SOLUZIONE COMPITO DI FISICA 2

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1 SOLUZIONE COMPITO DI FISICA Laurea in Matematica, Università di Padova, a.a. -, appello del E. Una carica elettrica positiva è distribuita uniformemente con densità ρ =.6 C / m tra due superfici cilindriche coassiali e di raggi, rispettivamente, = cm ed =cm. Si determini: a) L espressione del modulo E del campo elettrostatico E in funzione della distanza r dall asse del sistema. b) La differenza di potenziale = A O tra il punto A posto sulla superficie cilindirica ed il punto O posto sull asse comune alle due superfici cilindriche. [Costante dielettrica del vuoto: ε = 8.85 C / Nm ] Soluzione. a) Si scelga una superficie cilindrica, di raggio r ed altezza h, coassiale alle superfici e. Sia q r la carica contenuta all interno di tale superficie. In virtù del teorema di Gauss, si ha che il modulo E del campo elettrostatico e q r sono legati fra loro dalla seguente relazione: qr E( r)π rh = ε i) EGIONE I r < q r = da cui E I (r)=; ii) EGIONE II <r< q r = ρ ( π r h π h) da cui ρ( r ) EII ( r) = ; ε r iii) EGIONE III r> q r = ρ( π h π h) da cui E III ρ( ) ( r) =. ε r

2 b) Indicato con B un punto sulla superficie cilindrica, la differenza di potenziale è data da da cui O = = Eidl = A O B O A EIIidl + EIidl = EIIidl A B B A ρ( r ) = A O = EII ( r) dr = dr = ε r ρ ρ 4ε ( ) + log =.8 ε E. Un condensatore di capacità C =.7µ F è collegato in serie con un condensatore di capacità C =.3µ F. Questa combinazione è collegata in parallelo con un condensatore 3 di capacità C 3 =.4µ F. Ai capi di tale sistema viene applicata una tensione =4. Si calcoli a) La capacità risultante C del sistema; b) Le tensioni,, 3 ai capi di ciascun condensatore. Supponendo che ai capi dell intero sistema sia mantenuta la tensione, il condensatore viene, poi. riempito con un dielettrico di costante dielettrica relativa ε r =. In tali condizioni, si calcolino: c) Le cariche q, q, q 3 presenti sulle armature di ciascun condensatore. Soluzione. a) La capacità risultante C del sistema è ( ) 6. 7 C = C3 + + = F C C b) Siano,, 3 le tensioni ai capi dei condensatori,,3. Siano q, q, q 3 le cariche presenti sulle armature di ciascun condensatore. Tra le tensioni ai capi di ciascun condensatore

3 sussiste la relazione seguente: 3 = + = = 4 () Inoltre, in virtù del collegamento in serie tra il condensatore e il condensatore, si ha che q = C = C = q da cui C = C che insieme alla relazione () fornisce i risultati seguenti: = = + C / C = = + C / C c) A causa dell inserimento del dielettrico la capacità C diventa C ' = ε C =.6µ F r e dunque, in tali condizioni, le tensioni ai capi dei condensatori e saranno date dalle seguenti espressioni = = ' C / C ' = =.93 ' + C ' / C Perciò, in tali condizioni, le cariche presenti sulle armature dei condensatori e saranno

4 6 q ' = C ' = 7.75 C q ' = C ' ' = q ' Sulle armature del condensatore 3 vi sarà una carica 6 q ' 3 = q3 = C3 3 = 9.6 C E3. Una corrente i che varia nel tempo secondo la legge i( t) = i sin( ωt) [ i = 3A e ω =.5 rad / s ] percorre, discordemente rispetto all asse verticale y, un filo rettilineo indefinito. A destra del filo si trova una spira quadrata di lato a=cm, avente i lati PQ e S paralleli al filo stesso. Si assuma che la distanza tra il filo e il lato PQ sia uguale ad x =4 cm. Si calcoli: a) Il flusso attraverso la spira del campo magnetico B generato dal filo all istante t*=s; b) Il valore della forza elettromotrice indotta nella spira all istante t*. 7 [Permeabilità magnetica del vuoto: µ = 4π Tm / A ] Soluzione. Il campo magnetico B( t) generato dal filo indefinito è, secondo la legge di Biot-Savart, un vettore µ i di modulo ( ) ( t B t ) =. Nel semipiano dove si trova la spira B( t) è ortogonale al foglio e diretto π x verso il lettore. a) Sia S la superficie della spira ed n il versore normale alla superficie della spira. Si assuma che detto versore sia uscente dalla superficie della spira stessa. Il flusso attraverso la spira è x + a µ i( t) adx µ i( t) x + a i, φ( t) = B nds = BdS = = a log( ) π x π x S S x dove la superficie infinitesima è quella di area ds=adx. All istante t*=s si ha µ i( t*) x + a µ i sin( ωt*) x + a φ( *) log log.33 π x π x 7 t = a = a = Weber b) La forza elettromotrice indotta ε ( t) è data da

5 All istante t*=s, si ha d µ ai ω cos( ωt) x + a ε ( t) φ( ) log ε = t =. dt π x µ ai ω cos( ωt*) x + a π x 7 ( t*) = log =.3

6 SOLUZIONE COMPITO DI FISICA Laurea in Matematica, Università di Padova, a.a. -, appello del 5-- E. Tre cariche elettriche sono poste su tre dei quattro vertici di un quadrato di lato L= cm, come in figura. Le cariche sono q = nc, q =4 nc e q 3 = nc. Si calcoli: a) l'energia elettrostatica U del sistema; b) le componenti cartesiane del vettore campo elettrico E nel vertice libero. [Costante dielettrica del vuoto: ε = C /(N m )] y q q q 3 x Soluzione. qq 3 7 a) U = qq qq3 6.3 J 4πε L + + = q q b) Ex = πε + = L L ; m q3 q E y = πε + = L L ; m Ez = m

7 E. Due condensatori di capacità elettrica C =6 nf e C = nf sono caricati inizialmente con cariche di modulo Q =3 µc e Q = µc. Il condensatore è riempito da materiale dielettrico (ε r =3). I due condensatori sono collegati come in figura. L interruttore T viene chiuso. Si calcoli ad equilibrio raggiunto e trascurando gli effetti resistivi: a) la differenza di potenziale AB ai capi del collegamento formato dai condensatori; b) l'energia potenziale elettrostatica U p persa durante il processo descritto. A A C C T B Soluzione. a) Nella configurazione finale i due condensatori sono in parallelo, con capacità C = C + C = nf e carica totale Q = Q Q =. μc. La d.d.p. tra le armature è 8 = Q C =. AB 5 Q Q Q = = + = = C C C U U U..5 J 7.5 J b) p in fin ( ) E3. Un circuito L in serie, con resistenza = 6 Ω ed induttanza L = 4 H, viene collegato al tempo t= s ad una batteria con tensione continua =. Avendo determinato l intensità di corrente I(t) nel circuito in funzione del tempo t, calcolare dopo secondi: a) l energia E fornita dalla batteria; b) l energia E L immagazzinata nel campo magnetico.

