Reti Logiche. Le reti logiche sono gli elementi architettonici di base dei calcolatori, e di tutti gli apparati per elaborazioni digitali.

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1 Reti Logiche Le reti logiche sono gli elementi architettonici di base dei calcolatori, e di tutti gli apparati per elaborazioni digitali. - Elaborano informazione rappresentata da segnali digitali, cioe segnali che assumono nel tempo solo un numero finito di valori possibili. - Scambiano informazioni con l esterno attraverso un insieme di connessioni di ingresso (morsetti di ingresso) e di uscita (morsetti in uscita). - Trasformano i segnali di ingresso in segnali di uscita con un comportamento unidirezionale, cioe le uscite non possono alterare l informazione in ingresso. Possono essere collegate tra loro all interno di un sistema digitale piu complesso o scambiare informazioni con il mondo esterno al sistema. Se l ambiente esterno non e digitale ma analogico, cioe produce segnali continui, questi dovranno venir convertiti in forma digitale prima di essere elaborati da una rete logica.

2 Reti Combinatorie e Macchine Sequenziali Una rete logica puo essere composta (o decomposta) in sottoreti (piu piccole e piu semplici). I componenti atomici per tale composizione modulare sono dette blocchi logici. I blocchi logici possono essere suddivisi in due grandi classi a seconda della loro capacita di possedere o meno memoria. Reti combinatorie Sono composte da blocchi logici privi di memoria. L uscita dipende unicamente dagli ingressi in un dato istante. Reti (o Macchine) Sequenziali Hanno capacita di memorizzazione, ovvero di possedere uno stato. L uscita in questo caso dipende dalla sequenza degli ingressi e, in ogni istante, e determinata sia dagli ingressi sui morsetti di entrata che dallo stato in cui si trova la macchina.

3 Algebra di Boole Generalmente le reti logiche elaborano segnali binari, che corrispondono a due livelli di tensione alta (di livello 1) e bassa (di livello 0). Il mezzo matematico fondamentale per descrivere e studiare il funzionamento di una rete logica e l Algebra di Boole. Una rete logica trasforma n segnali digitali in ingresso in un segnale (o piu ) in uscita. Il suo comportamento puo essere descritto da una funzione booleana f: {0,1}n {0,1} Esempio. (n=3) a b c f (a,b,c) N.B. 3 valori in ingresso, 23 terne possibili

4 Operatori booleani NOT(x) AND(x 1, x 2 ) OR(x 1, x 2 ) x x x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 +x Espressioni booleane x 1 (x 3 + x 2 ) + x 3 x 1 + (x 3 x 2 ) Definizione esplicita di funzioni booleane z 1 = f 1 (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 (x 3 + x 2 ) + x 3 z 2 = f 2 (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 + (x 2 x 3 ) z 3 = f 3 (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 3 ) (x 1 + x 2 ) Equivalenza tra espressioni booleane Per ogni terna di valori x 1, x 2, x 3 : x 1 + (x 2 x 3 ) = (x 1 + x 3 ) (x 1 + x 2 ) priorità : -,, +

5 Proprietà degli operatori -,, + x 1 + (x 2 x 3 ) (x 1 + x 3 ) (x 1 + x 2 ) x 1 x 2 x 3 x 1 + (x 2 x 3 ) (x 1 + x 3 ) (x 1 + x 2 ) x + 0 = x x 1 = x x + 1 = 1 x 0 = 0 x + x = x x x = x x + x = 1 x x = 0 x1 + x2 = x2 + x1 x1 x2 = x2 x1 (x1 + x2) + x3 = x1 + (x2 + x3) (x1 x2) x3 = x1 (x2 x3) (x1 x2) + (x1 x3) = x1 (x2 + x3) (x1 + x2) (x1 + x3) = x1+ (x2 x3) NOT(NOT(X)) = x x1 x2 + x1 x2 = x1 x1 + (x1 x2) = x1 (x1 + x2) (x1 + x2) = x1 x1 (x1 + x2) = x1 teoremi di De Morgan: NOT(x1 + x2) = NOT(x1) NOT(x2) NOT(x1 x2) = NOT(x1) + NOT(x2)

6 Blocchi logici ( o porte logiche) x1 x2 x1 x2 AND gate x1 x2 x1 + x2 OR gate x1 x1 NOT gate x1 y1 y2 x2 x3 z1 z2 y1 = x1 z1 = y2 + x3 y2 = x1 x2 z2 = y2 x3

7 Completezza funzionale Operatori NAND e NOR Con gli operatori NOT, AND e OR si possono esprimere tutte le funzioni boolene ({0,1}n {0,1}). E facile verificare che due operatori sono sufficienti per esprimere ogni funzione booleana. Infatti,entrambe le coppie (NOT ed AND) e (NOT ed OR) sono funzionalmente complete: X1 + X2 = X1 X2 X1 X2 = X1 + X2 In realtà è sufficiente un solo operatore. Operatore NAND - (X1 X2) x = x x x 1 x 2 x 1 x x x 1 x x Operatore NOR - (X1 X2) x = x x x 1 x 2 x 1 x x x 1 x x

8 Mintermini e Maxtermini Un mintermine pi è una funzione che vale 1 in corrispondenza alla sola configurazione i delle variabili. Un maxtermine si è una funzione che vale 0 in corrispondenza alla sola configurazione i delle variabili. a b c p0 p2 p3 p6 p7 s1 s4 s Ogni mintermine pi puo essere espresso come l AND di tutte le variabili, dove una variabile compare diretta (non negata) se vale 1 nella configurazione i, compare negata se vale 0 nella configurazione i. p 5 = a b c (5 10 = ) Ogni maxtermine si puo essere espresso come l OR di tutte le variabili, dove una variabile compare negata se vale 1 nella configurazione i, diretta se vale 0 nella configurazione i. s 3 = a b c (3 10 = )

9 Forma Canonica - SP Prima forma canonica per una funzione f è l OR di tutti i mintermini pi per le configurazioni i dove f=1. Esempio a b c f (a,b,c) f (a,b,c) = p0 + p2 + p4 +p5 +p6 = a b c + a b c + a b c + a b c + a b c = a c + a b c + a b c + a b c = a c + a b c + a b c + a b c + a b c = a c + a b + a b c + a b c = a c + a b + a c = c + a b NOTA: Ogni mintermine si puo esprimere come un prodotto, quindi una funzione nella prima forma canonica risulta essere una Somma di Prodotti (SP).

10 Forma Canonica - PS Seconda forma canonica per una funzione f è l AND di tutti i maxtermini si per le configurazioni i dove f=0. Esempio a b c f (a,b,c) f (a,b,c) = s1 s3 s7 = (a + b + c ) (a + b + c ) ( a + b + c ) = (a + c ) ( a + b + c ) = (a + c ) (a + c + b ) ( a + b + c ) = (a + c ) (a + b + c ) ( a + b + c ) = (a + c ) (b + c ) NOTA: Ogni maxtermine si puo esprimere come una somma, quindi una funzione nella seconda forma canonica risulta essere un Prodotto di Somme (PS).

11 Reti a due o piu livelli Una rete e di livello h se h e il numero massimo di blocchi logici che un segnale incontra tra un punto di ingresso e quello di uscita. N.B. Generalmente non vengono considerati i blocchi negazione. Utilizzando le forme canoniche si possono costruire reti a due livelli. f(a, b, c) = (a + c ) (b + c ) a b c f(a,b,c)

12 PLA Array Logica Programmabile x1 x1 piano AND x2 x2 x3 x3 z1 piano OR z2 z3 Z1 = Z2 = Z3 =

13 Selettori I selettori sono impiegati per dirottare su una linea di trasmissione messaggi provenienti da sorgenti diverse (selettori di ingresso o multiplexer), o per dirottare su linee diverse il messaggio proveniente da una sorgente (selettori di uscita o demultiplexer), o per combinare entrambi questi effetti (selettori di ingressouscita). Un multiplexer e una rete combinatoria in cui alcuni segnali di ingresso rappresentano i messaggi, e altri, detti di controllo, selezionano le vie attraverso cui instradare i messaggi. S C A 0 0 A C B 1 1 B S A B S

14 Codificatori e decodificatori Trasformano parole rappresentate in un dato codice in un codice diverso. Esempio codificatore con 23 ingressi e 3 uscite (in generale: n uscite e 2n ingressi). x7 x6 x5 x4 x3 x2 x1 x0 z2 z1 z Le configurazioni ammesse in ingresso sono solo quelle che hanno esattamente un 1. L uscita è la rappresentazione binaria del numero che rappresenta la posizione dell unico 1 in ingresso. Esempio decodificatore con 3 ingressi e 23 uscite. x2 x1 x0 y7 y6 y5 y4 y3 y2 y1 y

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