UNIVERSITA DEGLI STUDI DI SASSARI. L approccio time series per l analisi e la previsione della disoccupazione sarda

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI SASSARI FACOLTA DI SCIENZE POLITICHE MASTER IN STATISTICA APPLICATA L approccio ime series per l analisi e la previsione della disoccupazione sarda Relaore: Prof. Paolo Maana Tesi di Maser di: Do. Davide Crobu Anno Accademico

2 Indice Premessa Pare eorica: Meodi di analisi delle serie soriche Tipi di dai Diversi approcci allo sudio delle serie soriche Approccio classico Approccio saisico Caraerisiche di un processo socasico Sazionarieà Ergodicià Inveribilià Caraerisiche di una serie emporale: l auocorrelazione Una rappresenazione grafica dell auocorrelazione: il correlogramma I modelli AR I modelli MA I modelli ARMA I modelli inegrai Pare sperimenale: specificazione di un modello auoregressivo applicao al asso di disoccupazione sardo Premessa sulla cosruzione del daase e sulla meodologia Cosruzione del modello e ricerca della sazionarieà La previsione del asso di disoccupazione Conclusioni...52 Bibliografia...53 Allegao saisico...55

3 Premessa Il lavoro di quesa esina nasce da una riflessione mauraa durane la frequenza del Maser di saisica applicaa, ma anche grazie all esperienza mauraa all inerno dell Agenzia Regionale del Lavoro presso la quale preso servizio da circa 6 anni. Infai, in ui quesi anni ho porao avani un lavoro di raccola di dai dell economia sarda e, in paricolare, relaivi al mercao del lavoro sardo. Il lavoro porao avani in seno al seore dell Osservaorio del mercao del lavoro è ormai sandardizzao e pora alla pubblicazione di un bolleino saisico rimesrale denominao Trend Lavoro. Oggi, dopo che si è porao a regime il lavoro, mi sono reso cono che si può e si deve fare di più: capire quali sono le dinamiche e i flussi del mercao del lavoro in un deerminao periodo è imporane non solo per poer progeare e governare poliiche del lavoro efficaci ed efficieni in ermini di spesa, ma è imporane anche per dare una risposa a chi è coinvolo direamene nei processi economici, poliici e sociali della nosra isola. Nell ambio del Maser ho avuo la possibilià di imparare le ecniche saisiche applicae all economia, argomeni che rienrano nell ambio della disciplina denominaa economeria, una maeria osica per alcuni aspei, ma di fondamenale imporanza nella formazione di un ricercaore, o una persona che è chiamaa a svolgere all inerno della propria organizzazione compii di analisi di dai socio economici e di valuazione delle poliiche. Inizialmene avevo scelo quale argomeno da approfondire in sede di esi la relazione esisene fra l andameno del prodoo inerno lordo regionale (o un alra variabile simile come, ad esempio, il valore aggiuno) e la crescia occupazionale, dao che, secondo un ragionameno razionale, si sarebbe porai a pensare che esisa una relazione direa fra quese due grandezze. Queso argomeno si sposava perfeamene anche con le esigenze da più pari manifesae di fare delle analisi qualiaive olre che quaniaive del fenomeno dell occupazione e della disoccupazione sarda. In realà, da una rapida analisi dei dai ho noao che le due grandezze non seguono nel empo un andameno dal quale possano risconrarsi delle regolarià, perano, è molo difficile sudiare il comporameno e le cause che muovono una grandezza per poer inferire sull alra. Infai, le dimensioni ridoe del prodoo regionale e la dipendenza dello sesso da poche grandi realà mi hanno fao capire che simare una relazione di queso ipo al fine di fare analisi e previsioni sulla variabile dipendene, è molo difficile perché la variazione del prodoo regionale dipende maggiormene da variabili connesse a realà 2

4 specifiche di alcuni seori o, addiriura, di alcune aziende e, perano, non segue l andameno del mercao del lavoro, che al conrario ha un andameno più fluido nel empo. Inolre, bisogna osservare che: Il faore umano porebbe essere sosiuio da alri faori produivi. Porebbe capiare che a seconda della convenienza economica sia possibile sosiuire il faore capiale col faore umano e, perano, sia possibile oenere lo sesso prodoo con un minor numero di addei, o un prodoo maggiore con lo sesso numero di addei; La produivià del faore umano non è lo sesso a seconda del seore di aivià economica; La produivià del faore umano cambia con il rascorrere del empo. D alra pare anche la eoria economica non ha elaborao una eoria precisa sulla relazione fra quese due grandezze, anche perchè in leeraura esisono opinioni conrasani. L unica regola empirica che è saa risconraa nella realà è conosciua come legge di Okun. L economisa inorno agli anni seana aveva risconrao meendo in relazione i dai del prodoo inerno lordo americano con il asso di disoccupazione che esiseva una relazione inversa fra le due grandezze. In paricolare per ridurre il asso di disoccupazione di 1 puno percenuale occorreva uno shock nella variazione del prodoo inerno lordo di almeno il 3%. Okun aveva individuao quesa relazione uilizzando i dai americani dalla seconda guerra mondiale agli anni sessana. Uilizzando i dai di periodi successivi quesa regola non è più risconrabile. Perano, la sessa regola è saa messa anche in discussione. Probabilmene l economia sulla quale Okun aveva individuao la regola dipendeva in maniera fore da seori indusriali in cui vi era una cera relazione fra il faore umano e il prodoo, e, perano, per incremenare il prodoo di una nazione occorreva effeivamene un maggior numero di addei. Nel momeno in cui l innovazione ecnologica inroduce nuovi paradigmi produivi viene a cambiare la sruura dell economia e la regola individuaa da Okun non è più risconrabile nella realà. Dopo quesa esperienza ho rifleuo con il Prof. Giorgio Garau, docene di saisica economica all Universià di Sassari, il quale mi ha consigliao di lavorare seguendo un alra sraegia. Infai consideraa la difficolà di cosruire un modello che possa spiegare il fenomeno dell occupazione e della disoccupazione, anche perché i due fenomeni non seguono affao comporameni fra loro dipendeni come al conrario si porebbe pensare, si è pensao di sudiare una serie dal puno di visa saisico per poi 3