8 Soluzione. a) Sia T = s e τ = L/ =.666 s il tempo caratteristico del circuito L. Allora I(t) = ( /) ( - exp(-t/τ)). Integrando la potenza P(t) = I(t) nell intervallo [,T] si ha E = ( /) (T - τ ( - exp(-t/τ) ) ) =.78 J. b) L energia accumulata dal campo magnetico è semplicemente E L = / L I(T) = 5. J.

9 SOLUZIONE COMPITO DI FISICA Laurea in Matematica, Università di Padova, a.a. -, appello del -6- E. Uno strato sferico carico (vedi figura sottostante) avente raggio interno = m e raggio esterno = 9 m è costituito da una carica positiva distribuita non uniformemente con densità A r/ B di volume ( ) e ρ =, dove (A=pC/m), B= +, e r è misurato a partire dal centro O dello r strato stesso. Calcolare il campo elettrostatico, specificandone direzione, verso, e modulo nei seguenti due casi: a) In un punto P, distante d = m dalla superficie esterna dello strato lungo la congiungente OP; b) In un punto Q interno allo strato, a distanza b= 5 m dal centro O. [Costante dielettrica del vuoto: ε = 8.85 C / Nm ; p= ] Soluzione. In virtù della simmetria sferica del problema il campo elettrostatico dipenderà solo dal modulo del vettore r che individua la posizione di un dato punto dello spazio rispetto al centro O dello strato sferico. Dunque, indicato con r il modulo del vettore r, si ha che E() r = E(). r In entrambi i casi, a) e b), il campo elettrostatico sarà normale alla superficie dello strato sferico. Inoltre, in virtù del fatto che la carica distribuita all interno dello strato è positiva, il campo elettrostatico sarà diretto dal centro O verso l esterno dello strato stesso.

10 Sia per il punto a) che per il punto b) si procede applicando il teorema di Gauss ad una superficie sferica di raggio r Q Φ ( E) =, () ε dove il primo membro è il flusso del campo elettrostatico uscente attraverso la superficie di cui sopra Φ = ( E) 4 π rer ( ), () e la carica Q al secondo membro è la carica elettrica contenuta nel volume delimitato superficie sferica di raggio r Q= ρ( r) dτ (3) Così, in definitiva, applicando le formule (), (), e (3), si ha la relazione seguente: ρ() rdτ Er () =. 4π r ε (4) a) In questo caso la (4) diventa ρ() rdτ EP ( ) =. 4 π ( + d) ε (5) Il numeratore del secondo membro della (5) è dato da r B B B ρ() rdτ = 4πA e dr= 4 πabe ( e ), dove abbiamo fatto uso del fatto che l elemento di volume ottiene che il modulo cercato è dτ π = 4 r dr. Dunque, dalla (5) si B B AB( e e ) EP ( ) = =.56 ( + d) ε m b) In questo caso la (4) diventa

11 ρ() rdτ EQ ( ) =, 4π b ε dove il numeratore la secondo membro è dato da (6) la quale, insieme alla (6), dà il modulo cercato b r b B B B ρ() rdτ = 4πA e dr= 4 πabe ( e ), B B AB( e e ) EQ ( ) = =.35 b ε m b

12 E. Siano dati due condensatori e, di capacità, rispettivamente, C e C collegati tra loro in serie (vedi figura sottostante). I due condensatori hanno le armature di uguale area S. La distanza tra le armature del condensatore è d = cm; la distanza tra le armature del condensatore è d = cm. Si supponga che ai capi della serie venga mantenuta una differenza di potenziale costante = 3. Calcolare: AC a) La differenza di potenziale AB ai capi del condensatore, e la densità di carica superficiale σ sulle armature del condensatore nell ipotesi che tra le armature di entrambi i condensatori ci sia il vuoto; b) La differenza di potenziale ' AB ai capi del condensatore, nelle ipotesi che lo spazio tra le armature di tale condensatore venga riempito per metà di un materiale isolante di costante dielettrica relativa ε r = 5, e che venga mantenuta ai capi della serie la differenza di potenziale = 3. AC [Costante dielettrica del vuoto: ε = 8.85 C / Nm ] Soluzione. a) Il sistema assegnato è un collegamento in serie di due condensatori aventi capacità S C = ε d C S = ε d sulle cui armature è presente una carica Q = Q = Q. La capacità equivalente della serie formata dai due condensatori è C eq = + = ( ) ε. C C d+ d S

13 La differenza di potenziale AC è data, perciò, da AC Q =. C eq La differenza di potenziale richiesta, AB, è data da AB Q =. C Dunque, si avrà che C eq AB = AC = AC = C d+ d La densità di carica superficiale σ sulle armature del condensatore, nell ipotesi che tra le armature di entrambi i condensatori ci sia il vuoto è data da d σ = ε E, dove E è il campo elettrostatico tra le armature del condensatore dato da AB / d. Dunque. σ AB 8 = ε = 8.85 C/ m. d b) In questo caso, dopo l inserimento del materiale isolante, il condensatore potrà essere pensato come la serie di due condensatori, uno le cui armature sono riempite, per una distanza d /, dal vuoto, di capacità C S = ε d /, l altro le cui armature sono riempite, per una distanza d /, dal dielettrico assegnato, di capacità La capacità equivalente della serie è pari a C S = εεr d /, d

14 C = ( + ) = ε ε S ( ε ) ' r C, C, d d + r L intero sistema, quello compreso tra i terminali A e C, sarà una serie di due condensatori la cui capacità equivalente è ' ε ε rs C eq = ( + ) =, ' C C d ( + ε ) + d ε S con C = ε. d r r ' ' ' A tale capacità equivalente competerà una carica Q = Q = Q. La differenza di potenziale AC è data, perciò, da AC ' Q =. C ' eq La differenza di potenziale richiesta, ' AB, è data da AB ' Q =. C ' Dunque, si avrà che C = = = ε ' ' eq d( + ε r) AB AC ' AC C d( + εr) + d r

15 E3. Due fili, e, rettilinei indefiniti sono disposti parallelamente ad una distanza d l uno dall altro. Tali fili sono percorsi, nello stesso verso, rispettivamente, dalle correnti i () t = βt γ t 3 A A ( β = 5, γ = ) e s s i () t = δt ( 3 A δ = ). Una spira quadrata di lato a giace nel s piano dei due fili. Due dei suoi lati sono paralleli ai fili, mentre il centro della spira è equidistante dai fili stessi (vedi figura sottostante). Determinare: a) Il flusso attraverso la spira del campo magnetico B generato dai due fili ad un generico istante t; b) L istante t* in cui la forza elettromotrice indotta nella spira è nulla. Soluzione. a) Il campo magnetico B () t generato dal filo indefinito è, secondo la legge di Biotμ i () t Savart, un vettore di modulo B () t =. Nel piano dove si trova la spira, il vettore π x B () t è ortogonale al foglio ed entrante nel foglio stesso. Analogamente, il campo magnetico B () t generato dal filo indefinito è, secondo la legge di Biot-Savart, un μ i () t vettore di modulo B () t =. Nel piano dove si trova la spira, il vettore π ( d x) B () t è ortogonale al foglio e diretto verso il lettore (vedi figura sottostante).

