicamente.it Compito sulla circonferenza 1 Compito in classe del 29/01/2013 LA CIRCONFERENZA per il Liceo Scientifico 1. Determina e rappresenta graficamente l equazione della circonferenza di

Dettagli

a) Perché posso affermare che sono complanari? b) Determina l equazione del piano che li contiene

a) Perché posso affermare che sono complanari? b) Determina l equazione del piano che li contiene Esercizi svolti Esercizio 1. Dati i punti: A(1, 1, 0), B( 1, 1, 4), C(1, 1, 3), D(2, 2, 8) dello spazio R 3 a) Perché posso affermare che sono complanari? b) Determina l equazione del piano che li contiene

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche

Dettagli

1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano:

1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano: QUESITI 1 PIANO CARTESIANO 1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano: a) 6 b) 13/2 c) 12 d) 13 e) 78 2.

Dettagli

la funzione assume valore per qualsiasi valore di x, quindi il suo dominio è R.

la funzione assume valore per qualsiasi valore di x, quindi il suo dominio è R. Data la funzione f (x)=a x 3 +b, trova per quali valori di a e di b il grafico di f (x) passa per i punti (; 1) e ( ; 4). Rappresenta f (x), indicandone il dominio e il codominio. Troca i punti di intersezione

Dettagli

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si PROBLEMA Determinare il punto simmetrico di P( ;) rispetto alla retta x y =0 Soluzione Il simmetrico di P rispetto ad una retta r è il punto P che appartiene alla retta passante per P, perpendicolare ad

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni Esercizio 1. a) Disegnare la retta r di equazione cartesiana x 2y 4 = 0. b) Determinare l equazione cartesiana della retta r 1 passante per P

Dettagli

C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico Vol 1 Capitolo 4 Unità 2

C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico Vol 1 Capitolo 4 Unità 2 Verifiche Con il simbolo CAS indichiamo quegli esercizi per i quali risulta opportuno utilizzare nei calcoli un software di tipo Computer Algebra System, come Derive o una calcolatrice simbolica. Vogliamo

Dettagli

Geometria analitica del piano pag 25 Adolfo Scimone. Equazione della retta perpendicolare ad una retta data passante per un punto

Geometria analitica del piano pag 25 Adolfo Scimone. Equazione della retta perpendicolare ad una retta data passante per un punto Geometria analitica del piano pag 5 Adolfo Scimone Equazione della retta perpendicolare ad una retta data passante per un punto Consideriamo una retta r di equazione r: ax by sia P ( x y), un punto del

Dettagli

LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE

LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE LA CIRCONFERENZA COME LUOGO GEOMETRICO DEFINIZIONE Assegnato nel piano un punto C, detto centro, si chiama circonferenza la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti

Dettagli

2 di quello dela circonferenza data. Scrivere le

2 di quello dela circonferenza data. Scrivere le PROBLEMA. Raccolta di problemi sulla circonferenza Scritta l equazione della circonferenza con centro in ( ) C e passante per l origine O, si conducano per O la retta a di equazione + y indicando con A

Dettagli

Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza

Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza Liceo Classico Galilei Pisa - Classe a A - Prof. Francesco Daddi - 1 ottobre 011 Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza Esercizio 1. La circonferenza ha centro in C 4 ), 7, 7 ) e raggio + 7 57

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO (3D Geometry)

GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO (3D Geometry) GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO (3D Geometry) SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO La geometria analitica dello spazio è molto simile alla geometria analitica del piano. Per questo motivo le formule sono

Dettagli

Prof. Ucciardo S. I.T.N. Pozzallo ( RG) Prova scritta del 22/02/2007. nome... cognome... Risolvere i seguenti quesiti : e ordinata positiva.