5 risalire alla spiegazione economiche che possono aver influio sulla variazione della serie sudiaa e quindi sull alra. Quindi, per fare queso ho inegrao il programma di sudio del maser con le ecniche saisiche proprie delle serie emporali. Tali ecniche prescindono dalla eoria economica e sono sae uilizzae per la prima vola dagli sudiosi Box e Jenkins, dai quali queso approccio prende anche il nome. Tale meodologia è impiegaa soprauo in quei campi di analisi in cui si devono effeuare delle previsioni a breve ermine e si vuole prescindere dalle moivazioni di caraere economico che possono aver indoo sulla variabile dipendene. Le moivazioni di ale scela sono di diversa naura: Naura economica, connessa, ad esempio, alla moleplicià di faori che inervengono sulla variabile ed alla difficolà a reperire gli sessi dai; Naura saisica, relaivamene al fao che sia difficile individuare o cosruire un indicaore che dia informazioni di un cero comporameno, o anche per la semplice scarsià di informazioni. Tue quese problemaiche si presenano soprauo in campo finanziario dove occorre fare delle sime di previsione sui prezzi di una qualsiasi aivià finanziaria, o su un indice rappresenaivo di un mercao, al fine della riduzione del rischio di invesimeno o, semplicemene, a fini speculaivi. Tuavia, creare un modello di funzionameno di un mercao è molo complesso, sia a causa della moleplicià di faori che inervengono nella formazione del prezzo dell aivià finanziaria, sia per la penuria di informazioni. Perano si uilizzano delle ecniche che prescindono dalle deerminani che inervengono sulla formazione del prezzo in quano si presume che ali deerminani siano incorporai nei prezzi. Quindi, pur consapevoli del fao che l approccio delle serie emporali (ime series) è naa per risolvere delle problemaiche in alri campi di ricerca, ci si è resi cono che le caraerisiche del fenomeno da modellare erano simili a quelle che si presenano in campo finanziario. Perano si è scelo di uilizzare le sesse ecniche consapevoli del fao che le finalià per le quali vengono uilizzae in campo finanziario hanno un maggior senso quando vengono applicae in queso campo di analisi, menre hanno scarso significao quando vengono applicae al mercao del lavoro con la semplice finalià di prevedere una componene della domanda di lavoro nel breve periodo. Infai, menre in campo finanziario effeuare una previsione correa di un aivià finanziaria porebbe porare ad un profio, nessun vanaggio di caraere economico si riesce a rarre dalla esaa previsione del asso di disoccupazione. 4

6 Di conseguenza si è risreo il campo di analisi ad una serie sorica, si è rovao un modello che cercasse di spiegare il comporameno della variabile, e successivamene sono sae fae le analisi e le previsioni. Più specificaamene, si è risreo il campo di analisi alla serie del asso di disoccupazione, alla quale sono sae applicae le ecniche saisiche proprie delle ime series, dalle quali è sao poi possibile spiegare alcuni comporameni e verificare la bonà del modello per fini previsionali di breve ermine. Tengo a precisare che queso lavoro va inserio nel coneso dal quale lo sesso nasce, ossia al compleameno di un percorso formaivo, sicuramene di alo livello, ma non ha assoluamene la presunzione di essere un puno di riferimeno in queso campo di ricerca. Colgo l occasione per ringraziare ue le persone che hanno conribuio direamene e indireamene alla realizzazione di queso lavoro e, in paricolare, il direore dell Agenzia Regionale del Lavoro, Luciano Uras, l Assessore regionale del Lavoro, Maeo Luridiana, ui i professori, e, in paricolare Prof. Giorgio Garau e Prof. Paolo Maana, e i colleghi del Maser che mi hanno aiuao lungo uo queso percorso formaivo, sia a risolvere problemi legai alla maeria oggeo di sudio, sia a superare quei momeni di difficolà che ben conosce chi fa ricerca in queso campo. Davide Crobu 5

7 1. Pare eorica: Meodi di analisi delle serie soriche. 1.1 Tipi di dai I dai saisici possono essere di re ipi: 1. sezionali (cross secion); 2. emporali (ime series); 3. longiudinali (daa panel). I dai sezionali sono delle osservazioni riferie ad un individuo o, più in generale, ad una unià saisica rilevai nello sesso isane di empo. In quesi dai la variabile empo non ha alcuna rilevanza. Tabella n.1: esempio di daa se di ipo cross secion Individuo Reddio livello di sudio esperienza , , , , , , , , , , I dai emporali invece cosiuiscono rilevazioni riferie ad un individuo, o ad una enià saisica, effeuae in periodi di empo definii ed equidisani. Nelle serie emporali la variabile osservaa viene agganciaa al empo in cui viene rilevaa. Tabella n.2: esempio di daa se di ipo ime series Periodo Occupai Disoccupai Persone in cerca di lavoro Persone in Alre cerca di 1^ persone in occup. cerca Toale in cerca Gen. ' Apr. ' Lug. ' O. ' Gen. ' Apr. ' Lug. ' O. ' Gen. ' Apr. ' Lug. ' O. ' Gen. ' Apr.' Lug. '

8 Quando un insieme di caraerisiche riferie a più individui, o a più enià saisiche, sono rilevae in diversi isani di empo si realizza una base di dai di ipo longiudinale. Inolre, si definisce daa se l insieme dei dai memorizzai in forma eleronica relaivi ad una indagine o ad un fenomeno osservao. Un esempio di daa se longiudinale può essere rappresenao dai dai che scauriscono dall indagine condoa dall Isa sul paniere di beni per il calcolo dell indice sul coso della via: l insieme dei prezzi dei beni che cosiuiscono il paniere rilevai in un dao isane cosiuisce una cross secion, quando però si considera lo sesso paniere in relazione al empo si oiene un daa panel. Esise una differenza imporane fra dai sezionali e dai emporali. Infai, menre nelle ime series assume rilevanza l ordine imposo dal empo relaivo al momeno in cui il fenomeno viene osservao, nelle cross secion ale ordine non ha alcuna rilevanza. Cosicché, menre per quesi ulimi è possibile sudiare le caraerisiche del daa se a prescindere dall ordine che gli viene dao, nelle ime series prima di fare un analisi descriiva è fondamenale ordinare i dai in base al empo. Inolre, menre nei dai cross secion è immaginabile pensare che i dai osservai siano fra loro indipendeni, nelle ime series invece, la variabile osservaa ad un dao isane dipende anche dalle osservazioni precedeni, e perano, non è possibile assumere che le osservazioni siano fra loro indipendeni. Tale caraerisica è noa come auocovarianza, di cui si dirà in seguio. Gli obieivi dell analisi delle serie soriche sono di diversa naura: spesso viene faa per descrivere un fenomeno o rovare delle spiegazioni araverso i comporameni che ha avuo nel passao la variabile oggeo di osservazione; ma viene faa, sempre più spesso, al fine di effeuare previsioni per il fuuro. Infai, araverso la comprensione della soria del fenomeno oggeo di osservazione è possibile creare un modello capace di descrivere il comporameno che assume il fenomeno in relazione al empo e fare affermazioni sulle possibili, o più probabili, realizzazioni che la serie avrà in fuuro. Da sempre la previsione ha susciao nell uomo un fascino paricolare, sia quando quesa viene applicao alle scienze fisiche e naurali, sia quando ci si rova nel campo dell economia, della poliica e della finanza, dove risula ancor più difficile rovare spiegazioni a deerminai fenomeni. Deerminai fenomeni che in passao risulavano imprevedibili, oggi araverso l analisi delle serie soriche e delle relazioni fra diverse variabili è possibile effeuare delle previsioni con un basso margine di errore. Tuavia, bisogna fare una disinzione fra l analisi delle serie soriche in senso saisico e la 7

