Appunti di Matematica 2 - Il piano cartesiano. La retta nel piano cartesiano - Il piano cartesiano. Sistema di riferimento cartesiano ortogonale

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1 ppunti di Matematica Il piano cartesiano Sistema di riferimento cartesiano ortogonale Fissare nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale significa fissare due rette perpendicolari orientate chiamate asse x e asse : la loro intersezione viene indicata con O e chiamata origine del sistema di riferimento. In questo modo ad ogni punto P del piano possiamo associare una coppia ordinata (x;) di numeri reali e viceversa ad ogni coppia ordinata (x;) di numeri reali corrisponde un solo punto del piano (vedi figura). Il numero x si chiama ascissa del punto P e il numero si chiama ordinata del punto P. x e si dicono anche coordinate del punto P. Nota E importante sottolineare che ( ) esempio la coppia ( 4 ;3) rappresenta un punto diverso da quello associato alla coppia ( ;4) x; è una coppia ordinata cioè è importante l ordine: per 3. Osservazione I punti sull asse x hanno ordinata =0; i punti sull asse hanno ascissa x=0. Inoltre osserviamo che i punti che si trovano nel cosiddetto I quadrante (vedi figura) hanno ascissa e ordinata positive, quelli del II quadrante ascissa negativa e ordinata positiva ecc. 8

2 ppunti di Matematica Distanza tra due punti Come possiamo calcolare la lunghezza del segmento che congiunge due punti assegnati? 3;, B 6;3. Come possiamo determinare B? Consideriamo per esempio ( ) ( ) Consideriamo il triangolo in figura ed applichiamo il teorema di Pitagora: B = 3 + = 3 In generale se ( x ), B( x ; ) ; abbiamo che B B B = ( xb x ) + ( B ) Osservazione: se i punti e B hanno la stessa ascissa o la stessa ordinata possiamo calcolare la loro distanza semplicemente facendo la differenza tra le ordinate, nel primo caso, o delle ascisse, nel secondo caso. 9

3 ppunti di Matematica Punto medio di un segmento Per determinare le coordinate del punto medio M di un segmento B possiamo considerare le proiezioni di, M e B sull asse x e poi sull asse e, sfruttando un teorema dimostrato sulle rette parallele, affermare che ' M ' = M ' B', '' M '' = M '' B' ' e quindi: x + xb xm x = xb xm xm = M = B M M = + B Esempio Consideriamo per esempio ( ; ), B( 6;3) Il punto medio del segmento B risulta essere M = 4; =. 0

4 ppunti di Matematica Esercizi ) Dati i punti ( ; ), B( 7;), C( 4;6) area. ) Dati i punti ( ; ), B( 6;4), C( 3;8), disegna il triangolo BC e determinane perimetro e [ p = 6; = ], disegna il triangolo BC e verifica che B + BC = C e che quindi (essendo verificato il teorema di Pitagora) si tratta di un triangolo rettangolo. Determina perimetro e area. 5 [ p = , = ] 3) Dati i punti ( ;), B( 4;3), C( ;6), disegna il triangolo BC e detto M il punto medio di C, determina la lunghezza della mediana MB. 4) Dati i punti ( ;3), B( 7;3), C( 3;5) B, verifica che CM = M = MB 5) Dati i punti O ( 0;0) ; ( 4;) ; B( 4;5) ; C( 0;3) [ BM = 5 ], disegna il triangolo BC e detto M il punto medio di 5 =. Come risulta il triangolo BC? [ triangolo rettangolo ], disegna il quadrilatero OBC e verifica che si tratta di un parallelogramma. Determina le coordinate del punto di incontro delle sue diagonali. 6) Dati i punti ( ; ) ; B( 4;) ; C( ;6 ); D( ;) 5 [ ; ], disegna il quadrilatero BCD e verifica che si tratta di un rombo. Determina perimetro e area. Determina le coordinate del punto M in cui si intersecano le sue diagonali. p = 0; = 4; M ; ] 7) Dati i punti ( ; ) ; B( 4;0) ; C( 3;3) ; D( 0;) [ ( ), disegna il quadrilatero BCD e verifica che si tratta di un quadrato. Determina perimetro, area e le coordinate del punto M di intersezione delle sue diagonali. 8) Dati i punti ( ; ); B( 4; ); C( 4;6) ; D( ;5 ) = ] [ p 4 0 ; = 0; M ( ; ), disegna il quadrilatero BCD e verifica che si tratta di un trapezio isoscele. Determina perimetro e area. [ p = ; = ]

