SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA (a c. di G.Garofalo) Appunti basati sul testo Microeconomia di Varian

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1 CELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA (a c. di G.Garoalo) Appunti baati ul teto Microeconoia di Varian Deinite le celte degli operatori in un conteto uniperiodale pria ed interteporale dopo (Garoalo, Econoia politica. Coro interedio con eercitazioni, Giappichelli, pp. 36-5), paiao ad analizzare i ercati delle attività (AR + AF = AP), intee coe beni che ornicono un luo di ervizi nel tepo: nel cao delle attività inanziarie (titoli), il luo è di denaro. upponiao inizialente che ia certo il luo uturo di denaro generato dalle attività. In tal cao, in equilibrio, grazie ad operazioni di arbitraggio (per il oento, enza richio), tutte avranno uguale tao di rendiento. La condizione di non arbitraggio aera che in equilibrio non eitono poibilità di arbitraggio. Dati due invetienti (l acquito di un attività alla data 0 o di un altra alla data ), avreo dunque che nel oento preente: p p 0 = + r Il prezzo corrente di un attività deve eere uguale al uo valore attuale: le attività vengono vendute ai loro valori attuali. u queta bae poiao deinire il tao di rendiento, che arà pari a: p p0 p0 + rp0 = p r = p0 e le attività ono divere (per liquidità o richio), i dovrà apportare qualche correzione. Eainereo queto apetto più avanti perché, coe detto, per il oento, abbiao uppoto aente il attore richio. In eguito ci occupereo prevalenteente di AF; in queta ede può eere opportuno eainare il cao delle AR e, in particolare, delle abitazioni. Il rendiento derivante dal loro poeo è pari alla oa dell aitto (iplicito, e ci abito), T, e dell apprezzaento atteo, A, che, rapportato al prezzo iniziale della caa, P, dà: T + A h = P dove i ditingue un rendiento in terini di conuo ed uno inanziario. In equilibrio (di concorrenza peretta), il rendiento totale, h, deve eere uguale a r, tao di rendiento delle AF. La unzione dei ercati delle attività e delle itituzioni inanziarie è quella di conentire agli individui di odiicare i propri piani di conuo interteporale. Ad e. un iprea, eettendo azioni che colloca ul ercato azionario, converte in un unica oa diponibile oggi, il luo dei proitti uturi nel tepo. In queta ede utilizzereo gli truenti della Microeconoia, più in particolare quelli relativi all analii del coportaento del conuatore (un oggetto poliedrico che, oltre a doandare beni di conuo, ore lavoro e ervizi del capitale, ore ripario, doanda AP) allo tudio della doanda di attività.

2 Appendice e acquito un AF ruttiera di interei (pagati una volta l anno) pendendo T, dopo T anno avrò euro: ( + r) T r e gli interei ono pagati enilente, riceverò: + r e ono pagati giornalente, avrò, invece: In generale, coniderando n veraenti l anno, avrò dopo T anni, euro: nt r + n rt r nt Il liite di queta epreione, per n, è: e = li ( + ) n n dove e =,783.. è la bae dei logariti naturali. 365T Le celte tipiche dell invetitore avvengono in condizioni di incertezza. In tal cao il conuatore ceglie panieri di conuo condizionati ad una erie di eventi (tati di natura), ciacuno dei quali ha un grado di probabilità. Entra in capo il attore richio. upponiao che il conuatore abbia una oa pari a 00 e che ia incerto tra acquitare o eno un biglietto della lotteria al coto di 5 con un preio di 00. Le poibilità ono: Non acquito 00 Acquito Il biglietto non viene 00 5 etratto Il biglietto viene etratto (00 5) + 00 Conideriao ora il cao delle aicurazioni. Un oggetto ha un bene che vale : e i veriica un dato evento (con una probabilità dell %), egli ubirà una perdita di e i aicura per tale oa, deve pagare un preio di 00 e riceverà un indennizzo pari al danno ubito. Gli eiti poibili ono: Non i aicura i aicura Non i veriica l evento avorevole i veriica l evento avorevole Non i veriica l evento avorevole i veriica l evento avorevole ( ) = ( ) = In queto cao l individuo aicurato è copletaente coperto ripetto alla probabilità che il danno i veriichi. Un piano di conuo condizionato peciica ciò che arà conuato in ogni dierente tato di natura, cioè di ogni eito del proceo aleatorio (iao lontani da un conuo copletaente certo!). Poiao ritenere che il conuatore celga tra diveri piani di conuo condizionato, dato il vincolo di bilancio.