16 Se n è il versore normale alla superficie della spira e si assume che detto versore sia uscente dalla superficie orientato verso il lettore - della spira stessa, si ha che il campo risultante è dato da Bt μ i () t μ i () t μ i () t i () t = πx n + = π( d x) n π x ( d x) n. () ( ) Il flusso attraverso la spira è d a + () () μ μ i t i t a d + a φ() t = B in ds = ( ) adx ( i() t i())log( t ) π =, x ( d x) π d a S d a dove la superficie infinitesima è quella di area ds=adx. b) La forza elettromotrice indotta ε () t è data da d μ a d+ a ε φ β δ γ dt π d a () t = () t = log (( ) t ). L istante t* in cui la forza elettromotrice indotta nella spira è nulla è pari a t * = γ.5s ( β δ ) =.

17 Esercizi riassuntivi di Fisica II per il corso di laurea in Ingegneria Gestionale dell Università di Padova Problema. Due sfere conduttrici di raggio =cm e =3cm sono poste con i centri ad una distanza L=m. Inizialmente entrambe hanno una carica Q =* -3 C. Prof. oberto Carlin Dott. Mosè Mariotti L L x q. Calcolare la forza esercitata su una carica puntiforme q =-* -6 C posta ad una distanza L dal centro della seconda sfera (vedi figura).. La carica q o viene portata all infinito, quale è stato il lavoro compiuto dalle forze elettrostatiche? In seguito le due sfere vengono connesse con un filo conduttore. 3. Quali sono le cariche Q e Q che si misurano sulle due sfere? 4. Quale è l energia dissipata nel processo?.3 Padova 5 Gennaio.3 5//: imossi esercizi su lenti e diffrazione, aggiunti esercizi 36,37,38. /4/8: Aggiunti esercizi e alcune correzioni.. 5/5/3: Aggiunti esercizi 8,9,,9. /5/3: Prima versione NB: Nonostante l attenzione nella correzione nei testi, è più che probabile siano presenti alcuni errori, che invitiamo gli studenti a riportare prontamente.!.carlin. M.Mariotti. E vietata ogni forma di copia, che non sia per uso personale degli studenti del corso di Fisica Generale II di Ingegneria Gestionale. La forza sulla carica q è pari a q E, dove E è il campo elettrico generato dalle due sfere cariche, valutato nel punto in cui si trova q. Le sfere sono distanti rispetto alle loro dimensioni, quindi trascuriamogli effetti di induzione reciproca (e a maggior ragione l effetto di induzione di q ). Le distribuzioni di carica si considerano uniformi sulle superfici. Ciascuna delle sfere uniformemente cariche genera un campo che è equivalente a quello di una carica puntiforme posta nel loro centro, quindi, nel punto in cui si trova q : Q E = 4!" 3L ( ) E = Q 4!" ( L) (.) # & Q F = q 4!" ( L) + Q ( $ 4!" ( 3L) ' ( = q Q # 4!" 4L + & $ 9L ' ( = )3.5N! u x (.) Il lavoro compiuto dalle forze elettrostatiche per portare la carica q all infinito è pari a q, dove è il potenziale nella posizione iniziale dalla carica q, generato delle due sfere cariche (equivalente a quello di due cariche puntiformi), e si considera il potenziale all infinito: # Q W = q = q 4!" L + Q & $ 4!" 3L ( ' = q Q # 4!" L + & $ 3L' ( = )5J (.3) Quando le due sfere vengono connesse elettricamente, la loro carica si ridistribuisce, sempre sulle superfici, in modo che le due sfere si portino allo stesso potenziale. Sempre a causa della distanza tra le sfere, la distribuzione di carica su ciascuna sfera potrà ancora essere considerata uniforme. Si avrà quindi che, calcolando il potenziale sulle superfici delle sfere:

18 Q Q = (.4) 4!" 4!" e quindi, considerando anche la conservazione della carica, le equazioni che determinano le cariche sono: Q = Q Q + Q = Q (.5) Problema. Un conduttore sferico cavo di raggio interno =cm e raggio esterno 3 =3cm ha una carica pari a Q =3* -4 C. All interno viene posto un conduttore sferico di raggio =cm, con un ulteriore carica pari a Q. Ad una distanza L=3m dal centro dei conduttori è posta una piccola carica puntiforme q =-* -7 C. da cui si ottiene: Q = Q + = 3! "3 C (.6) x q Q = Q " Q =! "3 C L energia dissipata nel processo sarà pari alla variazione dell energia elettrostatica del sistema. Ciascuna sfera carica può essere considerata come un condensatore (con l altra armatura all infinito), di capacità pari a 4!" e quindi di energia Q C. Si ottiene lo ovviamente stesso risultato integrando la densità di energia elettrostatica nel volume in cui c è campo elettrico: # U E = # $! E d" =! & Q ) $ ( ' 4! + 4 d = Q (.7) * 4! L energia elettrostatica iniziale è così: U IN = Q + Q = Q # + & 4!" 4!" 8!" $ ( ' =.4 )6 J (.8) e quella finale: U FIN = Q + Q = Q + Q # & 4!" 4!" 8!" $ ( ' =.8 )6 J (.9) da cui U DISS = U FIN! U IN = 6KJ.. Calcolare la forza esercitata sulla carica q. La carica q o viene portata all infinito, quale è stato il lavoro compiuto dalle forze elettrostatiche? In seguito i due conduttori vengono connessi con un filo metallico. 3. Quali sono le cariche Q e Q che si misurano alla fine sulle sfere? 4. Quale è l energia dissipata nel processo? La carica sulle superfici di raggio, ed 3 è rispettivamente Q, -Q (indotta) e Q (composta da Q indotta più Q nativa). La distanza tra q ed i conduttori è grande rispetto al loro diametro, e q è piccola rispetto a Q. L effetto di induzione elettrostatica è perciò trascurabile e le distribuzioni di carica sui conduttori possono considerarsi in buona approssimazione sferiche uniformi. La carica q vedrà il campo generato da una superficie sferica carica con carica Q, equivalente a quello di una carica puntiforme: # Q F = q & $ 4!" L ( ' = )mn! u x (.) Il lavoro compiuto dalle forze elettrostatiche per portare la carica q all infinito è pari a q ( IN! FIN )da cui, considerando il potenziale nullo all infinito: # Q W = q & $ 4!" L ( = )36mJ (.) ' Connettendo le due sfere, la carica si ridistribuisce portandosi tutta sulla superficie esterna (quella di raggio 3 ). Quindi le cariche finali sulle due sfere saranno: Q = (.3) Q = Q = 6! "4 C

