DIARIO DELLE LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA II Corso di laurea in Ingegneria Clinica Canale PZ A.A. 2017/2018 Codocente: Dott. Salvatore Fragapane

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1 DIARIO DELLE LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA II Corso di laurea in Ingegneria Clinica Canale PZ A.A. 07/08 Codocente: Dott. Salvatore Fragapane Lezione - 09/03/08, dalle 6.00 alle 8.00 in aula 6 Es. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme di f n (x) = x + n, x 0. (R: converge puntualmente e uniformemente a f(x) = x in [0, + [) Es. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme di f n (x) = n 3 cos[ n(x + π)], x I = [ π, (R: converge puntualmente e uniformemente a f(x) = 0 in I) Es.3 Studiare la convergenza puntuale ed uniforme di e calcolare f n (x) = arctan[n(x + )] x n + 3 lim n + f n (x) dx. (R: () converge puntualmente in R a f(x) = x, x 0, f(x) = π, x = 0, e uniformemente in A =], a] [a, + [, a > 0; () 4 ) Es.4 Studiare la convergenza puntuale ed uniforme di f n (x) = n x 4 + n x 4, x 0. + x 3π ].

2 (R: converge puntualmente in [0, + [ a f(x) =, x > 0, f(x) = 0, x = 0, e uniformemente in A = [a, + [, a > 0) Es.5 Studiare la convergenza puntuale ed uniforme di e dedurre il valore di f n (x) = xe n x 3 log 37 lim n + log f n (x) dx. (R: () converge puntualmente e uniformemente in [0, + [, a > 0 a f(x) = 0; () 0 ) - Esercizi assegnati: i) Studiare la convergenza puntuale ed uniforme di f n (x) = x n log(x + n), x 0. (R: converge puntualmente in [0, [ a f(x) = 0 e uniformemente in A = [0, a], a > 0) ii) Studiare la convergenza puntuale ed uniforme di e calcolare f n (x) = 5 lim n + ( n + x n ) n, x 0 f n (x) dx. (R: converge puntualmente in [0, + [ a f(x) = e uniformemente in A = [0, a], a > 0) Lezione - 6/03/08, dalle 6.00 alle 8.00 in aula 6 - Richiami teorici: serie telescopiche. Es.6 Studiare la convergenza puntuale e uniforme di x, se x [0, f n (x) = ) n 0, se x [, ]. n

3 (R: converge puntualmente e uniformemente in [0, ] a f(x) = x) Es. Studiare la convergenza puntuale e uniforme di [ x x + n x ], x 0. x + n + (R: converge puntualmente in [0, + [ a f(x) = x e uniformemente in A = [0, a], a > 0) x+ Es. Studiare la convergenza puntuale e totale di x n, x 0. (R: converge puntualmente in [0, [ e totalmente in A = [0, a], a > 0) Es.3 Calcolare log ( ) n (n )e x dx. e x + (R: ) 0 n=3 - Esercizi assegnati: i) Studiare la convergenza puntuale e uniforme di 4n (x ), se x [0, n+ f n (x) =, se x ( n+ 4n, ) n n x, se x [, ] n n 4n ], n. (R: converge puntualmente e uniformemente in [0, ] a f(x) = 4( x) ) ii) Studiare la convergenza puntuale e uniforme di [ (arctan x) n n (arctan ] x)n+. n + (R: converge puntualmente e uniformemente in [ tan, tan ] a f(x) = arctan x) 3

4 iii) Studiare la convergenza puntuale e totale di 3 nx n. (R: converge puntualmente in ], [ e totalmente in A = [ a, a], a > 0) iv) Calcolare (R: π ) (5π 4)(4π 3) 3 n ( x + arctan x + π ) n dx. v) Studiare la convergenza puntuale e totale di ( x n ) e nx, x R. (R: converge puntualmente e totalmente in A =], 0]) vi) Studiare la convergenza puntuale e totale di x n log(x + n), x R. (R: converge puntualmente in ], [ e totalmente in A = [ a, a], a > 0) Lezione 3-3/03/08, dalle 6.00 alle 8.00 in aula 6 - Richiami teorici: formula di Stirling. Es. Determinare raggio e intervallo di convergenza della seguente serie di potenze (R: () R = + ; () I = R) n 3 n! n (x 7)n. 4

