MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 10 luglio 2000

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1 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 10 luglio 2000 Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Mari prof. Pacati. Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l operazione finanziaria x/t = x 0, x 1 }/t 0, t 1 }, ove x = 98.5, 100} lire e t = 0, 90} giorni (nello svolgimento di questo esercizio si utilizzi la durata commerciale dell anno: 360 giorni). Relativamente al periodo di durata dell operazione, calcolare: (a) il tasso di interesse: % (b) il tasso di sconto: % (c) l intensità di interesse: (d) l intensità di sconto: Ipotizzando una sottostante legge di capitalizzazione esponenziale, calcolare: giorni 1 giorni 1 (e) il tasso annuo di interesse: % (f) l intensità istantanea di interesse su base annua: Ipotizzando una sottostante legge di capitalizzazione lineare, calcolare: (g) il tasso annuo di interesse: % (h) il tasso semestrale di interesse: % Si supponga infine di operare una dilazione t 1 della data di pagamento dell importo x 1, in modo che l operazione finanziaria x 0, x 1 }/t 0, t 1 + t 1 } sia equa secondo la legge esponenziale di tasso annuo i = 4%. Determinare l entità di t 1 necessaria a tale scopo, esprimendola in giorni. (g) t 1 = giorni Esercizio 2. Un individuo deve acquistare un bene, il cui prezzo è 10 milioni, e può scegliere fra tre modalità di pagamento: (a) pagamento immediato, con sconto di 470 mila lire; (b) pagamento rateale, con piano di ammortamento francese, in 4 rate trimestrali, al tasso annuo del 1%; (c) pagamento rateale, con piano di ammortamento a quota capitale costante, in 2 rate semestrali posticipate, al tasso annuo del 2%. Supponendo che l individuo svolga le proprie considerazioni di equità secondo una legge esponenziale di tasso annuo i = 9% (cioè consideri questa la corretta legge di equivalenza intertemporale), si calcolino i valori attuali W a, W b e W c, rispettivamente, dei flussi di esborsi previsti dalle tre modalità di pagamento. Si ordinino quindi le tre modalità, nel senso della convenienza finanziaria percepita dall individuo, motivando adeguatamente la risposta.

2 W a = lire W b = lire W c = lire modalità: più conveniente intermedia meno conveniente Esercizio 3. Si consideri un titolo a cedola fissa trimestrale, di vita a scadenza 10 anni, tasso nominale annuo 3%, e capitale nominale 100 lire. Si consideri l operazione finanziaria di di alla pari del titolo e se ne calcoli il tasso interno di rendimento su base annua i. In base alla legge esponenziale individuata da tale tasso, si calcoli quindi il valore montante M dopo 9 anni e 11 mesi. Si determini quindi con quale prezzo di emissione P si sarebbe ottenuto un t.i.r. in base annua pari a i + 1%. i = % M = lire P = lire

3 Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0, sia in vigore la struttura per scadenza dei tassi di interesse caratterizzata dalla funzione intensità di rendimento a scadenza h(0, s) = s e s, s > 0. Si determini, in riferimento allo scadenzario 1, 2, 3} anni, la struttura per scadenza dei tassi di interesse a pronti in base annua, delle intensità istantanee di interesse (in ) e dei tassi di interest rate swap del tipo fisso a 1 anno contro variabile a 1 anno. i(0, 1) = % δ(0, 1) = i sw (0; 1) = % i(0, 2) = % δ(0, 2) = i sw (0; 2) = % i(0, 3) = % δ(0, 3) = i sw (0; 3) = % Esercizio 5. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0, sono quotati due titoli x e y. Si supponga che i prezzi dei due titoli siano, rispettivamente, 100 e 100 lire, che le durate medie finanziarie siano, rispettivamente, 0.5 e 3 anni e che le duration del secondo ordine siano, rispettivamente, 1 e 10 anni 2. Si costruisca un portafoglio z = α x x+α y y, in modo tale che V (0, u) = 100 lire e D(0, z) = 1 anno. Di tale portafoglio si calcoli quindi la duration del secondo ordine D (2) (0, z). α x = α y = D (2) (0, z) = anni 2

