2.1 Rappresentazione binaria dell informazione I Interruttore I 0 alto 1 1 basso 0

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1 Capitolo 2 Bit 2. - Rappresentazione dell informazione 2.2 Codici binari Trasmissione dell informazione Protezione dell informazione Descrizione dei segnali Variabili binarie Bit (binary digit) - Variabile x tale che: x B{,} 2. Rappresentazione binaria dell informazione I Interruttore I alto basso logica positiva e negativa Segnali binari: {Presente, Assente} {High, Low} {Aperto, Chiuso} {Luce, Buio} ecc. C Contatto C aperto chiuso L Lampada L accesa spenta logica negativa logica positiva

2 Configurazioni binarie Configurazione binaria - Stringa n bit di lunghezza n di simboli e. b b 2 b 3 b n Es: a b c a b c n bit hanno 2 n configurazioni binarie diverse. Una configurazione di n bit può rappresentare i valori di n segnali binari ad un certo istante. Una configurazione di n bit può rappresentare i valori di un segnale binario in n istanti. t x t t 2 t 3 Rappresentazione dell informazione Diagrammi ad occhio Il modello Andamento di n segnali: sorgente canale destinazione Relazione ingresso/uscita di un blocco: messaggio. stringa alfabeto 2

3 La rappresentazione dell informazione Informazione - Stringa di lunghezza finita formata da simboli s i appartenenti ad un alfabeto di definizione A: s s 2 s 3. s i s n- s n con s i A:{a, a 2,.., a m } Esempi: testo e caratteri numero e cifre musica e note immagine, pixel e toni di grigio disegno e pend./lung. di tratti 2.2 Codici binari misura e posizione di un indice parlato e fonemi Simboli di informazione - Variabili a cui può essere assegnato come valore uno qualsiasi degli elementi dell alfabeto A La codifica binaria della informazione Codice binario Codice binario - Funzione dall insieme delle 2 n configurazioni di n bit ad un insieme di M informazioni (simboli alfanumerici, colori, eventi, stati interni, ecc.). Condizione necessaria per la codifica: 2 n M 2 n config n.u.? 5 z a M informazioni m.. 3

4 Proprietà di un codice Il codice è una rappresentazione convenzionale dell informazione. La scelta di un codice è condivisa da sorgente e destinazione ed ha due gradi di libertà: il numero di bit (qualsiasi, a patto che sia 2 n M ) l associazione tra configurazioni e informazioni; a parità di n e di M le associazioni possibili sono C = 2 n! / (2 n -M)! N =, M = 2 C = 2 N = 2, M = 4 C = 24 N = 3, M = 8 C = N = 4, M = C = Altri 29 miliardi di codici a 4 bit più meno segno BCD Esempi zero uno due tre quattro cinque sei sette otto nove Cifre decimali 7 segmenti N.B. = acceso n.u. colori uno su dieci Codici ridondanti e non ridondanti a Codice a 7 segmenti n: n di bit Codici ridondanti n > n 8 min 7 6 non ridondanti Codici M: n di informazioni n min = lg 2 M e f d g c b Universal Product Code a b c d e f g

5 Codici proprietari e standard La codifica Morse Codice proprietario - Codice fissato da un Costruttore per mettere in comunicazione apparati da lui realizzati L uso di codici proprietari ottimizza le prestazioni e protegge il mercato di certe apparecchiature. Esempi: Linguaggio Assembler, Periferiche, Telecomando TV Codice standard - Codice fissato da norme internazionali ( de iure ) o dal costruttore di una macchina utile per tutti gli altri ( de facto ). L uso di codici standard nelle unità di I/O consente di collegare macchine fatte da costruttori diversi Esempi: Stampanti e Calcolatori, Calcolatori e Calcolatori t t t 2 t 3 t t t 2 t 3 E D T F A H I B N X M V O C S Y R L G J W Z U Q K P Caratteristiche: Lunghezza variabile Stringhe separate da pause Efficiente per l uso da parte di operatori umani Difficoltoso il progetto di ricetrasmettitori automatici I 96 simboli di testo (ASCII a 7 bit) La codifica dei testi A " 2 B # 3 C $ 4 D % 5 E & 6 F ' 7 G ( 8 H ) 9 I * : J + ; K, < L - = M. > N /? O P ' p Q a q R b r S c s T d t U e u V f v W g w X h x Y i y Z j z [ k { \ l ] m } ^ n ~ _ o DEL 5

