La lezione di oggi. La densità La pressione L equazione di continuità Il teorema di Bernoulli. Stenosi e aneurismi

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2 La lezione di oggi La densità La pressione L equazione di continuità Il teorema di Bernoulli Stenosi e aneurismi

3 ! Densità, pressione! La portata di un condotto! Il teorema di Bernoulli! Applicazioni dell equazione di Bernoulli! Stenosi e aneurisma! Pressione del sangue 3

4 La Densità La densità è definita come ρ = m V! Dimensioni: [ML -3 ]! Unità di misura SI: kg/m 3 Sostanza Aria Polistirolo espanso Olio d oliva Acqua di mare Alluminio Ferro Oro Densità (kg/m 3 ).9 ~

5 La Pressione La pressione è definita come F P = = A forza area! Dimensioni: [MLT - ][L - ]=[ML - T - ]! Unità di misura SI: Pa (pascal) = N/m Esempio: Calcolare la pressione esercitata sulla pelle, quando si preme con una forza di 3 N con un dito (sezione = 0-4 m ) e con un ago ipodermico (sezione = 0-7 m ) P P ago dito = 3 N 4 0 m 3 N = 7 0 m = = Pa Pa 5

6 Attenzione! Area grande = Pressione piccola 6

7 Quale forza devo usare? F F Nel calcolo della pressione, devo sempre usare la componente della forza perpendicolare (normale) alla superficie S 7

8 Il fluido esercita sul corpo una forza uguale in ogni direzione e perpendicolare alla superficie 8

9 Pressione atmosferica E la pressione esercitata dalla colonna di aria (atmosfera) che sta sopra di noi P atm = Pa = 0 kpa =.0 bar = atm N.B. bar 0 5 Pa La pressione atmosferica agisce in modo uguale in tutte le direzioni 9

10 P atmosferica La pressione relativa P interna Pressione interna: pressione assoluta P rel = P - P atm Pressione relativa: differenza tra pressione interna e pressione atmosferica 0

11 Esercizio Qual è la pressione assoluta all interno di un pneumatico gonfiato ad una pressione relativa di atm pass = patm + prel = atm + atm = 3atm = Pa La pressione prescritta dalla casa costruttrice (quella che si legge sulla colonnina) è la pressione relativa

12 ! Densità, pressione! La portata di un condotto! Il teorema di Bernoulli! Applicazioni dell equazione di Bernoulli! Stenosi e aneurisma! Pressione del sangue

13 Fluido perfetto (incomprimibile, non viscoso) Condotto rigido Oggi lavoreremo con: Moto stazionario (vedi) Flusso laminare (vedi) Portata di un condotto Conservazione dell energia meccanica Volume di liquido che attraversa una sezione (A) nell unità di tempo A S Δx = v Δt Q = V = Δt S Δx Δt = S v Δt Δt = S v Unità di misura (S.I.): m 3 /s 3

14 Equazione di continuità In regime di moto stazionario, la portata è la stessa in ogni sezione del condotto S S v v Q = S v = La sezione aumenta, la velocità diminuisce costante La sezione diminuisce, la velocità aumenta Esempio Q = 00 cm 3 s S A = 5 cm v A = 0 cm s S B =.5 cm v B = 80 cm s 4

15 ! Densità, pressione! La portata di un condotto! Il teorema di Bernoulli! Applicazioni dell equazione di Bernoulli! Stenosi e aneurisma 5

16 Il teorema di Bernoulli Liquido perfetto (incomprimibile, non viscoso) Condotto rigido Moto stazionario Flusso laminare Ci sono soltanto la forza gravitazionale e le forze di pressione Il lavoro compiuto dalle forze di pressione vale F Δx - F Δx p A Δx - p A Δx L = = p V - p V = = (p - p) V N.B. V = V = V per l equazione di continuità 6

17 Intermezzo: lavoro e energia meccanica! Per il teorema dell energia cinetica il lavoro fatto dalla risultante delle forze che agiscono su un oggetto vale L TOT =! La risultante delle forze è la somma vettoriale della risultante delle forze conservative (F C )eventualmente presenti e della risultante delle altre forze (F). Il lavoro compiuto dalla risultante delle forze conservative è uguale e opposto alla variazione di energia potenziale (L C =-ΔU). Quindi: L TOT = L + L C = L U = K =) L = (K + U) = E K! Il lavoro compiuto dalle forze F è pari alla variazione dell energia meccanica totale 7

18 Il teorema di Bernoulli ΔE = mg (y - y) + variazione energia potenziale m (v - v ) variazione energia cinetica 8

19 Dopo qualche passaggio... L = ΔE (p - p ) V = mg (h - h ) + m (v - v ) m/v = ρ densità Divido entrambi i membri per V (p - p ) = m V g (h - h ) + m V (v - v ) (p - p ) = ρ g (h - h ) + ρ (v - v ) ρgh + ρ v + p = ρgh + ρ v + p 9

20 Il teorema di Bernoulli Energia potenziale mgh per unità di volume ρgh + ρv + p = Energia cinetica ½mv per unità di volume costante Lavoro delle forze di pressione per unità di volume Divido entrambi i membri per ρg altezza geometrica h + v g + p ρg = altezza cinetica costante altezza piezometrica 0

21 ! Densità, pressione! La portata di un condotto! Il teorema di Bernoulli! Applicazioni dell equazione di Bernoulli! Stenosi e aneurisma! Pressione del sangue