4 Esercizio 6. Sia dato un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 ed in riferimento allo scadenzario t = 1, 2} anni, siano trattati i titoli: x = 100, 0} lire al prezzo a pronti di 95 lire, y = 0, 100} lire al prezzo a pronti di 90 lire, z = 6, 106} lire al prezzo a pronti di 101 lire. Determinare la struttura per scadenza dei tassi a pronti determinata dai prezzi dei soli titoli x e y. i(0, 1) = % i(0, 2) = % Costruire quindi un arbitraggio non rischioso che garantisca un profitto certo di 10 lire al tempo t = 2 anni, avendo chiuso in pareggio le posizioni agli altri istanti. azione (A): azione (B): azione (C): di unità del titolo x di unità del titolo y di unità del titolo z

5 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 10 luglio 2000 Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Mari prof. Pacati. Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l operazione finanziaria x/t = x 0, x 1 }/t 0, t 1 }, ove x = 97, 100} lire e t = 0, 180} giorni (nello svolgimento di questo esercizio si utilizzi la durata commerciale dell anno: 360 giorni). Relativamente al periodo di durata dell operazione, calcolare: (a) il tasso di interesse: % (b) il tasso di sconto: % (c) l intensità di interesse: (d) l intensità di sconto: Ipotizzando una sottostante legge di capitalizzazione esponenziale, calcolare: giorni 1 giorni 1 (e) il tasso annuo di interesse: % (f) l intensità istantanea di interesse su base annua: Ipotizzando una sottostante legge di capitalizzazione lineare, calcolare: (g) il tasso annuo di interesse: % (h) il tasso semestrale di interesse: % Si supponga infine di operare una dilazione t 1 della data di pagamento dell importo x 1, in modo che l operazione finanziaria x 0, x 1 }/t 0, t 1 + t 1 } sia equa secondo la legge esponenziale di tasso annuo i = 5%. Determinare l entità di t 1 necessaria a tale scopo, esprimendola in giorni. (g) t 1 = giorni Esercizio 2. Un individuo deve acquistare un bene, il cui prezzo è 20 milioni, e può scegliere fra tre modalità di pagamento: (a) pagamento immediato, con sconto di 750 mila lire; (b) pagamento rateale, con piano di ammortamento francese, in 12 rate mensili, al tasso annuo del 1%; (c) pagamento rateale, con piano di ammortamento a quota capitale costante, in 2 rate semestrali posticipate, al tasso annuo del 2%. Supponendo che l individuo svolga le proprie considerazioni di equità secondo una legge esponenziale di tasso annuo i = 8% (cioè consideri questa la corretta legge di equivalenza intertemporale), si calcolino i valori attuali W a, W b e W c, rispettivamente, dei flussi di esborsi previsti dalle tre modalità di pagamento. Si ordinino quindi le tre modalità, nel senso della convenienza finanziaria percepita dall individuo, motivando adeguatamente la risposta.

6 W a = lire W b = lire W c = lire modalità: più conveniente intermedia meno conveniente Esercizio 3. Si consideri un titolo a cedola fissa trimestrale, di vita a scadenza 10 anni, tasso nominale annuo 4%, e capitale nominale 100 lire. Si consideri l operazione finanziaria di di alla pari del titolo e se ne calcoli il tasso interno di rendimento su base annua i. In base alla legge esponenziale individuata da tale tasso, si calcoli quindi il valore montante M dopo 9 anni e 11 mesi. Si determini quindi con quale prezzo di emissione P si sarebbe ottenuto un t.i.r. in base annua pari a i + 1%. i = % M = lire P = lire

