ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2015/ Esercizi: lezione 24/11/2015

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1 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2015/ Esercizi: lezione 24/11/2015 Valutazioni di operazioni finanziarie Esercizio 1. Un operazione finanziaria è caratterizzata dal seguente cash-flow: Scadenze Importi a) Determinare se l operazione è conveniente con il metodo del VAN a tasso i = 2%; b) dire se tale progetto ammette un unico TIR; c) sostituendo 104 con un arbitrario R > 0, determinare per quali R esista un (unico) TIR. Soluzione. a) VAN(2%) = , 02 1 (1, 02) 2 = 0, 9996 > 0, il che significa che a tale tasso di mercato l operazione finanziaria è conveniente, realizzando, rispetto ad un normale investimento a regime composto a tasso di mercato del 2%, un sovraprofitto pari a quasi 1 euro. b) Abbiamo che DCF(x) = x 1, per x > 1, quindi poniamo DCF(x) = 0, per trovare nella variabile v = x, finanziariamente significativa per v > 0, l equazione v v = 0, che ha due soluzioni accettabili. Per arrivare a questa conclusione nel modo piú rapido, basta notare che la funzione f(v) = v v corrisponde ad una parabola convessa sul piano cartesiano (v, f(v)) con vertice nel punto V = (52, 2604) e f(0) = 100, quindi le due soluzioni dell equzione f(v) = 0 saranno comprese nel semiasse positivo delle ascisse. Questo comporta il 1

2 2 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA fatto che non esista un unico tasso interno di rendimento, ma due, quindi l indice TIR per valutare l operazione finanziaria in esame non è applicabile. c) Consideriamo l equazione DCF R (x) = R 1 + x 1 = 0. Per ottenere un unico TIR, dobbiamo imporre che l equazione nella variabile v = x, data da v 2 R v = 0, abbia una sola soluzione nella regione finanziariamente significativa v > 0. Poiché v 1,2 = R ± R 2 400, 2 se il discriminante della suddetta equazione, ossia R 2 400, fosse positivo, entrambe le soluzioni v 1 = R R v 2 = R + R 2 400, 2 2 sarebbero positive, quindi accettabili. Se il discriminante fosse negativo non vi sarebbe alcuna soluzione. Pertanto, il discriminante deve essere necessariamente uguale a zero, ossia R = 0 R = 20. Esercizio 2. L operazione finanziaria A è descritta dal seguente cash-flow: Scadenze Importi L operazione finanziaria B è descritta dal seguente cash-flow: Scadenze Importi a) Si scriva l espressione analitica del DCF G(x) in funzione del tasso annuo x ] 1, [ delle due operazioni. b) Si stabilisca un ordine di preferenza tra le due operazioni col metodo del VAN, nell ipotesi che il costo opportunità sia il 4%. c) Si trovi, se esiste, per quale tasso le due operazioni hanno lo stesso valore attuale netto. d) Determinare il TIR delle due operazioni.

3 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 3 e) Determinare per quali costi opportunità da associare al VAN i due criteri del VAN e del TIR sono in accordo e per quali invece sono contrastanti. Soluzione. a) Abbiamo che e G A (x) = x G B (x) = x b) I VAN al costo opportunità pari al 4% sono i seguenti: e G A (0, 04) = , , 81 (1, 04) 2 G B (0, 04) = , , 02 (1, 04) 2 quindi G B (0, 04) > G A (0, 04), ossia B è preferibile ad A, in simboli B A. c) Dobbiamo trovare x > 1 tale che G A (x) = G B (x), ossia tale che x = x Poniamo v = 1, con v > 0 ed otteniamo 1 + x da cui si ricava v v 2 = v v v 2 40 v = 0; dividendo ambo i membri per 20, si ottiene l equazione di secondo grado 28 v v 25 = 0, che ha come unica soluzione accettabile e da cui v = , x = 1 1 0, 0991 = 9, 91%. v

4 4 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA d) Abbiamo che G A (x) = x + 600, per x > 1, quindi poniamo G A (x) = 0, per trovare nella variabile v = x, finanziariamente significativa per v > 0, l equazione (dividendo entrambi i membri per 100) 6 v v 10 = 0, che ha come unica soluzione accettabile v = 5, dunque il TIR è 6 x A = 1 1 = 0, 2, v ossia x A = 20%. Abbiamo che G B (x) = x , per x > 1, quindi poniamo G B (x) = 0, per trovare nella variabile v = x, finanziariamente significativa per v > 0, l equazione (dividendo entrambi i membri per 20) 58 v v 75 = 0, che ha come unica soluzione accettabile v = 25, dunque il TIR è 29 ossia x B = 16%. x B = 1 1 = 0, 16, v e) Poichè x A > x B, allora per il criterio del TIR è sempre preferibile l operazione finanziaria A alla B. Se invece utilizziamo il criterio del VAN, affinché l operazione A sia preferibile rispetto a B, ossia affinché i due criteri non siano contrastanti, il costo opportunità i da associare al VAN deve essere tale che G A (i) > G B (i). Abbiamo che G A (i) > G B (i) se e solo se G A (i) G B (i) > 0, ossia G A B (i) > 0, dunque basta considerare l operazione finanziaria A B e studiare la positività della funzione G A B (x). L operazione finanziaria A B è descritta dal seguente cash-flow: quindi Scadenze Importi G A B (x) = x 560 = 500x x 100.

