COGNOME... NOME... Matricola... Prof. Camporesi
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- Ida Pini
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1 COGNOME... NOME... Matricola... Prof. Camporesi Esame di ANALISI MATEMATICA - 3 Febbraio 2010 A ESERCIZIO 1. (5 punti) 1. Verificare che z = 1 è una radice del polinomio P (z) = z 3 + ( 3 + 2i)z 2 + (2 6i)z + 4i. Calcolare poi tutte le radici di P. 2. Dimostrare che la seguente funzione f è invertibile nel suo dominio R. Calcolare poi la funzione inversa f 1 ed il suo dominio. f(x) = e 2x + 3e x + 2.
2 ESERCIZIO 2. (5 punti) 1. Studiare la convergenza della serie n=2 ( ) 2 log n. 2 log n 2. Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze ( ) 2 log n x n 2 log n n=2 3. Determinare l insieme di convergenza della serie di potenze del punto 2.
3 ESERCIZIO 3. (8 punti) Data la funzione f(x) = log2 x + 1 log x 1 1. Determinare il dominio e calcolare i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti. Studiare il segno di f. 2. Calcolare la derivata prima di f e determinare gli intervalli di monotonia e i punti di massimo e di minimo relativo.
4 3. Tracciare un grafico qualitativo di f. 4. Calcolare l immagine di f.
5 ESERCIZIO 4. (5 punti) 1. Calcolare lo sviluppo di Mc Laurin al terzo ordine della funzione g(x) = sin(2x). 2. Calcolare l ordine di infinitesimo e la parte principale per x 0 della funzione f(x) = g(x) 1 4x. 3. Stabilire se x = 0 è un punto di massimo, minimo o flesso per f(x).
6 ESERCIZIO 5. (5 punti) 1. Calcolare l integrale indefinito e 4x log(e 2x + 1) dx. 2. Discutere la convergenza del seguente integrale improprio (senza tentare di calcolarne il valore, usando solo i criteri di convergenza): + (x + 2) arctan x x 3 dx
7 ESERCIZIO 6. (5 punti) 1. Calcolare l integrale generale dell equazione differenziale y + 6y + 9y = Determinare una soluzione particolare dell equazione differenziale y + 6y + 9y = x e 3x.
8 COGNOME... NOME... Matricola... Prof. Camporesi Esame di ANALISI MATEMATICA - 3 Febbraio 2010 B ESERCIZIO 1. (5 punti) 1. Verificare che z = 1 è una radice del polinomio P (z) = z 3 + ( 3 2i)z 2 + (2 + 6i)z 4i. Calcolare poi tutte le radici di P. 2. Dimostrare che la seguente funzione f è invertibile nel suo dominio R. Calcolare poi la funzione inversa f 1 ed il suo dominio. f(x) = e 2x + 5e x + 6.
9 ESERCIZIO 2. (5 punti) 1. Studiare la convergenza della serie n=2 ( ) 3 log n. 3 log n 2. Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze ( ) 3 log n x n 3 log n n=2 3. Determinare l insieme di convergenza della serie di potenze del punto 2.
10 ESERCIZIO 3. (8 punti) Data la funzione f(x) = log2 x + 1 log x Determinare il dominio e calcolare i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti. Studiare il segno di f. 2. Calcolare la derivata prima di f e determinare gli intervalli di monotonia e i punti di massimo e di minimo relativo.
11 3. Tracciare un grafico qualitativo di f. 4. Calcolare l immagine di f.
12 ESERCIZIO 4. (5 punti) 1. Calcolare lo sviluppo di Mc Laurin al terzo ordine della funzione g(x) = 1 1 sin(2x). 2. Calcolare l ordine di infinitesimo e la parte principale per x 0 della funzione f(x) = 1 + 4x g(x). 3. Stabilire se x = 0 è un punto di massimo, minimo o flesso per f(x).
13 ESERCIZIO 5. (5 punti) 1. Calcolare l integrale indefinito e 6x log(e 3x + 1) dx. 2. Discutere la convergenza del seguente integrale improprio (senza tentare di calcolarne il valore, usando solo i criteri di convergenza): + (x 2 + 3) arctan x x 3 dx
14 ESERCIZIO 6. (5 punti) 1. Calcolare l integrale generale dell equazione differenziale y + 8y + 16y = Determinare una soluzione particolare dell equazione differenziale y + 8y + 16y = x e 4x.