9 branca della saisica che sudia le relazioni fra variabili, cioè all economeria quando l oggeo di sudio è la maeria economica. Infai, menre ques ulima sudia le ecniche saisiche relaive alle relazioni che esisono fra una cera variabile dipendene (esogena) e una serie di alre variabili indipendeni (endogene) che hanno una relazione con il fenomeno oggeo di osservazione, l analisi delle serie soriche sudia invece la soria della sola variabile osservaa, al fine di rovare un modello eorico di riferimeno che sia in grado di generare la serie oggeo di analisi e fare previsioni sulle fuure realizzazioni della serie. Oggeo di quesa raazione è l analisi saisica delle serie soriche della domanda di lavoro sarda, in paricolare per quano aiene al asso di disoccupazione al fine di rovare un modello rappresenaivo dell andameno della variabile e di effeuare delle previsioni a breve ermine. Non sono oggeo di quesa raazione lo sudio delle variabili che hanno generao l andameno della disoccupazione e dell occupazione in Sardegna. 1.2 Diversi approcci allo sudio delle serie soriche Le serie soriche possono essere analizzae seguendo due approcci: il primo, cosiddeo classico, consise nella descrizione delle caraerisiche della serie sorica con srumeni propri della saisica, quali medie mobili, regressioni e inerpolazioni. Il secondo approccio, più moderno, deo anche socasico, consise nella deerminazione di un modello eorico di riferimeno in grado di generare una serie simile a quella oggeo di analisi e di sudio e fare inferenza su di essa. Infai, menre l approccio classico ha caraere prevalenemene descriivo, l approccio saisico si pone soprauo finalià di ipo previsionale. Di seguio si analizzeranno i fondameni eorici di enrambi i meodi focalizzando l aenzione sull approccio saisico, oggeo di quesa raazione Approccio classico Nell approccio classico l analisi della serie sorica si realizza araverso la scomposizione della serie nelle componeni di endenza, ciclo e sagionalià, e la successiva deerminazione delle diversi componeni della serie. Per queso moivo quesa meodologia viene spesso denominaa anche analisi delle componeni. Nell approccio classico la previsione si realizza araverso la deerminazione di una funzione maemaica (lineare, parabolica, iperbolica, ecc), spesso simaa con il meodo dei minimi quadrai. I valori fuuri della serie vengono poi esrapolai dalla funzione maemaica ed aggiusai dalle alre componeni di ciclo e sagionalià. Tale meodologia 8

10 viene usaa più per finalià descriive che non per finalià previsionali in quano, prevedendo solo la componene di endenza del fenomeno, non è in grado di pervenire a buone previsioni. Il modello può essere sineizzao nel seguene modo: x = ϕ ( T, C, S, A ) dove x è la variabile osservaa al empo, T, C, S, e A, sono le componeni sisemaiche osservae nello sesso isane di empo. Più in paricolare: T rappresena la componene di rend, cioè la endenza generale della serie sorica, l andameno di lungo periodo che la variabile oggeo di osservazione ha avuo nell arco di un empo molo eseso (in genere cinquan anni o anche un secolo). C è la componene ciclica, cioè l alernanza regisraa dalla serie nel corso di più anni, in genere in un periodo variabile fra i 5 e i anni, a seconda della variabile oggeo di osservazione. S è la componene sagionale, legaa cioè al diverso andameno che regisra la serie nel corso di un anno solare, dovuo quindi a cause direamene connesse al succedersi delle sagioni naurali. A rappresena la componene accidenale, o di errore. Menre le cause della variabilià nel empo delle componeni di endenza, di ciclo e di sagionalià sono direamene connesse al fenomeno oggeo di osservazione, la componene accidenale è spesso dovua a shock eserni al fenomeno, o ad eveni di naura puramene aleaoria, difficili da prevedere in quano privi di una cera regolarià nel empo. Del modello classico sono sae propose varie specificazioni a seconda di come inerferiscono le diverse componeni sulla variabile osservaa. In paricolare, dalla eoria sono sai proposi i segueni modelli funzionali: 1) modello addiivo: x = T + C + S + A 2) modello moliplicaivo: x modello: = T C S A che può essere ricondoo araverso una rasformazione logarimica al seguene Logx = LogT + LogC + LogS + LogA 9

