Onestà di un dado. Relazione sperimentale

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Andrea Rossini
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1 Onestà di un dado Relazione sperimentale La valutazione dell onesta di un qualunque dado a n facce è svolta mediante l analisi statistica di un set di tiri del medesimo ed il confronto con i valori teorici. L ampia scelta di strumenti statistici impiegati è atta ad indagare i differenti modi con cui un dado può essere considerato disonesto. MATERIALI A DISPOSIZIONE Due simili dadi a 12 facce e un programma di foglio di calcolo MODALITÀ DI ESECUZIONE Ciascuno dei due dadi viene lanciato 100 volte; i risultati di ciascun tiro vengono annotati così come l ordine dei risultati stessi. Trascritti in due serie di dati su foglio di calcolo, si procede all analisi statistica. RISULTATI ATTESI Poiché entrambi i dadi sono teoricamente equiprobabili, la media dei tiri effettuati da ciascuno dovrebbe conformarsi al valore teorico calcolabile con la nota formula di calcolo della media sostituendo agli esiti x 1, x 2,, x n della variabile aleatoria X i valori delle facce del dado, tutte equiprobabili Un analogo ragionamento si effettua nel calcolo della deviazione standard (Dev.std di seguito) teorica per un dado a dodici facce. Data la formula generale del calcolo della Dev.std si sostituiscono i valori delle facce del dado e la media calcolata nel passaggio precedente per ottenere Pagina 1 di 7

MATERIALI A DISPOSIZIONE Due simili dadi a 12 facce e un programma di foglio di calcolo MODALITÀ DI ESECUZIONE Ciascuno dei due dadi viene lanciato 100 volte; i risultati di ciascun tiro vengono

2 Media dei primi N tiri Media dei primi N tiri Media - D12 Nero 9,0 7,5 Media - D12 Rosso 6,5 5,5 Pagina 2 di 7

3 Deviazione standard dei primi N tiri Deviazione standard dei primi N tiri Dev.std - D12 Nero Dev.std - D12 Rosso 1,5 Pagina 3 di 7

4 Deviazione dalla media dei primi N tiri Deviazione dalla media dei primi N tiri Deviazione dalla media - D12 Nero 1,5 1,0 0,5 Deviazione dalla media - D12 Rosso 1,5 1,0 0,5 Pagina 4 di 7

Deviazione dalla media - D12 Rosso 1,5 1,0 0,5

5 Media dei primi N tiri Media dei primi N tiri Media con errore - D12 Nero 9,0 7,5 6,5 5,5 Media con errore - D12 Rosso CONCLUSIONI PARZIALI Sebbene il comportamento di ciascuno dei due dadi risulta anomalo in almeno un test (in particolare, il test della dev.std per il dado rosso ed in misura inferiore il test della media per il dado nero), non è possibile concludere a ragione che uno dei due dadi sia truccato. Infatti, la media di ciascun dado in funzione del numero di tiri si mantiene quasi sempre all interno del range massimo di deviazione dalla media; tali errori sono probabilmente causati dal metodo inefficace di presa dei dati (i tiri dei dadi sono stati effettuati su un piano inclinato) o più semplicemente da un set di misure troppo poco esteso. Per individuare eventuali errori sistematici ipotizzati nella presa dei dati, si ricorre ad una ulteriore serie di test. Pagina 5 di 7

std per il dado rosso ed in misura inferiore il test della media per il dado nero), non è possibile concludere a ragione che uno dei due dadi sia truccato.

Frequenza esito Frequenza esito 1 Dado a 12 facce - Nero 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

6 Frequenza esito Frequenza esito 1 Dado a 12 facce - Nero Esito 1 1 Dado a 12 facce - Rosso Esito Pagina 6 di 7

12 Esito 1 1 Dado a 12 facce - Rosso 1 1 1

7 Indice Valore numerico Gradi di libertà 11 Χ Χ 2 ridotto 0.66 Probabilità Χ 2 80% Tabella 1: Test Chi quadro - dado nero CONCLUSIONI Indice Valore numerico Gradi di libertà 11 Χ Χ 2 ridotto 1.58 Probabilità Χ 2 9% Tabella 2: Test Chi quadro - dado rosso I valori rilevati hanno la forma teoricamente attesa, ma tuttavia non sono sufficienti a spiegare con sicurezza il comportamento dei dadi. Per quel che riguarda il dado nero, tutto avrebbe fatto supporre che il dado fosse truccato: la media e la deviazione standard sono decisamente sottostimate rispetto al valore teorico e la media è appena compatibile con il valore teorico, ma il test del Chi quadro è di tutt altro che sballato. Il dado rosso invece, che sembrava più onesto del nero nei primi test, ha un test del Chi quadro sballato che indica anomalie nella frequenza delle singole facce. In sostanza, non si può concludere con sicurezza che i dadi siano onesti o truccati. Il metodo di presa dei dati si è rivelato del tutto inefficace: il lancio dei dadi su un piano inclinato e la conseguente fermata degli stessi con la mano, che si era supposto analogo al normale lancio su un piano orizzontale, è con tutta probabilmente la causa dei dati così discordanti. In seconda istanza, il numero dei dati raccolti è probabilmente troppo esiguo per dei dadi con un numero di facce così elevato: le fluttuazioni statistiche nel test del Chi quadro sono molto rilevanti. Una futura misura dovrebbe considerare pertanto di prendere i dati su un piano quanto più orizzontale possibile con un numero di misure più elevato, in modo da poter estrarre dai dati conclusioni se non esatte quanto meno affidabili. Pagina 7 di 7

58 Probabilità Χ 2 9% Tabella 2: Test Chi quadro - dado rosso I valori rilevati hanno la forma teoricamente attesa, ma tuttavia non sono sufficienti a spiegare con sicurezza il comportamento dei dadi.

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