La probabilità. Monia Ranalli. Ranalli M. Probabilità Settimana # 5 1 / 20

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1 La probabilità Monia Ranalli Ranalli M. Probabilità Settimana # 5 1 / 20

2 Sommario Concetti base Evento elementare, spazio campionario ed evento complementare Rappresentazioni dello spazio campionario Intersezione di eventi Unione di eventi Definizioni di probabilità Postulati e conseguenze Probabilità condizionata Indipendenza Regola della probabilità composta Ranalli M. Probabilità Settimana # 5 2 / 20

3 Concetti base I Definizioni base Esperimento casuale (o aleatorio). Seppur ripetuto nelle medesime condizioni non necessariamente fornisce sempre lo stesso risultato. Evento elementare. Un possibile risultato di un esperimento aleatorio. Spazio campionario. Insieme degli eventi elementari (S). Esempi Esperimento Spazio Campionario m1 Lancio di una moneta T,C da Lancio di un dado 1,2,3,4,5,6 ca Estrarre una carta 1, 2, 10, K,... (52) ro Partita della.s.roma vince, pareggia, perde m2 Lancio di due monete (T,T),(T,C),(C,T),(C,C) Ranalli M. Probabilità Settimana # 5 3 / 20

4 Concetti base II Definizioni base Evento. È un qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario, si verifica quando si verifica uno degli eventi elementari che lo compongono. Evento complementare di A. È l evento non si verifica A, è formato da tutti gli eventi elementari che non sono in A ma in S. Si indica con Ā oppure Ac. Esempi Esperimento Evento Evento complementare m1 Testa Croce da Pari Dispari (2,4,6) (1,3,5) ca Cuori Quadri, Fiori, Picche 1, 2,..., K 1,..., K, 1,..., K, 1,..., K ro Vince Pareggia o Perde m2 Testa al primo lancio Croce al primo lancio (T,T), (T,C) (C,T), (C,C) Ranalli M. Probabilità Settimana # 5 4 / 20

5 Rappresentazioni dello spazio campionario Diagrammi di Venn Ranalli M. Probabilità Settimana # 5 5 / 20

6 Intersezione di eventi Intersezione. Dati due eventi A e B, l evento intersezione è quello formato dagli eventi elementari contenuti sia in A, sia in B. Quindi A B accade se A e B accadono simultaneamente. Due eventi si dicono incompatibili se non possono accadere simultaneamente. Ovviamente A e B sono incompatibili se e solo se A B =. Ranalli M. Probabilità Settimana # 5 6 / 20

7 Unione di eventi Intersezione. Dati due eventi A e B, l evento unione è formato dagli eventi elementari contenuti in A e/o B. Quindi A B si verifica se accade A oppure B. Un insieme di eventi è detto colletivamente esaustivo se almeno uno si verifica sicuramente. Ovviamente, l insieme di eventi A 1, A 2,..., A n è collettivamente esaustivo se e solo se A 1 A 2... A n = S Ranalli M. Probabilità Settimana # 5 7 / 20

8 Esempi A B = 1, 2,..., K, 1, 1, 1 Esperimento Evento Intersezione/Unione m1 A = Testa, B= Croce A B = A B = S da A = Pari,B = 1, C = 2 A B = A C = C A B = 1, 2, 4, 6 A C = A ca A = Asso, B = Cuori A B = 1 ro A = Vince, B = Perde A B = C = Pareggia A B = C m2 A = Testa al primo lancio A B = (T, T ) B = Testa al secondo lancio A B = (T, T ), (T, C), (C, T ) Ranalli M. Probabilità Settimana # 5 8 / 20

9 Definizioni di probabilità Classica a priori. La probabilità di un evento è il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili (purchè ugualmente possibili). Classica empirica (Frequentista). La probabilità di un evento è la frequenza di accadimento dell evento su un numero infinito di prove. Soggettiva. La probabilità di un evento è quanto siamo disposti a scommetere sull accadimento dell evento per ricevere 1 se accade. La comunità scientifica non ha trovato accordo su nessuna delle tre. Ranalli M. Probabilità Settimana # 5 9 / 20