11 3) modello miso: x + = T C S A oppure x T C + S + A = quando il rend e il ciclo vengono aribuie ad un unica componene. Da noare che nel modello addiivo le componeni sono espresse nella sessa unià di misura della variabile osservaa e ciascuna deerminane è simaa in maniera auonoma e indipendene dalle alre. Il modello moliplicaivo, di solio più usao per la rappresenazione dei fenomeni economici, ha solo la componene di endenza espressa nell unià di misura della variabile osservaa. Le alre componeni sono rappresenai da coefficieni che amplificano o riducono l effeo della componene di endenza a seconda di come vadano ad influire in quel dao isane le componeni cicliche, sagionali ed accidenali Approccio saisico Come viso in precedenza nell approccio saisico l analisi delle serie emporali avviene araverso la specificazione di un modello eorico di riferimeno che è in grado di generare, in base a dei coefficieni simai, una serie emporale quano più possibile vicina a quella oggeo di analisi e previsione. L analisi e la successiva previsione viene poi effeuaa sul modello eorico cosruio. L analisi saisica applicaa alle serie di variabili economiche può essere consideraa anche come una meodologia capace di modellare una qualsiasi serie a prescindere dalle leggi che la eoria economica ha elaborao. Quesa esigenza si presena in ui i quegli ambii di ricerca in cui si è ineressai a fare delle previsioni di breve ermine di una qualsiasi variabile economica come ad esempio, il PIL, il valore aggiuno, la disoccupazione e l occupazione, variabili difficilmene modellabili dal puno di visa eorico. Queso approccio risula essere uile anche in ui quei conesi in cui sia difficile reperire i dai sulle variabili che spiegano un deerminao fenomeno, quando cioè vi è scarsià di informazioni. Non c è dubbio che l approccio saisico può sembrare la via più comoda da inraprendere ma spesso risula essere anche la srada più affidabile 1. Alla base dell approccio saisico sa la eoria dei processi socasici, inesi come una sequenza di variabili casuali ordinae nel empo. Infai nell approccio saisico si pone l obieivo di capire la naura e le caraerisiche del processo socasico che genera la serie sorica osservaa, in alri ermini il problema da risolvere è di risalire dai dai alla 1 R. Golinelli, Analisi saisica delle serie soriche sazionarie, Appuni dalle lezioni, lezione 17, pag.1 10

12 scaola nera 2. Per fare queso è necessario sudiare il comporameno della variabile osservaa per rovare il processo socasico che più di ogni alro è in grado di generare la serie che si vuole sudiare e prevedere. La saisica economica e l economeria hanno elaborao una serie di modelli socasici per sudiare il comporameno di alcune variabili economiche e finanziarie e sono sai fai sudi e verifiche empiriche sulla capacià di alcuni modelli di descrivere meglio cere variabili. Fra i modelli che la eoria ha elaborao si evidenziano: i modelli auoregressivi, indicai con la sigla AR. Sono dei modelli univariai caraerizzai cioè dal fao che il comporameno della variabile osservaa y dipende esclusivamene dai suoi valori passai, a meno di uno shock casuale (e ). Queso modello è capace di descrivere e prevedere con un acceabile margine di errore quei fenomeni che hanno un andameno nel empo approssimabile ad una rea, e anche quelli che presenano delle oscillazioni dovue alla sagionalià. i modelli a media mobile dei anche mooving everage dallo loro raduzione in lingua inglese, e indicai con la sigla MA. Sono dei processi socasici univariai caraerizzai dal fao che il comporameno della variabile osservaa e modellaa (y ) dipende solo dai valori preseni e passai degli shock che la sessa variabile ha subio nel empo. Il ermine mooving average deriva dal fao che la variabile y è una somma ponderaa dei valori più recedeni degli shock; i modelli ARMA nascono dall unione del modello auoregressivo e a media mobile. Sono quelli più uilizzai su serie emporali che non presenano sagionalià, quindi su serie emporali di dai annuali (ad esempio per le serie del PIL di un paese), sulle quali si devono compiere operazioni di medie mobili e di regressione per raggiungere la sazionarieà della serie, condizione necessaria per fare analisi e previsioni e di cui si parlerà in seguio. In praica i modelli ARIMA si uilizzano per ue quelle serie emporali sazionarie inorno a un rend (Trend Saionary, indicai con la sigla TS). I modelli ARIMA sono alri modelli univariai che presenano sia componeni auoregressive sia a media mobile come i modelli ARMA, ma, a differenza di quesi ulimi, la serie di origine sulla quale viene faa l analisi è cosiuia dalle differenze fra un valore della serie e il precedene. Infai la leera I sa Inegraed (inegrao) per riornare alla serie originale si deve compiere 2 L. Sanca, Appuni per il corso di economeria B, Aprile 2003, pag.6. 11

13 l operazione inversa della differenziazione che è dea inegrazione. Per queso moivo si dice anche che i modelli ARIMA sono sazionari in differenza (Difference Saionary, indicai con la sigla DS). I modelli VAR a differenza dei precedeni sono dei modelli mulivariai, dove cioè la variabile che si vuole prevedere dipende, olre che dalla serie sorica della variabile sessa, anche da alre variabili osservae negli sessi isani di empo, o relaive a un deerminao periodo. Nella definizione di modelli complessi, anche di naura economica, capia spesso di sudiare dei fenomeni che vengano spiegai da più di una variabile. In quesi casi si devono uilizzare dei veori (da cui deriva l acronimo della leera V) di variabili osservae per gli sessi isani di empo o relaivi ad un periodo. La previsione su una daa variabile viene faa araverso lo sudio conemporaneo di ue le variabili. In praica il modello VAR cosiuisce la generalizzazione mulivariaa del processo AR. I modelli a varianza condizionaa indicai con la sigla ARCH e GARCH dagli acronimi delle raduzioni di AuoRegressive Condiional Heeroskedasiciy, e Generalized AuoRegressive Condiional Heeroskedasiciy che vengono uilizzai per lo sudio di variabili che presenano una variabilià della varianza con il rascorrere del empo. Tale caraerisica si presena soprauo nelle serie soriche dei rendimeni di aivià finanziarie, in cui si deve prevedere il rischio, che è connesso alla varianza, o, come anche si dice in ermini finanziari, alla volailià dell aivià finanziaria. Tali modelli si basano sull assuno che per isani di empo vicini le varianze della serie hanno valori simili, menre per isani di empo lonani ali varianze sono dissimili. Dei modelli AR e MA e delle varie combinazioni ARMA e ARIMA si dirà in seguio, menre i modelli VAR, ARCH e GARCH non verranno analizzai nel deaglio in quano non applicai alla maeria oggeo di analisi e di previsione di quesa raazione. L approccio allo sudio delle serie emporali fao araverso la deerminazione di un modello eorico è deo anche di Box-Jenkins, dai nomi dei due sudiosi che per primi ne hanno proposo al meodologia. Tale meodologia consise nel procedere secondo un percorso individuao dai due sudiosi aricolao in re fasi per l individuazione del modello eorico di riferimeno e la successiva sima dei parameri. La prima fase consise nell idenificazione del modello eorico di riferimeno. Ciò si realizza araverso la rasformazione della serie oggeo di analisi al fine di renderla 12

