Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale

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1 Es. Es. Es. Es. 4 Totale Analisi e Geometria Seconda prova in itinere Docente: luglio Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta dev essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non è consentito l uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni.. Sia data la funzione f(x, y) = y x. (a) Stabilire se esistono le derivate parziali di f nell origine, e in caso affermativo calcolarle. (b) Stabilire se f è differenziabile nell origine. (c) Stabilire se esistono i piani tangenti al grafico di f nei punti (,, f(, )) e (,, f(, )). In caso affermativo scriverne le equazioni. (a) Risulta f(, y) = y R. Quindi Analogamente, risulta f(x, ) = x R e quindi f(, y) f(, ) (, ) = lim =. y y (, ) =. Figura : Grafico della superficie z = y x (b) f è differenziabile nell origine. Infatti, passando a coordinate polari h = ρ cos θ, k = ρ sin θ, f(h, k) f(, ) (, )h (, )k h + k = k h h + k = ρ sin θ ρ cos θ = ρ / sin θ cos θ ρ La quantità sin θ cos θ si mantiene limitata per θ [, π] Quindi si vede che, quando ρ, lim (h,k) (,) f(h, k) f(, ) (, )h (, )k = h + k (c) Il piano tangente a f in (,, f(, )) è il piano z =. Il piano tangente ad f in (,, f(, )) è il piano z = x/ + y /.

2 . Sia assegnata la funzione f(x, y) = xy(4 x y ), (x, y) R. (a) Determinare i punti stazionari di f. (b) Disegnare il settore circolare A chiuso e limitato, contenuto nel primo quadrante, limitato dall asse x, dalla retta y = x e dalla circonferenza centrata in (, ) e di raggio. Trovare quindi il massimo assoluto e il minimo assoluto della funzione f(x, y) su A. (a) La funzione è continua e differenziabile in tutti i punti del suo dominio. I punti stazionari di f risolvono il sistema { fx = y(4 x y ) = f y = x(4 x y ) =. Si trovano i punti P = (, ), P, = (, ±), P,4 = (±, ), P 5,6,7,8 = (±, ±). (b) L insieme A è rappresentato in giallo nella figura. Figura : Linee di livello della superficie f(x, y) = xy(4 x y ). L unico punto stazionario interno ad A è P 5 = (, ). Si deduce direttamente che P 5 è punto di massimo assoluto per f vincolata ad A, infatti f è positiva nei punti interni al quarto di cerchio nel primo quadrante e nulla sul suo bordo. Si deduce che max A f(x, y) = f(, ) = e min f(x, y) =. A I conti (pur corretti) che gli studenti possono evitare sono: il calcolo della matrice Hessiana in P 5 ovvero [ ] 6 6 definita negativa e la ricerca del massimo di f vincolato alla linea y = x, con < x <. Poiché il vincolo è esplicitabile, possiamo ricondurre il problema di ottimizzazione vincolata a un problema di ottimizzazione libera in una variabile per la funzione z = 4 x ( x ). Troviamo z = 8 x( x ). Il punto di massimo vincolato all unico tratto di bordo in cui la funzione assegnata non è nulla è quindi (, dove la funzione f assume il valore, che naturalmente è inferiore al massimo. )

3 . Si consideri il solido S = {(x, y, z) R, x + z 4, y z + }. (a) Calcolare il volume di S. (b) Calcolare il flusso del campo F = x i xy j + ( x)z k uscente dalla frontiera di S. (a) Primo modo. Posto D = {(x, z) R, x + z 4}, il volume è dato da (z + ) dxdz = z dxdz + dxdz = dxdz D D (perché D z dxdz = per motivi di simmetria). Ora, dxdz è uguale al doppio dell area della corona D circolare D. Dunque il volume cercato è uguale a dxdz = π(4 ) = 6π D Secondo modo. Passiamo a coordinate cilindriche rispetto all asse y, ovvero poniamo x = ϱ cos ϑ, z = ϱ sin ϑ, y = t. La regione S si trasforma nella regione S = {(ϱ, ϑ, t), ϱ, ϑ π, t + ϱ sin ϑ}. Indicando con S il volume di S si ha: S = ϱ dϱdϑdt = S = π = 6π [ϱ + ϱ sin ϑ π ] ϱ= ϱ= [ ( ) ] +ϱ sin ϑ ϱ dt dϱ dϑ = dϑ = π D ( + 7 ) sin ϑ dϑ π D [ ] ϱ ( + ϱ sin ϑ) dϱ dϑ Figura : Il solido S. (b) Sono verificate le condizioni del teorema della divergenza. Si ha F = x x + x =. Dunque, indicato con n il versore normale uscente da S e con da l elemento d area, si ha: F n da = F dxdydz = S = π. S S

