UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PAVIA Laurea in Ingegneria Elettronica e Informatica

Transcript

1 Problema Con riferimento al circuito in figura, nel quale entrambi gli interruttori si aprono all istante t = 0, determinare l espressione di i(t) (per ogni istante di tempo t) e rappresentarne graficamente l andamento temporale. Dati: = 00 V, I 0 = 4 A, = = 00 Ω, R 3 = R 4 = 50 Ω, C = 4 nf, C 2 = 6 nf. t=0 C C 2 I 0 R t=0 2 i(t) R V 3 0 R 4 Problema 2 Con riferimento al circuito in figura, nel quale il generatore indipendente opera alla pulsazione ω, determinare il generatore equivalente di Thevenin ai morsetti ab. Calcolare quindi la potenza disponibile del generatore equivalente e la potenza erogata ad un carico Z L collegato ai morsetti ab. Dati: ω = 0 0 rad/s, = 0 mv, = 00 Ω, = 50 Ω, g = 4 ms, L = 0 nh, C = pf, Z L = 50 j00 Ω. L C C C V C gv C Problema 3 Con riferimento al circuito in figura, nell ipotesi che le linee di trasmissione siano senza perdite, determinare il valore della capacità C e l impedenza caratteristica Z X affinché il generatore risulti adattato. Calcolare quindi le potenze assorbite dai carichi Z e Z 2. Dati: f = 3 GHz, Z g = = 50 Ω, Z = 50 j 50 Ω, Z 2 = 00 j 00 Ω. a b Z Generatore P d Z g Z X C Z 2

2 Soluzione del Problema Prima dell istante t = 0 i generatori operano in regime stazionario e il circuito da considerare è il seguente: v (0 - ) v 2 (0 - ) I 0 i(0 - ) R 3 R 4 È evidente che È inoltre utile osservare che: i(0 ) = 0 v (0 ) = ( ) I 0 = I 0 = 50 4 = 200 V v 2 (0 ) = = 00 V Quando gli interruttori si aprono (t > 0) il circuito diventa quello nella seguente figura: I 0 v (t)v 2 (t) i(t) R V 3 0 R 4 C eq dove i due condensatori risultano in serie e sono rimpiazzati da un condensatore equivalente di valore C eq = C C 2 = 4 6 nf = 2.4 nf C C Scrivendo la KVL alla maglia, all istante t = 0 si ha v (0 ) v 2 (0 ) R 4 i(0 ) R 3 i(0 ) i(0 ) = 0 Poiché v (0 ) = v (0 ) e v 2 (0 ) = v 2 (0 ), ricavando i(0 ) si ottiene i(0 ) = v (0 ) v 2 (0 ) = R 3 R = A Poiché la resistenza vista dal condensatore equivalente è R 3 R 4, la costante di tempo risulta τ L = ( R 3 R 4 )C eq = = 0.48 µs Per t il condensatore torna a comportarsi come un circuito aperto e si ha i( ) = 0

3 L espressione della corrente i al variare del tempo è: 0 t < 0 i(t) = e 2.08t [µs] A t > 0 La rappresentazione grafica della corrente è mostrata nella seguente figura: i [A] t [ms]

4 Soluzione del Problema 2 Per il calcolo della tensione di Thevenin si considera il circuito in figura: a jx L V C gv C V Th b dove X C = ωc = 0 0 = 00 Ω 0 2 Poiché si ha V C = jx L = X L = ωl = = 00 Ω = X C j00 j( j) 0 mv = 0 mv = 5 j5 mv 00 j00 2 V T h = gv C = (5 j5) mv = j mv Per il calcolo della tensione di Thevenin si spegne il generatore indipendente di tensione e si applica un generatore di prova ai morsetti ab (poiché il circuito include un generatore dipendente). Il circuito risultante è il seguente: R jx L V x a V C gv C I x b Poiché sulla maglia di sinistra non scorre corrente, si ha V C = 0. Pertanto il generatore comandato di corrente ha una corrente nulla e quindi tutta la I x scorre su. Si ha quindi Z T h = V x I x La potenza disponibile del generatore risulta = I x I x = = 50 Ω e la potenza assorbita dal carico è P L = P d = V T h 2 = ( j) R T h R T hr L Z T h Z L 2 P d = = = 5 nw j00 2 P d = 2 P d = 2.5 nw

5 Soluzione del Problema 3 Per la soluzione si fa riferimento ai simboli indicati nella seguente figura: I Z Generatore Y a Z I I I Y d V d P d Z g Z X C Y b I 2 Z 2 Le ammettenze Y a e Y b all ingresso delle linee in quarto d onda sono in parallelo alla capacità C. Pertanto, tenendo conto delle proprietà delle linee in quarto d onda e osservando che Z = (3 j) e Z 2 = (2 2j) si ha: Y d = jωc Y a Y b = jωc Z Z 2 0 Z 2 Z 2 0 = jωc 3 j 2 2j = 5 j (ωc ) Z0 Per ottenere l adattamento del generatore deve essere Z I = Z g =, cioè Z I deve essere reale. Poichè una linea in quarto d onda senza perdite ha un impedenza reale solo se il suo carico è reale, la parte immaginaria di Y d deve essere nulla: ωc = 0 C = ω = 2 π =.06 pf 50 Per questo valore di C si ha Y d = 5/ e la condizione di adattamento diventa = Z I = ZXY 2 d = ZX 2 5 Z X = = Ω 5 La potenza assorbita dai carichi può essere ottenuta in due diversi modi. Un primo approccio consiste nell osservare che la potenza assorbita dai carichi Y a e Y b sono identiche a quelle assorbite rispettivamente da Z e Z 2. Inoltre, poiché il generatore è adattato e le linee sono senza perdite, i due carichi assorbiranno complessivamente la potenza disponibile, cioè P Z P Z2 = P d Inoltre, poiché Y a e Y b sono in parallelo, si ha P Z = P Ya = V d 2 2 ReY a } P Z2 = P Yb = V d 2 ReY b } 2

6 da cui Combinando le due relazioni si ha P Z = ReY a} P Z2 ReY b } = P Z 2 P Z2 = P d P Z2 = 2 5 P d P Z = 3 5 P d In alternativa, le potenze possono essere calcolate dopo aver determinato le correnti sui carichi. Grazie alle proprietà delle linee in quarto d onda, si ha I = I 2 = j V d = j jz XI I = Z X I I = I I 5 L ampiezza della corrente I I è collegata alla potenza disponibile: Le potenze sui carichi risultano quindi: I I = V T h 8Z0 P d 2P d = = 2 2 P Z = 2 ReZ } I 2 = 2 ReZ } I I 2 5 = 2 3 2P d 5 = 3 5 P d P Z2 = 2 ReZ 2} I 2 = 2 ReZ 2} I I 2 5 = 2 2 e ovviamente coincidono con quelle precedentemente calcolate. 2P d 5 = 2 5 P d

7 Problema Con riferimento al circuito in figura, nel quale i generatori operano in regime stazionario, determinare l energia immagazzinata nel condensatore e nell induttore, e la potenza assorbita dalla resistenza. Dati: = 200 V, I 0 = 5 A, = 00 Ω, = 50 Ω, R 3 = 300 Ω, α = 2, C = 20 nf, L = 0 µh. av C C v C I 0 L R 3 Problema 2 Con riferimento al circuito in figura, nel quale il generatore di tensione opera in regime stazionario mentre il generatore di corrente opera alla pulsazione ω, calcolare l espressione della tensione v (t). Determinare quindi la potenza istantanea massima e minima assorbita da. Dati: ω = 0 8 rad/s, = 200 V, i 0 (t) = I 0 cos(ωt π), I 0 = A, = 00 Ω, = 00 Ω, L = µh. L v (t) i 0 (t) Problema 3 Con riferimento al circuito in figura, determinare la reattanza X e la suscettanza B affinché la linea di trasmissione risulti adattata. Indicare quindi con quali elementi discreti possono essere realizzate X e B e dimensionare tali elementi. Calcolare infine la potenza erogata dal generatore, la potenza assorbita dalla resistenza R e le ampiezze delle tensioni V, V 2 e V R. Dati: f = 5 GHz, Z g = 50 Ω, P d = 00 mw, d = 20 m, α = 0.3 db/m, = 50 Ω, R = 200 Ω. Generatore P d Z g V, a V 2 jb d jx V R R

8 Soluzione del Problema In regime stazionario il condensatore si comporta come un circuito aperto e l induttore come un cortocircuito (v. figura). av C v A v C i L L I 0 R 3 Definendo il potenziale di riferimento sul nodo inferiore e applicano la KCL al nodo superiore (al potenziale v A ) si ha: v A αv C v A I 0 = 0 Inoltre si ha v A = v C sostituendo nella prima equazione e tenendo conto che = 2, si ottiene v C αv C 2( v C ) 2 I 0 = 0 da cui v C = 2I 0 α 2 = 2I 0 = = 300 V La corrente che fluisce sull induttore è mentre quella che scorre sulla resistenza è i R = v A αv C i L = I 0 = 5 A = v C αv C = v C = = A 00 Le energie immagazzinate nell induttore e nel condensatore risultano w L = 2 Li2 L = = 25 µj w C = 2 Cv2 C = = 900 µj e la potenza assorbita da è p R = i 2 = 00 W

9 Soluzione del Problema 2 Poiché nel circuito sono presenti sia generatori in regime stazionario che generatori sinusoidali alla pulsazione ω, è conveniente applicare il principio di sovrapposizione degli effetti, considerando separatamente il generatore di tensione da quelli di corrente. Caso a: Generatore di tensione acceso e generatori di corrente spenti. Spegnendo i generatori di corrente (che vengono rimpiazzati da circuiti aperti) e tenendo conto del fatto che l induttore in regime stazionario si comporta come un cortocircuito, il circuito diventa: (a) v Poiché e risultano in serie e sono sottoposte alla tensione, la tensione v (a) v (a) = = 2 = 00 V Caso b: Generatore di tensione spento e generatori di corrente accesi. risulta: In questo caso è il generatore di tensione ad essere spento e quindi sostituito da un cortocircuito. Passando al dominio dei fasori si ha il seguente circuito: I jx L (b) V I 0 La reattanza dell induttore risulta: e il fasore di corrente del generatore è: X L = ωl = = 00 Ω I 0 = I 0 e jπ = A Il fasore di tensione V (b) si può calcolare considerando il partitore di corrente fra i due rami del circuito e osservando che X L = = : V (b) = I = I 0 = jx L 2 j I 0 = 2 j I 0 = 40 j20 V = 44.7 e j2.68 V 5 Passando al dominio del tempo si ha: v (b) = 44.7 cos(ωt 2.68) V

10 Combinando gli effetti si ha v = v (a) v (b) = cos(ωt 2.68) V La potenza istantanea è massima quando la tensione raggiunge il valore massimo di ampiezza e corrisponde a v max = = 44.7 V p max = v 2 max = = W Analogamente la potenza istantanea è minima quando la tensione raggiunge il valore minimo di ampiezza v min = = 55.3 V e corrisponde a p min = v 2 min = = 30.6 W

11 Soluzione del Problema 3 Affinché la linea di trasmissione risulti adattata l impedenza che vede come carico deve coincidere con la sua impedenza caratteristica. Deve quindi valere la relazione: jx jb /R = Moltiplicando per (jb /R) e separando parte reale e immaginaria si ottiene: XB = R X R = B Osservando che R = 4 si ha 3 B = ± = ±8.66 ms 4 B = ± Z0 R X = ± R R R X = ± 3 = ±86.6 Ω Poiché la reattanza di un elemento e la suscettanza dell altro sono concordi, i due elementi possono essere realizzati utilizzando un condensatore e un induttore. A seconda del segno scelto si ha: segno : B capacitiva e X induttiva C = B = ω 2π = 276 pf L = X ω = 86.6 = 2.76 nh 2π 5 09 segno : B induttiva e X capacitiva L = ωb = 2π = 3.67 nh C = ωx = 2π = pf 86.6 Poiché la linea è adattata, indipendentemente dalla sua lunghezza l impedenza d ingresso coincide con l impedenza caratteristica (Z I = ). Visto che Z g = il generatore è adattato ed eroga tutta la potenza disponibile (P I = P d ). A causa delle perdite lungo la linea, la potenza che giunge al carico è P R = P I e 2αd = P d e 2 (0.3/8.68) 20 = 4 P d = 25 mw Poiché nella sezione d ingresso l impedenza è e la potenza è P I, si ha: V = 2 P I = = 3.6 V Alla fine della linea si ha ancora un impedenza, ma la potenza è ridotta ad un quarto. Si ha quindi V 2 = V =.58 V 2 Sul carico R risulta V R = 2RP R = = 3.6 V