14 sazionaria in media, varianza e covarianza, condizione, ques ulima, necessaria sia per oenere delle sime dei parameri del modello che rispeino i requisii della consisenza, correezza, ed efficienza, sia per poer fare inferenza sul modello sesso. Nelle serie emporali di naura economica una rasformazione che spesso viene faa consise nella deerminazione del logarimo dei valori della serie z =? lny, che corrisponde approssimaivamene al asso di variazione del fenomeno: y y y y Successivamene si seleziona il modello eorico sulla base delle funzioni di auocorrelazione globale e parziale della serie rasformaa. Per fare queso viene uilizzao uno srumeno grafico denominao correlogramma. Dal confrono dei correlogrammi delle auocorrelazione oali e parziali vengono deerminai i parameri p e q che definiscono l ordine e il ipo di processo socasico eorico che genera quella deerminaa serie. Più specificaamene, se dal conrollo dei correlogrammi risula: Il paramero q è pari a 0, menre il paramero p è un numero maggiore di 0, 1 allora il processo socasico generaore sarà un AR di ordine p, e si indica con la sigla AR(p). Il paramero p è pari a 0, menre il paramero q è un numero maggiore di 0, allora il processo socasico generaore sarà di ipo MA di ordine q, e si indica con la sigla MA(q). Sia il paramero p che il paramero q sono maggiori di zero, allora il processo socasico generaore è di ipo miso e si indica con la sigla ARMA(p,q). Individuao il modello si passa alla seconda fase individuaa da Box e Jenkins che consise nella sima dei parameri del modello. Tale sima avviene con il meodo della massima verosomiglianza che nei processi di ipo auoregressivi, coincide al meodo dei minimi quadrai oenue dalla regressione dei valori della serie y sui p valori riardai. Ad esempio nel caso di un modello AR(1) senza cosane il paramero da simare è dao dalla seguene formula: ˆ φ T 1 y = 2 1 = T y = 2 1 Nel caso dei processi MA ed anche in quelli misi, che hanno cioè sia componeni auoregressive sia componeni a media mobile (ARMA), la somma dei quadrai dei y 13

15 residui è non lineare nei parameri? e la minimizzazione uilizza algorimi ieraivi, non esisendo una soluzione esplicia 3. Infine la erza fase consise nella verifica dei parameri araverso l applicazione di paricolari es di significaivià dei parameri del modello deerminao e l analisi dei residui delle sime. In paricolare in quesa fase si devono verificare re proprieà: normalià, omoschedasicià e incorrelazione dei residui. Infai, se i residui delle sime dei parameri si comporano in maniera non normale, o presenano eeroschedasicià, o esise una correlazione dei residui, le sime sono, a seconda dei casi, disore, inconsiseni o inefficieni, in praica non rispeano le proprieà degli simaori e non sono B.L.U.E. (Bes, Linear, Unbiased, Esimaor). Oenua la sima del modello lo sesso può essere uilizzao per le finalià per le quali è sao cosruio, ovvero: 1. descrivere il comporameno della serie rispeo al empo; 2. spiegarne il comporameno rispeo al empo; 3. fare previsioni delle possibili realizzazioni fuure della serie araverso l esrapolazione dal modello dei valori fuuri. L approccio saisico viene usao soprauo per ques ulima finalià poi esso è in grado di pervenire a previsioni più precise, nel senso che si sono dimosrae avere un margine di errore minore delle alre meodologie di scomposizione della serie nelle varie componeni di rend, ciclo e sagionalià. Perano, l approccio saisico è maggiormene uilizzao in quegli ambii di ricerca in cui si devono effeuare previsioni piuoso che semplici descrizioni o spiegazioni del fenomeno. 3 T. Proiei, Economeria applicaa, appuni ad uso degli sudeni, pag

16 1.3 Caraerisiche di un processo socasico Come si è viso un processo socasico dal puno di visa saisico è un insieme di variabili casuali ordinae nel empo. Per descrivere un processo socasico è necessario conoscere ue le disribuzioni congiune di probabilià delle variabili indicae con x che compongono il processo sesso, e poiché ciò è molo difficile, si ricorre alla deerminazione di alcuni valori sineici che prendono il nome di momeni del processo aleaorio. Tali momeni sono: 1. la media, indicaa con µ, che è pari al valore aeso E(x ); 2. la varianza, V(x ), che è pari a s 2, che è anche uguale a E(x - µ) 2 ; 3. l auocovarianza, indicaa con? k che è pari a E[(x - µ)(x -k µ)] dove k è il riardo o, in inglese, lag. La media è anche dea momeno di ordine primo, la varianza e l auocovarianza sono momeni di ordine secondo. I momeni superiori al secondo, come ad esempio l asimmeria e la curosi (momeno erzo), non verranno esaminai in quesa sede perché non hanno rilevanza per la definizione e le finalià dei modelli socasici illusrai in quesa raazione. Il fao che per i processi socasici sia possibile definire dei momeni è una caraerisica dei processi socasici in quano sruure probabilisiche. Quando però si vuole uilizzare quese sruure come base per fare inferenza si pongono due problemi 4 : 1. Se la serie che si osserva, peralro non nella sua inerezza, è una sola realizzazione delle mole possibili, la possibilià di fare inferenza sul processo non può essere daa per sconaa; infai non è possibile dire quali caraerisiche della serie osservaa sono specifiche della realizzazione osservaa e quali invece si presenerebbero osservandone un alra. 2. Se anche fosse possibile uilizzare una sola realizzazione per fare inferenza sulle caraerisiche del processo, è necessario che esso sia sabile nel empo, cioè che i suoi connoai (media, varianza, ecc.) non cambino nel empo, o, per lo meno, nell inervallo di osservazione. Quese osservazioni fanno sì che di ui i possibili processi socasici solano su alcuni di essi è possibile fare inferenza, e, quindi, uilizzare un modello eorico al poso di una qualsiasi serie osservaa per: 1. descriverne le caraerisiche; 2. spiegarne il comporameno rispeo al empo; 4 R. Lucchei, Appuni di analisi delle serie soriche, luglio 2002, pag

