Laboratorio Complementi di Ricerca Operativa DEI, Politecnico di Milano. Stima di parametri
|
|
- Antonina Marconi
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Stima di parametri Il gestore di un sito turistico dove si pratica il bungee-jumping deve fornire alla sovrintendenza municipale un documento che riguarda la sicurezza del servizio fornito. Il documento chiede in particolare che siano stimate la costante di rigidità della corda (approssimata in questo caso a una molla) e il coefficiente di frizione dell aria durante la caduta (si assume che non ci sia vento). Il gestore dispone di un campionamento di 10 osservazioni (prese in vari istanti temporali) che riguardano posizione verticale, velocità e accelerazione di un corpo da 75kg in caduta, come da tavola seguente. Campione Posizione Velocità Accelerazione Si formuli un modello di programmazione matematica senza vincoli per risolvere il problema, e si risolva l istanza considerata per mezzo di Matlab. Documento preparato da Leo Liberti 1
2 Soluzione Le forze agenti sul corpo in caduta sono: la gravità F 1 (t) = mg (dove m è la massa del corpo e g è l accelerazione di gravità), la tensione della corda elastica (si assume l utilizzo della forza di Hooke con coefficiente k) F 2 (t) = kx(t) e l attrito dell aria con coefficiente f, che dipende dal quadrato della velocità: F 3 (t) = fv(t) 2, dove x(t) e v(t) sono la posizione verticale (si assume che la direzione positiva sia verso il basso) e la velocità del corpo al tempo t. L equazione di moto del corpo è: F (t) = 3 F i (t) = ma(t), dove a(t) è l accelerazione del corpo al tempo t. Di qui si ottiene ẍ = g k m x f mẋ2, dove ẋ = v e ẍ = a. Le costanti g, k, f sono tutte non negative. Il problema chiede di usare le osservazioni campionate per effettuare una stima di k e f. Riscriviamo l equazione di moto usando i simboli (x, v, a); otteniamo a + k m x + f m v2 g = 0. (1) In altre parole, le triple (x i, v i, a i ) campionate (per i n, con n = 10) devono obbedire approssimativamente al modello lineare (1). Avremo dunque, per ogni i n, a i + k m xi + f m (vi ) 2 g = ɛ i, dove ɛ i è un errore sperimentale. L errore accumulato su tutti i campionamenti è dato da ɛ = n ɛ i 2. Il problema da risolvere è quello di minimizzare l errore accumulato come funzione dei parametri da stimare k, f: min k,f n a i + k m xi + f m (vi ) 2 g 2. (2) Dato che la funzione norma è convessa (si veda il Riquadro 1), che il quadrato di una funzione non-negativa convessa è convesso (si veda il Riquadro 2) e che la somma di funzioni convesse è convessa (si veda il Riquadro 3), il problema (2) è un problema nonlineare convesso. Dato infine che in un problema convesso ogni ottimo locale è anche un ottimo globale (si veda il Riquadro 4), il problema può essere risolto mediante un algoritmo di ottimizzazione locale come per esempio il metodo di Newton (si veda il Riquadro 5). Dato che per ogni i n si ha che a i + k m xi + f m (vi ) 2 g 2 = = (a i g) 2 + 2xi m (ai g)k + 2(vi ) 2 m (ai g)f + (x i /m) 2 k 2 + ( 2xi (v i ) 2 m 2 )kf + ((v i ) 2 /m) 2 f 2, Documento preparato da Leo Liberti 2