5 Es. Determinare raggio e intervallo di convergenza della seguente serie di potenze (R: () R = 0; () x = ) n n log(n + ) (x + )n. Es.3 Determinare raggio e intervallo di convergenza della seguente serie di potenze (R: () R = ; () I = (0, )) n!e n n n (x )n. Es.4 Calcolare la somma della seguente serie (R: ) (log ) n. n! Es.5 Calcolare la somma della seguente serie (R: cos( πx) x, x 0) n=0 ( ) n πn x n (n)!, x 0. Es.6 Sviluppare in serie di Maclaurin la seguente funzione f(x) = 5 ( + x)(3 x) e dire dove converge. (R: () ] + n=0 [( ) n + ( 3 )n x n ; () I= ( 3, 3) ) Es.7 Sviluppare in serie (di funzioni) la seguente funzione f(x) = e x +x 5

6 e dire dove converge. Tale sviluppo, coincide con lo sviluppo in serie di potenze? ( (R: () + x n; e n! x+) () I = R \ { }; (3) No) - Esercizi assegnati: i) Determinare raggio e intervallo di convergenza della seguente serie di potenze (R: () R = 3 ; () I = (0, 6)) n ( x 3 ) n. 3 n + ii) Determinare raggio e intervallo di convergenza della seguente serie di potenze (R: () R = ; () I = [ 5, 3)) n (x + 4) n. iii) Determinare raggio e intervallo di convergenza della seguente serie di potenze (R: () R = ; () I = [0, ]) n n 5 + (x )n. iv) Determinare raggio e intervallo di convergenza della seguente serie di potenze (R: () R = e; () I = ( e, e)) n! n n xn. v) Calcolare la somma della seguente serie (R: log( 3 )) ( ) n n n. 6

7 vi) Calcolare la somma della seguente serie (R: xe ex ) n=0 e n x n+. n! vii) Sviluppare in serie di Taylor, di punto iniziale x 0 =, la seguente funzione f(x) = e dire dove converge. (R: () + n=0 ( + 3n+ )(x ) n ;() I= ( x)(4 3x) ( 3, 4 3 viii) Sviluppare in serie (di funzioni) la seguente funzione ) ) ( x ) f(x) = log + x e dire dove converge. Tale sviluppo, coincide con lo sviluppo in serie di potenze? (R: () ( ) + 3x n; n +x () I = (, ); (3) No) Lezione 4-06/04/08, dalle 6.00 alle 8.00 in aula 6 Es. Sviluppare in serie di Fourier la funzione π-periodica e dedurre il valore di (R: () π + 4( ) k 3 k= cos(kx); () π ) k 6 f(x) = x, x ] π, π] k= Es. Sviluppare in serie di Fourier la funzione k. f(x) = sin x. 7

8 (R: () cos(x), con a 0 =, a =, a k = 0, k 0 k e b k = 0, k ) Es. Sviluppare in serie di Fourier la funzione π-periodica 0, se π < x π f(x) =, se π < x < π 0, se π x π e dedurre il valore di n=0 ( ) n n +. (R: () + ( ) k k=0 cos[(k+)x] = f(x), se x π +zπ,=, se x = π +zπ,z Z; () π) π(k+ 4 Es.3 Sviluppare in serie di Fourier la funzione π-periodica e dedurre il valore di (R: () π 4 π + k= f(x) = sin x k= cos(kx); () ) 4k 4k. - Esercizi assegnati: i) Sviluppare in serie di Fourier la funzione π-periodica f(x) = e x, x ] π, π]. (R: () eπ e π π x = zπ,z Z) eπ e π π + ( ) k k= [cos(kx) k sin(kx)] = f(x), se x zπ,= eπ +e π, se k + ii) Sviluppare in serie di Fourier la funzione f(x) = cos 3 x. (R: () 3 cos x cos(3x), cona = 0, a = 3, a 4 3 =, a 4 k = 0, k k 3 e b k = 0, k ) 8