Prof. Ucciardo S. I.T.N. Pozzallo ( RG) Prova scritta del 22/02/2007. nome... cognome... Risolvere i seguenti quesiti : e ordinata positiva. Prova scritta del /0/007 nome... cognome... Risolvere i seguenti quesiti : 1) Determinare l equazione della retta tangente all ellisse x + 9y = 1 nel suo punto P di ascissa 1 3 e ordinata positiva. ) Dato

Dettagli

Esercizi sulle superfici - aprile 2009

Esercizi sulle superfici - aprile 2009 Esercizi sulle superfici - aprile 009 Ingegneria meccanica 008/009 Esercizio 1. Scrivere l equazione della superficie ottenuta ruotando la retta s : x = y, y =z attorno alla retta r : x = y, x =3z. Soluzione:

Dettagli

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo GEOMETRIA PIANA 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(0, 4), e B(4, ) trovarne la distanza e trovare poi i punti C allineati con A e con B che verificano: (1) AC = CB (punto medio del segmento AB); ()

Dettagli

Circonferenze del piano

Circonferenze del piano Circonferenze del piano 1 novembre 1 Circonferenze del piano 1.1 Definizione Una circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso, detto centro. La distanza di un qualunque punto della

Dettagli

Geometria analitica pagina 1 di 5

Geometria analitica pagina 1 di 5 Geometria analitica pagina 1 di 5 GEOMETRIA LINEARE NEL PIANO È fissato nel piano un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche Oxy. 01. Scrivere due diverse rappresentazioni parametriche

Dettagli

Soluzione verifica scritta dell 8/10/2013

Soluzione verifica scritta dell 8/10/2013 Soluzione verifica scritta dell 8/10/013 * * * Problema n. 1 a) Determinare l equazione della parabola con asse parallelo all asse y, avente il vertice nel punto V ; ) e passante per l origine degli assi

Dettagli

3^A - MATEMATICA compito n b. le coordinate del vertice V, dei punti A e B in cui la parabola p interseca l'asse x (con x A

3^A - MATEMATICA compito n b. le coordinate del vertice V, dei punti A e B in cui la parabola p interseca l'asse x (con x A 3^ - MTEMTIC compito n 4-2014-2015 Dati il punto F 3, 3/4 e la retta d di equazione y= 5/4, determina: a l'equazione della parabola p avente fuoco F e direttrice d; b le coordinate del vertice V, dei punti

Dettagli

Lezione 10 27/11/09. = 0 = x y + 2z = 0. Le componenti del vettore v devono essere quindi soluzione del sistema linere omogeneo. { x y +2z = 0 x z = 0

Lezione 10 27/11/09. = 0 = x y + 2z = 0. Le componenti del vettore v devono essere quindi soluzione del sistema linere omogeneo. { x y +2z = 0 x z = 0 Lezione 10 7/11/09 Esercizio 1 Nello spazio vettoriale euclideo V 3 sia W il sottospazio generato dai vettori v 1 = 1, 1, 1), v = 0,, 1) Determinare un vettore di W di modulo 3 ortogonale al vettore v

Dettagli

b 2 4c. Stabiliamo se le seguenti equazioni rappresentano delle circonferenze e, in caso affermativo, determiniamone centro e raggio.

b 2 4c. Stabiliamo se le seguenti equazioni rappresentano delle circonferenze e, in caso affermativo, determiniamone centro e raggio. LA CIRCONFERENZA Rivedi la teoria L'equazione della circonferenza e le sue caratteristiche La circonferenza eá il luogo dei punti del piano che hanno la stessa distanza da un punto fisso chiamato centro;

Dettagli

La circonferenza nel piano cartesiano

La circonferenza nel piano cartesiano 6 La circonferenza nel piano cartesiano onsideriamo la circonferenza in figura in cui il centro è ; e il raggio 5 r : se indichiamo con P ; un punto della circonferenza avremo, per definizione, che la

Dettagli

Circonferenza. Domande, problemi, esercizi. 1) Scrivi un equazione per la circonferenza del disegno

Circonferenza. Domande, problemi, esercizi. 1) Scrivi un equazione per la circonferenza del disegno Circonferenza Domande, problemi, esercizi 1) Scrivi un equazione per la circonferenza del disegno 2) Scrivi un equazione per la circonferenza del disegno Circonferenza: esercizi e domande pagina 1 3) Scrivi

Dettagli

ESERCIZI DI GEOMETRIA ANALITICA

ESERCIZI DI GEOMETRIA ANALITICA ESERCIZI DI GEOMETRIA ANALITICA 0.1. EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA 0.1. EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA Exercise 0.1.1. Si scriva l'equazione della circonferenza che passa per i punti O 0; 0) e A 7; 0)