6 Codice ASCII esteso (8 bit) 3 bit 8 conf. Trascodifica 5 bit : 32 configurazioni N.B. - Lo standard Unicode (6 bit) consente di rappresentare diversi sottoinsiemi di caratteri. Bit map: un codice ridondante per simboli alfanumerici Bianco/nero: pixel, bit Colori: pixel, 8 bit La trascodifica sul percorso dei dati Codici esterni Trascodifica Trascodifica Codice interno Unità di elaborazione e di memoria Matrice di pixel: ad es. 8x8 Font Il codice interno è di norma non ridondante per minimizzare il n di bit da elaborare e da memorizzare. Il codice esterno è di norma ridondante, per semplificare la generazione e la interpretazione delle informazioni, e standard, per rendere possibile la connessione di macchine (o unità di I/O) fatte da Costruttori diversi. 6

7 Codice ridondante per la visualizzazione dei dati Codice ridondante per la introduzione dei dati e dei comandi La calcolatrice tascabile Codice BCD per la rappresentazione interna dei numeri C C C C 3 2 T Input/output di un ascensore Presenza al piano (Encoder) M = 5 n min = 3 Pulsanti di chiamata (Encoder) M = 5 n min = 3 Pulsantiera in cabina (Encoder) M = 5 n min = 3 ELABORAZIONE controllo movimento cabina e apertura/chiusura porte Display di cabina (Decoder) M = 5 n min = 3 Indicazione di presenza (Decoder) M = 5 n min = T Esempio : un editor tastiera uno su enne buffer di input scan-code memoria principale ASCII x 4 x 3 x 2 x Le due macchine combinatorie per la trascodifica nell ascensore ENCODER trascod. da su 4 a binario y 2 y y x 4 x 3 x 2 x y 2 y y memoria video schermo font/bit-map Riga- Colonna - Colore x 2 x x DECODER trascod. da binario a su 8 y 7 y 6 y 5 y 4 y 3 y 2 y y x 2 x x y 7 y 6 y 5 y 4 y 3 y 2 y y 7

8 Il sistema di numerazione in base 2 (il caso dei numeri naturali < 2 n ) n bit La codifica dei numeri b n- b n-2 b b N N 2 N N (N) 2 = b n-.2 n- + b n-2.2 n-2 + +b.2 Lunghezza della stringa in base 2 e in base Dato un numero decimale con m cifre (N) m - per la sua rappresentazione binaria deve essere 2 n > m e quindi n = (m log 2 ) (3,32 m) Numeri in base B Addizione (carry) ) Rappresentazione: a n- a, a - a -m a i {,,., (B-)} + = + = + = + = r i a i b i Full Adder r i a i b i r i+ s i s i r i+ 2) Valore: (N) B = (a n-.b n- + +a.b + a -.B - + a -2.B -2 + a -m.b -m ) r n s n r n- r n-2 r a n- a n-2 a a + b n- b n-2 b b s n- s n-2 s s 8

9 Sottrazione (borrow) Moltiplicazione (shift and add) - = - = n.a. - = - = p i a i b i Full Subtracter d i p i+ y 3 y 2 y y x 3 x 2 x x p i a i b i p i+ d i x y 3 x y 2 x y x y p n d n p n- p n-2 p a n- a n-2 a a - b n- b n-2 b b d n- d n-2 d d x y 3 x y 2 x y x y x 2 y 3 x 2 y 2 x 2 y x 2 y x 3 y 3 x 3 y 2 x 3 y x 3 y p 7 p 6 p 5 p 4 p 3 p 2 p p Moltiplicazione. =. =. =. = P = Y.X = Y.(x n-.2 n- + + x.2 +x.2 ) = (Y.x n- ).2 n (Y.x ).2 +(Y.x ).2 = P n-.2 n- + +P.2 +P.2 Rappresentazione dei numeri razionali Come coppia di interi (più un bit per il segno) s Notazione scientifica i n i n-... i f f 2... f n i n i n-... i f f 2... f n s m n m n-... m s e n e n-... e P i = (Y.x i ) = (y n-. x i ).2 n- + + (y. x i ).2 9