15 COGNOME... NOME... Matricola... Prof. Camporesi Esame di ANALISI MATEMATICA - 3 Febbraio 2010 C ESERCIZIO 1. (5 punti) 1. Verificare che z = 1 è una radice del polinomio P (z) = z 3 + (3 + 2i)z 2 + (2 + 6i)z + 4i. Calcolare poi tutte le radici di P. 2. Dimostrare che la seguente funzione f è invertibile nel suo dominio R. Calcolare poi la funzione inversa f 1 ed il suo dominio. f(x) = e 2x + 7e x + 12.
16 ESERCIZIO 2. (5 punti) 1. Studiare la convergenza della serie n=2 ( ) 4 log n. 4 log n 2. Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze ( ) 4 log n x n 4 log n n=2 3. Determinare l insieme di convergenza della serie di potenze del punto 2.
17 ESERCIZIO 3. (8 punti) Data la funzione f(x) = log2 x + 2 log x 1 1. Determinare il dominio e calcolare i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti. Studiare il segno di f. 2. Calcolare la derivata prima di f e determinare gli intervalli di monotonia e i punti di massimo e di minimo relativo.
18 3. Tracciare un grafico qualitativo di f. 4. Calcolare l immagine di f.
19 ESERCIZIO 4. (5 punti) 1. Calcolare lo sviluppo di Mc Laurin al terzo ordine della funzione g(x) = sinh(2x). 2. Calcolare l ordine di infinitesimo e la parte principale per x 0 della funzione f(x) = g(x) 1 4x. 3. Stabilire se x = 0 è un punto di massimo, minimo o flesso per f(x).
20 ESERCIZIO 5. (5 punti) 1. Calcolare l integrale indefinito e 8x log(e 4x + 1) dx. 2. Discutere la convergenza del seguente integrale improprio (senza tentare di calcolarne il valore, usando solo i criteri di convergenza): + (x + 4) arctan x x 3 dx
21 ESERCIZIO 6. (5 punti) 1. Calcolare l integrale generale dell equazione differenziale y + 10y + 25y = Determinare una soluzione particolare dell equazione differenziale y + 10y + 25y = x e 5x.
22 COGNOME... NOME... Matricola... Prof. Camporesi Esame di ANALISI MATEMATICA - 3 Febbraio 2010 D ESERCIZIO 1. (5 punti) 1. Verificare che z = 1 è una radice del polinomio P (z) = z 3 + (3 2i)z 2 + (2 6i)z 4i. Calcolare poi tutte le radici di P. 2. Dimostrare che la seguente funzione f è invertibile nel suo dominio R. Calcolare poi la funzione inversa f 1 ed il suo dominio. f(x) = e 2x + 9e x + 20.
23 ESERCIZIO 2. (5 punti) 1. Studiare la convergenza della serie n=2 ( ) 5 log n. 5 log n 2. Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze ( ) 5 log n x n 5 log n n=2 3. Determinare l insieme di convergenza della serie di potenze del punto 2.
24 ESERCIZIO 3. (8 punti) Data la funzione f(x) = log2 x + 2 log x Determinare il dominio e calcolare i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti. Studiare il segno di f. 2. Calcolare la derivata prima di f e determinare gli intervalli di monotonia e i punti di massimo e di minimo relativo.
25 3. Tracciare un grafico qualitativo di f. 4. Calcolare l immagine di f.
26 ESERCIZIO 4. (5 punti) 1. Calcolare lo sviluppo di Mc Laurin al terzo ordine della funzione g(x) = 1 1 sinh(2x). 2. Calcolare l ordine di infinitesimo e la parte principale per x 0 della funzione f(x) = 1 + 4x g(x). 3. Stabilire se x = 0 è un punto di massimo, minimo o flesso per f(x).
27 ESERCIZIO 5. (5 punti) 1. Calcolare l integrale indefinito e 10x log(e 5x + 1) dx. 2. Discutere la convergenza del seguente integrale improprio (senza tentare di calcolarne il valore, usando solo i criteri di convergenza): + (x 2 + 5) arctan x x 3 dx
28 ESERCIZIO 6. (5 punti) 1. Calcolare l integrale generale dell equazione differenziale y + 4y + 4y = Determinare una soluzione particolare dell equazione differenziale y + 4y + 4y = x e 2x.
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