10 Probabilità - Postulati Definizione. La probabilità è una funzione di insieme definita nello spazio campionario S che gode delle seguenti proprietà P(S) = 1 P(A) 0 Se A e B sono incompatibili allora: P(A B) = P(A) + P(B) Osservazione. A B 0 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Le tre definizioni precedenti definiscono una probabilità che possiede queste proprietà. Prima conseguenza della definizione Se gli eventi elementari sono equiprobabili, allora P(A) = numero casi favorevoli ad A numero casi possibili Ranalli M. Probabilità Settimana # 5 10 / 20

11 Esempi I Assumendo per tutti gli esperimenti l equiprobabilità degli eventi elementari, otteniamo Esperimento Evento Probabilità m1 A = Testa, B = Croce P(A) = P(B) = 1/2 da A = Pari, B = 1, C = 2 P(A) = 1/2, P(B) = 1/6 P(C) = 1/6, P(A B) = 4/6 ca A = Asso, B = Cuori P(A) = 4/52, P(B) = 13/52 Ro A = Vince, B = Perde C = Pareggia P(A B) = 2/3 m2 A = Testa al primo lancio P(A) = 2/4, P(B) = 2/4 B = Testa al secondo lancio P(A B) = 3/4 Ranalli M. Probabilità Settimana # 5 11 / 20

12 Esempi II Ranalli M. Probabilità Settimana # 5 12 / 20

13 Esempi III Ranalli M. Probabilità Settimana # 5 13 / 20

14 Altre conseguenze della definizione P(A c ) = 1 P(A) P( ) = 1 P(S) = 0 P(A) + P(A c ) = 1 0 P(A) 1 Esempio Ranalli M. Probabilità Settimana # 5 14 / 20

15 Probabilità dell unione P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Esempio Ranalli M. Probabilità Settimana # 5 15 / 20

16 Probabilità condizionata Probabilità condizionata. La probabilità di A condizionata a B è la probabilità di A sapendo che B si è verificato. Probabilità condizionata di A dato B P(A B) = P(A B) P(B) Probabilità condizionata di B dato A P(B A) = P(A B) P(A) Ranalli M. Probabilità Settimana # 5 16 / 20

17 Esempio In un lotto di auto usate, il 70% ha l aria condizionata (AC) ed il 40% ha un lettore CD (CD). Il 20% delle auto ha entrambi. Qual è la probabilità che un auto abbia CD dato che ha AC, i.e., P(CD AC)? Soluzione P(CD AC) = P(CD AC) P(AC) =.2.7 =.2857 Ranalli M. Probabilità Settimana # 5 17 / 20

18 Indipendenza Indipendenza. Due eventi A e B sono detti indipendenti se il verificarsi dell uno non modifica la probabilit di verificarsi dell altro. In formule, A e B sono indipendenti se P(A B) = P(A)P(B). La definizione di indipendenza è così formulata perchè implica P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) Ranalli M. Probabilità Settimana # 5 18 / 20

19 Esempio Ranalli M. Probabilità Settimana # 5 19 / 20

20 Regola della probabilità composta Dati due eventi A e B abbiamo: P(A B) = P(A B)P(B). Molto utile quando il calcolo della condizionata è semplice. Esempio Estraendo casualmente due carte in sequenza da un mazzo, qual è la probabilit di ottenere: 1) (1, 3 ); 2) prima 4 ; 3) seconda 4 ; 4) P(seconda 4 prima 3 ). Soluzioni 1. P(1, 3 ) = P(seconda3 prima1 )P(prima1 ) = P(4 ) = P(seconda4 ) = = P(seconda4 prima3 ) = 1 51 Ranalli M. Probabilità Settimana # 5 20 / 20