Incontri Olimpici 2016 Cetraro (CS)

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1 Incontri Olimpici 2016 Cetraro (CS) relatore: Damantino Salvatore I.S.I.S. F. Solari (Tolmezzo) - Mathesis sez. di Udine Ordine moltiplicativo di un intero e applicazioni Teoria dei Numeri Conoscenze preliminari Piccolo Teorema di Fermat. Sia a un intero e p un numero primo. Allora a p a (mod p). Il Piccolo Teorema di Fermat può essere utilizzato come test di non primalità di un numero naturale. TEST DI NON PRIMALITA Se n è un numero naturale ed esiste un intero a verificante la condizione a n a (mod n), allora n non è primo. Applichiamo il test per verificare che 187 non è un numero primo. Scegliamo a = 3. Osserviamo che 3 8 = (mod 187), quindi (mod 187). Ancora, (mod 187), da cui (mod 187) e quindi = ( 18) ( 18) ( 7) 27 ( 18) 75 (mod 187). Di conseguenza 187 non è primo (d altronde 187 = 11 17). Si noti che il test, pur assicurando che il numero non è primo, non permette di trovarne la fattorizzazione. In genere, inoltre, si utilizza un a piccolo, in modo da tenere sotto controllo i calcoli; ad esempio si prova con a = 2. Osserviamo che, in generale, il Piccolo Teorema di Fermat non è invertibile, nel senso che se n è un intero ( 2) tale che a n a (mod n) per qualche a Z, a 0, allora n non è necessariamente primo. Infatti, siano n = 341 = ed a = 2. Mostriamo che (mod 341) pur non essendo 341 un numero primo. Infatti, come facilmente si verifica, risulta (mod 31), (mod 11) e quindi = ( 2 11) (mod 31) e = ( 2 31) (mod 11). Ne segue che (mod m.c.m.(11, 31)), cioè (mod 341), mentre 341 non è primo. Aggiungendo un ulteriore ipotesi al risultato, si ottiene la formulazione originaria del Piccolo Teorema di Fermat. 1

2 Se p è un numero primo e a Z è tale che (a, p) = 1, allora a p 1 1 (mod p). Generalizzazione. Definiamo innanzitutto la funzione di Eulero. Definizione. Sia n 1 intero. Si definisce ϕ(n) la funzione di n che rappresenta il numero di interi positivi minori o uguali ad n e relativamente primi con n (cioè tutti gli interi positivi a tali che a n e (a, n) = 1). Essa prende il nome di funzione di Eulero o anche funzione ϕ. Ad esempio, ϕ(20) = 8 perché i numeri minori o uguali a 20 e relativamente primi con 20 sono 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19. Il seguente risultato generalizza il Piccolo Teorema di Fermat al caso di moduli arbitrari. Teorema di Eulero. Se a ed n sono due interi positivi tali che (a, n) = 1, allora a ϕ(n) 1 (mod n). 1 Ordine moltiplicativo modulo n Dato un intero n > 1 e a Z, se (a, n) = 1, il Teorema di Eulero assicura l esistenza di almeno un intero positivo m tale che a m 1 (mod n). In particolare, è sufficiente all occorrenza assumere m = ϕ(n). Se, invece, (a, n) 1, un tale intero m non esiste (basti osservare che in tal caso la congruenza ax 1 (mod n) non ha soluzioni). Pertanto, supposto che (a, n) = 1, l insieme E = {m N {0} a m 1 (mod n)} è non vuoto ed essendo un sottoinsieme di N, per il buon ordinamento dei naturali, possiede l elemento minimo. E lecito quindi dare la seguente definizione. Definizione 1.1. Dato un intero positivo n 2 ed un intero a Z tale che (a, n) = 1, si definisce ordine moltiplicativo di a modulo n, e si indica