3 Nello tato negativo l individuo avrà 5.000, in quello poitivo Aicurandoi per K e pagando un preio γ K, egli traora una parte del conuo nello tato poitivo (C P ) in un conuo addizionale nello tato negativo (C N ), ed avrà: con probabilità 0,0 con probabilità 0, K γ K γ K Dividendo il conuo perduto nello tato poitivo (C P ) per il conuo addizionale nello tato negativo (C N ) otteniao l inclinazione della retta di bilancio: ΔCP γk γ = = ΔCN K γk γ che è il rapporto tra il prezzo del conuo nei due tati di natura. C P γ K C N γ K Le preerenze ono epree da curve di indierenza decrecenti e convee vero l origine degli ai. La celta ottia è individuata dal punto di tangenza, allorché il M tra i conui nei due tati di natura è pari al prezzo relativo degli tei. Al olito, la doanda di aicurazione varia in relazione al prezzo della tea, nonché al variare delle riore diponibili. ulla unzione di utilità, però, è neceario un approondiento. La celta del conuatore è condizionata dalla probabilità che lo tato in quetione i veriichi: oia le preerenze per i conui in tati di natura dierenti dipendono da quanto gli individui penano a propoito del grado di probabilità che ciacuno ha di veriicari. Coniderando poibili due tati di natura, con probabilità, ripettivaente, pari a π e π [π = - π ], la unzione di utilità arà: U = U(C, C, π, π ) e i beni ono peretti otituti, ea i preenterà nella ora (lineare): U = π C + π C di eguito rappreentata graicaente: C P Nel cao di una unzione di utilità di tipo Cobb-Dougla, avreo: π π di eguito rappreentata graicaente: C N 3

4 C P C N In terini logaritici, quet ultia unzione arà pari a: ln U = π ln C + π ln C In tal odo anche la Cobb-Dougla aue una ora lineare. Generalizzando il dicoro, poiao, quindi, dire che la unzione di utilità attea è una edia ponderata delle unzioni del conuo nei due tati, uando coe criterio di ponderazione (peo) le probabilità: U = π v(c ) + π v(c ) Un epreione di queto tipo viene detta unzione di utilità di von Neuann-Morgentern. La ora additiva è particolarente cooda: inatti ea conente di coniderare ingolarente ogni bene conuato in un dato tato di natura. Queta ipotei viene detta di indipendenza tra i diveri eventi: le celte che i prevede di are in uno tato di natura non inluenzano quelle che i prevede di are in altri. Nel cao di un aicurazione, ad eepio, ciò che non i realizza non inluenza le celte nell evento che, invece, accade realente. Applicando il principio al cao di tre beni (C, C, C 3 ) e deinendo il M tra due di loro: π π i ha che eo è indipendente dal terzo. L utilità attea del conuatore-ripariatore-invetitore dipende dal uo atteggiaento nei conronti del richio [i veda anche Garoalo, Econoia politica. Coro interedio con eercitazioni, Giappichelli, pp ]. upponiao che il oggetto abbia una oa da invetire di 0 in un attività che può argli guadagnare 5 o perdere altrettanto con equiprobabilità. Il valore atteo di queta coea (della ricchezza) è: 0,5 5 0,5 50 entre l utilità attea è: 0,5 5 0,5 5 Per un individuo avvero al richio, tale utilità è inore di quella del valore atteo della ricchezza (0 ) perché queta oa è certa. Per lui la unzione trova rappreentazione graica in una curva concava. Utilità 0,5 5 0, Ricchezza Divero è il cao della propenione al richio. Qui l individuo preerice la lotteria alla oa certa, per cui la curva di utilità è convea. 4

5 Utilità 0,5 5 0, Ricchezza Il cao interedio è quello della neutralità ripetto al richio nel quale l utilità attea del valore atteo e della ricchezza coincidono e la curva è lineare. Utilità 0,5 5 0, Ricchezza Con rieriento al ercato aicurativo (p. ): - la doanda arà deinita in bae all eguaglianza tra il M tra i conui nelle due ituazioni [tato = no danno; tato = danno. i noti coe, invece di crivere per eteo le due probabilità, π ci liitiao a dire coe l una ia il copleento all unità dell altra] e il rapporto tra i π γ prezzi γ - l oerta arà deinita a partire dalla a dei proitti dell iprea di aicurazione, che è pari a 0 e l iprea ore l aicurazione ad un tao (equo) tale per cui il uo valore atteo è uguale al coto: 0 0 Ne egue che: π π che i riduce a: UaC = UaC La concluione ultia è che un conuatore avvero al richio, e gli viene propoto un preio equo, ceglierà di aicurari copletaente in aniera tale che C = C. Un altro apetto da coniderare è relativo alla diveriicazione. e l individuo è avvero al richio, preerirà queta oluzione che garantice, a parità di rendiento atteo, un richio inore. i coniderino le eguenti poibilità di invetiento per un individuo che dipone di 00 e può acquitare azioni o di un iprea produttrice di ipereabili o di un iprea produttrice di occhiali da ole [il prezzo unitario è, in entrabi i cai, di 0 ]: 5