5 ppunti di Matematica La retta nel piano cartesiano Cominciamo con qualche esempio. I) Rette parallele agli assi cartesiani Consideriamo la retta r in figura: i punti della retta hanno sempre ordinata uguale a 3. P ( ;3) Q ( 5;3) ecc. Scrivendo = 3 indichiamo tutti i punti che hanno ordinata uguale a 3, cioè tutti e soli i punti della retta r. Diciamo allora che = 3 è l equazione della retta r (o associata alla retta o che descrive la retta) Quindi se diciamo di considerare la retta di equazione = disegneremo la retta in figura. Osservazione: l asse x avrà equazione = 0 In generale quindi una retta parallela all asse x avrà equazione = k (k numero reale) nalogamente una retta parallela all asse avrà tutti i punti con la stessa ascissa e quindi avrà un equazione del tipo x = k (k numero reale). Per esempio in figura abbiamo x =, x = 3, x = 0 (asse ).

6 ppunti di Matematica II) Retta passante per l origine Consideriamo ora la seguente retta r passante per l origine O del sistema di riferimento. Osserviamo che (per la similitudine dei triangoli OP' P, OQ' Q, ecc ) il rapporto tra l ordinata e l ascissa x di un qualsiasi punto su r è sempre. Cioè PP' QQ' = =... = OP' OQ' x p p = In generale se P( x; ) r (cioè se P appartiene alla retta r) si osserva che =. x Ma questa relazione può anche essere scritta = x L equazione = x è quindi l equazione della retta r (descrive la relazione tra ascissa e ordinata dei suoi punti). Il coefficiente è chiamato coefficiente angolare della retta (o inclinazione o pendenza) e in generale indicato con m. Quindi in generale una retta passante per l origine ha equazione = mx dove m è un numero reale ed è detto coefficiente angolare della retta. 3

7 ppunti di Matematica Esempi Proviamo a disegnare alcune rette conoscendo la loro equazione. a) = 3x Potremo fare una tabella, assegnando dei valori alla x e determinando i corrispondenti valori della. x C è però un metodo più veloce che utilizza la quadrettatura del foglio: partiamo dall origine O (sappiamo che la retta passa per O); per determinare un altro punto di r consideriamo il coefficiente angolare m e ricordiamo 3 che m =.Nel nostro caso abbiamo m = 3 : possiamo pensare 3 come e quindi se ci x spostiamo orizzontalmente di quadretto (x=) e saliamo in verticale di 3 quadretti (=+3) partendo dall origine troviamo un punto P di r. possiamo ripetere il procedimento partendo da P per trovare un altro punto Q e così via (l inclinazione è sempre la stessa!). In questo modo, anche senza fare la tabella, individuiamo vari punti e possiamo disegnare la retta. 4

8 ppunti di Matematica b) = x 3 In questo caso il coefficiente angolare è m = = x 3 Possiamo disegnare la retta utilizzando la quadrettatura: partendo da O possiamo spostarci orizzontalmente di 3 quadretti e poi salire verticalmente di quadretti. Ripetendo il procedimento più volte troveremo vari punti senza dover fare calcoli. Nota: attenzione a non confondere lo spostamento orizzontale (x) con lo spostamento verticale (). c) = x Facciamo la tabella x E se usiamo il procedimento sul piano quadrettato? In questo caso m = = quindi, partendo da O, ci spostiamo a destra di (x) e scendiamo verticalmente di poiché =. Esercizi Disegna le seguenti rette: a) x = 5; = 3 b) = 4x ; = 4x c) = x ; = x 3 3 d) = x ; = x e) = x ; = x 4 5 5

9 ppunti di Matematica Osservazioni ) Per quanto abbiamo visto l equazione = mx del sistema di riferimento. Se m > 0 la retta si trova nel I e III quadrante; Se m < 0 la retta si trova nel II e IV quadrante. rappresenta una retta passante per l origine O ) Osserviamo infine che l asse, pur essendo una retta per O, non può essere descritta da un equazione di questo tipo poiché non possiamo associargli un coefficiente angolare (l ascissa di tutti i suoi punti è 0 e non possiamo dividere per 0). 3) bbiamo visto che il coefficiente angolare m di una retta per l origine corrisponde al rapporto x se P( x; ) r. Se consideriamo due punti ( x ; ) e B( x B ; B ) appartenenti a r osserviamo che si ha: B = m x x B 6