con ord n (a), il minimo intero positivo m tale che a m 1 (mod n). Esempio 1.1. L ordine moltiplicativo di 4 modulo 7 è 3, in quanto si ha che 4 2 = 16 2 (mod 7), 4 3 = (mod 7). I risultati che seguono, mostrano come restringere il campo di ricerca dell ordine moltiplicativo di un intero. Proposizione 1.2. Siano a Z e n N, n 2, tali che (a, n) = 1. Allora, se g N, g > 0, e a g 1 (mod n), necessariamente ord n (a) è un divisore di g. Dimostrazione. Per comodità di scrittura sia k = ord n (a). Poiché k N, eseguendo la divisione euclidea, esistono e sono univocamente determinati due interi q, r, con 0 r < k, tali che g = k q + r. Ne segue che 1 a g = a k q+r = ( a k) q a r 1 q a r a r (mod n). Per la minimalità di k, essendo 0 r < k, deve essere necessariamente r = 0, da cui g = k q, cioè ord n (a) è un divisore di g. 2

3 Esempio 1.2. Poiché (mod 10), allora ord 10 (3) è un divisore di 12, quindi è da ricercare tra gli interi 2, 3, 4, 6, 12. Ora, (mod 10), (mod 10), (mod 10), quindi ord 10 (3) = 4. Proposizione 1.3. Siano a Z e n N, n 2, tali che (a, n) = 1. Allora ord n (a) è un divisore di ϕ(n). Dimostrazione. Per il Teorema di Eulero risulta a ϕ(n) 1 (mod n) e quindi, per la Proposizione 1.2, ord n (a) ϕ(n). Esempio 1.3. Determinare il più piccolo intero positivo n tale che 247 n 1 (mod 360). Soluzione. Essendo (247, 360) = 1, un tale intero esiste sicuramente ed è ord 360 (247). Ora, poiché ϕ(360) = ϕ( ) = = 96, tale valore va ricercato tra i divisori di 96, che sono gli interi 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96. Si ha: = (mod 360), = (mod 360), = (mod 360), = (mod 360), = (mod 360), (mod 360), = (mod 360), = = (mod 360). Quindi, essendo 24 il minimo intero positivo m tale che 247 m 1 (mod 360), risulta ord 360 (247) = 24. Proposizione 1.4. Siano a Z, m, n N, n 2, m 1, tali che (a, n) = 1. Allora a m 1 (mod n) se e solo se m è multiplo di ord n (a). Dimostrazione. L implicazione diretta non è altro che la Proposizione 1.2. Se poi ord n (a) m, esiste h N tale che m = ord n (a) h, per cui risulta a m = ( a ord n(a) ) h 1 h = 1 (mod n), da cui la tesi. La proposizione precedente afferma quindi che se (a, n) = 1, la potenza a m non può mai essere congrua a 1 modulo n se m non è un multiplo di ord n (a), ed è congrua a 1 (sicuramente) se m è un multiplo di ord n (a). Ad esempio, in Z 7, l elemento 4 ha ordine 3 modulo 7, quindi sicuramente le potenze 4 5, 4 43, 4 265, ecc., non sono congrue a 1 modulo 7 non essendo i relativi esponenti multipli di 3. Invece, sicuramente le potenze 4 33, 4 69, , ecc., sono congure a 1 modulo 7 in quanto i relativi esponenti sono multipli di 3. Se, in particolare, ord n (a) = ϕ(n), cioè il massimo possibile, a si dice generatore ( ) modulo n. Problema 1. Sia dato l insieme D := {n N n 2 e n 12 n + 1}. Determinare il massimo comune divisore di tutti gli elementi di D. Problema 2. Determinare tutte le potenze di 2 tali che eliminando la prima cifra da sinistra (nello sviluppo decimale) si ottenga ancora una potenza di 2. Di seguito elenchiamo alcune propietà dell ordine moltiplicativo di un intero. ( ) tale denominazione deriva dal fatto che se a è un generatore, ogni elemento non nullo di Z n e coprimo con n si può scrivere come potenza di a. 3