7 Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0, sia in vigore la struttura per scadenza dei tassi di interesse caratterizzata dalla funzione intensità di rendimento a scadenza h(0, s) = s e s, s > 0. Si determini, in riferimento allo scadenzario 1, 2, 3} anni, la struttura per scadenza dei tassi di interesse a pronti in base annua, delle intensità istantanee di interesse (in ) e dei tassi di interest rate swap del tipo fisso a 1 anno contro variabile a 1 anno. i(0, 1) = % δ(0, 1) = i sw (0; 1) = % i(0, 2) = % δ(0, 2) = i sw (0; 2) = % i(0, 3) = % δ(0, 3) = i sw (0; 3) = % Esercizio 5. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0, sono quotati due titoli x e y. Si supponga che i prezzi dei due titoli siano, rispettivamente, 200 e 100 lire, che le durate medie finanziarie siano, rispettivamente, 1.5 e 3 anni e che le duration del secondo ordine siano, rispettivamente, 3 e 12 anni 2. Si costruisca un portafoglio z = α x x + α y y, in modo tale che V (0, u) = 100 lire e D(0, z) = 2 anni. Di tale portafoglio si calcoli quindi la duration del secondo ordine D (2) (0, z). α x = α y = D (2) (0, z) = anni 2

8 Esercizio 6. Sia dato un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 ed in riferimento allo scadenzario t = 1, 2} anni, siano trattati i titoli: x = 100, 0} lire al prezzo a pronti di 95 lire, y = 0, 100} lire al prezzo a pronti di 91 lire, z = 5, 105} lire al prezzo a pronti di 100 lire. Determinare la struttura per scadenza dei tassi a pronti determinata dai prezzi dei soli titoli x e y. i(0, 1) = % i(0, 2) = % Costruire quindi un arbitraggio non rischioso che garantisca un profitto certo di 10 lire al tempo t = 2 anni, avendo chiuso in pareggio le posizioni agli altri istanti. azione (A): azione (B): azione (C): di unità del titolo x di unità del titolo y di unità del titolo z

9 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 10 luglio 2000 Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Mari prof. Pacati. Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l operazione finanziaria x/t = x 0, x 1 }/t 0, t 1 }, ove x = 95.5, 100} lire e t = 0, 270} giorni (nello svolgimento di questo esercizio si utilizzi la durata commerciale dell anno: 360 giorni). Relativamente al periodo di durata dell operazione, calcolare: (a) il tasso di interesse: % (b) il tasso di sconto: % (c) l intensità di interesse: (d) l intensità di sconto: Ipotizzando una sottostante legge di capitalizzazione esponenziale, calcolare: giorni 1 giorni 1 (e) il tasso annuo di interesse: % (f) l intensità istantanea di interesse su base annua: Ipotizzando una sottostante legge di capitalizzazione lineare, calcolare: (g) il tasso annuo di interesse: % (h) il tasso semestrale di interesse: % Si supponga infine di operare una dilazione t 1 della data di pagamento dell importo x 1, in modo che l operazione finanziaria x 0, x 1 }/t 0, t 1 + t 1 } sia equa secondo la legge esponenziale di tasso annuo i = 5%. Determinare l entità di t 1 necessaria a tale scopo, esprimendola in giorni. (g) t 1 = giorni Esercizio 2. Un individuo deve acquistare un bene, il cui prezzo è 30 milioni, e può scegliere fra tre modalità di pagamento: (a) pagamento immediato, con sconto di 1 milione e 600 mila lire; (b) pagamento rateale, con piano di ammortamento francese, in 24 rate mensili, al tasso annuo del 1.5%; (c) pagamento rateale, con piano di ammortamento a quota capitale costante, in 2 rate semestrali posticipate, al tasso annuo del 3%. Supponendo che l individuo svolga le proprie considerazioni di equità secondo una legge esponenziale di tasso annuo i = 7% (cioè consideri questa la corretta legge di equivalenza intertemporale), si calcolino i valori attuali W a, W b e W c, rispettivamente, dei flussi di esborsi previsti dalle tre modalità di pagamento. Si ordinino quindi le tre modalità, nel senso della convenienza finanziaria percepita dall individuo, motivando adeguatamente la risposta.