4 4. Si consideri, al variare del parametro a R, il campo vettoriale F a su R definito da F a (x, y, z) = (x + az) i y j + (z + x) k. (a) Mostrare che esiste un solo valore del parametro a tale che F a sia conservativo, determinare tale valore e calcolare, per tale scelta di a, un potenziale di F a ; (b) calcolare, per ogni valore di a, il lavoro del campo F a lungo la curva γ(t) = (cos t,, sin t), t [, π] (a) Il dominio di definizione di F a è semplicemente connesso e F a è di classe C, dunque F a è conservativo se e solo se F a =. Per verificare per quali valori di a ciò accada, notiamo che (F a) = (F a) = (F a ) = (F a) =, mentre (F a) = a e (F a) =. Si ha dunque che F a = se e solo se a =. Per tale valore di a calcoliamo un potenziale U (necessariamente esso risulterà di classe C ). Dovrà valere x + z =, y =, z + x =. La prima equazione implica che U(x, y, z) = x + xz + φ (y, z), con φ di classe C. La seconda allora implica che φ (y, z) = y + φ (z), con φ di classe C. La terza infine implica che φ (z) = z + c, c R. In conclusione un potenziale è dato, ponendo ad esempio c =, da U(x, y, z) = x + xz y + z. (b) Applichiamo il teorema di Stokes, notando che la circonferenza assegnata è il bordo, ad esempio, del cerchio di raggio R = centrato nell origine e contenuto nel piano y =. Tale superficie ha come versori normali ±j e, dato il verso di percorrenza assegnato al cammino, nell utilizzo del teorema di Stokes va scelto il versore n = j. Notiamo che F a = (a ) j, così che si ha, per ogni a R, F a dx = ( F a ) n ds = (a ) j ( j) ds = ( a) ds = π( a). γ Si noti che in particolare il flusso è nullo quando a =, fatto che poteva essere notato senza calcolo alcuno come conseguenza del punto precedente. N.B. Il lavoro richiesto poteva anche essere calcolato direttamente.

5 Es. Es. Es. Es. 4 Totale Analisi e Geometria Seconda prova in itinere Docente: luglio Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta dev essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non è consentito l uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni.. Sia data la funzione f(x, y) = x 5 y. (a) Stabilire se esistono le derivate parziali di f nell origine, e in caso affermativo calcolarle. (b) Stabilire se f è differenziabile nell origine. (c) Stabilire se esistono i piani tangenti al grafico di f nei punti (,, f(, )) e (,, f(, )). In caso affermativo scriverne le equazioni. (a) Risulta f(, y) = y R. Quindi f(, y) f(, ) (, ) = lim =. y y Analogamente, risulta f(x, ) = x R e quindi (, ) =. Figura : Grafico della superficie z = x 5 y (b) f è differenziabile nell origine: infatti, utilizzando il passaggio in coordinate polari, lim (h,k) (,) f(h, k) f(, ) (, )h (, )k h + k h 5 k = lim (h,k) (,) h + k = lim ρ cos θ 5 ρ sin θ = lim ρ /5 cos θ 5 sin θ =. ρ ρ ρ (c) Il piano tangente a f in (,, f(, )) è il piano z =. Il piano tangente ad f in (,, f(, )) è il piano z = x + y/5 /5.