4 Proposizione 1.5. Siano a, b Z, n 2 intero. Se a b (mod n) allora ord n (a) = ord n (b). Il viceversa del precedente enunciato in generale è falso. Ad esempio, ord 5 (2) = ord 5 (3) = 4 ma 2 3 (mod 5). Proposizione 1.6. Siano a, b, m Z, m > 0, n 2 intero. Allora ➊ ord n (a m ) = ord n (a) (m, ord n (a)). In particolare, ord n(a m ) = ord n (a) (m, ord n (a)) = 1; ➋ ord n (a) = ord n (a ), dove a è un inverso moltiplicativo di a modulo n; ➌ se (ord n (a), ord n (b)) = 1 allora ord n (ab) = ord n (a) ord n (b). Ad esempio, (mod 5), in quanto ord 5 (3) = 4 e 14 2 (mod 4). Problema 3. Sia n > 1 intero tale che n 2 n + 1. Dimostrare che 3 n. Problema 4. Sia n > 1 intero. Dimostrare che n 2 n 1. La seguente proposizione rappresenta un risultato interessante sull ordine moltiplicativo. Proposizione 1.7. Sia p un primo dispari, a ±1 intero non divisibile per p. Posto r = ord p (a) e detto s l intero tale che p s (a r 1), si ha: r se k = 1, 2, 3,..., s, ord p k(a) = rp k s se k > s. Sia a 1 un intero dispari, con a 1 (mod 4). Detto s l intero tale che 2 s (a 1), si ha: 1 se k = 1, 2, 3,..., s, ord 2 k(a) = 2 k s se k > s. Sia a 1 un intero dispari, con a 1 (mod 4). Detto s l intero tale che 2 s (a + 1), si ha: 1 se k = 1, ord 2 k(a) = 2 se k = 2, 3,..., s + 1, 2 k s se k > s + 1. Problema 5. Siano m, n > 1 due interi coprimi, ed a un intero coprimo con mn. Detti d 1 e d 2 gli ordini moltiplicativi di a modulo m ed n rispettivamente, dimostrare che l ordine di a modulo mn è uguale al minimo comune multiplo di d 1 e d 2. Determinare quindi l ordine di 3 modulo Problema 6. Determinare tutte le coppie di primi (p, q) tali che p 5 q + 1 e q 5 p + 1. Problema 7. Sia p un primo dispari. Provare che ogni divisore positivo di è congruo a 1 modulo 4p. p 2p + 1 p

5 2 Radici primitive Iniziamo la trattazione di questi particolari interi tramite la seguente definizione. Definizione 2.1. Siano a ed n due interi coprimi, con n > 1. Diremo che a è una radice primitiva o un generatore modulo n se ord n (a) = ϕ(n). Ad esempio, si verifica facilmente che ord 9 (2) = 6 (basta calcolare le potenze di 2 modulo 9 e rendersi conto che la prima potenza congrua a 1 è 2 6 ) e quindi, essendo ϕ(9) = 6, si ha che 2 è una radice primitiva modulo 9. Invece, ord 7 (4) = 3 ϕ(7) = 6 e quindi 4 non è una radice primitiva modulo 7. Osserviamo adesso che non tutti i moduli posseggono radici primitive. Ad esempio, non esistono radici primitive modulo 16. Infatti, osservato che gli unici interi positivi e minori di 16 coprimi con 16 sono 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 e che, come facilmente si verifica, ord 16 (1) = 1, ord 16 (3) = 4, ord 16 (5) = 4, ord 16 (7) = 2, ord 16 (9) = 2, ord 16 (11) = 4, ord 16 (13) = 4 e ord 16 (15) = 4, essendo ϕ(16) = 8 nessuno dei precedenti interi è una radice primitiva modulo 16. Tra i primi 20 interi positivi, solamente 8, 12, 15, 16 e 20 non posseggono radici primitive. Vedremo a breve cosa accomuna gli interi che posseggono radici primitive e daremo un criterio per stabilirne l esistenza o meno. Come accennato in precedenza, ogni radice primitiva possiede una caratteristica ben precisa e fondamentale nella teoria dei numeri. Essa è espressa dalla seguente proposizione. Proposizione 2.2. Siano a Z, n N, n 2, tali che (a, n) = 1. Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti: i) ord n (a) = ϕ(n); ii) gli interi 1, a, a 2, a 3,..., a ϕ(n) 1 sono a due a due non congrui modulo n. Dimostrazione. Cominciamo col dimostrare l implicazione i) ii). Osserviamo innanzitutto che, essendo (a, n) = 1, si avrà anche (a k, n) = 1 per ogni 0 k ϕ(n) 1. Supponiamo, ora, per assurdo che esistano due interi 0 h, k ϕ(n) 1, con h < k, tali che a h a k (mod n). Ne segue che a k h 1 (mod n) e ciò è assurdo in quanto contraddice la minimalità di ord n (a) = ϕ(n), essendo 0 k h < ϕ(n). Di conseguenza gli interi 1, a, a 2, a 3,..., a ϕ(n) 1 sono a due a due non congrui modulo n. Viceversa, dimostriamo l implicazione ii) i). Per ipotesi, a h 1 (mod n) per ogni 1 h ϕ(n) 1. D altra parte, per il Teorema di Eulero, a ϕ(n) 1 (mod n) e quindi ϕ(n) è il minimo intero positivo m tale che a m 1 (mod n); ne segue che ord n (a) = ϕ(n). Osserviamo quindi che se a è una radice primitiva modulo n, essendo esattamente ϕ(n) gli interi positivi, minori di n e coprimi con n, per la proposizione precedente ogni intero m coprimo con n è congruo, modulo n, ad uno degli interi appartenenti all insieme S = { 1, a, a 2, a 3,..., a ϕ(n) 1}. L insieme S è quindi un sistema ridotto di residui modulo n. Di conseguenza abbiamo mostrato in che modo ogni radice primitiva genera l insieme di tutti gli interi che, modulo n, sono coprimi con n. Ad esempio, abbiamo visto che 2 è una radice primitiva modulo 9. Calcolando le potenze di 2 modulo 9 si ottiene 2 1 2, 2 2 4, 2 3 8, 2 4 7, 2 5 5, e 1, 2, 4, 5, 7, 8 sono tutti e soli gli 5

6 interi positivi minori di 9 e coprimi con 9. Ci potremmo chiedere adesso se le potenze di una radice primitiva sono ancora radici primitive. La risposta è solo in parte affermativa, come la seguente proposizione mostra. Proposizione 2.3. Se a è una radice primitiva modulo n > 1, allora a m è una radice primitiva modulo n se e solo se (m, ϕ(n)) = 1. Dimostrazione. Per la proposizione 1.2, si ha che ord n (a m ) = ord n(a) (m, ϕ(n)). Di conseguenza ord na m = ϕ(n) se e solo se (m, ϕ(n)) = 1. Conseguenza immediata della proposizione precedente è il seguente risultato. Proposizione 2.4. Se un intero n > 1 possiede radici primitive, allora ne possiede esattamente ϕ(ϕ(n)). Dimostrazione. Sia a una radice primitiva modulo n. Per la proposizione 2.2, gli interi 1, a, a 2, a 3,..., a ϕ(n) 1 costituiscono un sistema ridotto di residui modulo n. Per la proposizione 2.3, a m è una radice primitiva se e solo se (m, ϕ(n)) = 1 per ogni 0 m ϕ(n) 1; essendo ϕ(ϕ(n)) gli interi 0 m ϕ(n) coprimi con ϕ(n), si ha che esistono esattamente ϕ(ϕ(n)) radici primitive modulo n. Esempio 2.1. Sia n = 17. Come facilmente si verifica, a = 3 è una radice primitiva modulo 17, in quanto ord 17 (3) = 16. Di conseguenza, esistono ϕ(ϕ(17)) = ϕ(16) = 8 radici primitive modulo 17 e sono le potenze 3 m per cui (m, 16) = 1, cioè 3 1, 3 3, 3 5, 3 7, 3 9, 3 11, 3 13, 3 15 che corrispondono rispettivamente agli interi 3, 10, 5, 11, 14, 7, 12 e 6. Esistenza di radici primitive. In questo paragrafo, vedremo quali interi possiedono radici primitive, senza riportare le dimostrazioni. Teorema 2.5 (Primo