9 iii) Sviluppare in serie di Fourier la funzione f(x) = sin x cos x. (R: () 4 sin x 4 sin(3x), con b = 3, b 3 = 4, b k = 0, k k 3 e a k = 0, k 0) iv) Sviluppare in serie di Fourier la funzione 4-periodica 0, se < x f(x) =, se < x < 0, se x. (R: () + ( ) k (k+)πx k=0 cos[ ] = f(x), se x + z,=, se x = + z,z Z) π(k+) v) Sviluppare in serie di Fourier la funzione π-periodica f(x) = cos x x, x ] π, π]. (R: () cos x + ( ) k k= sin(kx) = f(x), se x π + zπ,=, se x = π + zπ,z Z) k Lezione 5-3/04/08, dalle 6.00 alle 8.00 in aula 6 - Richiami di Algebra e Geometria: definizione di matrice definite positiva e negativa, semidefinita positiva e negativa, indefinita; criteri per riconoscere tali tipi ti matrici; esempi. - Funzioni in due variabili (): definizione di grafico di una funzione; grafici di piano (Es.), semisfera (Es.3), paraboloide (Es.4), cono a una falda (Es.5) e semi-ellissoide (Es.6). Es. Dire se le seguenti matrici sono definite o semidefinite positive/negative o indefinite ( ) ( ) ( ) A =, B =, C = (R: ()A indefinita; ()B semidefinita positiva; (3) C definita positiva) 9

10 Es. Determinare l insieme di definizione delle seguenti funzioni, specificando se si tratta di un insieme aperto o chiuso, limitato o illimitato. log(x +y +) (a) f(x, y) = e 4 x y + π + (x + y ) π, (b) f(x, y) = x arctan y. Es.3 Calcolare, se esistono, i valori dei seguenti limiti (a) lim (x,y) (0,0) (R: (a) non esiste; (b) non esiste) x y x 4 + y 4, (b) lim (x,y) (0,0) xy 3 x + y 6. Es.4 Dire se la seguente funzione è continua in R y 7 3, (x, y) (0, 0) x f(x, y) = +y 0, (x, y) = (0, 0) (R: sì) - Esercizi assegnati: i) Dire se le seguenti matrici sono definite o semidefinite positive/negative o indefinite ( ) ( ) ( ) A =, B =, C = (R: ()A indefinita; ()B semidefinita negativa; (3) C definita negativa) ii) Determinare l insieme di definizione delle seguenti funzioni, specificando se si tratta di un insieme aperto o chiuso, limitato o illimitato. ( x y ) ( x y ) (a) f(x, y) = log + (x + y ) π, (b) f(x, y) = arcsin. x y x + y iii) Calcolare, se esistono, i valori dei seguenti limiti (a) lim (x,y) (0,0) x 3 x6 + y 6, (b) lim (x,y) (0,0) y 3x 4 + y. 0

11 (R: (a) non esiste; (b) non esiste) iv) Dire se la seguente funzione è continua in R y 8, (x, y) (0, 0) x f(x, y) = 6 +y 6 0, (x, y) = (0, 0) (R: sì) Lezione 6-0/04/08, dalle 6.00 alle 8.00 in aula 6 - Premessa agli integrali doppi (): definizione di insieme convesso; definizioni di dominio normale rispetto all asse x e rispetto all asse y; esempi. Es. Studiare continuità, derivabilità e differenziabilità della seguente funzione x y, (x, y) (0, 0) x f(x, y) = +y. 0, (x, y) = (0, 0) Inoltre, calcolare f ˆv (0, 0) lungo la direzione ˆv = (, 3 ). (R: () continua e derivabile in R, differenziabile in R \ {0, 0); () f ˆv (0, 0) = 3 8 ) Es. Studiare continuità, derivabilità e differenziabilità della seguente funzione x3 +y 3, (x, y) (0, 0) x f(x, y) = +y. 0, (x, y) = (0, 0) Inoltre, calcolare f (0, 0) lungo la direzione v = (, ) e determinare l equazione del piango tangente ad f(x, y) nel punto P (, 0). ˆv (R: () differenziabile in R ; () f (0, 0) = 0; (3) z = x ) ˆv Es.3 Rappresentare graficamente i seguenti insiemi, specificando se si tratta di domini normali rispetto ad uno degli assi cartesiani e se sono insiemi convessi. (a) A = {(x, y) R : x, 0 y 6},