17 3. fare delle esrapolazioni per prevedere le possibile realizzazioni fuure. I processi socasici sui quali è possibile fare inferenza sono quelli che presenano le segueni caraerisiche: 1. sazionarieà; 2. ergodicià; 3. inveribilià. Di ali caraerisiche si dirà in seguio, per il momeno è imporane soolineare il fao che il conceo di sazionarieà non necessariamene implica l ergodicià, in alri ermini è possibile che un processo sia sazionario ma non possedere momeni (non ergodico), così come la cosanza nel empo dei momeni non implica che le varie marginali abbiano la sessa disribuzione 5. I due concei uavia coincidono solano quando il processo è di ipo gaussiano, cioè quando la disribuzione congiuna di un qualunque sooinsieme di elemeni del processo è una normale di Gauss. Poiché l ipoesi di ergodicià non è esabile araverso dei es di fiducia, menre la eoria ha elaborao diversi meodi per esare la sazionarieà di un processo socasico 6, in seguio si farà riferimeno solano ai processi socasici di ipo gaussiano, perché dall esio del es sulla sazionarieà si garaniscono enrambe le proprieà Sazionarieà Si parla di sazionarieà in due sensi: 1. sazionarieà in senso fore; 2. sazionarieà in senso debole. Un processo socasico è sazionario in senso fore se la disribuzione congiuna di un insieme di n osservazioni agli isani 1,.., n è uguale alla disribuzione congiuna delle osservazioni agli isani 1+k,.., n+k. In alri ermini, un processo è sazionario in senso fore se le caraerisiche delle disribuzioni di ue le marginali (media, varianza, covarianza) rimangono cosani al passare del empo, o, come si dice, sono invariani. Un processo socasico si dice sazionario in senso debole se solo i momeni primi e secondi, cioè le medie e le varianze, sono cosani nel empo, menre i momeni superiori al secondo possono dipendere dall ampiezza emporale. In alri ermini un processo è sazionario se 7 : 5 R. Lucchei, op. ciaa, pag.4. 6 Il es che di norma viene effeuao è il es Dickey e Fuller, di cui si dirà in seguio. 7 F. Giusi O. Viali, Saisica Economica, Cacucci Ediore, Bari, 1990, pag

18 1. il valore medio è cosane al variare del empo e il valore aeso E della variabile casuale X è pari alla media µ cioè: E(X )=µ. Tale condizione, dea invarianza in media, implica l assenza di un rend nella sessa media; 2. la varianza è finia e cosane al variare del empo E(X -µ) 2 =s 2 ; quesa è la condizione di omoschedasicià; 3. l auocovarianza fra X e X +k dipende solano dallo sfasameno emporale o riardo (lag); k : E( X µ ) ( X µ ) = γ ( k) + k ale condizione esprime la connessione fra le variabili casuali al variare della loro disanza. Per queso moivo la sazionarieà in senso debole viene anche denominaa sazionarieà in covarianza. L auocovarianza del processo assume un ruolo fondamenale in quano rappresena l indice della relazione lineare che esise fra un valore del processo al empo e gli sessi valori al empo +k. Dal puno di visa grafico una serie emprale sazionaria si presena come nel grafico di Figura Figura n.1.1: Esempio di serie sazionaria Esempio di serie sazionaria, D q3 1995q1 1997q3 2000q1 2002q3 2005q1 empo Fone: Isa Indagine rimesrale sulle forze di lavoro Dal grafico si deduce anche che una serie emporale è sazionaria quando vi è assenza di rend, e quando non sono preseni anche le alre componeni di ciclo e sagionalià. In 8 Il grafico è sao oenuo da una serie sorica non sazionaria araverso un procedimeno auoregressivo. La serie emporale originale è il asso di disoccupazione della regione sarda alla quale è sao calcolao il logarimo e successivamene la differenza fra un ermine e il precedene. 17

19 praica è sazionaria quando il suo racciao segue un andaura irregolare fluuando inorno ad un valore medio. Il processo socasico più semplice è il cosiddeo rumore bianco (o whie noise). Esso è composo da un numero infinio di variabili casuali e media zero e varianza cosane. Un processo whie noise non presena momeni superiori al secondo e sia media che la varianza sono cosani nel empo, in praica le variabili casuali non conferiscono al processo alcune memoria di sé 9. Quano deo può essere formalizzao nel seguene modo: E( ε E( ε ) = 0 2 ) = V( ε ) = σ 2? k =0 per k >0 dove E(e ), indica il valore aeso del -esimo elemeno della serie, è pari alla media, cioè zero, e il momeno secondo, ossia la varianza, è pari a s 2. Bisogna noare che non esise sosanziale differenza fra le condizioni che definiscono un processo whie noise e le cosiddee ipoesi classiche sul ermine di disurbo nel modello OLS, eccezion faa per l incorrelazione fra regressori e disurbi, e non si commee alcun errore se si afferma che il disurbo è un whie noise incorrelao coi regressori 10. I processi socasici sazionari hanno un imporane proprieà che sa alla base della cosruzione di ui i modelli socasici. Tale proprieà noa come eorema di Wold afferma che un processo socasico sazionario può essere scomposo in due processi socasici indipendeni, uno dei quali è linearmene deerminisico c(), menre l alro è una sequenza di variabili casuali incorrelae. Quano deo può essere scrio nel seguene modo: Y = c( ) + ε + ψ1 ε 1 + ψ 2ε 2 + dove e rappresena l errore di previsione ed è perano un whie noise, menre il valore c(), cioè la pare deerminisica, corrisponde alla media del processo µ. Per verificare se un processo è di ipo whie noise si deve applicare una saisica es sulla serie in oggeo. I es che possono essere uilizzai sono: 1. Il es elaborao da Ljung e Box 2. Il es elaborao da Box e Pierce; 3. Il es di Dickey e Fuller R. Lucchei, op. ciaa, pag R. Lucchei, op. ciaa, pag.13 18

20 Il primo es soopone ad ipoesi nulla che fra i dai della serie non vi sia auocorrelazione. La saisica T L&B è calcolaa nel seguene modo: T n + 2 H 2 L& B = n ρ ˆ ( h) n h h= 1 Quesa saisica si disribuisce secondo una T di Suden con H gradi di liberà. Il es viene rifiuao quando la saisica T L&B presena valori elevai rispeo al corrispondene valore di significaivià del es. Perano, in queso caso è possibile affermare che esise auocorrelazione fra i dai e che ale auocorrelazione non è dovua ad un errore di sima ma è reale. Il as di Box e Pierce è analogo al precedene, nel senso che si disribuisce secondo una T si Suden e le aree di acceazione e rifiuo sono le medesime. Tuavia, si differenzia dal es di Ljung e Box per il diverso peso che moliplica il quadrao di?(h), che è n n + 2 anziché n. Perano la formula per il calcolo della saisica è: n h T H 2 B& P = n ˆρ ( h) h= 1 Poiché la prima saisica converge più rapidamene alla sua disribuzione asinoica è preferibile uilizzare ques ulimo. Infine, il es elaborao da Dickey e Fuller deo Dickey-Fuller aumenao, e indicao con la sigla ADF, permee di sooporre a es, soo l ipoesi nulla, che un processo non sia sazionario, conro l ipoesi alernaiva che il processo sia sazionario. Il es è adao per le serie emporali in quano permee di discriminare una serie che presena un rend da una serie priva di rend. Nell imposare il es si deve scegliere il numero dei periodi da considerare per verificare la correlazione che la serie presena con il suo passao. In una serie di dai rimesrali il valore i-esimo della serie porebbe avere una correlazione con lo sesso periodo di un anno precedene, quindi i-4. Queso per effeo della sagionalià. Perano, in una serie di dai rimesrali si consiglia l uilizzo di un ordine pari a 5. Viceversa in una serie mensile si consiglia di uilizzare un ordine pari a 13. Nel es ADF la variazione della variabile in quesione è regredia sul valore riardao della variabile, sulle variazioni riardae della variabile, su una cosane e su un rend emporale, quando la variabile da ispezionare presena un rend. Cioè: x = θ x + d + u 1 + ϕ( L) x 1 Dove x è la variabile da esare, d è la pare deerminisica conenene la cosane ed il rend emporale e u è l errore. 19

