Produzione di entropia e Lavoro perduto in un semplice processo irreversibile.

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1 Produzione di entropi e Loro perduto in un semplice processo irreersiile Frnco di Lierto Diprtimento di Scienze Fisiche niersità di Npoli Federico II INFN- Sezione di Npoli, nism-nr-infm, nità di Npoli dilierto@ninnit tel x Rissunto Nei processi irreersiili c è produzione di entropi,, ed energi dissipt (o Loro perduto In questo rticolo, si nlizz l relzione tr queste quntità reltimente l pssggio spontneo di clore tr un sorgente cld ed un redd iene mostrto che si possono deinire diersi Il più grnde dei quli è per noi il giusto iene nche mostrto che lo stesso ccde per le mcchine termiche irreersiili e per trsormzioni meno semplici come l espnsione ditic irreersiile di un gs idele strct In the irreersile processes there is entropy production, nd dissipted energy (or lost ork, In this pper we nlyse the reltion etween such quntities or the irreersile process in which some het lows spontneously rom n hot het source to colder one e show tht one cn deine dierent lost works he iggest is or us the true ork It is lso shown tht the sme hppens or the irreersile het engines nd or some complex process like the irreersile ditic expnsion o n idel gs -Introduzione: lusso spontneo di clore e l produzione di entropi L produzione di entropi è un rgomento scinnte, in tnti ci lorno [-3] Negli ultimi nni questo rgomento h uto un ruolo decisio, si teorico che sperimentle, nel processo di mssimizzzione dell eicienz delle mcchine termiche [8-8] In questo rticolo si indgno le connessioni tr produzione di entropi e dissipzione di energi L entropi è un grndezz estensi [,,3] e nei trserimenti tr sistemi può solo umentre o rimnere inltert [4-33] L esempio che meglio illustr l relzione tr energi dissipt e produzione di entropi è il lusso spontneo di clore tr due sorgenti

2 Fig Flusso spontneo di clore tr due sorgenti Sino e sono due termostti tempertur iss con > Il processo nel qule un quntità di clore > luisce d quello cldo quello reddo, è oimente un processo irreersiile: dl termostto prte dell entropi S up ed l secondo rri un quntità mggiore di entropi, Poiché S down S > S c è stt, eidentemente un crezione di down up ntropi, ti S > ( L situzione è diers nel cso di pssggio reersiile di clore tre due sorgenti > Per relizzre tle pssggio occorre un mcchin termic reersiile In tl cso le quntità di clore scmite e sono dierse tr loro, non c è produzione di entropi, ed il loro reersiile tto dll mcchin srà Re ( ( ( uest relzione mostr che nel processo reersiile l entropi che esce dll sorgente rri inltert ll sorgente Intti, nei processi reersiili non si cre entropi ed il loro tto è douto l trserimento di entropi dll sorgente cld quell redd, così come nei si comunicnti il luido pss dll lt pressione ll ss pressione o come l cric elettric nei conduttori pss dl potenzile lto quello sso [,8-3] cos è dout l crezione di ntropi nel processo irreersiile? Nel pssggio dell energi termic, dll sorgente ll sorgente c è stt l crezione di disordine, sono umentte le conigurzioni ccessiili [,7] Supponimo d esempio che, in condizioni normli di pressione, l sorgente si un miscel di cqu e ghiccio ( 73,5 K e è un miscel di romo solido e romo liquido ( 65,8 K Se l energi lsci l sorgente ccde che un prte delle molecole di cqu dient solid, m l stess energi, qundo rri ll sorgente, pssre dllo stto solido llo stto liquido un mggior numero di molecole di romo, come si eince dl tto che il clore ltente (molre di usione del romo, λ Il cso di due sorgenti di cpcità termic init è trttto in ppendice

3 3 è ineriore quello dell cqu, λ ( λ 5,86 KJ/mole, λ 6, KJ/mole In si è creto quindi un disordine mggiore di quello che er presente in, ( ssumendo che lo stto liquido delle due sostnze i identico contenuto entropico molre Nel trserimento irreersiile di clore non è stto tto lcun loro Disponendo inece di un mcchin reersiile, quest ree potuto eetture un loro perduto e pertnto lo indichimo con Dunque in questo cso le loro è ndto In generle Re (3 Doe denot il loro eettimente tto nel processo irreersiile, in questo cso Per il clcolo di occorre dunque clcolre, m qule è il processo reersiile che dee eseguire l mcchin? i sono due possiili processi reersiili corrispondenti l processo spontneo in cui l energi luisce dll sorgente cld ll sorgente redd: quello in cui si sottre d l quntità di clore e si cede l quntità ineriore down in tl cso l mcchin rà il loro ( down (4 quello in cui si cede l quntità di clore e si sottre l quntità nel qule l mcchin rà il loro os dierenzi i due processi? p p ( (5 L quntità di loro prodotto nel primo processo reersiile è ineriore quell prodott nel secondo Il slto di tempertur è lo stesso in entrmi i csi, m l quntità di entropi che iene trserit dll sorgente ll sorgente è minore nel primo processo Dunque > Re e quindi > Le due espressioni del loro perduto,, sono entrme in relzione con l produzione di entropi (