Dettagli

LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO

LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO 66 6. LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO La circonferenza di centro C (, Pertanto la sua equazione si ottiene coi passaggi seguenti: PC = r (1 x x + y y =r ( x x + y y = r x xx+ x + y yy+ y = r x +

Dettagli

Le coniche retta generatrice

Le coniche retta generatrice Le coniche Consideriamo un cono retto a base circolare a due falde ed un piano. Le intersezioni possibili tra le due figure sono rappresentate dallo schema seguente Le figure che si possono ottenere sono

Dettagli

Esercizi geometria analitica nel piano. Corso di Laurea in Informatica A.A. Docente: Andrea Loi. Correzione

Esercizi geometria analitica nel piano. Corso di Laurea in Informatica A.A. Docente: Andrea Loi. Correzione Esercizi geometria analitica nel piano Corso di Laurea in Informatica A.A. Docente: Andrea Loi Correzione 1. Scrivere le equazioni parametriche delle rette r e s di equazioni cartesiane r : 2x y + = 0

Dettagli

La circonferenza nel piano cartesiano

La circonferenza nel piano cartesiano La circonferenza nel piano cartesiano 1. Definizione ed equazione. Si chiama circonferenza C, di centro C( α, β ) e raggio r, l insieme di tutti e soli i punti del piano che hanno distanza r da C. L equazione

Dettagli

2. Determina l equazione della circonferenza passante per i punti A ( 2; 4), B ( 1; 3) ed avente centro sulla retta di equazione 2x 3y + 2 = 0.

2. Determina l equazione della circonferenza passante per i punti A ( 2; 4), B ( 1; 3) ed avente centro sulla retta di equazione 2x 3y + 2 = 0. CLASSE 3^ C LICEO SCIENTIFICO Novembre 01 La circonferenza 1. Ricava l equazione di ciascuna delle circonferenze rappresentate, spiegando in maniera esauriente il procedimento che seguirai, prima di svolgere

Dettagli

LA CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C, detto centro.

LA CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C, detto centro. Geometria Analitica Le coniche Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l'intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono definire tutte come luoghi geometrici e, di

Dettagli

x = x. Si ha quindi: Macerata 6 marzo 2015 classe 3M COMPITO DI MATEMATICA SOLUZIONE QUESITO 1 Considera il fascio di parabole di equazione: ( )

x = x. Si ha quindi: Macerata 6 marzo 2015 classe 3M COMPITO DI MATEMATICA SOLUZIONE QUESITO 1 Considera il fascio di parabole di equazione: ( ) Macerata 6 marzo 0 classe M COMPITO DI MATEMATICA SOLUZIONE QUESITO Considera il fascio di parabole di equazione: a) Trova eventuali punti base. y = k x + x + P ( 0;) Le curve sostegno del fascio sono

Dettagli

Geometria analitica - Testo pagina 1 di 5 67

Geometria analitica - Testo pagina 1 di 5 67 Geometria analitica - Testo pagina di 5 67 5. GEOMETRI NLITI: Geometria lineare nel piano È fissato nel piano un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche Oxy. 50. 502. 503. 504. Scrivere

Dettagli

y = [Sol. y 2x = 4x Verifica n.1

y = [Sol. y 2x = 4x Verifica n.1 Verifica n.1 disegnare curve, con valori assoluti e radicali luoghi geometrici (con retta, parabola, circonferenza) funzione omografica parabola aree (ellisse, segmento parabolico) formule goniometriche:

Dettagli

Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009

Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 1) Sono assegnati i punti A(- 1; 3) C(3; 0) M ;1 a) Ricavare le coordinate del simmetrico di A rispetto a M e indicarlo con B. Verificare che il segmento congiungente

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI SU: GEOMETRIA TRIDIMENSIONALE. 2. Fissato un sistema di riferimento cartesiano dello spazio euclideo O, i, j, k,

ESERCIZI SVOLTI SU: GEOMETRIA TRIDIMENSIONALE. 2. Fissato un sistema di riferimento cartesiano dello spazio euclideo O, i, j, k, ESERCIZI SVOLTI SU: GEOMETRIA TRIDIMENSIONALE 1. Fissato un sistema di riferimento cartesiano dello spazio euclideo O, i, j, k, determinare un equazione omogenea del piano parallelo al vettore v = i+j,