Teorema di Esistenza di radici primitive). Per quanto concerne l esistenza di radici primitive, valgono i seguenti fatti: ➊ esistono radici primitive modulo 2: infatti, essendo ϕ(2) = 1, si ha che n = 1 è una radice primitiva; ➋ esistono radici primitive modulo 4: infatti, ϕ(4) = 2 e ord 4 (3) = 2. Quindi n = 3 è una radice primitiva; ➌ per ogni p primo dispari, esistono radici primitive modulo p; ➍ per ogni primo p dispari e k intero positivo, esistono radici primitive modulo p k. Sebbene non esistano radici primitive modulo 2 k, con k 3, esiste sempre un intero il cui ordine è il massimo possibile, che come vedremo, è ϕ(2 k )/2. Proposizione 2.6. Sia k 3 intero. Allora ord 2 k5 = ϕ(2 k )/2 = 2 k 2. 6

7 Dimostrazione. Osserviamo che 5 2k 2 1 (mod 2 k ) (perché?) e quindi, per la proposizione 1.2, ord 2 k5 2 k 2. Pertanto, se dimostriamo che ord 2 k5 2 k 3, otterremo che ord 2 k5 = 2 k 2 cioè la tesi. Per dimostrare che ord 2 k5 2 k 3, osserviamo innanzitutto che per ogni k 3. Conseguentemente 5 2k k 1 (mod 2 k ) 5 2k k 1 1 (mod 2 k ) e quindi ord 2 k5 = 2 k 2 per ogni k 3. Vediamo adesso alcuni risultati utili all individuazione delle radici primitive. Proposizione 2.7. Sia p un primo dispari. Valgono i seguenti fatti: ➊ se a è una radice primitiva modulo p, allora a oppure a + p è una radice primitiva modulo p 2 ; ➋ se a è una radice primitiva modulo p 2 allora a è una radice primitiva modulo p k per ogni intero positivo k. Esempio 2.2. Il numero primo p = 11 possiede come radice primitiva n = 2, in quanto ord 11 2 = 10 = ϕ(11). Di conseguenza, p 2 = 121 possiede 2 oppure = 13 come radice primitiva. Osservato che ϕ(121) = 110, i possibili valori dell ordine moltiplicativo modulo 121 sono da ricercarsi, per la proposizione 1.3, tra i divisori di 110, cioè 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55 e 110. Come facilmente si verifica si ha che nessuna delle potenze 2 2, 2 5, 2 10, 2 11, 2 22 e 2 55 è congrua a 1 modulo 121 ed essendo, per il Teorema di Eulero, (mod 121), si ha che ord = 110 e quindi 2 è una radice primitiva anche di p 2 = 121. Esempio 2.3. Sia p = 487. Si può verificare che n = 10 è una radice primitiva modulo 487. Di conseguenza 10 oppure 497 rappresenta una radice primitiva modulo Essendo (mod ) e 486 ϕ(487 2 ), si ha che 10 non è una radice primitiva modulo Di conseguenza, 497 è una radice primitiva modulo Esempio 2.4. Nell esempio 2.2 abbiamo visto che n = 2 è una radice primitiva modulo 11 e modulo Di conseguenza, 2 è una radice primitiva modulo 11 k per ogni k intero positivo. Proseguiamo l analisi dell esistenza di radici primitive, presentando due ulteriori risultati. Proposizione 2.8. Se n 4 è un intero positivo composto che non è la potenza di un primo o il doppio della potenza di un primo, allora n non possiede radici primitive. Esempio 2.5. Per la proposizione precedente, moduli per cui non esistono radici primitive sono, ad esempio, 15, 20, 24, 36 e 100. ( ) basta procedere per induzione su k 3 seguendo la stessa tecnica utilizzata per dimostrare il Teorema??. 7