19 L energia elettrostatica del sistema è costituita dall energia del condensatore sferico Q C (tra le due sfere interna ed esterna) e dall energia del campo esterno. La capacità di un condensatore sferico è pari a: $ C = 4!" # ' & ) (.4) ( Poiché il campo elettrico esterno non varia cortocircuitando le due sfere, l unica variazione è quella relativa al campo interno: U IN = Q $ # ' 4!" & ) ( U = FIN U DISS = Q # (.5) $ ' 4!" & ) ( =.5KJ # Problema 3. Nel centro di un conduttore sferico cavo, di raggio interno = cm e raggio esterno = cm, è contenuta una carica puntiforme q = 3! "5 C. q. Scrivere le espressioni del campo e del potenziale nelle 3 regioni: r <, <r <, r >. Una quantità di carica q = 3q viene portata da distanza infinita e aggiunta al conduttore.. Scrivere le nuove configurazioni di campo e potenziale nelle tre regioni. 3. Scrivere il lavoro fatto per portare la carica q dall infinito al conduttore. Il campo elettrico nel conduttore ( < r < ) è nullo, mentre è quello della carica q nelle due regioni r < e r > (sulle due superfici interna ed esterna del conduttore si inducono le cariche!q e q rispettivamente). Pertanto: q E = 4!" r, E =, E = q 3 4!" r (3.) Il potenziale si può calcolare come somma dei potenziali delle tre distribuzioni di carica ( q e le due cariche indotte sulle superfici del conduttore), con la usuale assunzione di potenziale nullo all infinito. Il potenziale risulterà costante dentro il conduttore: = q 4!" r # q 4!" + q 4!", = q 4!", 3 = q 4!" r La carica q va a modificare solo la carica sulla superficie esterna del conduttore. Il campo elettrico sarà pertanto diverso solo all esterno del conduttore, mentre varieranno i termini costanti del potenziale anche all interno (se si vuole mantenere la convenzione di potenziale nullo all infinito): (3.) E = q 4!" r, E =, E 3 = q + q 4!" r = 4q 4!" r (3.3) = q 4!" r # q 4!" + q + q 4!" = q 4!" r # q 4!" + q!" = q!", 3 = q!" r (3.4)

20 Il lavoro fatto per portare la carica q fino alla superficie del conduttore è pari alla variazione di energia elettrostatica del sistema (solamente quindi all esterno del conduttore). Può essere calcolata agevolmente ricordando che la capacità di un conduttore sferico è C = 4!" e che il lavoro necessario a caricare una capacità èw = Q C. Si calcolerà quindi la differenza tra le energie elettrostatiche finale ed iniziale: W = $ ( q + q ) # q ' & ) 8!" & ( ) = $ ( 4q ) # q ' & ) 8!" & ( ) = 5q = 33.3J (3.5) 8!" Problema 4. Due cariche puntiformi q = +q e q =!q sono poste rispettivamente a x =!m e x = m. Sul piano x = (piano yz) è presente una densità di carica uniforme!. Sapendo che q =!3 C e che! E(x 3 = m,,) = calcolare:. La densità di carica!. Il lavoro fatto dalle forze elettrostatiche per portare una carica q =!4 C da x 3 alla parte opposta x 4 =!x 3 " x 4 +q x -q x x 3 x Il campo elettrico nel punto x 3 è la soma dei campi generati dalle due cariche e di quello della distribuzione piana: ( ) = E x 3 q ' 4!" & ' x 3 # x ( ) + da cui si ricava la densità di carica incognita: q 4!" + ( ) # ( ) + $ " q 4!" x 3 # x ( ) + $ q 4!" # " = q 4!" 9 # q + $ = # q 8 4!" " 4!" 9 + $ = " $ = q 8 " 4!" 9 (! * u x = (4.) ) * $ = 4q 9! = 4.5#6 C m Nel calcolare il lavoro, si può trascurare quello fatto dal campo generato dalla carica piana per simmetria, si considerano quindi solo le differenze di potenziale delle due cariche puntiformi: (4.)

21 W =!q " = q ( IN! FIN ) IN =!q 4#$! + q ( & ' + ) * =!q + q ( 4#$ & ' 3) * FIN =!q 4#$ + + q ( & '! ) * =!q 4#$ & ' 3 + q ( ) * ( ) = q W = q IN! FIN!q + q 4#$ 3 + q & ' 3! q ( ) * W = q!q + 4#$ & ' 3 q ( ) * = q! 4 4#$ & ' 3 q ( ) * =! q q =!. + 3 J 3#$ (4.3) Problema 5. Due fili isolanti molto lunghi, carichi positivamente con densità di carica uniforme! = 8nC / m si incrociano ad angolo retto. Una particella di carica positiva q = µc e massa m =.g si trova inizialmente ferma nella posizione P(x = y =.m). Calcolare. L intensità del campo elettrico generato dalla coppia di fili nel punto P. La forza che la particella subisce nel punto P 3. La velocità della particella dopo che ha percorso la distanza d =.75m q Il campo elettrico nel punto P è la somma vettoriale dei due campi generati dalle distribuzioni lineari di carica, ed è diretto lungo la bisettrice degli assi:! E x = "# x = E y (5.)! E = = 34 m "# x La forza che agisce sulla carica è dunque: F = qe = 4! "3 N (5.) La velocità finale della carica può essere calcolata dalla variazione di energia cinetica, e quindi dal lavoro fornito dalle forze elettrostatiche. Nel calcolo bisogna tener conto che il campo, e quindi la forza, varia al variare della distanza dai fili lungo la traiettoria della carica:

22 mv = W E = q! "# x x =.m x =.75 + x =.63m W E =.59mJ v =.33m / s x $ q! x x $ dx = "# x dx = q! ln x ( "# ' * & ) x x (5.3) Problema 6. Un cilindro conduttore ha diametro esterno D e lunghezza infinita. Sull asse del cilindro è posto un filo con densità di carica lineare #=6.67* - C/m. Sapendo che il campo elettrico misurato sulla superficie esterna del cilindro è E s = m, determinare:. Il diametro esterno D del cilindro e la densità di carica indotta sulla sua superficie esterna. La forza che agisce su una carica di prova q= -4 C posta all esterno del cilindro, ad una distanza =88 cm dall asse. E s La carica indotta sulla superficie di un tratto di cilindro è la stessa che c è nella sezione di filo all interno: Q =!l = "# Dl (6.) quindi si può scrivere:! = " (6.) # D Noto il campo elettrico sulla superficie si può determinare la densità di carica e quindi il diametro del cilindro: E S =! # = " " $ D D = # 6.67 & ' = =.m (6.3) $" E S $ &8.85& ' & Il campo elettrico all esterno del cilindro conduttore (fino alla superficie esterna) è uguale a quello del filo rettilineo infinito:! E = (6.4) "# E pertanto la forza su una carica di prova vale:! F = qe = q "# = $ $ " 8.85 $.88 =.36 $3 N (6.5)

23 Problema 7. Tre lamine metalliche quadrate parallele, di lato L=cm, sono poste a distanza h=. cm una dall altra. Tra le lamine vi sono due sostanze dielettriche, con costanti dielettriche relative k =. e k =.7. Le due lamine esterne sono connesse ad un generatore che le mantiene alla tensione =. Determinare: C F =! L h = 8.85"# ". =.579nF. U F = C F = ".58"#9 " = 4.7" #6 J $U = U F # U I = #3.67 " #6 J (7.4) k k. Quale è la capacità totale del sistema.. Quanto vale il campo elettrico E nel dielettrico. 3. Quale è la variazione di energia elettrostatica se i due dielettrici vengono estratti. Le due capacità C e C si possono considerare in serie. Hanno valori diversi a causa delle diverse costanti dielettriche: C =! k L h C =! k L h = 8.85"# ".".. = 8.85"# ".7 ".. =.433nF =.97nF C = C C =.89nF C + C Le due capacità in serie hanno la stessa carica Q, che è anche la carica della serie dei due. Questo fatto può essere usato per calcolare le tensioni su ciascun condensatore e quindi i campi elettrici: Q = C =.98! "9! =.37! "7 C = Q C =.37!"7 C.433! "9 = 53.7 E = h = 4.88K / m L energia elettrostatica iniziale vale: (7.) (7.) U I = C I =!.89!"9! = 7.84! "6 J (7.3) Togliendo i dielettrici varia la capacità del sistema, mentre il generatore mantiene la tensione costante, e quindi varia l energia accumulata:

24 Problema 8. Un condensatore piano di superficie quadrata S= cm e distanza tra le armature h=5mm viene caricato fino a raggiungere una differenza di potenziale tra le due armature di =, e quindi isolato. Successivamente viene introdotto un blocco a forma di parallelepipedo con la superficie della stessa forma e dimensione di quella del condensatore. Il blocco è costituito da due strati entrambi di altezza h =mm, ma di materiale dielettrico con costante dielettrica k=3 il primo dal basso, e di materiale conduttore il secondo. Si chiede in tali condizioni:. La carica depositata sulle armature del condensatore. La capacità del condensatore 3. Il lavoro necessario ad estrarre il blocco La carica iniziale rimane invariata poiché il condensatore viene isolato: Q = C =! S = 35.4 " #9 C,C h = 35.4 pf (8.) Il condensatore può essere visto come la somma di due condensatori in serie, con costanti dielettriche diverse: C = C a + C b,c b = k! S = 53pF,C h a =! S = 59 pf,c = 53.4 pf (8.) h " h Il lavoro per estrarre il blocco è pari alla differenza tra l energia accumulata nel condensatore senza e con il blocco inserito: E = Q = 7.7µJ, E C = Q =.7µJ,W = 6µJ (8.3) C Problema 9. Due lastre metalliche piane, di superficie pari a.8 m, sono affacciate alla distanza h = 4mm e formano quindi un condensatore piano. Le due armature sono connesse ad un generatore di h tensione con differenza di potenziale. L armatura inferiore è fissa, quella superiore è mantenuta in equilibrio meccanico da una massa M=.8Kg, come da figura. Inizialmente non vi è dielettrico tra le armature.. Calcolare, trascurando gli effetti di bordo, la capacità del condensatore.. Considerando trascurabili le masse delle lastre, della fune e della carrucola, calcolare la tensione alla quale il sistema è in equilibrio. 3. Se tra le lastre, dopo aver bloccato la carrucola, viene successivamente inserito un dielettrico di spessore d = mm e costante dielettrica relativa k =.5, calcolare la nuova capacità. 4. In questa nuova condizione, determinare se è variata, e di quanto, la forza tra le armature. Soluzione Il condensatore ha capacità pari a: C =! " =.77nF (9.) h La tensione deve bilanciare la forza di attrazione elettrostatica, che si calcola nota la pressione elettrostatica P =! E : F =! E = " =! " = Mg = 7.95N h h Mg! " = 5.95K Una volta inserito il dielettrico il condensatore si considera condensatori: C = + = h! d C C " # + d " k# la serie di due C =.53nF A potenziale costante la carica aumenta al crescere della capacità, e quindi aumenta anche la forza: (9.) (9.3) F =! # = Q = C = 4.N (9.4) " #" #" M

25 Problema. Problema. Un elettrodo formato da un filo metallico di raggio = µm è teso sull asse di un cilindro conduttore cavo di raggio interno =.mm. Il cilindro, lungo d= cm, è riempito di un gas con rigidità dielettrica pari a.m/m. Considerando trascurabili gli effetti di bordo, determinare: C d. Il lavoro compiuto per caricare gli elettrodi fino a ;. La differenza di potenziale M che si può applicare tra i due elettrodi per non avere scariche nel gas. Nel circuito in figura, con =, = 5M!,C = µf, il condensatore è inizialmente scarico e l interruttore è aperto. Determinare dopo 5 secondi dall inizio della carica del condensatore (chiusura dell interruttore): Il sistema è un condensatore cilindrico, che ha capacità pari a: C =!" d ln =.8pF (.) Il lavoro fatto per caricarlo è pertanto: W = C =.59µW (.) Il campo elettrico all interno del condensatore è quello di un filo rettilineo infinito con una densità di carica! = Q d : E =! "# r Quindi E ha il valore più intenso sulla superficie del filo: E =! "#. Perchè non ci siano scariche il campo elettrico massimo non dovrà superare i.m m : (.3) E! E MAX =.M m (.4) La differenza di potenziale ai capi del condensatore (integrale del campo elettrico) vale: =! ln (.5) "# E immediato quindi mettere in relazione la differenza di potenziale con il campo elettrico massimo, eliminando! dalle (.3) e (.5). Si ottiene così la massima tensione applicabile al condensatore per non avere scariche:! max = E max ln = 34 (.6). L energia dissipata su una delle resistenze.. L energia accumulata sul condensatore C. 3. L energia fornita dal generatore. Si tratta della carica di un condensatore attraverso una resistenza totale pari a, quindi con la costante di tempo! = C. La corrente durante la fase di carica vale: i = e! t C (.) e la tensione ai capi del condensatore vale: " C =! e! t C $ ' # & (.) Dopo 5 secondi di carica la tensione sul condensatore varrà quindi: " C =! e! 5 C $ ' = (.3) # & La carica totale sul condensatore è: Q = C C =! "6! = 3.93mC (.4) Il lavoro fatto dal generatore per far transitare questa carica attraverso la FEM costante è: W GEN = Q = C C = 3.93J (.5) L energia accumulata sul condensatore è pari a C. Nota che negli istanti intermedi non vale la relazione che vede l energia dissipata essere esattamente uguale a quella accumulata nel condensatore: Infine, considerando il bilancio energetico: W C = C =.774J (.6) C

26 W GEN = W + W + W C W = W GEN! W C = 3.93! W C =.58J (.7) Problema. Una bolla di sapone di raggio r = 7cm è caricata con una carica superficiale! = 3. " #6 C m.. Calcolare la pressione elettrostatica che agisce sulla superficie della bolla La bolla è immersa in un condensatore piano di capacità C = nf, con le armature distanti d = cm. Si osserva che perchè la bolla stia ferma al centro del condensatore è necessario portarlo ad una tensione =... Calcolare la massa della bolla. Se il condensatore viene caricato da un generatore con tensione =.5 attraverso una resistenza = K!, determinare: 3. Dopo quanto tempo il condensatore raggiunge la tensione 4. Quale è il lavoro fatto dal generatore in questo tempo. o d La pressione elettrostatica è data da: P =! " = $6 ( 3. # ) #8.85# =.58 N $ m (.) Perchè la bolla carica stia in equilibrio la forza elettrostatica deve bilanciare la forza peso. Nota la distanza tra le armature e la tensione, si calcola il campo elettrico all interno del condensatore e quindi la forza che esso esercita sulla carica: q =! " 4#r F = mg = qe = q h (.) m =! " 4#r " = " $8 Kg hg Il condensatore si carica attraverso la resistenza con la nota relazione esponenziale: " =! e! t C $ ' # & t =!C ln! (.3) " $ ' # & = 4.39µs

