Cenni di logica & algebra booleana

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1 Cenni di algebra booleana e dei sistemi di numerazione Dr. Carlo Sansotta Parte Cenni di logica & algebra booleana

2 3 introduzione L elaboratore elettronico funziona secondo una logica a 2 stati: la logica binaria. Questo è giustificato dalla facilità di realizzazione di circuiti elettrici o elettronici aventi due stati di funzionamento, in maniera tale che qualsiasi dato può essere rappresentato mediante successioni di e, che convenzionalmente rappresentano coppie del tipo Vero/Falso oppure On/Off. 4 introduzione Per meglio comprendere il funzionamento e la struttura di un calcolatore, si ritiene opportuno fornire le nozioni fondamentali dell algebra che permette di trattare adeguatamente i segnali binari. Tale algebra prende il nome dal matematico inglese che per primo ne pubblicò i concetti generali: George Boole.

3 5 George Boole George Boole, nel 854, pubblicò un libro, An Investigations of the Laws of Thought (Un esame sulle leggi logiche del pensiero), in cui dimostrava che la maggior parte del pensiero logico, privata di particolari irrilevanti e verbosità, potesse essere concepita come una serie di scelte. Questa idea è divenuta la base dei computer 6 George Boole Piuttosto che con il suo formalismo matematico, in questa presentazione l'algebra di Boole verrà proposta in modo da renderla più simile al linguaggio naturale In tal modo, risulterà più intuitivo comprendere il funzionamento di quei semplici circuiti digitali che costituiscono la base dei computer.

4 7 Qualsiasi processo logico può essere ricondotto ad una sequenza di eventi elementari, che nell'insieme prende il nome di algoritmo. Tale sequenza può essere rappresentata con un diagramma di flusso (Flow chart), il quale a sua volta è facilmente traducibile in un particolare programma comprensibile dall'elaboratore. 8 Per la visualizzazione di un problema con un diagramma di flusso, sono utilizzati vari simboli grafici standard: l ovale indica l inizio e la fine di un programma il rombo indica controlli decisionali il rettangolo indica operazioni da effettuare.

5 9 Prenderemo le mosse per la nostra discussione riferendoci ad un "problema" del tutto comune. Questo approccio, ha il vantaggio di evidenziare come un sistema di elaborazione dati permetta di trattare non solo problemi numerici, ma anche alfanumerici (alfabetico-numerici) e dunque di carattere generale. Immaginiamo, per esempio, di voler tradurre in un diagramma di flusso le seguenti affermazioni: ) esco se è bel tempo ed è caldo 2) esco se è bel tempo o se è caldo ) esco se è bel tempo ed è caldo

6 2) esco se è bel tempo o se è caldo 2 la prima decisione comporta il verificarsi di due condizioni (evidenziate in verde);

7 3 la seconda decisione comporta il verificarsi di almeno una fra due condizioni. 4 È importante rendersi conto che l'elaboratore non "comprende" il significato delle frasi "esco... resto in casa": egli si limita solo a considerare il valore di certe costanti associate ad ogni singolo evento.

8 5 Come secondo passo, si tratta di convertire i diagramma di flusso in un linguaggio numerico, il solo comprensibile dall'elaboratore. Ciò si ottiene con i cosiddetti operatori logici elementari. Per semplicità, limiteremo la nostra discussione ai tre elementi di base. 6 Operatori logici elementari Operazione controllo azione congiunzione separazione negazione Istruzione IF (se) Then (allora) AND ( e ) OR ( oppure ) NOT (negazione) Porta logica AND OR NOT

9 7 istruzioni Con le istruzioni riportate nella tabella, possiamo tradurre i due differenti diagrammi di flusso in sequenze di istruzioni. Per far questo, è necessario aggiungere un nuovo simbolo grafico (un parallelogramma) di inizializzazione ai nostri diagrammi di flusso. 8 istruzioni Inizializziamo, dunque, le nostre costanti, stabilendone il valore che possono/devono assumere: A = corrisponde all'evento "bel tempo" B = corrisponde all'evento "caldo" C = corrisponde all'azione "esco" A = corrisponde all'evento "non bel tempo" B = corrisponde all'evento "non caldo" C = corrisponde all'azione "resto in casa"

10 9 L uso del parallelogramma implica che l'elaboratore si attende che gli vengano forniti i valori di A e B (che possono essere o ) tramite tastiera. Appena inseriti questi valori (per es. A= e B=), l'elaboratore esegue il programma tenendo conto dei valori di inizializzazione (C= "esco"; C= "rimango in casa") A seconda del risultato ottenuto, sullo schermo verrà mostrata una delle due frasi. 2 con queste condizioni, il primo diagramma di flusso risulta così formalizzato: IF A AND B THEN C

11 2 22 IF A AND B THEN C Le istruzioni AND e OR, dette operatori logici, sono prese dall'algebra di Boole e forniscono il risultato o, a seconda del valore delle variabili A e B.