12 (b) B = {(x, y) R : 0 y 4, 0 x y}, (c) C = {(x, y) R : x, 0 y x + }, (d) D = {(x, y) R : y x y}. (R: A, B e D convessi e normali rispetto ai entrambi gli assi; C normale rispetto ad x e non convesso) - Esercizi assegnati: i) Rappresentare graficamente il seguente insieme, specificando se si tratta di un dominio normale rispetto ad uno degli assi cartesiani e se è convesso. (e) E = {(x, y) R : x y 4 x } (R: E normale rispetto ad x e non convesso). Lezione 7-7/04/08, dalle 6.00 alle 8.00 in aula 6 - Premessa agli integrali doppi (): cambi di variabili in domini normali e non; esempi. Es. Determinare un cambio di variabile in modo da rappresentare i seguenti domini come domini normali e rappresentarli graficamente. (a) A = {(x, y) R : x + y 4}, (b) B = {(x, y) R : x x + y 0, y }, (c) C = {(x, y) R : x y x, xy }. (R: (a) A = {(ρ, θ) R : ρ, 0 θ < π}; (b) B = {(ρ, θ) R : π 6 5π, θ } ;(c) C 6 sin θ = {(u, v) R : u, v }) θ Es. Determinare lo sviluppo di Taylor al secondo ordine delle seguenti funzioni centrato nel punto indicato a fianco (a) f(x, y) = log( + x + y ) P 0 (0, 0), (b) f(x, y) = log(x + y) P 0 (, 0).

13 (R: (a) f(x, y) = x +y +o(x +y ); (b) f(x, y) = 3 x y +x+y xy +o(x +y )) Es.3 Determinare e classificare i punti critici della seguente funzione f(x, y) = x y + x 3 y + x y. (R: P (, 0) di sella, P (, 4 ) di minimo relativo, P y(0, y) si minimo relativo, se y < y > 0, di massimo relativo, se < y < 0, di sella, sey = y = 0) - Esercizi assegnati: i) Determinare il gradiente e i punti critici della seguente funzione f(x, y) = x cos(y x) y sin(x y). (R: (a) (x, y) = (cos(y x) + x sin(y x) + y cos(x y), x sin(y x) + sin(x y) y cos(x y)); (b) P k ( π kπ, 3 + π + kπ ), k Z) 8 8 Lezione 8-03/05/08, dalle 6.00 alle 8.00 in aula 6 - Funzioni in due variabili (): definizione di insieme connesso e connesso per archi; teorema del gradiente nullo (con dim.) + controesempio (Es.). - Curve in R 3 : definizione di curva in R 3 ; definizioni di curva di classe C, regolare, semplice, chiusa, piana e regolare a tratti; lunghezza di una curva; esempi. Es. La funzione f(x, y) = arctan( x y ) + arctan(y x ) ha gradiente nullo nel suo insieme di definizione, ma non è ivi costante. Es. Analizzare le seguenti curve (a) γ (t) = (cos t, sin t, t), t [0, π] (b) γ (t) = (t, t, 5t ), t [0, ] Calcolare la lunghezza di γ (t). (R: (a) γ (t) regolare, semplice e non chiusa; (b) γ (t) regolare, semplice, non chiusa e piana; L(γ (t)) = π) Es.3 Calcolare γ x + y ds, 3

14 con (R: (+4π ) 3 3 ) γ(t) = (t cos t, t sin t), t [0, π], spirale di archimede. Es.4 (esempio di curva non rettificabile) x sin f(x) =, se 0 < x x 0, se x = 0 Lezione 9-04/05/08, dalle 6.00 alle 8.00 in aula 6 - Funzioni in due variabili (3): Teorema di Weierstrass; metodo diretto per la ricerca dei massimi e minimi assoluti; esempi. - Premessa agli integrali tripli: coordinate sferiche e coordinate cilindriche. Es. Determinare massimo e minimo assoluti, specificando i punti dove sono assunti, della funzione f(x, y) = 3x + y 3 nell insieme A = {(x, y) R : x + y 4}. (R: max A f(x, y) = = f(±, 0) e min A f(x, y) = 9 = f(0, )) Es. Determinare massimo e minimo assoluti, specificando i punti dove sono assunti, della funzione f(x, y) = x 3 y x nell insieme A = {(x, y) R : y 0, y x }. (R: max A f(x, y) = 0 = f(0, 0) e min A f(x, y) = 3 = f(, 0)) Lezione 0 - /05/08, dalle 6.00 alle 8.00 in aula 6 - Integrali doppi: Baricentro di un dominio piano. 4