27 Nota la carica accumulata sul condensatore, e quindi transitata attraverso il circuito, il lavoro fatto dal generatore è: W = q = C = 3! " J (.4) Problema 3. Un condensatore piano di superficie! = m, le cui armature distano tra loro d = 8.8mm si trova in vuoto ed è connesso ad un generatore di forza elettromotrice = attraverso un interruttore () che rimane chiuso solo per un tempo t = µs e da 3 resistenze uguali 3 = 4 = 5 = K!, disposte come in figura. Calcolare: ) la tensione e la carica Q del condensatore dopo il processo di carica ) Il lavoro W fatto dal generatore durante la carica e l'energia elettrostatica U immagazzinata nella capacità 3) Il campo elettrico E nel condensatore 3 () C () A 4 5 B Il condensatore, così caricato, viene successivamente connesso tramite l'interrutore () ad un secondo circuito formato da resistenze uguali = = K! e disposte come in figura. Calcolare: 4) la corrente sulle resistenze quando t = 3.5µs 5) la differenza di potenziale (A)-(B) nell'istante t = 3.5µs 6) l'energia totale dissipata durante la scarica fino a t = 3.5µs 7) la potenza dissipata su ciascuna delle resistenze quando t = 3.5µs La capacità del condensatore è: C =! " = nf (3.) d Poichè il ramo () del circuito è aperto, questo non entra nella fase di carica; la resistenza in fase di carica è: EQ = = 3K! " # = EQ C = 3µs (3.) Dopo µs il condensatore non è quindi completamente carico:

28 C, =! e! t # & " $ ' ( =.83,Q = C =.83nC (3.3) C, Il lavoro fatto dal generatore, visto che attraverso di esso è fluita la carica Q, è semplicemente: W GEN = Q = 8.3nJ (3.4) Mentre l energia accumulata nella capacità è: U e = C C, = Q = 4nJ (3.5) C Nota bene che W GEN = Q = C C, è diverso da U E = C C,. Il campo elettrico nel condensatore vale: E = C, = 3.9 / m (3.6) d Durante la fase di scarica l interruttore () è aperto metre () è chiuso. Entrano quindi in gioco solo le resistenze e. Si avrà una nuova costante di tempo:! = ( + )C = µs (3.7) e dopo un tempo t = 3.5µs varrà: C, = C, e! t ",i = C, e! t " = 46µ A (3.8) + Nota la corrente, è immediato calcolare la differenza di tensione ai capi di una delle resistenze: A! B = i = 46m (3.9) L energia dissipata in questa fase del processo si può calcolare dalla variazione dell energia accumulata nel condensatore: E DISS = C! C, C = C, C! e! t # & " = 3.88nJ (3.) $ ' ( Infine la potenza dissipata sulla resistenza, nota la corrente all istante t, vale: P = P = i = 6µW (3.) Problema 4. Una spira conduttrice, a forma di esagono regolare di lato L= cm, è percorsa da una corrente i= A. Determinare:. la FEM necessaria a mantenere la corrente, sapendo che la spira è composta da un filo di rame di diametro d= mm. Il campo magnetico B generato al centro della spira. La resistenza del filo è proporzionale alla resistività ed alla lunghezza, ed inversamente proporzionale alla sezione: =! 6 " L =.67 "*8 "6 ". = 5.5m+ (4.) $ # d ' # ".5 & ( ) Nota la corrente, dalla legge di Ohm si ricava la tensione ai capi della spira: = I = 5.5! "3! = 36m (4.) E noto il campo magnetico generato da un elemento di filo rettilineo, a distanza h dal centro del filo. I sei lati della spira producono al centro un campo magnetico (entrante nel foglio) che è la somma delle 6 componenti: µ B = 6 il µ = 6iL = µ 6iL!h h + L! L 3 3L + L 4! L 3 B = 4! "#7 " 3i! L h L = 4 "#7 " 3i L = 4.6 " #5 T (4.3)

29 Problema 5. Problema 6. Una sottile lamina conduttrice infinita è percorsa da una densità di corrente j L =. A m. Lungo un filo rettilineo infinito, disposto parallelamente alla lamina ad una distanza h =.5m, passa una corrente i F = A, nella stessa direzione e verso della corrente sulla lamina. x P z y P i f h d d Calcolare: j l Tre conduttori rettilinei paralleli e di lunghezza infinita giacciono sullo stesso piano xy, con il conduttore centrale che coincide con l asse x. La distanza tra i conduttori contigui è d= cm. Il conduttore centrale è percorso da una corrente costante i = A, nel verso delle x crescenti, mentre i due conduttori laterali sono percorsi ciascuno da una corrente i =5/4 A nel verso opposto. Determinare:. La forza esercitata sul filo per unità di lunghezza.. La distanza y dalla lamina in cui il campo magnetico totale e nullo. E nota la formula per il campo magnetico generato da una lamina infinita percorsa da una densità di corrente ( B L = µ j L ). Poiché il campo magnetico generato dalla lamina è ortogonale al filo, la forza esercitata su un elementino di filo si può scrivere: df = i F B L ds (5.) e quindi la forza per unità di lunghezza vale: df ds = i B = µ j i L F F L =.6!"6!.! =.5! "6 N / m (5.) I campi magnetici generati da filo ( B F = µ i F ) e lamina sono discordi tra filo e!r lamina, sono invece concordi al di sopra del filo, ed al di sotto della lamina. Il punto in cui si annullano sarà pertanto tra il filo e la lamina. Uguagliando i moduli dei campi, si ottiene: B L = µ j L = µ i F!r = B F " r = i F! j L =.53m y = h # r =.5 #.53 =.97m (5.3). Il campo magnetico generato dai conduttori nel punto P di coordinate (,d,).. Il campo magnetico generato dai conduttori nel punto P di coordinate (,,d). 3. La forza per unità di lunghezza agente sul conduttore centrale. Il campo magnetico in P ha sole componenti z, positiva quella generate dal filo centrale e negative le altre due: µ B z = i µ! d! d! 3d!d = ".3#"6 T (6.) ( ) " µ i ( ) " µ i ( ) = " 7 B x = B z = Invece in P il capo generato dal filo centrale è orizzontale (in direzione y), gli altri hanno sia componenti y che z, essendo tangenti a circonferenze centrate sui fili. Le componenti z hanno peraltro somma nulla: B y =! µ i µ i 5 " d " 5d " d " 5d 4"d + µ 4"d B y = µ 4"d =!6 T B x = ( ) + µ i cos# ( ) =! µ i B z = µ i sen# µ! i sen# " ( 5d) " ( 5d ) = ( ) + ( ) =! µ (6.)