6 . Sia assegnata la funzione f(x, y) = xy(4 x y ), (x, y) R. (a) Determinare i punti stazionari di f. (b) Disegnare il settore circolare A chiuso e limitato, contenuto nel secondo quadrante, limitato dall asse x, dalla retta y = x e dalla circonferenza centrata in (, ) e di raggio. Trovare quindi il massimo assoluto e il minimo assoluto della funzione f(x, y) su A. (a) La funzione è continua e differenziabile in tutti i punti del suo dominio. I punti stazionari di f risolvono il sistema { fx = y(4 x y ) = f y = x(4 x y ) =. Si trovano i punti P = (, ), P, = (, ±), P,4 = (±, ), P 5,6,7,8 = (±, ±). (b) L insieme A è rappresentato in magenta nella figura. Figura : Linee di livello della superficie f(x, y) = xy(4 x y ). L unico punto stazionario interno ad A è P 6 = (, ). Si deduce direttamente che P 6 è punto di minimo assoluto per f vincolata ad A, infatti f è negativa nei punti interni al quarto di cerchio nel secondo quadrante e nulla sul suo bordo. Si deduce che min A f(x, y) = f(, ) = e max f(x, y) =. A I conti (pur corretti) che gli studenti possono evitare sono: il calcolo della matrice Hessiana in P 6 ovvero [ 6 ] 6 definita positiva e la ricerca del minimo di f vincolato alla linea y = x, con < x <. Poiché il vincoloè esplicitabile, possiamo ricondurre il problema di ottimizzazione vincolata a un problema di ottimizzazione libera in una variabile per la funzione z = 4 x ( x ). Troviamo z = 8 x(x ). Il punto di minimo vincolato all unico tratto di bordo in cui la funzione assegnata non è nulla è quindi (, dove la funzione f assume il valore, che naturalmente è superiore al minimo. )

7 . Si consideri il solido S = {(x, y, z) R, x + z 9, y z + }. (a) Calcolare il volume di S. (b) Calcolare il flusso del campo F = xy i + y j (y )z k uscente dalla frontiera di S. (a) Passiamo a coordinate cilindriche rispetto all asse y, ovvero poniamo x = ϱ cos ϑ, z = ϱ sin ϑ, y = t. La regione S si trasforma nella regione S = {(ϱ, ϑ, t), ϱ, ϑ π, t + ϱ sin ϑ}. Indicando con S il volume di S si ha: S = ϱ dϱdϑdt = S = π = 4π. π [ ϱ + ϱ sin ϑ [ ( ) ] +ϱ sin ϑ ϱ dt dϱ dϑ = ] ϱ= ϱ= dϑ = π ( + 6 ) sin ϑ dϑ π [ ] ϱ ( + ϱ sin ϑ) dϱ dϑ Figura : Il solido S. (b) Sono verificate le condizioni del teorema della divergenza. Si ha F = y + y y + =. Dunque, indicato con n il versore normale uscente da S e con da l elemento d area, si ha: F n da = F dxdydz = S = 7π. S S

8 4. Si consideri, al variare del parametro a R, il campo vettoriale F a su R definito da F a (x, y, z) = (x + y) i + (y + ax) j z k. (a) Mostrare che esiste un solo valore del parametro a tale che F a sia conservativo, determinare tale valore e calcolare, per tale scelta di a, un potenziale di F a ; (b) calcolare, per ogni valore di a, il lavoro del campo F a lungo la curva γ(t) = (cos t, sin t, ), t [, π]. Il dominio di definizione di F a è semplicemente connesso e F a è di classe C, dunque F a è conservativo se e solo se F a =. Per verificare per quali valori di a ciò accada, notiamo che (F a) = (F a) = (F a) = (F a ) =, mentre (F a) = e (F a) = a. Si ha dunque che F a = se e solo se a =. Per tale valore di a calcoliamo un potenziale U (necessariamente esso risulterà di classe C ). Dovrà valere x + y =, y + x =, z =. La prima equazione implica che U(x, y, z) = x + xy + φ (y, z), con φ di classe C. La terza allora implica che φ (y, z) = z + φ (y), con φ di classe C. La seconda infine implica che φ (y) = y + c, c R. In conclusione un potenziale è dato, ponendo ad esempio c =, da U(x, y, z) = x + xy z + y.. Applichiamo il teorema di Stokes, notando che la circonferenza assegnata è il bordo, ad esempio, del cerchio di raggio R = centrato nell origine e contenuto nel piano z =. Tale superficie ha come versori normali ±k e, dato il verso di percorrenza assegnato al cammino, nell utilizzo del teorema di Stokes va scelto il versore n = k. Notiamo che F a = (a ) k, così che si ha, per ogni a R, F a dx = ( F a ) n ds = (a ) k k ds = (a ) ds = π(a ). γ Si noti che in particolare il flusso è nullo quando a =, fatto che poteva essere notato senza calcolo alcuno come conseguenza del punto precedente. N.B. Il lavoro richiesto poteva anche essere calcolato direttamente.