15 Es. Determinare massimo e minimo assoluti, specificando i punti dove sono assunti, della funzione f(x, y) = x + y vincolati all insieme A = {(x, y) R : x 4 + y 4 = }. (R: max A f(x, y) = = f(± 4, 4 ) = f( 4, ± 4 ) e min A f(x, y) = 0 = f(±, 0) = f(0, ±)) Es. Determinare i punti della curva x y 3 P (0, ). (R: P 0 (0, 0)) che hanno minima distanza dal punto Es.3 Calcolare con (R: 0) Es.4 Calcolare con (R: ) Es.5 Calcolare con (R: 7 60 ) xy dxdy Ω Ω = {(x, y) R : x + y 9}. (y + x + ) dxdy Ω Ω = {(x, y) R : x, 0 y x + }. y x dxdy Ω Ω = {(x, y) R : 0 x, 0 y x}. Es.6 Calcolare il baricentro dell insieme Ω = {(x, y) R : x + y, x 0}. 5

16 (R: G( 4 3π,0)) Esercizi assegnati: i) Determinare massimo e minimo assoluti, specificando i punti dove sono assunti, della funzione f(x, y) = 3x + y vincolati all insieme A = {(x, y) R : x + y, x 0}. (R: max A f(x, y) = 3 = f(, 0) e min A f(x, y) = 0 = f(0, 0)) ii) Calcolare il baricentro dell insieme (R: G( π, 0)) Ω = {(x, y) R : x + y =, x 0}. iii) Calcolare la misura dell insieme (R: log ) Ω = {(x, y) R : xy, x y x}. Lezione - 7/05/08, dalle 6.00 alle 8.00 in aula 6 - Volumi dei solidi di rotazione (): caso di y = f(z) che ruota attorno all asse z (con dim.); teorema di Pappo-Guldino (con dim.); esempi. Es. Calcolare + e x dx. (R: π) Es. Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione completa dell insieme attorno all asse x. (R: 8π 3 ) Ω = {(x, y) R : 0 x, 0 y x} 6

17 Es.3 Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione completa dell insieme attorno all asse y. (R: 5π ) - Esercizi assegnati: i) Calcolare il volume del solido (R: 5π 3 ) Ω = {(x, y) R : 0 x, 0 y 8 x } Ω = {(x, y, z) R 3 : x + y + z 4, x }. Lezione - 8/05/08, dalle 6.00 alle 8.00 in aula 6 - Volumi dei solidi di rotazione (): caso di z = f(y) che ruota attorno all asse z (con dim.); esempi. Es. Calcolare il volume del solido (R: 7π 6 ) Ω = {(x, y, z) R 3 : x + y + z, z 0, z x + y }. Es. Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione completa dell insieme attorno all asse x. (R: 9π 5 ) Es.3 Calcolare con Ω = {(x, y) R : x, 0 y x } T (x z + y) dxdydz, T = {(x, y, z) R 3 : x + y + z, z x + y } (da completare). 7

18 (R: π 48 ) - Esercizi assegnati: i) Calcolare z dxdydz, Ω con Ω = {(x, y, z) R 3 : x + y + z, z x + y }. (R: (4 )π 5 ) ii) Determinare il baricentro di (R: G(0, 0, 7 0 )) Ω = {(x, y, z) R 3 : x + y + z 4, z }. iii) Calcolare con T [(x + y )z] dxdydz, (R: 3π 60 ) T = {(x, y, z) R 3 : x + y + z, x + y, 0 z + x + y }. iv) Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione completa dell insieme attorno all asse y. (R: 0π 3 ) Ω = {(x, y) R : x 3, 0 y 3 x} Lezione 3-5/05/08, dalle 6.00 alle 8.00 in aula 6 - Area delle superfici di rotazione (): secondo teorema di Pappo-Guldino (con dim.); esempi. Es. Determinare l area della superficie ottenuta dalla rotazione completa attorno all asse 8