30 La forza sul conduttore centrale non può che essere nulla data la simmetria del problema. Problema 7. Una spira quadrata di lato l = cm è disposta con due lati paralleli ad un campo magnetico uniforme B =.T. La spira è alimentata da un generatore di tensione che, applicato alla spira, genera una corrente i =.3A. Calcolare: i u! n B. Il momento delle forze che si esercitano sulla spira. Se, mantenendo lo stesso generatore di tensione, ed utilizzando lo stesso tipo di filo si costruisce una bobina di ugual lato ma composta da spire:. Quanto vale il nuovo momento delle forze? Soluzioni: Il momento delle forze si calcola a partire dal momento magnetico della spira:! M =! m!! B = il! un!! B = il B =.3". ". = 7.3" #3 N " m (7.) Mantenendo la stessa FEM ma aumentando il numero di spire, la corrente che circola diminuirà perchè è aumentata la resistenza del circuito. In compenso all aumentare delle spire aumenta il momento magnetico, ed i due effetti si compensano: = i = 'i' ' = N! i' = i N m' = Ni'l = N i N l = m (7.) M ' = M = 7.3mN

31 Problema 8. Tre fili conduttori rettilinei paralleli e nello stesso piano sono disposti a distanza d=cm.una spira quadrata di lato L=cm giace nel piano dei fili, anch essa a distanza d=cm (vedi figura). La spira ha una resistenza. I tre fili sono percorsi dalle correnti i,i,i 3 definite nella figura. Calcolare: i = A. Il campo magnetico nel punto A (centro spira) dovuto ai tre fili al tempo t=.. La forza per unità di lunghezza sul filo 3, al tempo t= (l apporto della spira è trascurabile). 3. La resistenza della spira, sapendo che al tempo t= la corrente indotta vale i s = 5.5x -7 A. 4. La carica che è circolata nella spira da t= a t=$ 5. La risultante delle forze sulla spira a t=$ i = i e! t " con i o = 3A e " = s i 3 = A d = cm L = d = cm i i i 3 d d d Consideriamo l asse z uscente dal foglio. Le correnti sui fili e 3 generano un campo magnetico entrante, quelle sul filo un campo uscente dal foglio. Il campo magnetico in A è dato da: B A =! µ i " 4d + µ i "3d! µ i 3 " d = µ # 4i! 3i! 6i 3 & " $ d ( u! z ' (8.) #! 3! & B A = )!7 $. ' ( =!5)!5 T u! z Per calcolare la forza sul filo 3 è necessario calcolare il campo sul filo, generato da e (il testo dell esercizio afferma che il campo magnetico generato dalle correnti indotte sulla spira è trascurabile a questo riguardo). B 3 =! µ i! u " d z + µ i! u "d z = µ # i! i & " $ d ( u! z ' (8.) # 6! & B 3 = )!7 $. ' ( = 5)!4 T u! z La forza per metro sul filo, ortogonale al filo ed al campo, è data quindi da: y x d A! F 3 = i! 3! B!! 3 = i 3 B ux 3 = "5" #4 =. N! u m x (8.3) L unico campo magnetico variabile è quello generato dal filo, solo questo contribuisce alla variazione del flusso attraverso la spira e quindi alla FEM indotta. I campi dovuti ai fili e 3 si possono quindi omettere. E importante notare che il campo magnetico varia attraverso la spira, il flusso va quindi calcolato come integrale sulla spira: 4d µ!(b ) = d i # dr = dµ i ln() (8.4) d "r " La FEM sulla spira si calcola dalla legge di Faraday-Lenz: FEM =! d" B, ed infine, dt nota la corrente indotta, la resistenza sarà: =! d" i s dt = dµ i e! t # ln() =.!7 3 ln() =.5& (8.5) $i s # 5.5!7 La carica che e circolata nella spira può essere calcolata integrando la corrente indotta sulla spira nel tempo. L andamento temporale della FEM indotta, e quindi anche della corrente indotta, è pari a e! t ", essendo noto il valore iniziale della corrente è immediato scrivere i s (t) = i s ()e! t ". Si ottiene: $ Q = i s e! t " dt = "i s = 5.5#!6 C (8.6) In alternativa, noto il flusso iniziale, ed osservando che per t! " il flusso si annulla (sempre omettendo i termini costanti dovuti ai fili e 3) si può utilizzare le legge di Felici. Infine, visto l andamento esponenzialmente decrescente della corrente i, per t! " la corrente indotta sulla spira si annulla, e quindi anche la forza sulla spira vale F=.

32 Problema 9. Una spira quadrata rigida, di lato l = cm e resistenza = 5 Ohm, viene trascinata con velocità orizzontale, che rimane sempre costante, v=3 m/s. L spira entra in una zona di larghezza d>l in cui vi è un campo magnetico B = 4.5 T, ortogonale alla spira ed entrante nel piano del disegno. Determinare: l v d B Problema. Una sbarretta conduttrice di massa m=5g e di lunghezza l=5cm scorre liberamente su due binari orizzontali ai quali è elettricamente connessa. I due binari sono connessi tra di loro da una resistenza =5. Per un tratto di lunghezza L=4cm i binari sono attraversati da un campo magnetico B=.5T diretto verticalmente. La sbarretta arriva al tempo t= nella zona con campo magnetico con una velocità v =.5m/s. v B. Il verso della corrente indotta nella spira nelle varie fasi del moto.. In quali regioni agisce una forza sulla spira, il suo verso ed intensità. 3. L energia totale dissipata nella resistenza dopo che la spira è completamente uscita dalla zona con campo magnetico. 4. Quale è la carica che globalmente ha fluito lungo la spira. Soluzione La corrente indotta dovrà generare un campo magnetico opposto a quello dato quando la spira sta entrando (per opporsi all aumento di flusso) e di verso opposto quando la spira esce. Quindi il verso è antiorario prima e orario poi, la corrente indotta vale: i = Blv (9.) La forza agisce quando la spira entra ed esce, sempre opposta alla velocità:! F =! B l v! u v = 35mN (9.) L energia dissipata è uguale al lavoro fatto dalle forze esterne che bilanciano la forza (9.) per mantenere costante la velocità: W =! F! " l! = B l v l = 8.4mJ (9.3) Il flusso di B iniziale e finale sono nulli (spira fuori dal campo magnetico) e perciò, secondo la legge di Felici, l integrale della carica è uguale a.. Quanta corrente fluisce nella barretta subito dopo tale istante?. Quanta carica è fluita nel circuito sbarretta-rotaie-resistenza quando la sbarretta esce dalla zona con campo magnetico? 3. Quale è la velocità di uscita della barretta? La FEM generata nel circuito è pari a Bv l, pertanto la corrente indotta è: I = Blv =.4A (.) Quando la sbarra ha superato la zona con campo magnetico, il flusso di B attraverso il circuito è variato di una quantità!" = L # l # B. Utilizzando la legge di Felici si ottiene: Q TOT =!" =.7C (.) La forza di frenamento che agisce sulla barretta vale: F = m dv dt =! B l v (.3) che è pertanto funzione della velocità. Conviene scrivere la forza in funzione della posizione: m dv dt = m dv dx dv = mv dx dt dx =! B l v dv dx =! B l (.4) m v = v! B l m x