10 ppunti di Matematica III) Retta non parallela agli assi e non passante per l origine Consideriamo infine una retta r non parallela agli assi coordinati e non passante per l origine come quella in figura. Come possiamo determinare la sua equazione? Consideriamo il punto in cui la retta interseca l asse : nel nostro caso Q (0;) Ricaviamo il coefficiente angolare considerando il triangolo in figura PHQ (poiché posso ricavare m da una coppia qualsiasi di punti di r): m = 3 L equazione della retta non sarà però = x perché la retta non 3 passa per l origine: se tracciamo = x ci accorgiamo che rispetto 3 ad essa i punti di r hanno sempre l ordinata aumentata di. e quindi l equazione di r risulta: = x + 3 In generale, se indichiamo con Q ( 0; q) il punto di intersezione della retta con l asse, considerando un generico punto P r avremo (vedi figura): q = m q = mx = mx + q x m è il coefficiente angolare q è l ordinata del punto di intersezione di r con l asse e viene anche detta ordinata all origine perché è l ordinata del punto di ascissa x = 0. 7

11 ppunti di Matematica Esempi a) Disegniamo la retta di equazione = x + (m=; q=) Partiamo da Q (0; ) : spostiamoci di e saliamo di (poiché m = = ) e così via. Naturalmente possiamo trovare anche le coordinate dei punti facendo la tabella x, ma il procedimento sul piano quadrettato è più veloce. b) Disegniamo la retta di equazione = x + (m = -; q = ) Esercizi Disegna le seguenti rette: a) = x + 4 ; = x 3 ; = x + b) = 3x ; = x ; = x + 5 8

12 ppunti di Matematica C è un equazione che comprende tutti i casi? Equazione generale della retta Se consideriamo l equazione ax + b + c = 0 dove a, b, c sono coefficienti reali, al variare del valore dei coefficienti abbiamo tutti i casi. c Se a = 0 e b 0 abbiamo rette del tipo = e quindi parallele all asse x; b c Se a 0 e b = 0 abbiamo rette del tipo x = cioè rette parallele all asse ; a a Se a 0 e b 0 ma c = 0 abbiamo = x cioè rette passanti per O (diverse dall asse x) b Se a 0, b 0 e c 0 abbiamo a c = x b b e quindi rette non passanti per l origine e non parallele agli assi. Esempio Disegna la retta di equazione x + 4 = 0 Ricaviamo la : = x + 4 = x + e quindi m = e q =. Esercizi Disegna le rette aventi equazione: a) 3 x + = 0 ; x + 4 = 0 ; 5 5 = 0 ; 4x = 0 b) x = 0 ; x = 0 ; x + = 0 ; 3 x = 0 9

13 ppunti di Matematica Rette parallele Per quello che abbiamo detto è chiaro che due rette, non parallele all asse, sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare. Vediamo in figura le rette di equazione = x e = x +3. Rette perpendicolari Consideriamo una retta per l origine r di equazione = mx (per semplicità sia m > 0 ) e costruiamo il triangolo OD come in figura prendendo cioè OD = e D = m. questo punto disegniamo il triangolo OCB prendendo BC = e OB = m (vedi figura) e tracciamo la retta s che avrà quindi equazione = x. m 30

14 ppunti di Matematica Poiché i triangoli OD e OCB sono uguali per costruzione, avranno tutti gli angoli uguali e in particolare OD = BCO = α e allora essendo BOC = 90 α avremo che l angolo OC = 90 cioè le rette r e s sono perpendicolari. La relazione che abbiamo trovato tra i coefficienti angolari di due rette perpendicolari passanti per l origine vale naturalmente anche per rette perpendicolari non passanti per l origine poiché quello che conta è il coefficiente angolare. Quindi possiamo dire che se una retta ha coefficiente angolare m, una retta con coefficiente angolare m' = m risulta ad essa perpendicolare (e viceversa se due rette sono perpendicolari e non parallele agli assi i loro coefficienti angolari sono uno l antireciproco dell altro). Vediamo per esempio in figura le rette perpendicolari di equazione = x e = x + 3 3

15 ppunti di Matematica Intersezione tra due rette Supponiamo di avere due rette non parallele, per esempio = x e = x + 3 come in figura e di voler trovare le coordinate del loro punto P di intersezione. In questo caso le coordinate si possono determinare facilmente anche osservando la figura: P (;). Ma in generale come possiamo trovarle? Poiché P r le sue coordinate devono verificare l equazione di r e poiché P s le sue coordinate devono verificare l equazione di s : quindi le coordinate ( x ; ) del punto di intersezione devono verificare entrambe le equazioni cioè sono la soluzione del sistema = x = x + 3 Infatti risolvendo abbiamo: = x x = x + 3 = x 3x = 3 = x = In generale quindi per trovare le coordinate del punto di intersezione di due rette basterà risolvere il sistema formato dalle loro equazioni. Nota: se le rette sono parallele il sistema non avrà soluzione. 3