9 Es. Es. Es. Es. 4 Totale Analisi e Geometria Seconda prova in itinere Docente: luglio Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta dev essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non è consentito l uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni.. Sia data la funzione f(x, y) = y 5 x. (a) Stabilire se esistono le derivate parziali di f nell origine, e in caso affermativo calcolarle. (b) Stabilire se f è differenziabile nell origine. (c) Stabilire se esistono i piani tangenti al grafico di f nei punti (,, f(, )) e (,, f(, )). In caso affermativo scriverne le equazioni. (a) Risulta f(, y) = y R. Quindi f(, y) f(, ) (, ) = lim =. y y Analogamente, risulta f(x, ) = x R e quindi (, ) =. Figura : Grafico della superficie z = y 5 x (b) f è differenziabile nell origine: infatti, utilizzando il passaggio in coordinate polari, lim (h,k) (,) f(h, k) f(, ) (, )h (, )k h + k k 5 h = lim (h,k) (,) h + k = lim ρ sin θ 5 ρ cos θ = lim ρ /5 sin θ 5 cos θ =. ρ ρ ρ (c) Il piano tangente a f in (,, f(, )) è il piano z =. Il piano tangente ad f in (,, f(, )) è il piano z = x/5 y /5.

10 . Sia assegnata la funzione f(x, y) = xy(4 x y ), (x, y) R. (a) Determinare i punti stazionari di f. (b) Disegnare il settore circolare A chiuso e limitato, contenuto nel terzo quadrante, limitato dall asse x, dalla retta y = x e dalla circonferenza centrata in (, ) e di raggio. Trovare quindi il massimo assoluto e il minimo assoluto della funzione f(x, y) su A. (a) La funzione è continua e differenziabile in tutti i punti del suo dominio. I punti stazionari di f risolvono il sistema { fx = y(4 x y ) = f y = x(4 x y ) =. Si trovano i punti P = (, ), P, = (, ±), P,4 = (±, ), P 5,6,7,8 = (±, ±). (b) L insieme A è rappresentato in ciano nella figura. Figura : Linee di livello della superficie f(x, y) = xy(4 x y ). L unico punto stazionario interno ad A è P 7 = (, ). Si deduce direttamente che P 7 è punto di massimo assoluto per f vincolata ad A, infatti f è positiva nei punti interni al quarto di cerchio nel terzo quadrante e nulla sul suo bordo. Si deduce che max A f(x, y) = f(, ) = e min f(x, y) =. A I conti (pur corretti) che gli studenti possono evitare sono: il calcolo della matrice Hessiana in P 5 [ ] 6 ovvero 6 definita negativa e la ricerca del massimo di f vincolato alla linea y = x, con < x <. Poiché il vincolo è esplicitabile, possiamo ricondurre il problema di ottimizzazione vincolata a un problema di ottimizzazione libera in una variabile per la funzione z = 4 x ( x ). Troviamo z = 8 x( x ). Il punto di massimo vincolato all unico tratto di bordo in cui la funzione assegnata non è nulla è quindi (, ) dove la funzione f assume il valore, che naturalmente è inferiore al massimo.

11 . Si consideri il solido S = {(x, y, z) R, y + z 4, x z + }. (a) Calcolare il volume di S. (b) Calcolare il flusso del campo F = x(4 z) i yz j + z k uscente dalla frontiera di S. (a) Passiamo a coordinate cilindriche rispetto all asse x, ovvero poniamo y = ϱ cos ϑ, z = ϱ sin ϑ, x = t. La regione S si trasforma nella regione S = {(ϱ, ϑ, t), ϱ, ϑ π, t + ϱ sin ϑ}. Indicando con S il volume di S si ha: S = ϱ dϱdϑdt = S = π = 6π. [ϱ + ϱ sin ϑ π ] ϱ= ϱ= [ ( ) ] +ϱ sin ϑ ϱ dt dϱ dϑ = dϑ = π ( + 7 ) sin ϑ dϑ π [ ] ϱ ( + ϱ sin ϑ) dϱ dϑ Figura : Il solido S. (b) Sono verificate le condizioni del teorema della divergenza. Si ha F = 4 z z + z = 4. Dunque, indicato con n il versore normale uscente da S e con da l elemento d area, si ha: F n da = F dxdydz = 4 S = 4π. S S