22 Legge di Stevino (effetto del peso del fluido) y ρgh + + ρ v + p = ρgh + ρ v p Il fluido è in quiete h h p ρ = p + g (h - h ) = + ρgh p tot = p atm p + ρgh pressione idrostatica In un fluido in equilibrio, la pressione interna dipende solo dalla profondità h

23 Il barometro P atm = 0 + ρ gh = ρgh Se uso mercurio Patm = ρ g ( kg m Patm = ρ g 5 h mercurio = = ( kg m Se uso acqua Pa 5 h acqua = = Pa ) (9.8 ms Unità di misura della pressione atmosferica: Torr = mmhg ) 0.76 m ) (9.8 ms ) 0 m 3

24 Esercizio Qual è la pressione (assoluta e relativa) esercitata su un nuotatore che nuota 5 m sotto la superficie di un lago? p tot = p + ρgh =.0 0 Pa + (0 kg m ) (9.8 m s ) (5m) atm = Pa =.5 atm Ogni 5 m di profondità in acqua, si è sottoposti a una pressione aggiuntiva di 0.5 atm p assoluta =.5 atm p relativa = 0.5 atm 4

25 Il principio di Archimede Forza verso il basso F = P A = P L Forza verso l alto F = P A = P L P = P + ρgl 3 3 F = (P + ρ gl) L = P L + ρgl = F + ρgl F - F = FArchimede = ρgv Attenzione!!! la densità è quella del fluido! il corpo deve essere totalmente immerso La Forza di Archimede agisce sul centro geometrico del volume immerso! 5

26 Quest uovo è fresco e questo no 6

27 Legge di Torricelli S v h y h è uguale a 0 per costruzione (origine dell asse y) ρ gh + + ρ v + p = ρgh + ρ v p La superficie libera dell acqua è immobile ρ gh = ρ v semplifico ρ La pressione esterna è uguale per i punti (p atmosferica ) Identica alla velocità di un grave che cade da un altezza h v = gh gh = v 7

28 ! Densità, pressione! La portata di un condotto! Il teorema di Bernoulli! Applicazioni dell equazione di Bernoulli! Stenosi e aneurisma! Pressione del sangue 8

29 Applicazione dell equazione di Bernoulli La stenosi S S v v h = h Q = costante S v = S v Applicando il teorema di Bernoulli (h = h ): S < S v > v p + + ρ v = p ρ v v > v p < p la stenosi tende a peggiorare 9

30 L aneurisma S S v v Q = costante S v = S v S > S v < v Applicando il teorema di Bernoulli (h = h ): p + + ρ v = p ρ v v < v p > p L aneurisma tende a peggiorare 30

31 ! Densità, pressione! La portata di un condotto! Il teorema di Bernoulli! Applicazioni dell equazione di Bernoulli! Stenosi e aneurisma! Pressione del sangue 3

32 Effetti della pressione idrostatica y Misuro la pressione in 3 grandi arterie (testa, cuore, piedi) Faccio l approssimazione che la sezione delle 3 arterie sia ~ uguale h testa ρ gh + ρv + p = costante h cuore v = v = cuore h piedi = 0 testa v piedi p p piedi testa - p p cuore cuore = ρgh = ρgh cuore cuore - ρ gh testa 3

33 Effetti della pressione idrostatica y h testa =.7 m h cuore =.3 m p piedi - p cuore = (0 kg m ) (9.8 m s ) (.3 m) = h testa Pa = 0mm Hg h cuore p testa - p cuore = (0 kg m ) (9.8 m s ) (.3 m -.7 m) = = Pa = - 3 mm Hg 33

34 Applicazione dell equazione di Bernoulli Misura della pressione arteriosa y ρ& ' ps + ρ g h = patmosferic a + ρ g h p p = s atmosferica ρ g h - ρ g h ' ps patmosferica = ρ g (h - h ' ) ρ soluzione salina ~ ρ fluido manometrico Quando misuro P venose, che sono piccole, uso un fluido manometrico con ρ bassa 34 (ad es. acqua, o soluzione salina) per avere una grande h

35 Applicazione dell equazione di Bernoulli Misura della pressione arteriosa y Nota bene La misura della pressione del sangue nelle arterie è sempre riferita alla P atm 0 mmhg (0+760) mmhg 35

36 Applicazione dell equazione di Bernoulli La fleboclisi y h pcannula = patmosferic a + ρ g h 36

37 Applicazione dell equazione di Bernoulli La fleboclisi h = 0.5 m P cannula = Pa + ( kgm 3 ) (9.80 m s - ) (0.500 m) = = Pa 5 3 Pcannula Patmosferica = ( ) 0 = Pa = 8.05 Torr Il flacone deve essere posto ad una altezza h sufficiente per avere P cannula P atmosferica > P vena 37

38 Misura della pressione arteriosa con lo sfigmomanometro Comprimo l arteria per ottenere p > p sistolica La circolazione è momentaneamente bloccata 38

39 Misura della pressione arteriosa con lo sfigmomanometro Diminuisco lentamente la pressione 39

40 Misura della pressione arteriosa con lo sfigmomanometro p s = pressione sistolica p d = pressione diastolica p > p s silenzio p s > p > p d rumore pulsato p < p d rumore continuo Nota. Quando p s > p > p d : il rumore è pulsato perchè il sangue fluisce quando la pressione del sangue è maggiore della pressione esercitata dalla fascia il flusso è turbolento e quindi il rumore è diverso da quando ho p < p d 40

41 Riassumendo Per i liquidi ideali la conservazione dell energia meccanica porta al teorema di Bernoulli molto utile per risolvere i problemi più disparati Prossima lezione: i liquidi reali 4