Dettagli

Esercizi svolti sulla parabola

Esercizi svolti sulla parabola Liceo Classico Galilei Pisa - Classe a A - Prof. Francesco Daddi - 19 dicembre 011 Esercizi svolti sulla parabola Esercizio 1. Determinare l equazione della parabola avente fuoco in F(1, 1) e per direttrice

Dettagli

Geometria BAER Canale I Esercizi 10

Geometria BAER Canale I Esercizi 10 Geometria BAER Canale I Esercizi 10 Esercizio 1. Data la retta x = t r : y = t z = 1 si trovi il punto A di r tale che l angolo di r con il vettore AO sia π/2, e il punto B di r tale che l angolo di r

Dettagli

Compito di Matematica / Classe 2Dsa / 10-marzo-17 / Alunno:

Compito di Matematica / Classe 2Dsa / 10-marzo-17 / Alunno: Compito di Matematica / Classe 2Dsa / 10-marzo-17 / Alunno: Assegnato il triangolo di vertici A 6, 5 B 5, 2 C(13, 2) determina l ortocentro e il circocentro. Determina l equazione della retta di Eulero.

Dettagli

D4. Circonferenza - Esercizi

D4. Circonferenza - Esercizi D4. Circonferenza - Esercizi Trasformare l equazione della circonferenza nell altra forma e rappresentare graficamente la circonferenza trovandone prima centro e raggio. 1) + --=0 [(-1) +(-1) =, C(1;1),

Dettagli

Corso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi. A1. Siano u, v, w vettori. Quali tra le seguenti operazioni hanno senso?

Corso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi. A1. Siano u, v, w vettori. Quali tra le seguenti operazioni hanno senso? A. Languasco - Esercizi Matematica B - 4. Geometria 1 A: Vettori geometrici Corso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi A1. Siano u, v, w vettori. Quali tra le seguenti operazioni

Dettagli

RETTA NEL PIANO CARTESIANO

RETTA NEL PIANO CARTESIANO RETTA NEL PIANO CARTESIANO Def: una funzione matematica del tipo rappresenta nel piano cartesiano una RETTA. Quindi l EQUAZIONE DI UNA RETTA in forma generica è sempre della forma: COEFFICIENTE ANGOLARE:

Dettagli

3^A - MATEMATICA compito n d. l'equazione della mediana BM, verificando che il baricentro le appartenga;

3^A - MATEMATICA compito n d. l'equazione della mediana BM, verificando che il baricentro le appartenga; ^ - TETI compito n 2-2014-2015 1 Il triangolo ha come lati le rette r : y=x 2, s: x 4=0, t : x y 22=0 Disegna le rette r, s, t e determina: a le coordinate dei vertici =r s, =s t, =t r ; b l'area del triangolo;

Dettagli

Simmetria assiale. Siano a una retta e v = (l, m) un vettore in A 2 (R) (direzione di a non sia proporzionale a v).

Simmetria assiale. Siano a una retta e v = (l, m) un vettore in A 2 (R) (direzione di a non sia proporzionale a v). Simmetria assiale Siano a una retta e v = (l, m) un vettore in A 2 (R) (direzione di a non sia proporzionale a v). Definizione La simmetria assiale di asse a e direzione v è la funzione: σ a : { A2 (R)

Dettagli

http://www.appuntielettro.altervista.org Possiamo associare a ogni punto di una retta orientata un numero reale Il piano cartesiano associamo a ogni punto del piano una coppia di numeri reali Un piano

Dettagli

Equazione cartesiana della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate Siano F(x F; y

Equazione cartesiana della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate Siano F(x F; y LEZIONI PARABOLA Definizione Si definisce parabola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso,, detto fuoco, e da una retta fissa, d, detta direttrice. La definizione data mette

Dettagli

Equazione implicita della circonferenza. b= 2 c= 2 2 r 2

Equazione implicita della circonferenza. b= 2 c= 2 2 r 2 FORMULARIO DI GEOMETRIA ANALITICA Punto medio tra due punti. Distanza fra due punti. Baricentro di un triangolo. M = 1, y M = y 1 y d= 1 y y 1 0 = 1 3 3, y 0 = y 1 y y 3 3 Retta per due punti. Retta per

Dettagli

Macerata 19 dicembre 2014 classe 3M COMPITO DI MATEMATICA RECUPERO ASSENTI ( ) ( ) ( ) C 2; 1.