4 4 ti ( (6 p ( (7 down Solitmente nei testi uniersitri si rierimento solo ll (7 Forse trtti in ingnno dll usule seguente scrittur di S ( ( doe il termine nelle qudre rppresent Re cioè il loro tto d un mcchin termic reersiile che ricee il clore dll sorgente Inece dll nlisi ppen tt ppre che l (6 (che rppresent l mggiore energi dissipt si l espressione giust per esprimere in generle il, poiché il processo di tipo è quello in cui c è un mggiore trserimento di entropi uesto risultto è, d ltronde coerente con qunto si solitmente nell nlisi del reltimente ll esempio emlemtico dell espnsione isoterm irreersiile di un gs idele ( In tle processo del clore luisce dll sorgente l gs idele è dunque un riduzione di entropi dell sorgente ( e c è un umento di entropi del gs S gs δ Pd R ln, l produzione di entropi è pertnto S R ln > cioè nel sistem si ritro più entropi di qunt ne si stt sottrtt ll sorgente Per questo processo nche i testi piu riduttii pongono S R ln eidente che il così clcolto è il loro perduto rispetto l processo reersiile che sottre ll sorgente l stess entropi che iene ornit l sistem (processo di tipo Il reltio processo di tipo sree quello che ornisse l sistem l stess entropi che iene sottrtt ll sorgente [34] Insomm nche in questo cso il l mggiore quntità di entropi uesto rorz l lidità dell posizione iene clcolto rispetto l processo reersiile che trserisce p (

5 5 Relzione che è stt recentemente trot nche nell nlisi di irreersiili [] in lcuni semplici processi - Produzione di entropi nelle mcchine termiche non reersiili onsiderzioni nloghe si possono re per le mcchine termiche non reersiili Dt un mcchin termic non reersiile che operi tr le sorgenti e, il loro d ess relizzto srà, l entropi che rri è mggiore di quell che prte d, c è dunque un produzione di entropi S > (8 Ricimo dll espressione di e sostituimolo nell espressione del loro, remo un risultto eressnte: ( + ( (9 Il primo termine destr è il loro di un mcchin reersiile (di tipo che trsport l entropi S up dll sorgente ll sorgente e il secondo termine perduto rispetto l processo reersiile di tipo cioè Primenti dll (8 imo ( ( rppresent il loro ( Il primo termine destr è il loro di un mcchin reersiile (di tipo che trsport l entropi S down dll sorgente perduto rispetto tle processo cioè ll sorgente e il secondo termine rppresent il loro imo dunque isto che ll mcchin termic non reersiile dt corrispondono due possiili mcchine termiche reersiili, per quelle di tipo il loro reersiile prodotto è mggiore e dunque è mggiore il loro perduto rispetto quell dt, quindi, nche in questo cso è nturle porre

6 6 ioè il loro perduto è quello rispetto ll mcchin reersiile di tipo ( Lot 3-nlisi di e in un espnsione ditic irreersiile In quest sezione oglimo mostrre che le nlisi delle sezioni precedenti si possono pplicre nche l cso, più complesso, di un espnsione ditic irreersiile ( di un gs idele Si il loro tto dl gs nell trsormzione dt Dll relzione generle (3, Re è chiro che isogn scegliere un processo reersiile che d dllo stto llo stto e clcolre il reltio onsiderimo un cso concreto Per ogni processo reersiile remo il reltio m P P ext Fig ilindro ditico e gs idele nello stto P Supponimo di ere un cilindro termicmente isolto In esso è contenuto un mole di gs idele mono-tomico che è tenuto ll ext pressione P 4 P 4 P mede un mss m sul pistone moile di mss trscurile e sezione Si il suo olume inizile del gs e P l su tempertur inizile L mss iene tolt dl pistone, R il gs un espnsione ditic irreersiile ed rri l olume ext ed ll pressione P P Poiché non c è stto scmio di clore, il loro irreersiile tto dl gs nell espnsione è ext ( P Σ ( ( Σ In questo cso i processi reersiili corrispondenti sono ininiti! Limitimoci considerre solo due di essi: l isoterm reersiile (che inizi dllo stto e termin nello stto olume + l isocor reersiile che d l isor reersiile (che dllo stto llo stto con olume + l isocor reersiile che d Per relizzre tli processi reersiili occorrono sorgenti termiche con mss M si diisiile in elementi ininitesimi dm Per il processo, poiché non c è loro lungo l isocor (, imo e occorre che l Pd Pd R ln