12 4. Si consideri, al variare del parametro a R, il campo vettoriale F a su R definito da F a (x, y, z) = x i + (y + z) j + (z + ay) k. (a) Mostrare che esiste un solo valore del parametro a tale che F a sia conservativo, determinare tale valore e calcolare, per tale scelta di a, un potenziale di F a ; (b) calcolare, per ogni valore di a, il lavoro del campo F a lungo la curva γ(t) = (, cos t, sin t), t [, π]. Il dominio di definizione di F a è semplicemente connesso e F a è di classe C, dunque F a è conservativo se e solo se F a =. Per verificare per quali valori di a ciò accada, notiamo che (F a) = (F a) = (F a) = (F a ) =, mentre (F a) = e (F a) = a. Si ha dunque che F a = se e solo se a =. Per tale valore di a calcoliamo un potenziale U (necessariamente esso risulterà di classe C ). Dovrà valere x =, y + z =, z + y =. La prima equazione implica che U(x, y, z) = x + φ (y, z), con φ di classe C. La seconda allora implica che φ (y, z) = y + zy + φ (z), con φ di classe C. La terza infine implica che φ (z) = z + c, c R. In conclusione un potenziale è dato, ponendo ad esempio c =, da U(x, y, z) = x + y + zy + z.. Applichiamo il teorema di Stokes, notando che la circonferenza assegnata è il bordo, ad esempio, del cerchio di raggio R = centrato nell origine e contenuto nel piano x =. Tale superficie ha come versori normali ±i e, dato il verso di percorrenza assegnato al cammino, nell utilizzo del teorema di Stokes va scelto il versore n = i. Notiamo che F a = (a ) i, così che si ha, per ogni a R, F a dx = ( F a ) n ds = (a ) i i ds = (a ) ds = π(a ). γ Si noti che in particolare il flusso è nullo quando a =, fatto che poteva essere notato senza calcolo alcuno come conseguenza del punto precedente. N.B. Il lavoro richiesto poteva anche essere calcolato direttamente.

13 Es. Es. Es. Es. 4 Totale Analisi e Geometria Seconda prova in itinere Docente: luglio Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta dev essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non è consentito l uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni.. Sia data la funzione f(x, y) = x y. (a) Stabilire se esistono le derivate parziali di f nell origine, e in caso affermativo calcolarle. (b) Stabilire se f è differenziabile nell origine. (c) Stabilire se esistono i piani tangenti al grafico di f nei punti (,, f(, )) e (,, f(, )). In caso affermativo scriverne le equazioni. (a) Risulta f(, y) = y R. Quindi f(, y) f(, ) (, ) = lim =. y y Analogamente, risulta f(x, ) = x R e quindi (, ) =. Figura : Grafico della superficie z = x y (b) f è differenziabile nell origine: infatti, utilizzando il passaggio in coordinate polari, lim (h,k) (,) f(h, k) f(, ) (, )h (, )k h + k h k = lim (h,k) (,) h + k = lim ρ cos θ ρ sin θ = lim ρ / cos θ sin θ =. ρ ρ ρ (c) Il piano tangente a f in (,, f(, )) è il piano z =. Il piano tangente ad f in (,, f(, )) è il piano z = x y/ /.