10 Conversioni da base 2 a base Conversione da base 2 a base (N) = (b n-.2 n- + b n-2.2 n-2 + +b.2 +b.2 ) ESEMPIO: Osservazione: (N) = (b n-.2 n- + b n-2.2 n-2 + +b.2 +b.2 ) (N) /2= (b n-.2 n-2 + b n-2.2 n-3 + +b.2 ) + (b.2 - ) = Q + R = 38 Altri sistemi binari di numerazione Sistema esadecimale: B =6 cifre:,,..,9,a,b,c,d,e,f codice binario: =, =,, f = n di bit per cifra: 4 Sistema decimale: B =, cifre:,,,9 codice BCD: =,, 9 = n di bit per cifra: 4 Sistema ottale: B = 8, cifre:,,,7 codice OCTAL: =,, 7 = n di bit per cifra: 3 Conversione di un numero naturale N da base a base 2 i = i+ i = A = N B = (A / 2) = (Q i + R i 2 - ) NO A = Q i b i = R i A = SI fine ESEMPIO: 3 3/2 = 65 +.,5 65 = 32 +.,5 32/2 = 6 + 6/2 = 8 + 8/2 = 4 + 4/2 = 2 + 2/2 = + /2 = +.,5 2.3 Trasmissione dell informazione

11 Modalità di trasmissione dei bit: le unità di conversioni S/P e P/S Elaborazione Modalità trasmis. in serie Convertitore S/P trasmissione in parallelo Convertitore P/S trasmis. in serie La modalità di trasmissione all interno della macchina è di norma in parallelo (per massimizzare la velocità di elaborazione) La modalità di trasmissione all esterno della macchina è di norma in serie (per minimizzare la complessità del supporto fisico) Modalità di trasmissione dei bit: compromesso spazio/tempo La conversione P/S di un byte Il selettore Ingresso: Es.: Codice a 8 bit 8 4 n segnali Trasmissione in parallelo Trasmissione in serie/parallelo b b b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b b, b, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6, b 7 Uscita: b b b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 Data Path Stato: Trasmissione in serie n intervalli Oscillatore Contatore con 8 stati (N) 2 Controller

12 La serializzazione di due bit La distribuzione di due bit i i M U X a Contatore con 2 stati u a i i u se a= allora u=i altrimenti u=i i D E C a Contatore con 2 stati f f u u a f f Il Decoder genera 2 flag di validità, di cui uno solo alla volta ha valore. L uscita che riceve tale valore è la destinazione del bit d ingresso i Conversione S/P di un byte Il distributore b b b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b b b b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 Protocolli (N) 2 Contatore con 8 stati Oscillatore 2

13 Modalità di controllo (ASCII a 7 bit) : codifica dei comandi e protocollo di scambio telescrivente NUL DLE SOH DC STX DC2 ETX DC3 EOT DC4 ENQ NAK ACK SYN BEL ETB BS CAN HT EM LF SUB VT ESC FF FS CR GS SO RS SI US Comandi per il protocollo Esempio: sorgente tempo BEL ENQ SOH.. LF CR STX.. EOT ACK/NAK telescrivente destinazione dato p Tx Comunicazione asincrona di un byte: il protocollo RS232 Selettore a 2 vie Contatore con 2 stati Porta seriale bit N.B. devono operare quasi allo stesso ritmo! Dispositivo periferico Riposo Start I bit II bit... VIII bit Parità Stop Sincronizzazione Comunicazione asincrona: protocollo a stretta di mano La destinazione deve sapere in quali istanti di tempo i valori presenti sul canale sono significativi. Si hanno due casi: accoppiamento stretto accoppiamento lasco Sorgente o cliente segnale di richiesta segnale di conferma segnali di dato Destinazione o servitore req S D S D ack dato risul. 3

14 Codici separabili: rilevazione di errori bit di informazione (information bits) bit di controllo (check bits) 2.3 Protezione dell informazione Tx F I C Rx F C F R C bit di sindrome d errore Disturbi e Guasti Gestione degli errori ricezione NO Correzione sorgente canale destinazione linea di trasmissione unità di memoria Obiettivo: riconoscere alla destinazione le configurazioni modificate. Condizione necessaria: il codice deve essere ridondante se arriva una configurazione non utilizzata la destinazione ha la certezza della sua non integrità; se arriva una configurazione utilizzata la destinazione ha solo una certa probabilità che sia integra. Ulteriore condizione - Le configurazioni non utilizzate devono essere le modifiche più probabili delle configurazioni utilizzate. N = N + NO Errore? SI E = E + NO Perdita consentita? SI Memoria in Tx? SI SI E/N >k? NO Ritrasmissione Manutenzione o sostituzione del canale Scarto 4