3 Riquadro 1. Una funzione f : S R n R si dice convessa su S se per ogni x, y S e per ogni λ [0, 1] si ha: f(λx + (1 λ)y) λf(x) + (1 λ)f(y). (3) Geometricamente, questo significa che il segmento tra (x, f(x)) e (y, f(y)) si trova sopra il valore di f valutato per ogni punto del segmento. Consideriamo ora f(x) = x, dove è una norma (non si assume necessariamente la norma Euclidea). Si ha λx + (1 λ)y λx + (1 λ)y per la disuguaglianza triangolare; dato che la norma è lineare rispetto alla moltiplicazione scalare, si ha anche che prova la convessità della norma. λx + (1 λ)y λ x + (1 λ) y, Figura 1: Convessità della norma. Riquadro 2. Sia f : S R n R + una funzione convessa su S a valori non-negativi; si ha dunque che per x, y S e λ [0, 1], f(λx+(1 λ)y) λf(x)+(1 λ)f(y). Sia ora g : R R data da g(x) = x 2 (si dimostri, come esercizio, che g è convessa su R). Si consideri la funzione h data dalla composizione di g e f: dimostriamo che h = g f è una funzione convessa. Siano x, y S e λ [0, 1]. Per la convessità di f, si ha f(λx + (1 λ)y) λf(x) + (1 λ)f(y). Dato che f ha valori non-negativi, g è non decrescente (il quadrato di quantità positive è una funzione strettamente crescente), quindi mantiene la direzione delle disuguaglianze. In particolare, g(f(λx + (1 λ)y)) g(λf(x) + (1 λ)f(y)). Ora, dato che g è convessa, si ha g(λf(x) + (1 λ)f(y)) λg(f(x)) + (1 λ)g(f(y)). Dalle due disuguaglianze si desume che h(λx + (1 λ)y) λh(x) + (1 λ)h(y), che implica che h è convessa. Si noti che questa dimostrazione vale per ogni coppia di funzioni convesse f, g con g non descrescente e tali che la composizione g f possa essere definita. Figura 2: Il quadrato di una funzione convessa è convesso. la funzione obiettivo di (2) può essere scritta come F (k, f) = c 1 +c 2 k +c 3 f +c 4 k 2 +c 5 kf + c 6 f 2, dove c 1 = n (a i g) 2, c 2 = n c 4 = n (x i /m) 2, c 5 = n 2x i (a i g) m, c 3 = n 2x i (v i ) 2 2(v i ) 2 (a i g) m,, c m 2 6 = n (v i ) 4 /m 2. Dunque il problema min F (k, f) è un problema di minimizzazione della forma quadratica convessa in due variabili raffigurata in Fig. 7. Verifichiamo ora che il metodo di Newton può essere utilizzato per la soluzione del Documento preparato da Leo Liberti 3
4 Riquadro 3. Siano f, g : S R n R due funzioni convesse su S, e siano x, y S e λ [0, 1]. Si ha allora che f(λx + (1 λ)y) λf(x) + (1 λ)f(y) g(λx + (1 λ)y) λg(x) + (1 λ)g(y) da cui f(λx + (1 λ)y) + g(λx + (1 λ)y) λf(x) + (1 λ)f(y) + λg(x) + (1 λ)g(y), e quindi (f + g)(λx + (1 λ)y) λ(f + g)(x) + (1 λ)(f + g)(y), che dimostra la convessità di f + g. Figura 3: La somma di funzioni convesse è convessa. Riquadro 4. Sia f : S R n R una funzione convessa su S. Dimostriamo che se x S è un minimo locale, allora è anche un minimo globale. Il fatto che x sia un minimo locale di f rispetto a S implica che esiste una sfera B(x, ε) S (con centro in x e raggio ε > 0) tale che x B(x, ε (f(x ) f(x)). Si consideri ora un qualsiasi punto x S tale che x x. È facile verificare che possiamo scegliere un punto x x sul segmento tra x e x tale che x B(x, ε); cioè che esiste λ (0, 1] tale che x = λx + (1 λ)x. Per la convessità di f si ottiene f( x) λf(x ) + (1 λ)f(x), che può essere scritto come f(x) f( x) λf(x ). 1 λ Dato che x B(x, ε), per la minimalità locale di x, si ha f( x) f(x ), e quindi f(x) f(x ) λf(x ) 1 λ = f(x ). Abbiamo quindi mostrato che per ogni x x in S si ha f(x ) f(x), che prova che x è un minimo globale. Figura 4: Ogni ottimo locale di un problema convesso è anche globale. ( ) problema. L Hessiana è H = 2 2c4 c F = 5. Si ottengono facilmente i valori c 5 2c 6 numerici per c = (c 1,..., c 6 ) e per gli autovalori λ 1, λ 2 di H: c = (881.74, , , , , 0.221) λ 1 = λ 2 = , da cui si desume che l Hessiana è definita positiva (quindi il metodo di Newton converge per quanto detto nel Riquadro 5). Inoltre, dato che la funzione obiettivo è quadratica, è sufficiente effettuare una sola iterazione del metodo di Newton (Riquadro 6). Documento preparato da Leo Liberti 4