21 Sooporre ad ipoesi nulla che la serie non sia sazionaria significa ipoizzare che il paramero θ sia pari a 0. Il es di Dickey e Fuller si disribuisce secondo una T di Suden con un numero di gradi di liberà pari al numero delle osservazioni della serie emporale. Se il numero di osservazioni è sufficienemene grande (in genere maggiore di 30) allora la disribuzione è approssimabile ad una normale e la saisica es è una z(). Se il valore della saisica es è elevao (in valore assoluo) rispeo ai valori criici indicai per le aree di acceazione/rifiuo allora il es rifiua l ipoesi nulla che il processo non sia sazionario e, quindi, si deve acceare l ipoesi conraria, cioè che il processo considerao è sazionario. Non sempre le variabili osservae relaive a fenomeni economici e sociali sono sazionarie. Infai, ali fenomeni presenano quasi sempre un rend. Perano, al fine di poerle analizzare è necessario renderle sazionarie ramie alcuni accorgimeni. La sabilizzazione di una serie avviene araverso la rasformazione funzionale della serie osservaa e quindi araverso l isolameno delle componene deerminisica dalla componene di errore. La rasformazione può essere di diverso ipo: rasformazione logarimica; uilizzo della media mobile della serie; impiego delle variazioni relaive fra un periodo e il precedene al poso del valore assoluo del fenomeno osservao. La rasformazione logarimica viene uilizzaa per sabilizzare una serie in quano l operazione produce l effeo di diminuire la variabilià della serie poiché essa cresce in ermini assolui al crescere del rend. Ad esempio, una variabilià del 5% su valori elevai è maggiore in ermini assolui della sessa percenuale applicaa però ai valori bassi della serie. In ari ermini, menre la serie originaria può essere pensaa come il risulao moliplicaivo di più componeni la rasformazione logarimica rende addiiva ale relazione al rascorrere del empo. Anche l uilizzo delle medie mobili ha un effeo sabilizzane. Infai l uilizzo di un valore cenrale degli n ermini precedeni produce l effeo di eliminare la variabilià all inerno degli n ermini sceli per il calcolo della media. Dal puno di visa grafico il risulao dell impiego delle medie mobili si raduce in una smussaura del racciao del grafico e uno sposameno della curva verso il cenro o verso desra, a seconda che si uilizzino rispeivamene medie mobili cenrae o medie mobili degli n ermini precedeni. 20

22 Infine, spesso può essere uile l uilizzo delle variazioni che il fenomeno osservao subisce nel empo con un periodo e il precedene, piuoso che considerare il valore assoluo del fenomeno. Tale rasformazione è alla base di ui i processi inegrai illusrai nel paragrafo 1.8. Quese rasformazioni possono essere uilizzae anche una di seguio all alro, perché ciascuna rasformazione funzionale risolve un paricolare problema: la rasformazione logarimica rende lineare e cosane la varianza della serie, la media mobile smussa l andameno della serie negli n periodi considerai, e infine, considerare le variazioni assolue permee di appiaire il rend. Perano, viene consigliao dagli esperi anche l uilizzo combinao delle rasformazioni funzionali Ergodicià L ergodicià è una proprieà dei processi socasici che assicura che le medie nel empo forniscano sime consiseni dei momeni (media, varianza e auocovarianza) del processo socasico. In sosanza l ergodicià richiede la memoria del processo sia limiaa così che osservazioni molo disani nel empo siano fra loro non correlai. Tale condizione viene sineizzao nella seguene proprieà dei processi socasici che deriva dal eorema ergodico di Slusky: lim n 1 n n k= 1 Cov( x, x k ) = 0 Di conseguenza se un processo è ergodico è possibile usare le informazioni conenue nella sua evoluzione nel empo e fare inferenza sulle caraerisiche. Il eorema ergodigo dice appuno che l osservazione di una serie abbasanza lunga è equivalene, ai fini inferenziali, all osservazione di un gran numero di realizzazioni. Ad esempio, se un processo ergodico ha valore aeso µ, allora la sua media arimeica nel empo è uno simaore consisene di µ, e quindi µ può essere simao in modo consisene come se si disponesse di mole realizzazioni del processo anziché di una sola Inveribilià L inveribilià è una caraerisica propria dei modelli MA e consise nella possibilià eorica di esprimere un modello MA con un modello AR di ordine infinio. Perano, si può dire che un processo socasico si dice inveribile se per qualsiasi, è possibile esprimere il processo come una funzione convergene delle variabili casuali precedeni 11 R. Lucchei, op. ciaa, pag.5 21