Macerata 19 dicembre 2014 classe 3M COMPITO DI MATEMATICA RECUPERO ASSENTI ( ) ( ) ( ) C 2; 1. Macerata 9 dicembre 04 classe M COMPITO DI MATEMATICA RECUPERO ASSENTI SOLUZIONE QUESITO In un riferimento cartesiano ortogonale è dato il fascio di rette: k + x k y + k + = 0. Determina il centro C del

Dettagli

C I R C O N F E R E N Z A...

C I R C O N F E R E N Z A... C I R C O N F E R E N Z A... ESERCITAZIONI SVOLTE 3 Equazione della circonferenza di noto centro C e raggio r... 3 Equazione della circonferenza di centro C passante per un punto A... 3 Equazione della

Dettagli

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1942 Luglio, matematicamente.it Luglio 1942 Primo problema. AD > BC AB = l AC = kl (con k > 0) EM = 2 LM EM = DC

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1942 Luglio, matematicamente.it Luglio 1942 Primo problema. AD > BC AB = l AC = kl (con k > 0) EM = 2 LM EM = DC Luglio 194 Primo problema Nel trapezio ABCD di basi AD, BC (con AD > BC), le lunghezze del lato obliquo AB e della diagonale AC sono rispettivamente l e kl. Si sa inoltre che detto E il punto d incontro

Dettagli

Risolvere i seguenti esercizi (le soluzioni sono alla fine di tutti gli esercizi).

Risolvere i seguenti esercizi (le soluzioni sono alla fine di tutti gli esercizi). La geometria analitica nello spazio: punti, vettori, rette e piani esercizi 1 prof D Benetti Risolvere i seguenti esercizi (le soluzioni sono alla fine di tutti gli esercizi) Esercizio 1 Determina due

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA. (*) ax+by+c=0 con a,b,c numeri reali che è detta equazione generale della retta.

GEOMETRIA ANALITICA. (*) ax+by+c=0 con a,b,c numeri reali che è detta equazione generale della retta. EQUAZIONE DELLA RETTA Teoria in sintesi GEOMETRIA ANALITICA Dati due punti A e B nel piano, essi individuano (univocamente) una retta. La retta è rappresentata da un equazione di primo grado in due variabili:

Dettagli

Fasci di rette nel piano affine

Fasci di rette nel piano affine Fasci di rette nel piano affine Definizione Data una retta r 0 di equazione a 0 x + b 0 y + c 0 = 0, si chiama fascio improprio di sostegno r 0 la totalità delle rette parallele a r 0, inclusa r 0. F r0

Dettagli

MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO

MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO La Circonferenza La circonferenza e la sua equazione Introduzione e definizione La circonferenza è una conica, ovvero quella figura ottenuta tagliando un cono con

Dettagli

Determinare l altezza del triangolo relativa al lato AB e tracciare la circonferenza k avente centro in C e tangente al lato AB.

Determinare l altezza del triangolo relativa al lato AB e tracciare la circonferenza k avente centro in C e tangente al lato AB. www.matefilia.it PNI 006 SESSIONE STRAORDINARIA - PROBLEMA 1 È dato il triangolo ABC in cui: AB = 5, AC = 5 5, tg A =. Determinare l altezza del triangolo relativa al lato AB e tracciare la circonferenza

Dettagli

Anno Accademico Corso di Laurea in Scienze biologiche Prova scritta 1 di Istituzioni di Matematiche del 13 febbraio 2007 COMPITO A

Anno Accademico Corso di Laurea in Scienze biologiche Prova scritta 1 di Istituzioni di Matematiche del 13 febbraio 2007 COMPITO A del 13 febbraio 007 COMPITO A 1. Dire per quali valori del parametro reale λ, il seguente sistema lineare x + y = 1 x + y = x y = λ ammette soluzioni e trovarle.. Siano date le rette r : x + 3y + 3 = 0

Dettagli

Geometria Anali-ca. DOCENTE: Vincenzo Pappalardo MATERIA: Matematica L ELLISSE

Geometria Anali-ca. DOCENTE: Vincenzo Pappalardo MATERIA: Matematica L ELLISSE Geometria Anali-ca DOCENTE: Vincenzo Pappalardo MATERIA: Matematica L ELLISSE INTRODUZIONE L ellisse fa parte di un insieme di curve (circonferenza, parabola, iperbole) chiamate coniche, perché si possono

Dettagli

Macerata 6 febbraio 2015 classe 3M COMPITO DI MATEMATICA RECUPERO ASSENTI. 3 3 < x.