5 Riquadro 5. In generale, i metodi di programmazione nonlineare per problemi senza vincoli nella forma min x f(x) sono dei metodi iterativi in cui viene mantenuta una soluzione x all iterazione corrente, e la soluzione x all iterazione successiva viene definita come x = x γd f(x), (4) dove D è una matrice definita positiva. In questo modo, si ha che la retta tra x e x ha direzione d = D f(x). Dato che D è definita positiva, per ogni vettore v si ha v Dv > 0, e quindi ( f(x)) D f(x) > 0, da cui ( f(x)) d < 0, e quindi d è una direzione di diminuzione per il valore della funzione obiettivo. Il metodo così definito converge a un ottimo locale. L ordine di convergenza dipende dalla scelta della matrice D. Nel metodo di Newton si utilizza D = ( 2 f(x)) 1, ovvero l inversa dell Hessiana della funzione obiettivo. Se f è due volte differenziabile e convessa su S, si può dimostrare che l Hessiana è semidefinita positiva per ogni punto in S, ma non definita positiva; perciò il metodo di Newton potrebbe anche non convergere. Vedremo però che nel caso del problema (2) l Hessiana è definita positiva, e quindi il metodo di Newton converge. Figura 5: Metodo di Newton per problemi senza vincoli. Riquadro 6. Si dimostra inoltre che il metodo di Newton, con γ = 1, applicato a una funzione quadratica convessa, converge in una iterazione. Si consideri l espansione di Taylor al secondo ordine ˆf(x+d) = f(x)+ f(x) d+ 1 2 d ( 2 f(x)) 1 d di f a x. Se f è quadratica convessa, si ha che f(x + d) = ˆf(x + d). Le condizioni di ottimalità per f(x + d) sono f(x + d) = 0, che significa f(x) + 2 f(x)d = 0. Ne segue che d = ( 2 f(x)) 1 f(x); dunque d è tale che f ha un minimo a x + d. Dato che alla prima iterazione del metodo di Newton si ha l aggiornamento x x + d, la tesi è dimostrata. Figura 6: Convergenza del metodo di Newton per funzioni quadratiche convesse. A questo punto possiamo scrivere il codice Matlab. objfun.m: calcola il valore della funzione obiettivo in un punto x = (k, f). % objfun.m function F = objfun(x, c) c1 = c(1); cprime = [c(2) c(3)]; H = [2*c(4), c(5) ; c(5), 2*c(6)]; F = c1 + cprime*x * x *H*x; %end function gradobjfun.m: calcola il gradiente della funzione obiettivo in un punto x = (k, f). Documento preparato da Leo Liberti 5
6 f k Figura 7: La funzione obiettivo. % gradobjfun.m function gof = gradobjfun(x, c) gf1 = c(2) + 2*c(4)*x(1) + c(5)*x(2); gf2 = c(3) + c(5)*x(1) + 2*c(4)*x(2); gof = [gf1; gf2]; %end function newton.m: risolve il problema. % newton.m function [xstar, fstar, k] = newton(x) OPTIONS = [ ]; maxiterations = 1; c = [ ]; cprime = [c(2), c(3)]; H = [ 2*c(4), c(5) ; c(5), 2*c(6) ]; Hinv = H^(-1); termination = 0; counter = 1; while termination == 0 gradf = gradobjfun(x, c); d = -Hinv*gradF; if (counter > maxiterations) termination = 1; xstar = x; fstar = objfun(x, c); k = counter; else lambda = 1; x = x + lambda*d; counter = counter + 1; end end %end function Documento preparato da Leo Liberti 6
7 Scegliamo arbitrariamente il punto di partenza x = (0, 0); lanciamo il codice con il comando: [xstar, fstar, k] = newton([0;0]) Si ottiene xstar = fstar = k = 2 Quindi l ottimo 1 è x = (k, f ) = ( , ). Il valore della funzione obiettivo è negativo per via di errori numerici nei calcoli in floating point. 1 I dati sono stati ottenuti mediante una simulazione con k = e f = 22.5, dunque l errore è dell ordine di grandezza di Documento preparato da Leo Liberti 7