16 ppunti di Matematica Equazione di una retta passante per un punto assegnato P 0 ( x o ; o ) ed avente un coefficiente angolare assegnato m Supponiamo di voler trovare l equazione della retta passante per P 0 (; ) e avente coefficiente angolare m = 3. Se consideriamo un punto ( x ) avremo che x = 3 = 3 P ; sulla retta ( x ) Sviluppando abbiamo quindi che l equazione della retta risulta: = + 3x 3 = 3x In generale se indichiamo con ( x o ; o ) le coordinate del punto P o avremo x x o o = m cioè l equazione della retta passante per ( x ) o o o o = m ( x x ) o P ; e avente coefficiente angolare m risulta o = m ( x xo ) Esercizi Determina l equazione della retta: a) passante per ( ;5) e avente m = b) passante per ( ;0 ) e parallela alla retta di equazione = x c) passante per ( ;3 ) d) passante per ( 0; ) P e perpendicolare alla retta di equazione x = 0 P e parallela alla retta di equazione 3 x = 0 33

17 ppunti di Matematica Equazione della retta passante per due punti assegnati Supponiamo di volere trovare l equazione della retta passante per (;3) e B (6;5). Osserviamo che possiamo ricavare il coefficiente angolare della retta partendo dal triangolo tratteggiato in figura: B m = x x e nel nostro esempio quindi abbiamo m =. B questo punto possiamo utilizzare l equazione della retta per, per esempio, con coefficiente angolare m = e abbiamo 3 = ( x ) In generale per determinare l equazione della retta passante per ( x ; ) e B ( x B ; B ) si determina prima il coefficiente angolare e poi si sfrutta l equazione della retta passante per un punto (possiamo scegliere o B) con coefficiente angolare dato. Se per esempio consideriamo il passaggio per abbiamo: B ( ) = x x x x B ttenzione: se per ricavare m ci si affida al piano quadrettato occorre fare attenzione ai coefficienti angolari negativi. Per esempio le misure dei cateti del triangolo tratteggiato in figura sono ancora e 4 ma in questo caso è chiaro che m =. Infatti m = x B B x 4 = = = 34

18 ppunti di Matematica Esercizi (retta per due punti) ) Determina la retta passante per il punto ( ;3) Disegnala. ) Determina l equazione della retta passante per ( 3;0) Disegna le due rette. 3) Determina l equazione della retta passante per ( ; ) = 3 x +. Disegnale. e avente coefficiente angolare m =. 4) Determina l equazione della retta passante per i punti ( ; 4) e B( 0; ) [ = x + 5] P e parallela alla retta = x ) Determina l equazione della retta passante per i punti ( ; 3) e ( ) [ 3 = x ] P e perpendicolare alla retta 5 [ = x + ] 3 3 e disegnala. 5 [ = x + ] B ; e disegnala. [ = x ] 6) Disegna le rette = 3 x, = 4 x e, dopo aver determinato il loro punto di intersezione, determina l equazione della retta passante per e parallela alla retta di equazione x = 0. 5 [ = x + ] ;3, B ; e disegnala. Determina poi l equazione della retta passante per e perpendicolare a r. 7) Determina l equazione della retta r passante per i punti ( ) ( ) 8 [ = x + ; = 3x + 6 ] 3 3 3;3 ; B ;5 ; C 0;4 ; D ;, determina le equazioni delle rette passanti per -B ; B-C ; C-D e D- e verifica che individuano un quadrato. Disegnale. 8) Dati i punti ( ) ( ) ( ) ( ) 3 [ = x + 9; = x + 4; = x + 4; = x + ] 35

19 ppunti di Matematica rea di un triangolo Come possiamo, in generale, determinare l area di un triangolo BC conoscendo le coordinate dei vertici? ) Consideriamo un esempio: (;) B (6;6) C (8;). È chiaro che in questo caso conviene considerare C come base perché l altezza BH corrisponde alla differenza tra l ordinata di B e quella di (o C). Si ha cioè BH = 4 e quindi rea ( BC) = C BH = 6 4 = Quindi è piuttosto facile determinare l area di BC se un lato è parallelo ad uno degli assi. ) Consideriamo adesso (;) B (6;6) C (7;3) Possiamo in questo caso inscrivere il triangolo in un rettangolo (vedi figura) e determinare l area di BC sottraendo all area del rettangolo le aree dei triangoli tratteggiati (facili da calcolare). bbiamo in questo caso: area BC = area 5 3 rettangolo = 0 = 8 36