Macerata 6 febbraio 2015 classe 3M COMPITO DI MATEMATICA RECUPERO ASSENTI. 3 3 < x. Macerata 6 febbraio 05 classe 3M COMPITO DI MATEMATICA RECUPERO ASSENTI SOLUZIONE QUESITO a) Rappresenta graficamente la curva descritta dalla seguente equazione: x y x y + + + 4 = 0 Per la presenza del

Dettagli

1 Definizioni e proprietà

1 Definizioni e proprietà Definizioni e proprietà Retta e circonferenza Angoli al centro ed angoli alla circonferenza Equazione della circonferenza nel piano cartesiano 5 Posizioni relative ed asse radicale di due circonfferenze

Dettagli

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0. . Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione

Dettagli

Unità Didattica N 9 : La parabola

Unità Didattica N 9 : La parabola 0 Matematica Liceo \ Unità Didattica N 9 La parabola Unità Didattica N 9 : La parabola ) La parabola ad asse verticale ) La parabola ad asse orizzontale 5) Intersezione di una parabola con una retta 6)

Dettagli

Circonferenza. Riordinando i termini secondo il loro grado in senso decrescente, Fig. 1 La circonferenza come luogo geometrico

Circonferenza. Riordinando i termini secondo il loro grado in senso decrescente, Fig. 1 La circonferenza come luogo geometrico 1 Circonferenza La circonferenza come luogo geometrico Nel capitolo precedente, abbiamo definito la circonferenza come la curva che si ottiene intersecando una superficie conica con un piano perpendicolare

Dettagli

1 Geometria analitica nel piano

1 Geometria analitica nel piano Lezioni di Geometria a.a. 2007-2008 cdl SIE prof. C. Franchetti 1 Geometria analitica nel piano 1.1 Distanza di due punti Siano P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ) due punti del piano, se d(p 1, P 2 )

Dettagli

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x = 0.

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x = 0. . Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione

Dettagli

Compito di matematica Classe III ASA 20 novembre 2014

Compito di matematica Classe III ASA 20 novembre 2014 Compito di matematica Classe III ASA 0 novembre 014 1. Risolvere le seguenti disequazioni irrazionali: 8 x x > 1 x x 1 (x 1) Soluzione (algebrica): La prima disequazione è del tipo A(x) > B(x) e l insieme

Dettagli

Geometria BAER Canale A-K Esercizi 10

Geometria BAER Canale A-K Esercizi 10 Geometria BAER 2016-2017 Canale A-K Esercizi Esercizio 1. Data la retta r : y = t z = 1 si trovi il punto A di r tale che l angolo di r con il vettore AO sia π/2, e il punto B di r tale che l angolo di

Dettagli

PIANO CARTESIANO E RETTA

PIANO CARTESIANO E RETTA PIANO CATESIANO E ETTA Distanza tra due punti: d(a, B) = (x A x B ) + (y A y B ) Distanza tra due punti su una retta di coefficiente angolare m: d(a, B) = x A x B + m Punto medio di un segmento: M = (

Dettagli

Formulario. Coordinate del punto medio M di un segmento di estremi A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ): x1 + x y 2

Formulario. Coordinate del punto medio M di un segmento di estremi A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ): x1 + x y 2 Formulario Componenti di un vettore di estremi A(x 1, y 1 e B(x 2, y 2 B A = AB = (x2 x 1 i + (y 2 y 1 j Distanza tra due punti A(x 1, y 1 e B(x 2, y 2 : AB = (x 2 x 1 2 + (y 2 y 1 2 Coordinate del punto

Dettagli

formano una base B di R 3. Scrivere la matrice di passaggio dalla base B alla base canonica e dire se tale matrice è ortogonale.