5 Abbiamo che ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 5 G A B (x) > 0 500x x 100 > 0 500x x 100 > 0, dividendo per 20 otteniamo la disequazione 25x x 5 > 0 che, tenendo presente che deve essere x > 1, ha come soluzione x > 0, Allora, per x > 9, 91%, il criterio del VAN stabilisce la preferenza dell operazione A e quindi è in accordo con il criterio del TIR. Mentre per 1 < x < 9, 91%, il criterio del VAN stabilisce la preferenza dell operazione B, dunque è in contrasto con il criterio del TIR. Esercizio 3. Un investimento è caratterizzato dal seguente cash-flow: Scadenze Importi a) Determinare il TIR dell investimento; b) determinare il GVAN dell investimento ai tassi di mercato i 1 = 5% per il primo anno e i 2 = 8% per il secondo anno. c) Se al posto del credito di 77, avete un debito di 77 e al posto di 40 avete un credito pari a R, con R > 0, determinate un valore di R affinché il nuovo investimento, valutato col metodo del VAN, non risulti mai conveniente rispetto a qualunque tasso di mercato, supposto ora costante nei due anni di investimento. Soluzione. a) Abbiamo che DCF(x) = x + 77, per x > 1, quindi poniamo DCF(x) = 0, per trovare nella variabile v = x, finanziariamente significativa per v > 0, l equazione 77 v v 100 = 0, che ha come unica soluzione accettabile v = 10, dunque il TIR è 11 ossia x = 10%. x = 1 1 = 0, 1, v

6 6 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA b) GVAN(5%, 8%) = , = 5, 6. (1, 05) (1, 08) c) Abbiamo che DCF R (x) = R 1 + x 77. Affinché l investimento non sia mai conveniente è necessario che il VAN risulti negativo, quindi si deve avere: R 1 + x 77 < 0 per ogni x > 1, oppure, equivalentemente, che 77 v 2 R v > 0 per ogni v > 0, ove si pone come al solito v = 1. Si noti che la funzione 1 + x v f(v) = 77 v 2 R v+100 ha come grafico una parabola convessa (o rivolta verso l alto), essendo il coefficiente di secondo grado positivo. Considerato che f(0) = 100 e che f (v) 0 se e solo se v R ]0, + [, possiamo immediatamente dedurre che la condizione richiesta equivale a porre il 154 discriminante negativo: < 0 R < 0 0 < R < 175, 50. Dunque qualunque valore positivo di R inferiore a 175, 50 rende non conveniente l investimento. Esercizio 4. Un investimento è descritto dal seguente cash-flow: Scadenze Importi ,52 a) Dimostrate che il TIR di questa operazione è compreso tra il 2% e il 7%. b) Determinare l esatto TIR dell operazione. c) Determinare gli outstanding capitals e il GVAN dell operazione, supposto che i tassi di mercato siano i 1 = i 2 = 3% e i 3 = 4%. Soluzione. a) Per dimostrare che il TIR di questa operazione è compreso tra il 2% e il 7%, una volta scritto il DCF dell operazione, ossia si noti che: G(x) = x , 52 (1 + x) 3,

7 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 7 (i) il TIR dell operazione è l unica soluzione x ] 1, [ dell equzione G(x) = 0; (ii) G(0, 02) > 0 e G(0, 07) < 0; (iii) G(x) é monotona decrescente. Pertanto la soluzione x che cerco é necessariamente compresa tra i due tassi indicati. b) Provando a ingabbiare sempre di piú la soluzione, calcolatevi G(0, 03) e G(0, 06) e scoprirete che il primo valore è positivo, mentre il secondo è negativo, quindi, mutuando il ragionamento precedente, il TIR sará compreso tra il 3% e il 6%. Se poi avanzate col tasso piú basso, ossia vi calcolate G(0, 04), scoprirete che tale valore è esattamente zero, quindi il TIR è x = 4%. c) Gli outstanding capitals dell investimento sono: w 0 = a 0 ; w k = w k 1 (1 + x ) a k, per k = 1,..., n dove x = 4% è il TIR e a k è l importo del cash-flow alla scadenza t = k. Ricordiamo che, se l operazione finanziaria si conclude all epoca n, allora w n = 0. Nel nostro caso abbiamo: w 0 = e; w 1 = w 0 (1 + x ) a 1 = (1, 04) = e w 2 = w 1 (1 + x ) a 2 = (1, 04) = e w 3 = w 2 (1 + x ) a 3 = (1, 04) , 52 = 0. Il GVAN ai tassi di mercato i 1 = 1 2 = 3% e i 3 = 4% è il seguente: GVAN(3%, 3%, 4%) = , , 52 (1, 03) 2 (1, 04) = 3417, 83, il che significa che conviene aderire a tale offerta a quei tassi di mercato, realizzando un pluvalore di circa 3400 euro. Esercizio 5. Dovete scegliere, in base al criterio del TIR, tra due investimenti: a seguito di un versamento di 100 e, il primo vi garantisce un guadagno di 143 e dopo 2 anni a fronte di un ulteriore versamento di 43 e dopo un anno, mentre il secondo vi garantisce solo una cedola finale pari ad a dopo 2 anni. Stabilire per quali a > 0 il secondo é migliore del primo.