20 ppunti di Matematica Ma potevamo determinare l altezza relativa ad una base? Proviamo a considerare B come base: per trovare l altezza CH (vedi figura) dobbiamo prima determinare le coordinate di H. Per trovare H dobbiamo intersecare la retta per e B con la retta per C perpendicolare a r B. r B : = x = x : 3 = x 7 = x + h C ( ) 0 = x x = 5 H : x = x + 0 = x + 0 = 5 Quindi HC = = 8 e in conclusione, essendo B = 3 ritroviamo rea ( BC) = B CH = 3 8 = 56 = 6 = 8 Esercizi (area di un triangolo) ) Trova l area del triangolo di vertici ( ;) B (5;5) C (6; ). [ ) Trova l area del triangolo di vertici ( ; ) ; B( 0;3) ; C( 3;0) 3) Trova l area del triangolo di vertici ( ; ); B( ;4 ); C( 4;3) 39 rea = ]. [ rea = 9 ]. [ 4) Trova l area del triangolo di vertici ( ; ) ; B( 5; ) ; C( ; 3) 9 rea = ]. [ rea = 4 ] 5) Trova l area del triangolo di vertici ( ; ); B( 3;4) ; C( 4; ) relativa ad B. determinando l altezza [ rea = 4 ] 37

21 ppunti di Matematica Esercizi di ricapitolazione. Considera i punti ( ;) B( 6;4) C( 4;8) e determina le equazioni delle rette che individuano il triangolo BC. Verifica che si tratta di un triangolo rettangolo e calcolane l area. [ = x +, = x + 6, = 3x 4, = 0 ]. Scrivi l equazione della retta r passante per O (origine) e, l equazione della retta s perpendicolare a r e passante per e indicato con B il suo punto di intersezione con l asse, determina l area del triangolo OB.. Considera il punto ( ;) [ = x, = x + 4, = 4] ;0, B 4;, D 0;3. Scrivi l equazione della retta passante per e B e determina le coordinate del punto C tale che BCD sia un parallelogramma. 3. Considera i punti ( ) ( ) ( ) 4. Considera i punti ( ;0 ), B( 4;0), C( 3;), D( 0;) che delimitano il trapezio BCD e calcolane l area. 5. Considera i punti ( ;5), B( ;3 ), C( 7; ) ] 3 3 [ = x +, C ( 6;5), C ( 6; ). Determina le equazioni delle rette [ = 0, =, = x + 8, = x +, = 8 ] : verifica che sono allineati (appartengono cioè alla stessa retta) e determina l equazione della retta passante per essi. [ = x + ] Determina l equazione della retta s per (;3) parallela alla retta r : = x. Indica con B l intersezione di s con l asse. Tracciata la retta per parallela all asse e detta C la sua intersezione con r, indica come risulta il quadrilatero BOC e determinane l area. [ s : = x + ; B(0;); C(; ) ; parallelogramma ; = 4 ] 7. Considera i punti ( ;3 ) e B (;6). a) Determina l equazione della retta per e B; b) Considera il quadrato avente lato B e centro (;3). Quali sono le coordinate degli altri due vertici C e D? Determina l area di BCD. [ r B : = x + 4; C(5;3) D(;0); = 8 ] 38

22 ppunti di Matematica 8. Considera i punti (0;3), B (3;5), C (5;). a) Determina le equazioni delle rette r B, r BC, r C b) Verificare che BC è un triangolo rettangolo isoscele c) Determina l area di BC. [ r 3 : = x + 3; rbc : 3x + 9 = 0, rc : = x + 3; = 3 5 B ] 9. Considera il triangolo di vertici ( ;), B (;5), C (3;0). Determina l equazione dell altezza hc uscente da C e detto H il suo punto di intersezione con il lato B, determina l area del triangolo BC considerando il lato B come base. Confronta il risultato con quello che avresti ottenuto usando il metodo elementare di considerare il rettangolo all interno del quale si trova il triangolo. [ rea ( BC) = 9] 0. Considera i punti ( ; ), B (;4 ), C (3;). Verifica che i tre assi del triangolo BC passano tutti per lo stesso punto K e determinane le coordinate. 3 [ K ; ]. Considera i punti ( 5; ), B( 0;6), C( 3; 3). Verifica che le tre altezze del triangolo BC passano tutte per lo stesso punto H e determinane le coordinate.. Considera il triangolo di vertici ( 0;), B( 4;), C( ;6) [ H ( ;) ] : verifica che le mediane del triangolo passano tutte per lo stesso punto G e determinane le coordinate. 3. Considera le rette r : x = 0, s : = x, t : x + 9 = 0. Determina le intersezioni delle rette indicandole con,b,c. 0 [ G ; ] 3 [ ( 3; 4), B( 7; ), C( ;4 ) ] 39