7 7 Il loro perduto è dunque, per il processo Re R ln ( ( Per il processo, poiché non c è loro lungo l isocor (, imo solo loro lungo l isor reersiile ( Pd P poichè il loro perduto in tle processo è d P ( P ( ( (3 Oimente e imo dunque ncor P ( > R ln (4 L entropi trserit l sistem nel processo è S t ( δ + δ Pd + P ln + ln ed è l stess di quell trserit nel processo S t ( δ + δ Pd + R ln + ln Nel processo di tipo, complessimente, prte dell entropi iene trserit ttrerso un mggiore slto di tempertur ( ti >, questo spieg perché il loro tto è mggiore rispetto l processo di tipo Nturlmente tr gli ltri possiili processi reersiili ce ne srnno sicurmente ltri con un mggiore, qui imo conrontto solo due processi che richiedono le stesse condizioni prtiche cioè l disponiilità di sorgenti termiche con oltre ll condizione che l mss M si, d esempio, costituit di si (di modo che nel processo reersiile isotermo l pressione si poss ridurre progressimente oglimo or trore e in termini dell produzione di ntropi S L relzione elementre S è inutilizzile in qunto nel processo ditico non è presente lcun sorgente estern Recentemente [], però, è stto mostrto che esiste un modo per lutre trmite l produzione di ntropi

8 8 Nel cso di processi irreersiili in ssenz di sorgenti esterne si procede nel modo seguente: si lut l produzione di entropi del sistem nel processo irreersiile eettio, si sceglie uno dei possiili processi reersiili corrispondenti( i, N e lungo tle processo, d ogni psso ininitesimo, si clcol il reltio loro perduto, doe i δ (5 i δ i è l tempertur del sistem l singolo psso eδ è il dierenzile di clcolto singolo psso [ ] Il loro perduto, rispetto ll i-esimo processo reersiile, è dto d i (6 i δ è l produzione di entropi del sistem nel processo irreersiile, deinit dll relzione S t Sin Sout + (7 doe S e S sono rispettimente, le quntità di entropi che entrno ed escono dl sistem in out durnte il processo irreersiile, δ S t è l rizione di entropi del sistem tr gli stti e, indipendente dl prticolre processo reersiile Osserimo ncor che in questo cso ( in cui non c è sorgente estern come quelli in cui non c è produzione di entropi nelle sorgenti esterne (, si h ext + ext (8 tilizzimo dunque l relzione (6 nel cso dell espnsione ditic irreersiile Dlle (7 e (8 poichè S S, imo in out S (9 in e dl Primo principio δ Pd + d, segue δ S R ln + ln ( l generico psso ininitesimo dierenzindo l relzione precedente imo e dl primo principio δ Pd + d, δ δ

9 9 δ δ Pd + d uindi usndo l relzione (6 per il processo, imo che coincide con l ( lcolimo or δ R ln per il processo, osserndo che δ δ ( ed inoltre che d d nell isor e che d d nell isocor dll relzione (6 imo P che coincide con l (3 δ ( Pd + d R( + ( P ( + ( Osserimo ncor che i percorsi e sono solo due dei possiili percorsi reersiili che nno dllo stto llo stto r i possiili oimente il conronto tto solo tr quelli che richiedono pri disponiilità mientli onclusioni imo isto che reltimente d un dto processo irreersiile si possono deinire molti Dl conronto tr questi si constt che l perdit mggiore si h reltimente l processo reersiile che trserisce ( l sistem o ll sorgente l mggiore quntità di entropi Nel cso del lusso spontneo tr due sorgenti tle perdit è In lettertur e nei testi uniersitri l rgomento è ppen ccennto e solitmente si pone In un loro in preprzione si nlizzerà l relzione tr l produzione di entropi e XR cioè l eccesso di loro che iene tto in lcuni processi irreersiili (d esempio un compressione isoterm irreersiile e nel unzionmento delle pompe di clore o rigorieri irreersiili