8 8 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA Soluzione. La prima operazione ha un discounted cash-flow (DCF) pari a G 1 (x) = x Il suo TIR si ottiene dall unica soluzione finanziariamente accettabile dell equazione G 1 (x) = 0, che é pari a zero. In base al criterio del TIR, quindi, la seconda operazione finanziaria, che ha DCF pari a G 2 (x) = a, sará piú conveniente se il suo TIR é maggiore di zero, il che si vede facilmente equivalere alla condizione a > 100. Esercizio 6. Un investimento genera il seguente cash-flow: {(0, 5000), (1, 1600), (2, R), (3, 2240)}. a) Determinare l importo R > 0 affinché il TIR sia il 12%; b) stabilire la convenienza dell investimento col criterio del GVAN, ipotizzando che i costi opportunitá siano rispettivamente i 1 = 8% per il primo anno, i 2 = 9% per il secondo e i 3 = 10% per il terzo; c) nell ipotesi che dobbiate ricorrere ad un finanziamento esterno del 60% del capitale iniziale richiesto, con rimborso all italiana di durata pari a 3 anni e tasso a debito j = 10%, giudicare la convenienza dell intera operazione calcolando il GAPV, ossia il GVAN del net cash-flow (o operazione netta finale). Soluzione. a) Abbiamo che G(x) = x + R (1 + x) 3. Poiché x = 12% è il TIR dell investimento, abbiamo che G(0, 12) = 0, ossia , 12 + R (1, 12) (1, 12) 3 = (1, 12) (1, 12) 2 + R (1, 12) (1, 12) 3 = 0 da cui R = 2480e. 7024, , , 12 R = 0,

9 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 9 b) Il GVAN ai tassi di mercato i 1 = 8%, i 2 = 9% e i 3 = 10% è il seguente: GVAN(8%, 9%, 10%) = = , (1, 08) (1, 09) (1, 08) (1, 09) (1, 1) = = 318, 012 > 0, il che significa che conviene aderire a tale offerta a quei tassi di mercato, perchè si ha un plusvalore pari a circa 318 euro. c) L investimento iniziale è descritto dal seguente cash-flow: {(0, a 0 ), (1, a 1 ), (2, a 2 ), (3, a 3 )} = {(0, 5000), (1, 1600), (2, 2480), (3, 2240)}. Il capitale iniziale di 5000e viene coperto per il 60% da un finanziamento esterno con rimborso all italiana di durata pari a 3 anni e tasso j = 10%, quindi f 0 = , 6 = 3000 e; mentre f 1, f 2, f 3 sono le rate R k del piano di ammortamento all italiana con D 0 = 3000e, durata 3 anni e tasso j = 10%. La quota capitale costante è pari a C = D 0 n = 3000 = 1000e. 3 Dobbiamo applicare le seguenti formule: I k = D k 1 j, per k = 1, 2, 3, R k = C + I k = I k, per k = 1, 2, 3, D k = D 0 k C = k per k = 1, 2, 3, dunque otteniamo il seguente piano di ammortamento: t C k I k R k D k Allora il finanziamento è descritto dal seguente cash-flow: {(0, f 0 ), (1, f 1 ), (2, f 2 ), (3, f 3 )} = {(0, 3000), (1, 1300), (2, 1200), (3, 1100)}. L operazione netta finale è pertanto descritta dal seguente cash-flow: {(0, a 0 + f 0 ), (1, a 1 + f 1 ), (2, a 2 + f 2 ), (3, a 3 + f 3 )} = {(0, 2000), (1, 300), (2, 1280), (3, 1140)}.

10 10 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA Dunque dobbiamo calcolare il GVAN ai costi opportunità pari a 8%, 9% e 10% sul capitale proprio, ossia il GAPV (generalized adjusted present value): GAPV = GVAN(8%, 9%, 10%) = = , (1, 08) (1, 09) (1, 08) (1, 09) (1, 1) = = 245, 467 > 0, il che significa che l intera operazione finanziaria è ancora conveniente, ma con un abbassamento del plusvalore di circa 73 euro.