12 23 Ad esempio, se entrambe le variabili A e B valgono, allora l'operatore AND assumerà il valore. In questo caso, il simbolismo, tradotto in parole, corrisponde a: SE bel tempo E caldo ALLORA esco 24 viceversa, se una sola delle due variabili, oppure entrambe valgono, allora l'operatore AND assumerà il valore. In questo caso, il simbolismo, tradotto in parole, corrisponde a: SE non bel tempo E caldo ALLORA resto in casa SE bel tempo E non caldo ALLORA resto in casa SE non bel tempo E non caldo ALLORA resto in casa

13 25 I valori delle variabili A e B sono introdotti da tastiera prima di "raggiungere" l'operatore AND. Così, se entrambe le variabili A e B valgono, quando saranno esaminate dall'operatore AND seguirà necessariamente il risultato C =. 26 Con le stesse modalità, il secondo diagramma di flusso risulta così formalizzato: IF A OR B THEN C in questo caso, se almeno una delle variabili A e B vale, allora l'operatore OR assumerà il valore ; viceversa, se entrambe valgono, allora l'operatore OR assumerà il valore ; dunque, se almeno una delle variabili A e B vale, quando saranno esaminate dall'operatore OR seguirà necessariamente il risultato C =.

14 27 Ora che abbiamo visto come definire un linguaggio numerico (ricordiamo che l'elaboratore non comprende il significato delle frasi che leggiamo) interpretabile dall'elaboratore, vediamo come applicarlo. Per far questo, esaminiamo un semplice "elaboratore" in grado di automatizzare la nostra decisione. La realizzazione di questo - e di tutti gli elaboratori - richiede la costruzione di circuiti detti porte logiche. 28 caso Osservando il circuito elettrico schematizzato, è facile riconoscere che la lampadina si accenderà solo se entrambi gli interruttori A e B verranno abbassati in modo da chiudere il contatto elettrico. Questo circuito, corrisponde ad un operatore logico AND.

15 29 Per riassumere il comportamento di una porta logica, si ricorre alle cosiddette tavole di veridicità (o tabelle della verità). Per la porta AND si osservi che solo quando A= e B= (entrambi gli interruttori abbassati) la lampadina (indicata con C) è accesa e quindi C=. 3 Porta logica AND

16 3 caso 2 In questo secondo caso, è facile riconoscere che la lampadina si accenderà solo se almeno uno degli interruttori A e B verrà abbassato in modo da chiudere il contatto elettrico. Questo circuito, corrisponde all'operatore logico OR 32 Anche in questo caso, per riassumere il comportamento della porta logica, si ricorre alle cosiddette tavole di veridicità (o tabelle della verità). Per la porta OR si osservi che solo quando A= e B= (entrambi gli interruttori alzati), la lampadina (indicata con C) è spenta, altrimenti basta abbassare l uno o l altro degli interruttori per ottenere C=.

17 33 Porta logica OR 34 Oltre alle porte AND e OR, c'è anche la porta NOT; La porta NOT è capace di invertire il segnale in ingresso Banalmente, invertire significa: se vale, diventa e viceversa.

18 35 Porta logica NOT Il circuito corrispondente all operatore NOT comprende due alimentatori con polarità opposta. 36 Porta logica NOT Quando il circuito inferiore è aperto (), la batteria A alimenta il circuito superiore e la lampadina è accesa;

19 37 Porta logica NOT quando il circuito inferiore è chiuso, la seconda batteria fornisce una corrente uguale e opposta che impedisce il passaggio di corrente per cui la lampadina si spegne. 38 Porta logica NOT La tavola di veridicità corrispondente a questo circuito, comprende un solo ingresso. Si osservi che quando l'interruttore è alzato (A=), la lampadina è accesa (C=) e viceversa.

20 39 Porta logica NOT 4 Porte logiche elementari le porte logiche descritte, sono rappresentate simbolicamente con i simboli in figura combinandoli fra loro, si può codificare in linguaggio binario qualsiasi diagramma di flusso

21 4 Porte logiche complesse Per esempio, la frase "se è bel tempo ed è caldo esco; tuttavia, se ho un impegno esco in ogni caso" richiede una porta AND ed una porta OR unite tra loro come in figura. 42 Porte logiche complesse La combinazione di più porte logiche, permette di ottenere risultati più articolati. Per esempio, nella figura è mostrata una porta NOR, costituita dalla combinazione di due porte AND, due porte NOT ed una porta OR.

22 43 Porte logiche complesse Questa porta (NOR) permette di selezionare un valore positivo () se e solo se uno dei due dati in ingresso è positivo (a differenza della porta OR che fornisce un valore positivo anche se entrambi i dati in ingresso sono positivi). 44 & informatica Quello che abbiamo esaminato finora può definirsi un semplice elaboratore dedicato, capace cioè di eseguire un compito particolare: verificare la presenza di due eventi (bel tempo, caldo) o di un evento alternativo (impegno). E' ovvio che un simile elaboratore è troppo semplice per avere qualche utilità.