10 Si che XR rppresentno energi dissipt, il primo è loro che si pote ottenere se si osse operto reersiilmente, il secondo è loro sprecto, loro tto in eccesso rispetto quello strettmente necessrio per l relizzzione del corrispondente processo reersiile ppendice nlisi del loro perduto per sorgenti di cpcità init ui nlizzimo il trserimento irreersiile di clore, tr due sorgenti di cpcità termic init ome sottolineto d Ds [ 7 ] in tle processo i sono lcuni spetti insoliti Sino e due sorgenti di cpcità termic init, d esempio, due oggetti identici M ed M, le cui rispettie temperture sino inizilmente e Nel processo irreersiile il clore può luire inché non si rggiunge l tempertur inle Il clore totle che luisce è ( + (- ( Si può immginre che il processo eng trmite un successione di pssi ininitesimi in ciscuno dei quli del clore δ luisce d Durnte il processo si X l tempertur decrescente dell sorgente M e si Y l tempertur crescente dell sorgente M Il lore inle di X ed Y srà oimente d ogni singolo psso ci srà un produzione ininitesim di entropi δ δ δ δ ( X Y (- Y X X Y uindi l produzione totle di entropi nel processo srà dy dx dx ln ln ln ln Y + + X X (-3 Per lutre, ( che srà ugule poiché nel processo spontneo non c è stto lcun loro doimo nlizzre un corrispondente processo reersiile Nturlmente, per trserire in modo reersiile del clore d M d M occorre un mcchin reersiile che potrà unzionre inchè entrmi i corpi non rggiungono l tempertur inle; si l tempertur inle nel processo reersiile

11 In tle processo reersiile il corpo M rà dto ll mcchin in totle il clore ( ed il corpo M rà riceuto dll mcchin il clore (, quindi il loro reersiile tto dll mcchin srà + : imo dunque Re ( ( + In questo cso [ 7] però non h un relzione semplice con Incomincimo col trore Si ede suito che > Intti, se osse ugule remmo ( l mcchin reersiile ree tto loro nullo durnte il processo! Per trore doimo innnzitutto osserre che nel processo reersiile, d ogni psso dee ccdere che δ X δ rispettimente con M ed M uindi è tle che, doe δ dx e δ dy sono le quntità di clore scmite Y dx X dy Y (4 In deiniti, poiché D cui dx dx cendo l egrzione imo o ln ln (5 Si ede che > e dunque > Ritornndo l legme tr osserimo che dll relzione ( per il singolo psso e ininitesimo si h δ Yδ e δ Xδ m entrmi i tipi di processo si quello di tipo che quello di tipo terminno ll tempertur e in entrmi i csi Re ( + In Ds [7] iene clcolto per il processo irreersiile douto d un mcchin non reersiile che operi tr le due sorgenti Non iene condott l nlisi del nel lusso spontneo di clore Il clcolo riportto è limitto i soli processi del primo tipo, quelli che qui engono chimti di tipo

12 Ringrzimenti Si ringrzino G Monroy, oniglio e M Znnetti per gli utili commenti Reerenze [] G Jo nd R Ruler Physicl hemistry Jo Foundtion (Hmurg 7 [] F di Lierto ntropy production nd lost work or some irreersile processes Phil Mg (7 [3] descu, Optiml pths or minimizing lost ille work during usul het trnser processes, J Non-quli hermodyn olume: 9, pp (4, [4] J de Swn rons, H n der Kooi nd K Snkrnrynn iciency nd Sustinility in the nergy nd hemicl Industries (4 [ 5] J M Smith, H n Ness nd M M ott Introduction to hemicl ngineering hermodynmics, McGrw-Hill (4 [6] P Knti, porting lck holes nd extr-dimensions, Int J Mod Phys (4 [7] P oneey he second lw o thermodynmics: entropy, Nture 333, 49 (988 G Gllotti ntropy production in nonequilirium thermodynmics: reiew hos, 4, , (4 [8] HS Le nd L Jones Gerld, Irreersiility, entropy production nd therml eiciency, m J Phys (975; [9] HS Le, Het engine nd the perormnce o the externl work, m J Phys 46 8 (978; [] HS Le, herml eiciency t mximum work output: new results or old het engines, m J Phys 55 6 (987 [] P Lndserg nd HS Le, hermodynmic cycles with nerly uniersl mximum-work eiciencies, J Phys : Mth nd Gen 49 (989 [] Homnn, KH, ndresen,, Slmon, P, Mesures o dissiption, Phys Re, 39 (989, [3] F ngulo-rown, n ecologicl optimiztion criterion or inite-time het engines, J ppl Phys (99 [4] Z Yn nd L hen, he undmentl optiml reltion nd the ounds o power output eiciency or n irreersile rnot engine, J Phys : Mth nd Gen 8, 667 (995

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14 4 [33] M D'nn, Kocher, P Luini, S Sciorini L'equzione di ilncio dell'energi e dell'entropi L isic nell Scuol olxxxiii (5,9 M D nn, P Luini dding wter little y little GIRP-P onerence Optij, 7 [ 34] Nell espnsione isoterm non reersiile relizzt con un cilindro ugule quello riportto in Fig, m posto conttto termico con l sorgente tempertur si ree P ( Il processo reersiile di tipo doree essere tto d un Isoterm, (con tle che d + un ditic reersiile!!