14 . Sia assegnata la funzione f(x, y) = xy(4 x y ), (x, y) R. (a) Determinare i punti stazionari di f. (b) Disegnare il settore circolare A chiuso e limitato, contenuto nel quarto quadrante, limitato dall asse x, dalla retta y = x e dalla circonferenza centrata in (, ) e di raggio. Trovare quindi il massimo assoluto e il minimo assoluto della funzione f(x, y) su A. (a) La funzione è continua e differenziabile in tutti i punti del suo dominio. I punti stazionari di f risolvono il sistema { fx = y(4 x y ) = f y = x(4 x y ) =. Si trovano i punti P = (, ), P, = (, ±), P,4 = (±, ), P 5,6,7,8 = (±, ±). (b) L insieme A è rappresentato in verde nella figura. Figura : Linee di livello della superficie f(x, y) = xy(4 x y ). L unico punto stazionario interno ad A è P 8 = (, ). Si deduce direttamente che P 8 è minimo assoluto per f vincolata ad A, infatti f è negativa nei punti interni al quarto di cerchio nel quarto quadrante e nulla sul suo bordo. Si deduce che min A f(x, y) = f(, ) = e max f(x, y) =. A I conti (pur corretti) che gli studenti possono evitare sono: il calcolo della matrice Hessiana in P 6 ovvero [ 6 ] 6 definita positiva e la ricerca del minimo di f vincolato alla linea y = x, con < x <. Poiché il vincolo è esplicitabile, possiamo ricondurre il problema di ottimizzazione vincolata a un problema di ottimizzazione libera in una variabile per la funzione z = 4 x ( x ). Troviamo z = 8 x(x ). Il punto di minimo vincolato all unico tratto di bordo in cui la funzione assegnata non è nulla è quindi (, ) dove la funzione f assume il valore, che naturalmente è superiore al minimo.

15 . Si consideri il solido S = {(x, y, z) R, y + z 9, x z + }. (a) Calcolare il volume di S. (b) Calcolare il flusso del campo F = x i + y(5 x) j xz k uscente dalla frontiera di S. (a) Passiamo a coordinate cilindriche rispetto all asse x, ovvero poniamo y = ϱ cos ϑ, z = ϱ sin ϑ, x = t. La regione S si trasforma nella regione S = {(ϱ, ϑ, t), ϱ, ϑ π, t + ϱ sin ϑ}. Indicando con S il volume di S si ha: S = ϱ dϱdϑdt = S = π = 4π. π [ ϱ + ϱ sin ϑ [ ( ) ] +ϱ sin ϑ ϱ dt dϱ dϑ = ] ϱ= ϱ= dϑ = π ( + 6 ) sin ϑ dϑ π [ ] ϱ ( + ϱ sin ϑ) dϱ dϑ Figura : Il solido S. (b) Sono verificate le condizioni del teorema della divergenza. Si ha F = x + 5 x x = 5. Dunque, indicato con n il versore normale uscente da S e con da l elemento d area, si ha: F n da = F dxdydz = 5 S = π. S S

16 4. Si consideri, al variare del parametro a R, il campo vettoriale F a su R definito da F a (x, y, z) = x i + (y + az) j + (z + y) k. (a) Mostrare che esiste un solo valore del parametro a tale che F a sia conservativo, determinare tale valore e calcolare, per tale scelta di a, un potenziale di F a ; (b) calcolare, per ogni valore di a, il lavoro del campo F a lungo la curva γ(t) = (, cos t, sin t), t [, π]. Il dominio di definizione di F a è semplicemente connesso e F a è di classe C, dunque F a è conservativo se e solo se F a =. Per verificare per quali valori di a ciò accada, notiamo che (F a) = (F a) = (F a) = (F a ) =, mentre (F a) = a e (F a) =. Si ha dunque che F a = se e solo se a =. Per tale valore di a calcoliamo un potenziale U (necessariamente esso risulterà di classe C ). Dovrà valere x =, y + z =, z + y =. La prima equazione implica che U(x, y, z) = x + φ (y, z), con φ di classe C. La seconda allora implica che φ (y, z) = y + zy + φ (z), con φ di classe C. La terza infine implica che φ (z) = z + c, c R. In conclusione un potenziale è dato, ponendo ad esempio c =, da U(x, y, z) = x + y + zy + z.. Applichiamo il teorema di Stokes, notando che la circonferenza assegnata è il bordo, ad esempio, del cerchio di raggio R = centrato nell origine e contenuto nel piano x =. Tale superficie ha come versori normali ±i e, dato il verso di percorrenza assegnato al cammino, nell utilizzo del teorema di Stokes va scelto il versore n = i. Notiamo che F a = ( a) i, così che si ha, per ogni a R, F a dx = ( F a ) n ds = ( a) i i ds = ( a) ds = π( a). γ Si noti che in particolare il flusso è nullo quando a =, fatto che poteva essere notato senza calcolo alcuno come conseguenza del punto precedente. N.B. Il lavoro richiesto poteva anche essere calcolato direttamente.