Basi di matematica per il corso di micro
Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione
DettagliCapitolo 4: Ottimizzazione non lineare non vincolata parte II. E. Amaldi DEIB, Politecnico di Milano
Capitolo 4: Ottimizzazione non lineare non vincolata parte II E. Amaldi DEIB, Politecnico di Milano 4.3 Algoritmi iterativi e convergenza Programma non lineare (PNL): min f(x) s.v. g i (x) 0 1 i m x S
DettagliAppunti delle esercitazioni di Ricerca Operativa
Appunti delle esercitazioni di Ricerca Operativa a cura di P. Detti e G. Ciaschetti 1 Esercizi sulle condizioni di ottimalità per problemi di ottimizzazione non vincolata Esempio 1 Sia data la funzione
DettagliEnergia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo
Energia e Lavoro Finora abbiamo descritto il moto dei corpi (puntiformi) usando le leggi di Newton, tramite le forze; abbiamo scritto l equazione del moto, determinato spostamento e velocità in funzione
DettagliRichiami di algebra lineare e geometria di R n
Richiami di algebra lineare e geometria di R n combinazione lineare, conica e convessa spazi lineari insiemi convessi, funzioni convesse rif. BT.5 Combinazione lineare, conica, affine, convessa Un vettore
Dettagli2. Leggi finanziarie di capitalizzazione
2. Leggi finanziarie di capitalizzazione Si chiama legge finanziaria di capitalizzazione una funzione atta a definire il montante M(t accumulato al tempo generico t da un capitale C: M(t = F(C, t C t M
DettagliOttimizazione vincolata
Ottimizazione vincolata Ricordiamo alcuni risultati provati nella scheda sulla Teoria di Dini per una funzione F : R N+M R M di classe C 1 con (x 0, y 0 ) F 1 (a), a = (a 1,, a M ), punto in cui vale l
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI
FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione
DettagliForze, leggi della dinamica, diagramma del. 28 febbraio 2009 (PIACENTINO - PREITE) Fisica per Scienze Motorie
Forze, leggi della dinamica, diagramma del corpo libero 1 FORZE Grandezza fisica definibile come l' agente in grado di modificare lo stato di quiete o di moto di un corpo. Ci troviamo di fronte ad una
DettagliSe x* e punto di minimo (locale) per la funzione nell insieme Ω, Ω = { x / g i (x) 0 i I, h j (x)= 0 j J } lo e anche per F(x) = f o (x) + c x x 2
NLP -OPT 1 CONDIZION DI OTTIMO [ Come ricavare le condizioni di ottimo. ] Si suppone x* sia punto di ottimo (minimo) per il problema min f o (x) con vincoli g i (x) 0 i I h j (x) = 0 j J la condizione
DettagliFUNZIONI CONVESSE. + e x 0
FUNZIONI CONVESSE Sia I un intervallo aperto di R (limitato o illimitato) e sia f(x) una funzione definita in I. Dato x 0 I, la retta r passante per il punto P 0 (x 0, f(x 0 )) di equazione y = f(x 0 )
Dettagliminimize f(x 1,x 2 ) = 1 2 x2 1 + a 2 x2 2
3.1 Ottimizzazione lungo direzioni coniugate. Risolvere il seguente problema: minimize f(x 1,x 2 ) = 12x 2 + 4x 2 1 + 4x 2 2 4x 1 x 2 manualmente, utilizzando il metodo delle direzioni coniugate: determinare
Dettagli. Si determina quindi quale distanza viene percorsa lungo l asse y in questo intervallo di tempo: h = v 0y ( d
Esercizio 1 Un automobile viaggia a velocità v 0 su una strada inclinata di un angolo θ rispetto alla superficie terrestre, e deve superare un burrone largo d (si veda la figura, in cui è indicato anche
DettagliAppunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti.
Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Def. Si dice equazione differenziale lineare del secondo ordine
DettagliIntroduzione al MATLAB c Parte 2
Introduzione al MATLAB c Parte 2 Lucia Gastaldi Dipartimento di Matematica, http://dm.ing.unibs.it/gastaldi/ 18 gennaio 2008 Outline 1 M-file di tipo Script e Function Script Function 2 Costrutti di programmazione
DettagliENERGIA. Energia e Lavoro Potenza Energia cinetica Energia potenziale Principio di conservazione dell energia meccanica
1 ENERGIA Energia e Lavoro Potenza Energia cinetica Energia potenziale Principio di conservazione dell energia meccanica 2 Energia L energia è ciò che ci permette all uomo di compiere uno sforzo o meglio
DettagliSelezione di un portafoglio di titoli in presenza di rischio. Testo
Selezione di un portafoglio di titoli in presenza di rischio Testo E ormai pratica comune per gli operatori finanziari usare modelli e metodi basati sulla programmazione non lineare come guida nella gestione
DettagliModulo di Meccanica e Termodinamica
Modulo di Meccanica e Termodinamica 1) Misure e unita di misura 2) Cinematica: + Moto Rettilineo + Moto Uniformemente Accelerato [+ Vettori e Calcolo Vettoriale] + Moti Relativi 3) Dinamica: + Forza e
DettagliFunzioni. Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi:
Funzioni Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi: da un rilevamento empirico da una formula (legge) ESEMPI: 1. la temperatura
DettagliLezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale
Corso di Scienza Economica (Economia Politica) prof. G. Di Bartolomeo Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Facoltà di Scienze della Comunicazione Università di Teramo Scelta
DettagliAnalisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola
Analisi 2 Argomenti Successioni di funzioni Definizione Convergenza puntuale Proprietà della convergenza puntuale Convergenza uniforme Continuità e limitatezza Teorema della continuità del limite Teorema
Dettagli1 Serie di Taylor di una funzione
Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 7 SERIE E POLINOMI DI TAYLOR Serie di Taylor di una funzione. Definizione di serie di Taylor Sia f(x) una funzione definita
DettagliVC-dimension: Esempio
VC-dimension: Esempio Quale è la VC-dimension di. y b = 0 f() = 1 f() = 1 iperpiano 20? VC-dimension: Esempio Quale è la VC-dimension di? banale. Vediamo cosa succede con 2 punti: 21 VC-dimension: Esempio
DettagliMatematica generale CTF
Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione
DettagliCONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)
CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare
DettagliFunzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata
libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di
Dettagli2 Argomenti introduttivi e generali
1 Note Oltre agli esercizi di questa lista si consiglia di svolgere quelli segnalati o assegnati sul registro e genericamente quelli presentati dal libro come esercizio o come esempio sugli argomenti svolti
DettagliNote a cura di M. Martellini e M. Zeni
Università dell Insubria Corso di laurea Scienze Ambientali FISICA GENERALE Lezione 6 Energia e Lavoro Note a cura di M. Martellini e M. Zeni Queste note sono state in parte preparate con immagini tratte
DettagliLa Minimizzazione dei costi
La Minimizzazione dei costi Il nostro obiettivo è lo studio del comportamento di un impresa che massimizza il profitto sia in mercati concorrenziali che non concorrenziali. Ora vedremo la fase della minimizzazione
DettagliProblema del trasporto
p. 1/1 Problema del trasporto Supponiamo di avere m depositi in cui è immagazzinato un prodotto e n negozi che richiedono tale prodotto. Nel deposito i è immagazzinata la quantità a i di prodotto. Nel
DettagliEsempio. Approssimazione con il criterio dei minimi quadrati. Esempio. Esempio. Risultati sperimentali. Interpolazione con spline cubica.
Esempio Risultati sperimentali Approssimazione con il criterio dei minimi quadrati Esempio Interpolazione con spline cubica. Esempio 1 Come procedere? La natura del fenomeno suggerisce che una buona approssimazione
Dettaglibensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo
Momento di una forza Nella figura 1 è illustrato come forze uguali e contrarie possono non produrre equilibrio, bensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo esteso.
DettagliIndice. 1 Introduzione alle Equazioni Differenziali 1 1.1 Esempio introduttivo... 1 1.2 Nomenclatura e Teoremi di Esistenza ed Unicità...