15 Distanza minima di un codice Distanza fra due configurazioni binarie di n bit: D(A,B) - Numero di bit omologhi che hanno valore diverso. Codici con rilevazione di errori Esempi: D(,) = ; D(,) = 2; D(,) = 3 Distanza minima di un Codice C: DMIN (C) - Valore minimo della distanza tra due qualsiasi delle configurazioni utilizzate. Esempi: DMIN (Codice ASCII) = ; DMIN (Codice semaforo) = 2 I codice non ridondanti hanno DMIN=. I codice ridondanti possono avere DMIN >. Esempio: DMIN (UPC) = 2 L ipotesi degli errori indipendenti Consideriamo una stringa di n bit e supponiamo che l evento di modifica di un bit (o errore) da parte di un disturbo a) sia indipendente dalla posizione del bit nella stringa; b) si verifichi con probabilità pari a p (tasso di errore). La probabilità che la stringa ricevuta contenga e errori è data da: Esempio: p = % N.B. molto alto! P () n e p e (-p) n-e e =.. n P P P 2 P ,27 % 7,46 %,26 %,5 % % 3,76 %,4 %,49 % Distanza minima e rilevazione degli errori Un codice per la rilevazione di tutti i possibili errori singoli, o SEDC (Single Error Detection Code), deve non utilizzare tutte le configurazioni che distano uno da ciascuna delle configurazioni utilizzate. Un codice SED deve dunque avere almeno DMIN = 2. Un codice per la rilevazione di modifiche su k bit deve avere almeno DMIN = k+. Per n = 8 le modifiche più probabili riguardano un solo bit Per n = 6 le modifiche più probabili riguardano uno o due bit 5

16 Il bit di parità : una semplice modalità per ottenere la rilevazione di errori singoli Bit di parità p - bit che la sorgente aggiunge ad una stringa di bit di codifica al fine di renderne pari il n di uni. Errore di parità e - bit che la destinazione pone a se e solo se riceve una configurazione con un numero dispari di uni. x x 2 p Codice con DMIN = 2 x x 2 p e Codici con correzione di errori Calcolo del bit di parità La correzione di errori singoli (esempio) x x2 confronto p = F(x, x2) e = F(x, x2, p) = F(F(x, x2), p) Funzione composta Disposizione in serie Tx trasmette o NO = o SI = A causa dei disturbi Rx può ricevere una terna qualsiasi Se P >> P 2 ogni configurazione errata può essere corretta 6

17 Distanza minima e correzione degli errori Il codice dell esempio precedente ha DMIN=3. Ogni SECC (Single Error Correction Code) deve avere DMIN 3. Un codice con DMIN = 2k+ rileva 2k errori e può correggerne fino a k. Di solito si corregge un solo bit e si usa la ridondanza introdotta per valutare la qualità del canale (manutenzione/sostituzione) i i 2 i3 i 4 Bit di controllo da aggiungere c = F(i, i 2,i 4 ) c 2 = F(i,i 3,i 4 ) c 3 = F(i 2,i 3,i 4 ) Il codice di Hamming c c 2 c 3 t 3 t 5 t 6 t 7 t t 2 t 4 il bit errato è r i con i = (s 3 s 2 s ) 2 Stringa Trasmessa Bit di sindrome da calcolare s = F(r 3,r 5,r 7,r ) s 2 = F(r 3,r 6,r 7,r 2 ) s 3 = F(r 5,r 6,r 7,r 4 ) ES.: I = R= c = s = c 2 = s 2 = c 3 = s 3 = r 3 r 5 r 6 r 7 r r 2 r 4 Stringa ricevuta s s 2 s 3 Codici separabili: correzione di errori Hamming (Bell Labs, 95) ha dimostrato che per correggere gli errori singoli su informazioni codificate con I bit occorrono C bit di controllo tali che 2 C I + C +. I correzione Tx F C Rx F C F R C bit di sindrome d errore Le 2 C configurazioni delle sindromi di errore devono indicare se non c è errore ( situazione) e se c è, dov è (I + C situazioni). 7

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(71,1), (35,1), (17,1), (8,1), (4,0), (2,0), (1,0), (0,1) 0, 7155 2 = 1, 431 0, 431 2 = 0, 862 0, 896 2 = 1, 792 0, 724 2 = 1, 448 0, 448 2 = 0, 896 2 Esercizio 2.2 La rappresentazione esadecimale prevede 16 configurazioni corrispondenti a 4 bit. Il contenuto di una parola di 16 bit può essere rappresentato direttamente con 4 digit esadecimali, sostituendo

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