6 Acquito di 0 azioni di un iprea produttrice di ipereabili Acquito di 0 azioni di un iprea produttrice di occhiali da ole Etate piovoa con probabilità 0,5 Etate di ole con probabilità 0,5 Rendiento atteo 0 0 = = = = 00 5 In entrabi i cai il rendiento atteo è di 5. Invece, con la diveriicazione: Acquito di 5 azioni di un iprea produttrice di ipereabili e di 5 azioni di un iprea produttrice di occhiali da ole Etate piovoa con probabilità 0,5 0 5 = = 5 5 con certezza Etate di ole con probabilità 0,5 5 5 = = 00 5 con certezza A parità di rendiento, la diveriicazione conente di ridurre il richio, perché ora il rendiento è certo: ciò è preerito da un individuo avvero al richio. Biogna tener conto, però, del atto che il cao ipotizzato è particolare perché le due attività ono perettaente correlate in odo negativo, il che accade raraente. Vediao ora le coneguenze della ripartizione del richio tra più oggetti. Torniao al cao dell aicurazione di p., con la variante, però, che gli individui iano.000. Poniao che in un anno, in edia, i initri iano 0, con una perdita pari a Ciacuno degli individui avrà: - una perdita attea pari a 0, = 00 - una ricchezza attea pari a 0, , = una probabilità dell % di perdere upponiao, invece, che gli individui i aicurino reciprocaente (autoaicurazione), di odo che, a ronte di un danno pari a 0.000, ciacuno ia riarcito da tutti gli altri che vereranno, ciacuno, 0. Tale ora di ditribuzione del richio u altri, riduce la quantità che ciacuno deve arontare direttaente. Nel cao propettato da ultio non è ecluo che, in un anno, i veriichi un nuero particolarente elevato di initri con un groo eboro per gli altri. L alternativa è che il veraento, poniao di 00, ia eettuato, preo un iprea di aicurazione, in un ondo di rierva, indipendenteente dal veriicari del danno. Ciò conente di liitare la oa che l individuo dovrà verare nel cao i danni iano olto nueroi. Anche il ercato azionario conente di ripartire il richio, dai proprietari agli azioniti. Il ercato azionario, inoltre, conente di razionare l invetiento tra titoli diveri e, ad individui che non intendono più arontare richi, di traerirli ad altri. 6

7 Il odello edia-varianza [i veda anche Garoalo, Econoia politica. Coro interedio con eercitazioni, Giappichelli, pp ] Le preerenze di un conuatore, invece che dipendere dall intera ditribuzione di probabilità della ua ricchezza, poono eere rierite oltanto a due dati tatitici riauntivi della tea ditribuzione: la edia (rendiento edio) e la varianza (richio). ia data una variabile aleatoria w con =,, e con probabilità π. La edia è il valore intorno al quale i concentrano gli eventi della ditribuzione, ciacuno ponderato in bae alla probabilità che i veriichi: μ = w = π w entre la varianza, che indica la diperione attorno al valore centrale: w = π ( w μw) = è una iura couneente accettata della richioità. La ua radice quadrata è lo carto quadratico edio, w = w. La edia può eere poitiva o negativa; la varianza può eere aggiore o inore. Il odello dell utilità attea pria decritto i epliica e la unzione di utilità viene rierita olo a edia e varianza (carto quadratico edio), per cui: U = U ( μ w, w) U = U ( μw, w) Un individuo avvero al richio, ceteri paribu, preerice: - un rendiento atteo più elevato - una varianza più baa Utilizziao queto odello per analizzare coe un invetitore ceglie la copoizione del proprio portaoglio tra un titolo privo di richio, che garantice un tao di rendiento cotante r, e un titolo richioo, che dà un rendiento condizionato allo tato del ondo, con probabilità π. Il rendiento atteo di queto econdo titolo è r, entre è lo carto quadratico edio del rendiento. Dividendo il portaoglio in due quote, ripettivaente e (- ), il rendiento edio del portaoglio arà: che, eendo ed inerendo coe rendiento atteo del titolo richioo la ua edia, i riduce a: Il rendiento atteo del portaoglio è, dunque, la edia ponderata dei rendienti dei due titoli. La ua varianza è: = [ + ( )r r ] π = che, tenendo conto della deinizione di r, diventa: = [ + r r r r + r ] π = Fatte le dovute epliicazioni, avreo: = [ r] π = = = = ( r ) π 7

8 la cui radice quadrata è lo carto quadratico edio: = La linea che lega il rendiento atteo allo carto quadratico edio otra coe, acquitando una quantità aggiore dell attività richioa, i avrà un rendiento atteo più elevato, a ronte di un richio aggiore: tra le due grandezze vi è, dunque, un trade-o. In corripondenza dell origine degli ai, = 0 (tutta la oa è invetita nell attività non richioa), il rendiento atteo è pari a r e = 0. e = (tutto l invetiento è nell attività richioa), il rendiento atteo è r e =. Le preerenze dell individuo, avvero al richio, tra rendiento atteo (edia) e richio (carto quadratico edio) ono epree da curve di indierenza crecenti a tai crecenti (convee ripetto all ae delle acie). Rendi.atteo r r = prezzo del richio r r r = 0 = Richio Nel punto di tangenza vi è la celta ottia, allorché il prezzo del richio, coe opra deinito, eguaglia il M tra richio e rendiento: Ua r r = Uaμ In equilibrio, per tutti gli individui arà uguale il M e il prezzo del richio. Vediao ora che uccede nel cao in cui vi iano più attività richioe. In queto cao entra in gioco la correlazione tra i rendienti. i conideri la eguente celta per un invetitore avvero al richio: tato del ondo con π = 0,5 tato del ondo con π = 0,5 Valore atteo Prezzo di doanda Attività A 0-5,5,5 Attività B - 5 0,5,5 Acquitando un azione di ciacuna attività, il valore atteo arà 5, quale che ia lo tato del ondo. Ciò è quanto i veriica allorché la correlazione è negativa: in tal cao il richio copleivo i riduce. L indice beta di un azione i indica il rapporto tra: Richio aociato all'attività i β i = Richio dell'intero ercato Eo è dato da un rapporto che ha a nueratore la covarianza del rendiento dell azione e del rendiento del ercato, e a denoinatore la varianza del rendiento del ercato. e β =, l azione è richioa coe il ercato nel uo iniee. e β <, l azione varia eno dell indice di ercato. Per l attività priva di richio β = 0. In un ercato con più attività a richio, la condizione di equilibrio prevede che tutte le attività diano lo teo tao di rendiento e queto viene corretto in bae al richio (preio per il richio). Ovvero che per un attività i: ri = r + β i( r r ) oia il uo rendiento atteo è pari alla oa del rendiento dell attività non richioa e del preio per il richio. Ne conegue che in equilibrio: r β ( r r ) = r i i 8

9 E queto il riultato principale del Capital Aet Pricing Model (CAPM), peo uato nelle analii inanziarie. Graicaente, nel piano r i - β, avreo una retta detta di ercato, con intercetta pari a r ed inclinazione data da r r : Rendi. atteo r r Beta In equilibrio tutte le attività devono corripondere a punti lungo la retta di ercato. e coì non oe, per cui il uo rendiento al netto del preio per il richio oe aggiore del rendiento dell attività priva di richio (l attività i trova al di opra della retta di ercato), gli invetitori l acquiterebbero acendone auentare il prezzo corrente (p 0 ) e, corripondenteente, diinuire il p p0 rendiento atteo r i =, riportando l attività ulla retta di ercato. p0 Da notare che il odello i baa ull ipotei che tutti gli individui valutino allo teo odo il rendiento atteo ed il richio aociato alle divere attività. Più coplicato è il odello qualora tale unaniità non vi oe. Il cao dei ondi couni di invetiento I ondi couni ono truenti inanziari eei da interediari che raccolgono ondi dalle unità in urplu e li ipiegano nell acquito di AF. I ondi poono eere attivi o paivi: nel prio cao il getore cerca di ottenere riultati igliori del ercato; nel econdo (i coiddetti ETF) egli replica epliceente un indice di ercato (geograico, ettoriale, azionario o obbligazionario) e, di coneguenza, anche il uo rendiento (e, ad eepio, l'indice &P 500 i apprezza del %, l'et legato all &P 500 regitrerà un rialzo della tea proporzione). I prii ono più cari dei econdi a otivo del aggior valore aggiunto. Vediao il problea dal punto di vita del CAPM. Rappreentiao in un graico i rendienti attei e gli indici beta di diveri ondi. Rendi. atteo Fondo indicizzato r r Beta L indice beta di un ondo indicizzato arà proio a (eo arà richioo quanto il ercato nel uo iniee). Per i ondi attivi la cobinazione rendiento-richio arà decritta da punti che giacciono opra o otto la retta di ercato, con il corollario che a rendiento atteo aggiore tende a corripondere un richio più elevato. L eperienza diotra che i ondi (attivi) che riecono a are eglio del ercato ono pochi. La concluione ultia è che, in edia, ui ercati le azioni ono cabiate al loro valore eettivo. 9