Indice 1 Introduzione alle Equazioni Differenziali 1 1.1 Esempio introduttivo............................. 1 1.2 Nomenclatura e Teoremi di Esistenza ed Unicità.............. 5 i Capitolo 1 Introduzione
DettagliPer lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme
1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R
DettagliModelli di Ottimizzazione
Capitolo 2 Modelli di Ottimizzazione 2.1 Introduzione In questo capitolo ci occuperemo più nel dettaglio di quei particolari modelli matematici noti come Modelli di Ottimizzazione che rivestono un ruolo
Dettaglie-dva - eni-depth Velocity Analysis
Lo scopo dell Analisi di Velocità di Migrazione (MVA) è quello di ottenere un modello della velocità nel sottosuolo che abbia dei tempi di riflessione compatibili con quelli osservati nei dati. Ciò significa
DettagliLA FORZA. Il movimento: dal come al perché
LA FORZA Concetto di forza Principi della Dinamica: 1) Principio d inerzia 2) F=ma 3) Principio di azione e reazione Forza gravitazionale e forza peso Accelerazione di gravità Massa, peso, densità pag.1
DettagliPROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA
Simulazione 01/15 ANNO SCOLASTICO 01/15 PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA DELL ESAME DI STATO PER IL LICEO SCIENTIFICO Il candidato risolva uno dei due problemi Problema 1 Nella
DettagliSono casi particolari di MCF : SPT (cammini minimi) non vi sono vincoli di capacità superiore (solo x ij > 0) (i, j) A : c ij, costo di percorrenza
Il problema di flusso di costo minimo (MCF) Dati : grafo orientato G = ( N, A ) i N, deficit del nodo i : b i (i, j) A u ij, capacità superiore (max quantità di flusso che può transitare) c ij, costo di
DettagliDimensione di uno Spazio vettoriale
Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6
EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)
DettagliFunzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : = y
Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : ' = y y' = Consideriamo il punto P(,5) se eseguiamo tra trasformazione
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004
ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Sia la curva d equazione: ke ove k e
DettagliCapitolo 1 ANALISI COMPLESSA
Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA 1 1.4 Serie in campo complesso 1.4.1 Serie di potenze Una serie di potenze è una serie del tipo a k (z z 0 ) k. Per le serie di potenze in campo complesso valgono teoremi analoghi
DettagliINTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.
INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati
DettagliEQUAZIONI non LINEARI
EQUAZIONI non LINEARI Francesca Pelosi Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE http://www.mat.uniroma2.it/ pelosi/ EQUAZIONI non LINEARI p.1/44 EQUAZIONI
DettagliMoto circolare uniforme
Moto circolare uniforme 01 - Moto circolare uniforme. Il moto di un corpo che avviene su una traiettoria circolare (una circonferenza) con velocità (in modulo, intensità) costante si dice moto circolare
DettagliVerifica sperimentale del principio di conservazione dell'energia meccanica totale
Scopo: Verifica sperimentale del principio di conservazione dell'energia meccanica totale Materiale: treppiede con morsa asta millimetrata treppiede senza morsa con due masse da 5 kg pallina carta carbone
DettagliGIROSCOPIO. Scopo dell esperienza: Teoria fisica. Verificare la relazione: ω p = bmg/iω
GIROSCOPIO Scopo dell esperienza: Verificare la relazione: ω p = bmg/iω dove ω p è la velocità angolare di precessione, ω è la velocità angolare di rotazione, I il momento principale d inerzia assiale,
Dettagli28360 - FISICA MATEMATICA 1 A.A. 2014/15 Problemi dal libro di testo: D. Giancoli, Fisica, 2a ed., CEA Capitolo 6
28360 - FISICA MATEMATICA 1 A.A. 2014/15 Problemi dal libro di testo: D. Giancoli, Fisica, 2a ed., CEA Capitolo 6 Lavoro, forza costante: W = F r Problema 1 Quanto lavoro viene compiuto dalla forza di
DettagliLimiti e continuità di funzioni reali di una variabile
di funzioni reali di una variabile Corso di Analisi Matematica - capitolo VI Facoltà di Economia, UER Maria Caterina Bramati Université Libre de Bruxelles ECARES 22 Novembre 2006 Intuizione di ite di funzione
DettagliA i è un aperto in E. i=1
Proposizione 1. A è aperto se e solo se A c è chiuso. Dimostrazione. = : se x o A c, allora x o A = A o e quindi esiste r > 0 tale che B(x o, r) A; allora x o non può essere di accumulazione per A c. Dunque
DettagliIniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:
Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione
DettagliLa Programmazione Lineare
4 La Programmazione Lineare 4.1 INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DI UN PROBLEMA DI PROGRAMMAZIONE LINEARE Esercizio 4.1.1 Fornire una rappresentazione geometrica e risolvere graficamente i seguenti problemi
DettagliEsercitazioni di Calcolo Numerico 23-30/03/2009, Laboratorio 2
Esercitazioni di Calcolo Numerico 23-30/03/2009, Laboratorio 2 [1] Metodo di Bisezione gli estremi a e b di un intervallo reale trovi uno zero della funzione f(x) nell intervallo [a, b] usando il metodo
DettagliMassimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili
Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili I risultati principali della teoria dell ottimizzazione, il Teorema di Fermat in due variabili e il Test dell hessiana, si applicano esclusivamente
Dettagli9. Urti e conservazione della quantità di moto.