formano una base B di R 3. Scrivere la matrice di passaggio dalla base B alla base canonica e dire se tale matrice è ortogonale. ) Mostrare che i 3 vettori v=, u=, w= 3 formano una base B di R 3. Scrivere la matrice di passaggio dalla base B alla base canonica e dire se tale matrice è ortogonale. ) Sia f : R 4 R 4 la seguente applicazione

Dettagli

ax 2 +bx+c è anche il trinomio che compare al I membro nelle equazioni di

ax 2 +bx+c è anche il trinomio che compare al I membro nelle equazioni di PARABOLA La parabola si ottiene intersecando un cono con un piano come nella figura sotto. L equazione della parabola è f(x) = ax 2 +bx+c ax 2 +bx+c è anche il trinomio che compare al I membro nelle equazioni

Dettagli

Esercitazione per la prova di recupero del debito formativo

Esercitazione per la prova di recupero del debito formativo LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA Prof. Francesco Marchi 1 Esercitazione per la prova di recupero del debito formativo 24 febbraio 2010 1 Per altri materiali didattici o per contattarmi: Blog personale:

Dettagli

Punti nel piano cartesiano

Punti nel piano cartesiano Punti nel piano cartesiano In un piano consideriamo due rette perpendicolari che chiamiamo x e. Solitamente, disegniamo la retta x (ascisse) orizzontalmente e orientata da sinistra a destra, la retta e

Dettagli

Parte 11. Geometria dello spazio II

Parte 11. Geometria dello spazio II Parte 11. Geometria dello spazio II A. Savo Appunti del Corso di Geometria 2010-11 Indice delle sezioni 1 Il prodotto scalare, 1 2 Distanze, angoli, aree, 4 3 Il prodotto vettoriale, 6 4 Condizioni di

Dettagli

[ ] [ ] [ ] [ ] A B A B A A A B B A B B. Corso Propedeutico di Matematica. 1 Insiemi, retta reale e piano cartesiano ESERCIZI PROPOSTI.

[ ] [ ] [ ] [ ] A B A B A A A B B A B B. Corso Propedeutico di Matematica. 1 Insiemi, retta reale e piano cartesiano ESERCIZI PROPOSTI. ESERCIZI PROPOSTI 1. Dati gli insiemi A = { x N: 5 < x < 10}, B = { x Z: 1 x 5}, C = { x N: x + 3 = 1} A B [ R. { ± 1, ±, ± 3, ± 4, ± 5, 6, 7, 8, 9 } A B [ R. R. 6, 7, 8 A\C { } ( A B) C [ R. { 9 } A (

Dettagli

CORSO ZERO DI MATEMATICA

CORSO ZERO DI MATEMATICA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO Dr. Erasmo Modica erasmo@galois.it LE COORDINATE CARTESIANE Quando si vuole fissare un sistema

Dettagli

SYLLABUS DI GEOMETRIA ANALITICA 3A DON BOSCO

SYLLABUS DI GEOMETRIA ANALITICA 3A DON BOSCO SYLLABUS DI GEOMETRIA ANALITICA 3A DON BOSCO 2014-15 Si precisa che, con questo syllabus, l intenzione non è quella di ridurre l apprendimento della matematica allo studio mnemonico di una serie di procedure.

Dettagli

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI 15 luglio 01 - Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a. 01-01 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono

Dettagli

Piano euclideo. In E 2 (R) fissiamo un riferimento cartesiano ortonormale [O, B], con B = ( e 1, e 2 ).

Piano euclideo. In E 2 (R) fissiamo un riferimento cartesiano ortonormale [O, B], con B = ( e 1, e 2 ). Definizione Si dice spazio (affine) euclideo di dimensione n sul campo reale, uno spazio affine A[A, (V n (R), ), a] in cui il prodotto scalare è definito positivo. Lo si indica con E n (R). In E 2 (R)

Dettagli

MATRICI E SISTEMI LINEARI

MATRICI E SISTEMI LINEARI - - MATRICI E SISTEMI LINEARI ) Calcolare i seguenti determinanti: a - c - d - e - f - g - 8 7 8 h - ) Calcolare per quali valori di si annullano i seguenti determinanti: a - c - ) Calcolare il rango delle