33 La velocità di uscita si ottiene quando la sbarretta ha percorso tutta la zona ove è presente il campo magnetico: v L = v! B l m L =.4m / s. Problema. In un piano inclinato di angolo &=3 sono poste due rotaie parallele, distanti l=cm, di resistenza elettrica trascurabile e connesse elettricamente tra loro alla sommità. Su di esse può scorrere senza attrito una sbarretta conduttrice ab, di massa m=g e resistenza elettrica =.. Il tutto è immerso in un campo magnetico uniforme e costante, diretto verticalmente, di modulo B=.5T. Ad un certo istante la sbarretta ab viene lasciata libera di scivolare lungo il piano inclinato. Calcolare:. La forza elettromotrice indotta nella sbarretta ab, e a corrente indotta nella spira individuata dal sistema rotaie-sbarretta, in funzione della velocità della sbarretta.. La velocità limite (se esiste) della sbarretta nel suo moto di scivolamento. B v ab & Il moto di discesa della sbarretta determina una variazione di flusso del campo magnetico attraverso la spira, e quindi una FEM indotta. Nel calcolo del flusso occorre osservare che il campo magnetico non è normale al piano della spira:! B = lbxcos" # FEM = $ d! B = lbvcos" = $ 3 v = $.433v[ ] (.) dt 4 La corrente indotta (si trascurano come usuale gli effetti di autoinduzione) è pertanto: i = FEM =! 3 v[a] (.) 4 La velocità limite si otterrà quando la componente lungo il piano della forza di frenamento elettromagnetico bilancerà la componente lungo il piano della forza peso: ma = mg sin! + ilbcos! = " mg sin! = l B v lim cos! v lim = gm (.3) sin! l B cos! =.6 m s

34 Problema. Una spira di forma quadrata di lato L=m ruota attorno ad un asse orizzontale con una velocità angolare ' = ( rad/sec (vedi figura). La spira è immersa in un campo magnetico uniforme B=Tesla diretto lungo l'asse z, ortogonale all asse della spira. La spira, di resistenza trascurabile è connessa ad una resistenza di carico =.. ) L B ' Se consideriamo la carica con il segno, dopo un numero intero di giri la carica totale che è circolata è nulla: dalla legge di Felici, visto che il moto è periodico e quindi il flusso finale è uguale a quello iniziale Q =! "! = (.4) Il problema però chiede quale è il la somma delle cariche fluite, prese in valore assoluto. Ogni mezzo giro, il flusso si inverte, quindi usando ancora Felici si può scrivere: # Bl " ("Bl ) ( Q =! + "Bl ) " Bl & Bl ( = 4 = 4C (.5) $ ' ( L Calcolare:. La corrente che circola nella spira in funzione del tempo.. Il momento massimo che agisce sulla spira. 3. L'energia dissipata sulla resistenza in secondi. 4. La somma in valore assoluto delle cariche che circolano nella spira in secondi. Soluzione Il flusso di B attraverso la spira è!(b) = BL cos(") = BL cos(#t). La corrente indotta è pertanto: i = FEM =! "#(B) = $ Bl sen$t = 6.83 sen( &t) (.) "t icordiamo che il lavoro fatto dal momento che agisce sulla spira è dw = Md!, e quindi la potenza spesa è pari a M d! = M". Poiché la potenza si ritrova in potenza dt elettrica (spesa sulla resistenza) si scriverà: M = P! = i! =! B l 4 sen!t M max =! B l 4 = 5.6Nm (.) Si ottiene lo stesso risultato ricordando che il momento su una spira si può scrivere! M = m!! B! dove per una spira piana m! = i! u! N. L energia dissipata è l integrale della potenza nei secondi. L integrale di sen (!t) in un periodo è pari a T/, e poiché il periodo di rotazione della spira è di un secondo vale: W =! i dt = " B l 4 sen ("t)dt! = " B l 4 #5 = 3.95KJ (.3)

35 Problema 3. Una barra conduttrice, di massa m=g e resistenza =5, appoggia senza attrito su due binari orizzontali di resistenza trascurabile. La distanza tra i binari è l=4cm e il sistema è immerso in un campo magnetico uniforme B=.8T, perpendicolare ai binari ed alla barra (entrante nel foglio, vedi figura). All istante t= la barra è ferma e tra i binari viene posto un generatore ( A - B >). A La velocità limite si avrà quando la FEM indotta raggiunge la tensione del generatore, da quel momento infatti non circola più corrente nel circuito, e quindi la sbarretta non è più soggetta a forze esterne:! v LIM lb = " v LIM = lb = 8 = 5m / s (3.4).4 #.8 Alla velocità limite non circola più corrente, quindi la potenza fornita dal generatore è: P GEN = i = (3.5) B Se il generatore fornisce una corrente costante i =.A calcolare:. In che direzione si muove la sbarra. La velocità della sbarra al tempo t =5s 3. Il lavoro fatto dal generatore fino al tempo t Se invece il generatore fornisce una FEM costante pari a = 8 calcolare 4. La velocità limite della sbarra 5. La potenza fornita dal generatore alla velocità limite La corrente gira in senso orario, quindi è diretta verso il basso lungo la barretta! mobile. Il campo magnetico è entrante nel foglio, e quindi la forza F = i l!! B! è diretta verso destra. Poiché il generatore mantiene la corrente costante la forza è costante, e quindi si tratta di un moto uniformemente accelerato: F = ilb = m dv dt! v = ilb. ".4 ".8 t = 5 = 9.6m / s (3.) m. Nota che per mantenere la corrente costante il generatore dovrà contrastare la FEM indotta dal movimento della sbarretta, e quindi dovrà generare una FEM crescente nel tempo. Il lavoro fatto dal generatore sarà pari all energia cinetica acquistata dalla sbarretta, più l energia dissipata sulla resistenza. Essendo la corrente costante, la potenza dissipata è costante ( i ), si otterrà: W = i t + mv = 35J (3.) Se invece di una corrente costante il generatore fornisce una tensione costante, il moto non sarà più uniformemente accelerato poichè al crescere della velocità della sbarretta cresce la FEM indotta nel circuito. La FEM indotta è pari a: ( ) FEM =! d" B dt =!lb dx =!lbv (3.3) dt

36 Problema 4. Una spira rettangolare di altezza L=6cm e larghezza L/ si muove con velocità costante v=m/s, entra in una regione in cui è presente un campo magnetico B=6T, ortogonale alla spira, la attraversa completamente ed esce. La regione con campo magnetico è profonda h=3cm. Determinare:. La corrente indotta mentre la spira entra nella regione con campo magnetico, se la resistenza è =.. Il lavoro fatto dalla forza che trascina la spira fino che questa è uscita completamente. 3. Il valore assoluto della carica che ha percorso la spira quando la spira è a cavallo della regione con campo magnetico. Q =! "! = " BhL = 6 #.3#.6 =.44C (4.5) L v B L/ h La forza motrice indotta, calcolabile dalla variazione del flusso, vale: FEM = vbl (4.) La corrente indotta è quindi: i = FEM! i = vbl " 6 ".6 = = 5.76A (4.) La forza che agisce sulla spira, quando vi è variazione di flusso e quindi corrente indotta, è: F = ibl = vb L (4.3) Essa agisce essenzialmente sul ramo verticale della spira che si trova immerso nel campo magnetico. Ciò avviene due volte, quando il primo dei tratti verticali entra nel campo magnetico e quando il secondo ne esce. In tutte le altre posizioni (spira a sinistra o a destra della regione con campo magnetico, ed anche spira a cavallo della stessa regione) il flusso di B è costante e non vi né FEM indotta né forza. La forza fa perciò lavoro per due tratti di lunghezza pari ad h: W =! Fh = vb L h =!!6!.6!.3 = 33.78J (4.4) La carica si calcola con la legge di Felici, dalla variazione di flusso: