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1 Istituzioni di Matematica I Esercizi su sistemi lineari Esempio. Dire per quali valori di λ R il sistema x " y+ z = 2 % x + y " z = " x " y+ z = ha una sola soluzione, per quali nessuna, per quali infinite Soluzione: Il determinante della matrice associata A è (λ + ) 2 (λ 2); quindi se λ, 2 il sistema ha una sola soluzione che si può determinare con la regola di Cramer; se λ = r(a) = 2 perché 2 0, ma r(c) = perché " 0 quindi il sistema non " ha soluzione; se λ = 2 per Kronecker r(a) = r(c) = 2, infatti "2 0 e i minori che lo orlano in C sono "2 2 det (A) = 0 e " 2 " = 0, quindi il sistema ha infinite soluzioni. Esempio 2. Dire per quali valori di λ R il sistema seguente ha soluzioni x + "y + z = " + 2 %"x + y z = 2 x + y = " Soluzione: Il determinante della matrice associata A è 0 per ogni λ e r(a) = 2 perché " 0 ; per calcolare r(c) si vede se i minori ottenuti orlando questo minore sono tutti nulli. 0 Ora i minori ottenuti orlando " " " + 2 sono det (A) e 2 = λ 2 quindi il sistema ha 0 0 " soluzioni se r(a) = r(c) = 2, cioè se λ = 0; in tal caso le soluzioni del sistema sono (t, t, t + 2). Esempio. Sia f : R R lapplicazione lineare definita da f(,0,0) = (λ, λ( λ), λ ) f(0,,0) = (, λ, 2)

2 f(0,0, ) = (λ, 2 λ 2, 2) Determinare al variare di λ R limmagine e il nucleo di f. Soluzione: La matrice associata mediante le basi canoniche allapplicazione lineare f è " " A = "( ") " 2" 2 ) ) % " 2 2 ( ). Ora A = (λ ) " " " 2" = (λ ) 0 " " 2" 2 2 = (λ ) 0 " " 2" 2 " + 0 2" 2 2 (λ )[2(λ 2 ) λ ( + λ)] = (λ ) (λ + ) (2 λ 2 λ) = (λ ) (λ + ) (λ 2) = Quindi se λ,, 2 Im f = R e Ker f = {(0,0,0)}. Se λ =, Im f è generata dai vettori colonna della matrice che sono linearmente indipendenti, cioè Im f = < (, 0, 2), (, 2, 2) > e Ker f = {(x,y,z) y + z = 0, 2 z = 0} = {(x,0,0)}. Analogamente se λ =, Im f = < ( 2, 2, 2), (, 2, 2) > = < (,,), (, 2, 2) > e Ker f = {(x,y,z) 2 x + y z = 0, 2 x + 2 y 2 z = 0} = {(0,z,z)}. Se λ = 2, Im f = < (, 2, ), (,, 2) > e Ker f = {(x,y,z) x + y + 2 z = 0, x + 2 y 2 z = 0} = {( 6 z, 4 z, z)}. Esempio 4. Discutere al variare di λ R le soluzioni del sistema lineare "x y + z = % x + y "z = 0 4 x + y z = e determinarle nei casi in cui il sistema ammette soluzioni. Soluzione: Il determinante della matrice associata A è (λ + ) (λ 2), quindi se λ, 2 il sistema ha ununica soluzione che si determina col metodo di Cramer : 2 x = " +, y = " 2 " +, z = " +. Se λ = 2, la caratteristica di A è 2 perché il minore 4 0, si deve allora studiare la caratteristica della matrice completa C orlando tale minore di A che è minore anche di C; si ottengono cosí det A = 0 e il minore costituito dalle prime 2 colonne di A e da quella dei termini noti che è nullo nel caso λ = 2, mentre vale 5 0 se λ =. z + 5z " Quindi se λ = 2 il sistema ha infinite soluzioni %,,z ( ottenute risolvendo il sistema