8 Proposizione 2.9. Se p è un primo dispari e k un intero positivo, allora esistono radici primitive modulo 2p k. In particolare, detta a una radice primitiva modulo p k, se a è dispari è anche una radice primitiva modulo 2p k ; se a è pari, allora a + p k è una radice primitiva modulo 2p k. Esempio 2.6. Abbiamo visto che 2 è una radice primitiva modulo 11 k per ogni intero positivo k. Di conseguenza, k è una radice primitiva modulo 2p k per ogni intero positivo k. In particolare, = 123 è una radice primitiva modulo = 242. Se combiniamo i risultati ottenuti nelle proposizioni precedenti otteniamo il seguente fondamentale teorema. Teorema Esistono radici primitive modulo n > 1 se e solo se dove p è un primo dispari e k un intero positivo. n = 2, 4, p k oppure 2p k, Esempio 2.7. Quali degli interi 8,9,12,16,18,26,27,41 e 52 possiedono radici primitive? Soluzione. In virtù del Teorema 2.10, solamente gli interi 9, 18, 26, 27 e 41 possiedono radici primitive. Infatti, 9 = 3 2, 18 = 2 3 2, 26 = 2 13, 27 = 3 3 e 41 è primo. I rimanenti interi, invece, non rientrano in nessuna delle tipologie contemplate dallo stesso Teorema. Esempio 2.8. Determinare tutte le radici primitive modulo 25. Soluzione. Osserviamo che, per il Teorema 2.7, se un intero è radice primitiva modulo 5 2 allora è anche radice primitiva modulo 5. Quest ultima condizione è quindi necessaria affinché un intero sia radice primitiva modulo 25. Di conseguenza le radici primitive modulo 25 sono da ricercarsi tra le radici primitive modulo 5. Ora, si verifica facilmente che le radici primitive modulo 5 sono 2 e 3 e quindi le radici primitive modulo 25 sono da ricercarsi tra gli interi 1 a 24 tali che a 2 (mod 5) oppure a 3 (mod 5), cioè a = 2, 3, 7, 8, 12, 13, 17, 18, 22, 23. Una semplice verifica mostra che gli interi 7 e 18 hanno ordine 4 ϕ(25) modulo 25, quindi non sono radici primitive. Per il Teorema 2.7, sono radici primitive = 12 e = 23. Una ulteriore semplice verifica mostra che i rimanenti interi hanno ordine 20 = ϕ(25) modulo 25 e quindi le radici primitive modulo 25 sono 2,3,8,12,13,17,22 e 23. Da notare che esse sono in numero pari a ϕ(ϕ(25)) = 8. Test di primalità di Lucas. Abbiamo visto che l inverso del Piccolo Teorema di Fermat non è valido, cioè se a n 1 1 (mod n), con a intero positivo, non è detto che n sia primo e, pertanto, non è possibile utilizzarlo come test di primalità. Tuttavia, nel 1876, il matematico francese Edouard Lucas, aggiungendo un ulteriore ipotesi, riuscì ad ottenere, in un certo senso, l inverso del Teorema. 8

9 Teorema 2.11 (Teorema di Lucas inverso del Teorema di Fermat). Se n è un intero positivo ed esiste un intero a tale che a n 1 1 (mod n) e a (n 1)/d 1 (mod n) per ogni divisore primo d di n 1, allora n è un numero primo. Dimostrazione. L ipotesi a n 1 1 (mod n) implica, per la proposizione 1.2, che ord n a n 1. Dimostriamo che ord n a = n 1. A tale scopo supponiamo per assurdo che ord n a n 1. Poiché ord n a n 1, esiste k > 1 tale che n 1 = k ord n a. Sia, ora, d un divisore primo di n 1. Allora si ottiene a (n 1)/d = a (k ord na)/d = ( a ord na ) k/d 1 (mod n) contro il fatto che, per ipotesi, a (n 1)/q 1 (mod n). Di conseguenza ord n a = n 1. Essendo n 1 = ord n a ϕ(n) n 1, si ha che ϕ(n) = n 1 e quindi n è un numero primo. Notiamo che il risultato del Teorema 2.11 equivale al fatto che se esiste un intero il cui ordine moltiplicativo modulo n è uguale ad