23 45 & informatica Tuttavia, si può facilmente intuire che gli elementi discussi costituiscono la base per combinare tra loro più porte logiche in modo da ottenere rapidamente, e senza confusione, decisioni immediate. Inoltre, si possono costruire circuiti in grado di effettuare operazioni matematiche. Quanto discusso ci permette di comprendere come opera un elaboratore analogico. 46 & informatica In realtà, un processore elettronico non è costituito da parti mobili, tuttavia la logica di base può essere compresa con alcune semplici considerazioni.

24 47 & informatica I circuiti elettronici digitali sono costituiti da transistor. Un transistor permette di far passare o non far passare elettroni. Il passaggio di elettroni è un segnale elettronico binario ( se passano elettroni, se non passano). La caratteristica che distingue gli interruttori elettronici dai più comuni interruttori elettrici è che essi sono comandati da un segnale elettronico binario e non dall'intervento umano. 48 & informatica Questo significa che è possibile usare il segnale elettronico di un transistor per comandare un altro transistor e così ottenere un nuovo segnale elettronico che, a sua volta, può comandare un altro transistor e così via. L'insieme di questi interruttori elettronici che si comandano a vicenda viene detto circuito elettronico.

25 49 & informatica Vi sono infinite possibilità di costruzione di circuiti elettronici, ma essenzialmente sono tutte riconducibili agli elementi fondamentali qui esaminati. 5 Parte 2 Cenni sui sistemi di numerazione

26 5 Numerazione posizionale Nella numerazione posizionale ogni cifra del numero assume un valore in funzione della posizione: 22 notazione compatta, cioè 2 x + 2 x + x o meglio 2 x x + x con la notazione esplicita 52 Notazione posizionale Ogni numero si esprime come la somma dei prodotti di ciascuna cifra per la base elevata all esponente che rappresenta la posizione della cifra: 22 = 2 x x + x

27 53 Notazione posizionale La notazione posizionale può essere usata con qualunque base creando così differenti sistemi di numerazione. Per ogni base di numerazione si utilizza un numero di cifre uguale alla base. In informatica si utilizzano prevalentemente numerazioni: binaria ottale - esadecimale Il sistema di numerazione romano non è posizionale: Ad esempio: XIII vs. CXII. 54 Numerazione decimale La numerazione decimale utilizza una notazione posizionale basata su cifre (da a 9) e sulle potenze di Il numero 234 può essere rappresentato esplicitamente come: 2 x x + 4 x

28 55 Numerazione binaria Il sistema di numerazione binario utilizza una notazione posizionale basata su 2 cifre ( e ) e sulle potenze di 2 Il numero può essere rappresentato esplicitamente come: 2 = x x x 2 + x 2 = 9 56 Numerazione ottale Il sistema di numerazione ottale utilizza una notazione posizionale basata su 8 cifre (da a 7) e sulle potenze di 8 Il numero 534 può essere rappresentato esplicitamente come: = 5 x x x 8 = 348

29 57 Numerazione esadecimale La numerazione esadecimale utilizza una notazione posizionale basata su 6 cifre (da a 9 più le lettere A, B, C, D, E, F dove, in base, si fa corrispondere A=, B=, C=2, D=3, E=4 e F=5) e sulle potenze di 6 Il numero B7FC 6 può essere rappresentato esplicitamente come: () x x (5) x 6 + (2) x 6 = Conversione X n Y Per convertire un numero da una qualunque base alla base è sufficiente rappresentarlo esplicitamente: 2 = x x x 2 + x 2 = = 7 x x 8 + x 8 = 456 A5 6 = () x x 6 + x 6 = 264

30 59 Conversione Y X n Per convertire un numero ad una base n qualsiasi occorre trovare tutti i resti delle successive divisioni del numero per la base n. Esempio: si trovi il valore binario del numero decimale 2 basterà dividere 2 per la nuova base (2) finchè possibile 6 Conversione Y X n 2 2 resto Leggendo la sequenza dei resti dal basso verso l'alto, si ottiene il numero: 2

31 6 Verifica conversione Per una verifica di correttezza basta riconvertire il risultato alla base : 2 = x x x x x x x 2 + x 2 = 2 62 Costruzione numeri binari Per costruire la successione dei numeri binari si può seguire il seguente schema: = = = = = = 5 = 6 = 7

32 63 Operazioni binarie: regole + = con riporto + = con riporto + = con riporto + = con riporto 64 Sommare numeri binari + + = =

33 65 Moltiplicare numeri binari x x = = 66 esercizi Eseguire le seguenti operazioni direttamente in binario, convertire in decimale e verificare il risultato: x

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