23 generae dal processo. Ad esempio un processo MA(1), per semplicià con media nulla, si dice inveribile se 12 : y = u + ϑ u 1 e u = y ϑ u 1 Con sosiuzioni successive si arriva alla seguene formula: i ( ) y 1 i= o u = ϑ Tale condizione è verificaa se solano se ϑ <1. In generale è possibile dimosrare che condizione necessaria all inveribilià di un processo socasico di ordine q è che le q soluzioni dell equazione siano in modulo maggiori di 1. q 1+ ϑ 1 x ϑ q x = Caraerisiche di una serie emporale: l auocorrelazione Come viso in precedenza i fenomeni economici e sociali presenano una dipendenza dal empo in cui sono osservai. Tale caraerisica è dea auocorrelazione per il fao che i dai rilevai nel presene hanno una dipendenza con il passao. L auocorrelazione può esendersi al passao più o meno recene. In paricolare, se il valore del presene è correlao solo al valore precedene si dice che l auocorrelazione è di ordine 1. Si parla invece di auocorrelazione di ordine k se il valore presene della serie è correlao con k valori precedeni. Per verificare l esisenza di auocorrelazione si può procedere in diversi modi: in maniera grafica: si rappresena in un diagramma a dispersione il valore della serie al empo e al empo riardao di un periodo (-1); se si oiene una nuvola di puni che si dispone lungo una rea allora esise correlazione fra il ermine al empo e il empo -1. Se la rea è inclinaa posiivamene la correlazione è posiiva, viceversa, se la rea è inclinaa negaivamene la correlazione è negaiva. In maniera analiica, si può procedere in due modi: una prima srada consise nel calcolo degli indici di correlazione sia oale che parziale, e quindi araverso la verifica dell ordine di relazione k che la serie presena con il passao. Un alernaiva della verifica della correlazione consise nell effeuare la sima del paramero di una regressione, fra il valore della serie al empo e il valore della serie riardao di un periodo. Se il -raio della saisica è superiore a circa 12 G.Masaroo, Analisi delle serie emporali (lucidi delle lezioni), gennaio

24 2, allora esise una relazione fra il ermine della serie al empo e i ermini della serie riardai di un periodo. La srada preferibile è la prima, ma possono essere uilizzae enrambe per verificare i risulai oenui con la prima. Come si è appena deo l auocorrelazione può essere di due ipi: oale; parziale. L auocorrelazione oale, indicaa con la leera? (leggi ro), viene nel seguene modo: ρ( k) = cov( Z var( Z, Z + k ) ) var( Z + k γ ( k) = ) γ (0) dove k è il riardo emporale, cioè il numero di periodi presi in considerazione per il calcolo dell indicaore a parire da quello più recedene. L auocorrelazione parziale, indicaa con la leera p è una misura della relazione lineare che esise fra il ermine del processo al empo e il ermine del processo al empo +k depuraa dalla correlazione dei valori inermedi del processo. Essa è calcolaa con la seguene formula: π ( k) = corr[( Z E( Z+ 1, Z + 2,.., Z+ k 1),( Z+ k )] E[ Z E( Z+ 1, Z+ 1,.. Z+ k 1)] che definisce appuno la correlazione parziale Z() e Z(+k) al neo delle alre variabili inermedie Una rappresenazione grafica dell auocorrelazione: il correlogramma I meodi visi in precedenza per la verifica dell auocorrelazione presenano il problema di dover calcolare più grafici di dispersione o indici di correlazione per ogni riardo della serie emporale. Nelle ime series esise un paricolare rappresenazione grafica che viene impiegaa per visualizzare le auocorrelazioni che la serie presena con il passao. La rappresenazione grafica viene denominaa correlogramma e consise in un diagramma ad ase (dei spike) che coniene in ascissa i riardi, ordinai dal più recene al più remoo e, in ordinaa, i corrispondeni valori di auocorrelazione. Per deerminare l ordine di auocorrelazione che la serie presena con il passao è necessario vedere quane ase consecuive, dalla più recene alla più remoa cadono fuori da un area evidenziaa dalle bande di confidenza. L analisi dei correlogrammi delle auocorrelazioni globali (ACF) e parziali (PAC) è uile anche ai fini dell individuazione degli ordini p e q dei modelli AR e MA che generano la serie osservaa. Infai in un processo MA di ordine q il correlogramma 23

25 presena auocorrelazioni significaive fino al riardo q, menre la PAC dovrebbe endere a zero gradualmene. Viceversa in un processo AR di ordine p le sime delle PAC dovrebbero essere significaivamene diverse da zero fino al riardo p, menre il correlogramma delle ACF presena auocorrelazioni che vanno a zero gradualmene. Infine, se sia le auocorrelazioni globali che quelle parziali vanno a zero gradualmene si è in presenza di un processo ARMA, e gli ordini delle due componeni vanno idenificai di conseguenza 13. A iolo di esempio si ripora nella figura n.1.2 il correlogramma della serie delle persone in cerca di occupazione in Sardegna su valori rimesrali, per il periodo compreso fra oobre 1992 e oobre 2003, con un riardo di 10 periodi. Figura n.1.2 Correlogramma del asso di disoccupazione sardo sulla serie rimesrale. Fone: Isa Indagine rimesrale sulle forze di lavoro Come si può, noare l analisi della serie rimesrale delle persone in cerca di occupazione presena una correlazione con il passao fino a 2 periodi precedeni. Ciò è imporane quando si andrà ad imposare un modello socasico che cerca di prevedere le realizzazioni fuure della serie dall analisi delle osservazioni passae. Infine, alcuni sofware permeono di realizzare anche dei correlogrammi in una forma grafica più silizzaa ma con i valori delle AC, PAC, le saisiche dei es Q e i 13 L. Sanca, op. ciaa, pag

26 corrispondeni valori di probabilià riferii a ciascun lag. Sempre a iolo di esempio si ripora un correlogramma analiico riferio savola al asso di disoccupazione sardo. Figura n.1.3 Correlogramma della serie del asso di disoccupazione in Sardegna. Fone: Isa Indagine rimesrale sulle forze di lavoro 1.5 I modelli AR I modelli AR sono dei modelli in cui il valore della serie al empo è una funzione lineare di un cero numero p di valori passai, più un errore che non è possibile simare. Tale errore in precedenza è sao definio rumore bianco o, anche, secondo la erminologia anglosassone, whie noise. Il modello può essere scrio nel seguene modo 14 : y = 1 y α p y p α + ε dove (a 1,.. a p ) è un veore di parameri cosani. Come si può noare si raa di un normale modello di regressione lineare in cui la variabile risposa y è il valore al empo del processo, menre le variabili esplicaive sono i valori passai del processo sesso. Il ermine e rappresena l errore di sima assimilabile al disurbo di un modello di regressione lineare. Il processo AR più semplice è il cosiddeo random walk (passeggiaa casuale), dove il paramero p assume valore 1, e, perano, viene indicao con sigla AR(1). I processi AR possono essere sia sazionari sia non sazionari, a differenza dei processi MA che sono sempre sazionari. Infai il random walk è un processo socasico non sazionario in cui 14 G. Masaroo, Analisi delle serie emporali (lucidi delle lezioni), Padova, gennaio 2003, pag

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