n 1, allora n è primo. Illustriamo l utilità del Teorema 2.11 tramite un esempio. Esempio 2.9. Sia n = 523. Si ha (mod 523), come facilmente si verifica. I divisori primi di 522 sono 2, 3 e 29 e risulta 5 522/2 1 (mod 523), 5 522/3 61 (mod 523), 5 522/29 50 (mod 523). Di conseguenza a = 5 verifica tutte le condizioni del Teorema 2.11 e quindi n = 523 è un numero primo, come è noto. 3 Ordine moltiplicativo universale In questa sezione presentiamo una importante applicazione della teoria delle radici primitive. A tal proposito, tenuto conto del fatto che per qualunque intero a coprimo con n risulta a ϕ(n) 1 (mod n), ci si potrebbe chiedere se ϕ(n) è proprio l esponente minimo per cui la potenza a k è 1 qualunque sia a intero tale che (a, n) = 1. La risposta dipende dal modulo n, nel senso che esistono moduli per cui ϕ(n) è proprio l esponente minimo e moduli per cui è possibile migliorare la minimalità. In ogni caso tale esponente è sempre un multiplo di ord n (a) per ogni a tale che (a, n) = 1 ed un divisore di ϕ(n). Siano allora n = p k 1 1 pk 2 2 pk 3 3 pk t t un intero positivo e la sua fattorizzazione ed a un intero coprimo con n. Per il Teorema di Eulero si ha che a ϕ(pk i i ) 1 (mod p k i i ) per ogni i = 1, 2, 3,..., k e quindi, posto u = [ϕ(p k 1 1 ), ϕ(pk 2 2 ), ϕ(pk 3 3 ),..., ϕ(pk t t )], si ha che a u 1 (mod p k i i ) per ogni i = 1, 2, 3,..., k. Essendo i primi p i a due a due coprimi, dalla precedente relazione segue che Ha senso, pertanto, la seguente definizione. a u 1 9 (mod n).

10 Definizione 3.1. Si chiama esponente universale dell intero positivo n ogni intero positivo u tale che per tutti gli interi a coprimi con n. a u 1 (mod n) Esempio 3.1. Se n = 1000 = , si ha che [ϕ(2 3 ), ϕ(5 3 )] = [4, 100] = 100 è un esponente universale di n. Per il Teorema di Eulero, anche ϕ(1000) = 400 è un esponente universale di n. Il più piccolo esponente universale dell intero positivo n prende il nome di minimo esponente universale di n od anche ordine moltiplicativo universale modulo n. Esso si indica con il simbolo λ(n). Calcolo di λ(n). Se n possiede radici primitive, allora λ(n) = ϕ(n). Di conseguenza, poiché le potenze dei primi dispari possiedono radici primitive, si ha che λ(p r ) = ϕ(p r ) per ogni primo p dispari ed r intero positivo. Analogamente si ha che λ(2) = ϕ(2) = 1 e λ(4) = ϕ(4) = 2 in quanto sia 2 che 4 possiedono radici primitive. Inoltre, se r 3, per ogni intero a dispari si ha a 2r 2 1 (mod 2 r ) ed esistendo un intero, 5, che ha ordine moltiplicativo uguale a 2 t 2, si ricava che λ(2 r ) = 2 r 2. Abbiamo così trovato una formula per λ(n) ogniqualvolta n è la potenza di un primo. Analizziamo il caso di un intero n positivo qualsiasi. Teorema 3.2. Sia n un intero positivo avente la seguente fattorizzazione: n = 2 k 0 p k 1 1 pk 2 2 pk 3 3 pk t t. Allora risulta λ(n) = [λ(2 k 0 ), ϕ(p k 1 1 ), ϕ(pk 2 2 ), ϕ(pk 3 3 ),..., ϕ(pk t t )]. Dimostrazione. Sia a un intero coprimo con n. Posto N = [λ(2 k 0 ), ϕ(p k 1 1 ), ϕ(pk 2 2 ), ϕ(pk 3 3 ),..., ϕ(pk t t )], si ha che a N 1 (mod p h ) per ciascuna potenza dei primi che compaiono nella fattorizzazione di n e conseguentemente a N 1 (mod n). L ultima congruenza comporta che N è un esponente universale per n. Facciamo vedere che è il minimo esponente universale. A tal fine determineremo un intero b coprimo con n per il quale non esiste una potenza minore dell N-esima che sia congrua a 1 modulo n. 10