19 y della curva y(t) = (cos t, sin t), t [ π, π ]. (R: π) Es. Calcolare con (R: π ) (x + y )ds Σ Σ = {(x, y, z) R 3 : z = x + y, x + y }. Es.3 Sia direttamente che utilizzando il teorema della divergenza, calcolare il flusso del campo vettoriale F = (x, y, z) attraverso la superficie Σ = {(x, y, z) R 3 : x + y 9, z = x + y }, con normale orientata in modo che n + e 3 < 0. (R: 40π) - Esercizi assegnati: i) Calcolare l area della seguente superficie (R: 9π) Σ = {(x, y, z) R 3 : x + y + z 9, y 3 } ii) Calcolare il flusso del campo vettoriale F = ( z, y, x) uscente dalla frontiera di e dalla superficie Σ = ω \ Σ, con (R: 0π 4 ) Ω = {(x, y, z) R 3 : x + z, 0 y 5 z} Σ = {(x, y, z) R 3 : x + z <, y = 0}. iii) Calcolare il flusso del rotore del campo vettoriale F = ( y 3, x 3, xz z ) entrante alla superficie Ω, con Ω = {(x, y, z) R 3 : x + y 4, z x + y } 9

20 e da Σ = Ω \ Σ, con Σ = {(x, y, z) R 3 : x + y < 4, z = }, orientata in modo che n + e 3 > 0. (R: () 0; () π) Lezione 4-9/05/08, dalle 6.00 alle 8.00 in aula 7 - Relezioni tra integrali doppi e curvilinei (): formule di Gauss-Green; area di domini regolari; formula di Stokes in R ; teorema della divergenza in R ; esempi. Es. Calcolare l area della regione di piana D avente come bordo la curva (CARDIOIDE) (R: 3π ) γ(t) = (( cos t) cos t, ( cos t) sin t), t [0, π]. Es. Calcolare l area della regione di piana D avente come bordo la curva (ASTEROIDE) (R: 3π 8 ) x 3 + y 3 =. Es.3 Calcolare ω, con γ ω = xy ( + x ) dx + + x dy e (a) γ(t) = (arctan 3 (t + ) sin t, e sin5 t cos t), t [0, π]; (R: (a) 0; (b) 3 5 ) Es.4 Calcolare ω, con γ (b) γ curva con sostegno Γ = {(x, y) R : x 6 + y 4 percorsa in senso antiorario. =, x } ( x ) ( ω = x + y + + y ) ex y + y dx + x + y + + ex y + dy 0

21 e γ(t) = ( + cos t, sin t), t [ π, π]. (R: log 3 π 4 ) Lezione 5-0/06/08, dalle 6.00 alle 8.00 in aula 6 Es. Calcolare ω, con γ ω = (7x 6 + 4y ) dx + (6x 7 + 5x )dy e γ + curva percorsa in senso antiorario con sostegno (R: 0) Es. Calcolare ω, con γ Γ = {(x, y) R : x 4 + y 4 = }. ω = (xe z + ) dx + e γ il segmento di estremi A(0, 0, 0) e B(,, ). (R: e π + log ) 4 ( ) ( x ) y + dy + dz x + Es.3 Sia direttamente che con le formule di Gauss-Green che usando i risultati sulle forme differenziali, calcolare ω, con γ ω = [x cos(x + y ) + ] dx + [y cos(x + y ) + x]dy e γ = Ω percorsa in senso antiorario, essendo (R: π) Ω = {(x, y) R : x + y 4, y 0} Es.4 Calcolare la circuitazione del campo vettoriale F = (3y, 4x, z 3 ) sul bordo di Σ = {(x, y, z) R 3 : z = x + y, x + y 9},

22 orientata in modo che n + e 3. Che succede se il cono è chiuso? (R: () 36π; () 0) - Esercizi assegnati: i) Calcolare il flusso del campo vettoriale F = (x, y, 3z) attraverso la superficie Σ + = {(x, y, z) R 3 : x + y 4, z = 3 x + y } orientata in modo che n + e 3 < 0, direttamente e col teorema della divergenza. Inoltre, calcolare la circuitazione di F = (y, x, 3z) lungo il bordo di Σ +. (R: () 3π; () 6π)