Dettagli

LA PARABOLA. Parabola con asse di simmetria coincidente con l asse y e passante per l origine. Equazione canonica Vertice V ( 0,0) Fuoco

LA PARABOLA. Parabola con asse di simmetria coincidente con l asse y e passante per l origine. Equazione canonica Vertice V ( 0,0) Fuoco LA PARABOLA La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice. Parabola con asse di simmetria coincidente con l asse

Dettagli

IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA ESERCIZI 1. Le coordinate di un punto su un piano 1 A Scrivi le coordinate dei punti indicati in figura. 1 B Scrivi le coordinate dei punti indicati in figura. Rappresenta

Dettagli

1 Introduzione alla geometria analitica

1 Introduzione alla geometria analitica 1.1 Il piano cartesiano 1 Introduzione alla geometria analitica Se R è l'insieme di tutti i numeri reali (rappresentabile su una retta), allora R R = R rappresenta il piano euclideo; infatti ciascun punto

Dettagli

D2. Problemi sulla retta - Esercizi

D2. Problemi sulla retta - Esercizi D. Problemi sulla retta - Esercizi Per tutti gli esercizi è OBBLIGATORIO tracciare il grafico. 1) Trovare il perimetro del triangolo ABC, con A(1;0), B(-1;1), C(0;-). [ 5 + 10 ) Trovare il perimetro del

Dettagli

Test su geometria. 1. una circonferenza. 2. un iperbole. 3. una coppia di iperboli. 4. una coppia di rette. 5. una coppia di circonferenze

Test su geometria. 1. una circonferenza. 2. un iperbole. 3. una coppia di iperboli. 4. una coppia di rette. 5. una coppia di circonferenze Test su geometria Domanda 1 Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, il luogo dei punti le cui coordinate (x; y) soddisfano l equazione x y = 1 è costituita da una circonferenza.

Dettagli

PIANO CARTESIANO. NB: attenzione ai punti con una coordinata nulla: si trovano sugli assi

PIANO CARTESIANO. NB: attenzione ai punti con una coordinata nulla: si trovano sugli assi PIANO CARTESIANO Il piano cartesiano è individuato da due rette perpendicolari (ortogonali) che si incontrano in un punto O detto origine del piano cartesiano. Si fissa sulla retta orizzontale il verso

Dettagli

Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica

Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica 1 Piano cartesiano Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica Consideriamo nel piano due rette perpendicolari che si intersecano in un punto O Consideriamo ciascuna di queste rette come retta orientata

Dettagli

Esercizi riepilogativi sulle coniche verso l esame di stato

Esercizi riepilogativi sulle coniche verso l esame di stato Esercizi riepilogativi sulle coniche verso l esame di stato n. 9 pag. 55 Sono date le curve α e β definite dalle seguenti relazioni: α : xy x y + 4 = 0 β : luogo dei punti P (k + ; 1 + k ), k R a) Dopo

Dettagli

Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto

Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto La parabola Esercizi Esercizio 368.395 Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto 0 ;5 e raggio, e la parabola ha il suo vertice in 0 ;0.

Dettagli

COMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 2012/2013 Prof. Francesca Visentin

COMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 2012/2013 Prof. Francesca Visentin COMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 0/03 Prof. Francesca Visentin CAPITOLO V ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA Riprendiamo alcune nozioni già date nel Capitolo II.. Coordinate cartesiane

Dettagli

Geometria analitica del piano II (M.S. Bernabei & H. Thaler)

Geometria analitica del piano II (M.S. Bernabei & H. Thaler) Geometria analitica del piano II (M.S. Bernabei & H. Thaler) Equazione della retta in forma esplicita Sia data una retta r ax + by + c = 0 con b 0. Svolgendo questa equazione per y otteniamo e ponendo

Dettagli

Geometria Anali-ca. DOCENTE: Vincenzo Pappalardo MATERIA: Matematica LA PARABOLA

Geometria Anali-ca. DOCENTE: Vincenzo Pappalardo MATERIA: Matematica LA PARABOLA Geometria Anali-ca DOCENTE: Vincenzo Pappalardo MATERIA: Matematica LA PARABOLA INTRODUZIONE La parabola fa parte di un insieme di curve (circonferenza, ellisse, iperbole) chiamate coniche, perché si possono

Dettagli