11 Sia, allora, r i una radice primitiva di p k i i per ogni i = 1, 2, 3,..., t e consideriamo il seguente sistema di congruenze lineari: x 5 (mod 2 k 0 ) x r 1 (mod p k 1 1 ) 2 ) 3 ) x r 2 (mod p k 2 x r 3 (mod p k 0. x r t (mod p k t t ) Per il Teorema cinese del resto, esso ammette soluzione unica α modulo n. Facciamo vedere che ord n α = N. A tale scopo, sia K un intero positivo tale che α K 1 (mod n). Allora, se p h è una potenza di un primo che divide n, si ha che α K 1 (mod p h ) e di conseguenza ord p h K. D altra parte, poiché α è soluzione di ciascuna delle m + 1 congruenze del sistema, si ha che e quindi ord p hα = λ(p h ) λ(p h ) K per ogni potenza di un primo presente nella fattorizzazione di n. Di conseguenza N K. Poiché α N 1 (mod n) e N K, per ogni K tale che α K 1 (mod n), concludiamo che il più piccolo intero x tale che α x 1 (mod n) è x = N e quindi ord n α = N. Ciò prova che λ(n) = N e al tempo stesso mostra l esistenza di un intero positivo α tale che ord n α = λ(n). La conoscenza di λ(n) è, senza dubbio alcuno, di grande utilità nel calcolo di potenze del tipo a m in Z n, in quanto fornisce immediatamente una potenza di a congrua a 1 e permette di semplificare notevolmente il calcolo. Lo stesso si può dire per ord n (a), ma il vantaggio di utilizzare il valore di λ(n) consiste nel non dover eseguire i lunghi e laboriosi calcoli che spesso si rendono necessari per la determinazione di ord n (a). Esempio 3.2. Determinare l ordine moltiplicativo universale modulo n = Soluzione. Fattorizzando n si ottiene n = e quindi λ(n) = [λ(2 3 ), ϕ(5), ϕ(7 2 )]. Essendo λ(2 3 ) = 2, ϕ(5) = 4 e ϕ(7 2 ) = 42, si ottiene λ(n) = [2, 4, 42] = 84. Ciò vuol dire che per qualunque intero a coprimo con 1960, si ha a 84 1 (mod 1960). Per determinare, inoltre, un intero a coprimo con 1960 il cui ordine moltiplicativo è 84, individuiamo innanzitutto una radice primitiva modulo 5 e una radice primitiva modulo 7 2, ad esempio 2 e 3 rispettivamente, e determiniamo la soluzione dell seguente sistema di congruenze lineari: a 5 (mod 8) a 2 (mod 5) a 3 (mod 49) Per il Teorema Cinese del Resto, si ottiene a 1277 (mod 1960) e quindi, per la dimostrazione del Teorema 3.2, si ha che ord =

12 Esempio 3.3. Determinare le ultime due cifre (decine e unità) del numero Soluzione. Si tratta di valutare modulo 100. Per far ciò utilizziamo il fatto che, essendo (2013, 100) = 1, esiste sicuramente k tale che 2013 k 1 (mod 100). Uno di tali k è certamente λ(100) = m.c.m. ( λ(2 2 ), ϕ(5 2 ) ) = m.c.m.(2, 20) = 20, e quindi (mod 100). Basta allora ridurre modulo 20 l esponente di , cioè calcolare (mod 20). Ripetendo il ragionamento, si ha che λ(20) = m.c.m. ( λ(2 2 ), ϕ(5) ) = m.c.m.(2, 4) = 4, da cui (mod 20). Di conseguenza basta ridurre modulo 4 l esponente di , cioè 2013 (mod 4), e andare a ritroso. Essendo (mod 4), si ha che (mod 20) e quindi (mod 100). Ci siamo così ricondotti a dover calcolare modulo 100. Osservato quindi che (mod 100), si ha = (13 3 ) 4 13 ( 3) (mod 100). Pertanto, le ultime due cifre della potenza sono