10 W a = lire W b = lire W c = lire modalità: più conveniente intermedia meno conveniente Esercizio 3. Si consideri un titolo a cedola fissa quadrimestrale, di vita a scadenza 10 anni, tasso nominale annuo 5%, e capitale nominale 100 lire. Si consideri l operazione finanziaria di di alla pari del titolo e se ne calcoli il tasso interno di rendimento su base annua i. In base alla legge esponenziale individuata da tale tasso, si calcoli quindi il valore montante M dopo 9 anni e 11 mesi. Si determini quindi con quale prezzo di emissione P si sarebbe ottenuto un t.i.r. in base annua pari a i + 1%. i = % M = lire P = lire

11 Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0, sia in vigore la struttura per scadenza dei tassi di interesse caratterizzata dalla funzione intensità di rendimento a scadenza h(0, s) = s e s, s > 0. Si determini, in riferimento allo scadenzario 1, 2, 3} anni, la struttura per scadenza dei tassi di interesse a pronti in base annua, delle intensità istantanee di interesse (in ) e dei tassi di interest rate swap del tipo fisso a 1 anno contro variabile a 1 anno. i(0, 1) = % δ(0, 1) = i sw (0; 1) = % i(0, 2) = % δ(0, 2) = i sw (0; 2) = % i(0, 3) = % δ(0, 3) = i sw (0; 3) = % Esercizio 5. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0, sono quotati due titoli x e y. Si supponga che i prezzi dei due titoli siano, rispettivamente, 100 e 200 lire, che le durate medie finanziarie siano, rispettivamente, 0.5 e 4 anni e che le duration del secondo ordine siano, rispettivamente, 1 e 10 anni 2. Si costruisca un portafoglio z = α x x+α y y, in modo tale che V (0, u) = 100 lire e D(0, z) = 1 anno. Di tale portafoglio si calcoli quindi la duration del secondo ordine D (2) (0, z). α x = α y = D (2) (0, z) = anni 2

12 Esercizio 6. Sia dato un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 ed in riferimento allo scadenzario t = 1, 2} anni, siano trattati i titoli: x = 100, 0} lire al prezzo a pronti di 96 lire, y = 0, 100} lire al prezzo a pronti di 92 lire, z = 6, 106} lire al prezzo a pronti di 101 lire. Determinare la struttura per scadenza dei tassi a pronti determinata dai prezzi dei soli titoli x e y. i(0, 1) = % i(0, 2) = % Costruire quindi un arbitraggio non rischioso che garantisca un profitto certo di 10 lire al tempo t = 2 anni, avendo chiuso in pareggio le posizioni agli altri istanti. azione (A): azione (B): azione (C): di unità del titolo x di unità del titolo y di unità del titolo z