3 " x + y = 2z % 4 x + y = z + se λ = il sistema non ha soluzioni. Esempio 5. Determinare al variare di λ R le soluzioni del sistema Soluzione: "x + y z = 2 % x "y + 2z = 5x + "y = 5 Detta A la matrice dei coefficienti del sistema si ha det A = 2 (λ λ 5) = 2 (λ )(λ + 5). Allora det A 0 se e solo se λ, 5 ; in tal caso il sistema ha ununica soluzione " + 5 % 5, " Se λ =, 5 ) per ogni λ, che si può determinare con la regola di Cramer. ( 2 la matrice A ha caratteristica r(a) = 2; infatti , " 5 5 Consideriamo la matrice completa C ottenuta aggiungendo alla matrice A la colonna dei termini noti. Se λ = anche r(c) = 2, infatti la colonna dei termini noti è combinazione lineare delle altre, precisamente la prima meno la terza, oppure si può anche osservare che orlando il minore non nullo si ottengono det A, che è nullo, o " = 0. Perciò il sistema ha soluzioni ( " 5 y, y, 4 5 y " ) ottenute risolvendo il sistema corrispondente al minore non nullo scelto. % x + 2z =+ y % 5x = 5 " y equivalente a quello dato e " 2 Se λ = 5 si ha r(c) =, infatti 2 0, e il sistema non ha soluzione Esempio 6. Dire per quali valori del parametro a! R ha soluzioni il sistema " x + ay + az = a x! y! az = % 2 x! y = 2 e determinarle. Soluzione:

4 Per il teorema di Rouché-Capelli il sistema ha soluzione se e solo se r(a) = r(c) dove " a a % " a a % A= a!!a è la matrice dei coefficienti e C = a!!a la matrice completa. Si ha 2! 0 2! 0 2 det(a)=a( a) 0 se e solo se a 0 e a. Quindi se a 0 e a risulta r(a) = r(c)= e per il teorema di Cramer il sistema ha ununica soluzione per ogni a, data da x = a a!!a 2! 0 a(! a) = 2, y = a a!a a(! a) = 2, z = a a! 2! 2 a(! a) 2a + = a. Restano da considerare i due casi in cui deta)=0. Se a = 0 r(a) <, mentre r(c)= perché 0 0 " 2 " 2 = 0, quindi il sistema non ha soluzioni. Se a = la prima e lultima colonna di C sono uguali, quindi r(a) = r(c) = r <, e r=2 perché!!! 0 = 0. Il sistema ammette quindi!"r =! soluzioni che si ottengono risolvendo "!y! z =! x, ovvero (x, 2x 2, 5x 5). %!y = 2! 2x Esempio 7. Dire per quali a R il sistema Soluzione:! y + z = x + 2y + z = 2 " x + y z = a 2x + y = 2 a ha soluzione. Poiché la matrice A dei coefficienti è 4! e quella completa C è 4! 4, affinché il sistema abbia soluzione deve essere det(c) = 0 [ altrimenti si avrebbe r(a) 4 = r(c) ], cioè 2a = 0, da cui a 0 = 0. In tal caso risulta r(a) = r(c) =, perché il minore 2 è non nullo e il sistema è quindi 2 0 equivalente a quello ottenuto sopprimendo la terza equazione e ha ununica soluzione che si può determinare col metodo di Cramer. ESERCIZI. Risolvere il sistema seguente

5 " 4 x + z = 0 x + y + z + 6t = 2 x + 2y + 2z + 4t = 0 % x + y + z + t = 2. Determinare al variare di a,b R le soluzioni del sistema seguente: " x + y + z + t = % ax + ay + bz + bt = 2. Discutere al variare di λ R le soluzioni del sistema seguente e determinare le soluzioni nel caso in cui λ = -. "x + z = %"y + 2z = "x + y + 4z = " 4. Discutere al variare di λ R le soluzioni del sistema seguente: x + y " z = 0 % x + (" )y = x " z = 5. Discutere al variare di λ R le soluzioni del sistema seguente: x + y + z = 0 %"x y 2z = 0 x + "y + z = " e determinare le soluzioni del sistema nel caso in cui λ = Discutere al variare di a, b, c R le soluzioni del sistema lineare x " 2y + z = " % "2x + 4y + az = 2 % x + by + 9z = c 7. Discutere al variare di λ R le soluzioni del sistema seguente "x 2y + z = % x "y + 2z = " + 2x y + 5z = 8. Discutere al variare di λ R le soluzioni del sistema seguente

6 "x y + "z = % x "y "z = "x + "y z =

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