13 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 10 luglio 2000 Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Mari prof. Pacati. Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l operazione finanziaria x/t = x 0, x 1 }/t 0, t 1 }, ove x = 99.5, 100} lire e t = 0, 30} giorni (nello svolgimento di questo esercizio si utilizzi la durata commerciale dell anno: 360 giorni). Relativamente al periodo di durata dell operazione, calcolare: (a) il tasso di interesse: % (b) il tasso di sconto: % (c) l intensità di interesse: (d) l intensità di sconto: Ipotizzando una sottostante legge di capitalizzazione esponenziale, calcolare: giorni 1 giorni 1 (e) il tasso annuo di interesse: % (f) l intensità istantanea di interesse su base annua: Ipotizzando una sottostante legge di capitalizzazione lineare, calcolare: (g) il tasso annuo di interesse: % (h) il tasso semestrale di interesse: % Si supponga infine di operare una dilazione t 1 della data di pagamento dell importo x 1, in modo che l operazione finanziaria x 0, x 1 }/t 0, t 1 + t 1 } sia equa secondo la legge esponenziale di tasso annuo i = 4%. Determinare l entità di t 1 necessaria a tale scopo, esprimendola in giorni. (g) t 1 = giorni Esercizio 2. Un individuo deve acquistare un bene, il cui prezzo è 40 milioni, e può scegliere fra tre modalità di pagamento: (a) pagamento immediato, con sconto di 1 milione e 400 mila lire; (b) pagamento rateale, con piano di ammortamento francese, in 6 rate bimestrali, al tasso annuo del 0.5%; (c) pagamento rateale, con piano di ammortamento a quota capitale costante, in 2 rate semestrali posticipate, al tasso annuo del 1%. Supponendo che l individuo svolga le proprie considerazioni di equità secondo una legge esponenziale di tasso annuo i = 6% (cioè consideri questa la corretta legge di equivalenza intertemporale), si calcolino i valori attuali W a, W b e W c, rispettivamente, dei flussi di esborsi previsti dalle tre modalità di pagamento. Si ordinino quindi le tre modalità, nel senso della convenienza finanziaria percepita dall individuo, motivando adeguatamente la risposta.

14 W a = lire W b = lire W c = lire modalità: più conveniente intermedia meno conveniente Esercizio 3. Si consideri un titolo a cedola fissa quadrimestrale, di vita a scadenza 10 anni, tasso nominale annuo 6%, e capitale nominale 100 lire. Si consideri l operazione finanziaria di di alla pari del titolo e se ne calcoli il tasso interno di rendimento su base annua i. In base alla legge esponenziale individuata da tale tasso, si calcoli quindi il valore montante M dopo 9 anni e 11 mesi. Si determini quindi con quale prezzo di emissione P si sarebbe ottenuto un t.i.r. in base annua pari a i + 1%. i = % M = lire P = lire

15 Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0, sia in vigore la struttura per scadenza dei tassi di interesse caratterizzata dalla funzione intensità di rendimento a scadenza h(0, s) = s e s, s > 0. Si determini, in riferimento allo scadenzario 1, 2, 3} anni, la struttura per scadenza dei tassi di interesse a pronti in base annua, delle intensità istantanee di interesse (in ) e dei tassi di interest rate swap del tipo fisso a 1 anno contro variabile a 1 anno. i(0, 1) = % δ(0, 1) = i sw (0; 1) = % i(0, 2) = % δ(0, 2) = i sw (0; 2) = % i(0, 3) = % δ(0, 3) = i sw (0; 3) = % Esercizio 5. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0, sono quotati due titoli x e y. Si supponga che i prezzi dei due titoli siano, rispettivamente, 100 e 200 lire, che le durate medie finanziarie siano, rispettivamente, 1 e 3 anni e che le duration del secondo ordine siano, rispettivamente, 3 e 10 anni 2. Si costruisca un portafoglio z = α x x + α y y, in modo tale che V (0, u) = 100 lire e D(0, z) = 2 anni. Di tale portafoglio si calcoli quindi la duration del secondo ordine D (2) (0, z). α x = α y = D (2) (0, z) = anni 2

16 Esercizio 6. Sia dato un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 ed in riferimento allo scadenzario t = 1, 2} anni, siano trattati i titoli: x = 100, 0} lire al prezzo a pronti di 97 lire, y = 0, 100} lire al prezzo a pronti di 94 lire, z = 5, 105} lire al prezzo a pronti di 100 lire. Determinare la struttura per scadenza dei tassi a pronti determinata dai prezzi dei soli titoli x e y. i(0, 1) = % i(0, 2) = % Costruire quindi un arbitraggio non rischioso che garantisca un profitto certo di 10 lire al tempo t = 2 anni, avendo chiuso in pareggio le posizioni agli altri istanti. azione (A): azione (B): azione (C): di unità del titolo x di unità del titolo y di unità del titolo z

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