9. Urti e conservazione della quantità di moto. 1 Conservazione dell impulso m1 v1 v2 m2 Prima Consideriamo due punti materiali di massa m 1 e m 2 che si muovono in una dimensione. Supponiamo che i due
DettagliRicerca Operativa Esercizi sul metodo del simplesso. Luigi De Giovanni, Laura Brentegani
Ricerca Operativa Esercizi sul metodo del simplesso Luigi De Giovanni, Laura Brentegani 1 1) Risolvere il seguente problema di programmazione lineare. ma + + 3 s.t. 2 + + 2 + 2 + 3 5 2 + 2 + 6,, 0 Soluzione.
DettagliOttimizzazione Multi Obiettivo
Ottimizzazione Multi Obiettivo 1 Ottimizzazione Multi Obiettivo I problemi affrontati fino ad ora erano caratterizzati da una unica (e ben definita) funzione obiettivo. I problemi di ottimizzazione reali
DettagliMETODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI
METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI LUCIA GASTALDI 1. Metodi iterativi classici Sia A R n n una matrice non singolare e sia b R n. Consideriamo il sistema (1) Ax = b. Un metodo iterativo per la soluzione
Dettagli1. Sia dato un poliedro. Dire quali delle seguenti affermazioni sono corrette.
. Sia dato un poliedro. (a) Un vettore x R n è un vertice di P se soddisfa alla seguenti condizioni: x P e comunque presi due punti distinti x, x 2 P tali che x x e x x 2 si ha x = ( β)x + βx 2 con β [0,
DettagliCAPITOLO 3 FONDAMENTI DI ANALISI DELLA STABILITA' DI SISTEMI NON LINEARI
31 CAPITOLO 3 FONDAMENTI DI ANALISI DELLA STABILITA' DI SISTEMI NON LINEARI INTRODUZIONE L'obbiettivo di questo capitolo è quello di presentare in modo sintetico ma completo, la teoria della stabilità
DettagliLE FUNZIONI A DUE VARIABILI
Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre
Dettagli2 + (σ2 - ρσ 1 ) 2 > 0 [da -1 ρ 1] b = (σ 2. 2 - ρσ1 σ 2 ) = (σ 1
1 PORTAFOGLIO Portafoglio Markowitz (2 titoli) (rischiosi) due titoli rendimento/varianza ( μ 1, σ 1 ), ( μ 2, σ 2 ) Si suppone μ 1 > μ 2, σ 1 > σ 2 portafoglio con pesi w 1, w 2 w 1 = w, w 2 = 1- w 1
Dettaglirisulta (x) = 1 se x < 0.
Questo file si pone come obiettivo quello di mostrarvi come lo studio di una funzione reale di una variabile reale, nella cui espressione compare un qualche valore assoluto, possa essere svolto senza necessariamente
DettagliEquazioni non lineari
Equazioni non lineari Data una funzione f : [a, b] R si cerca α [a, b] tale che f (α) = 0. I metodi numerici per la risoluzione di questo problema sono metodi iterativi. Teorema Data una funzione continua
DettagliNome..Cognome.. Classe 4G 4 dicembre 2008. VERIFICA DI FISICA: lavoro ed energia
Nome..Cognome.. Classe 4G 4 dicembre 8 VERIFIC DI FISIC: lavoro ed energia Domande ) Energia cinetica: (punti:.5) a) fornisci la definizione più generale possibile di energia cinetica, specificando l equazione
DettagliEsistenza di funzioni continue non differenziabili in alcun punto
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CAGLIARI FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA Esistenza di funzioni continue non differenziabili in alcun punto Relatore Prof. Andrea
DettagliFunzioni con dominio in R 2
0.1 Grafici e curve di livello Politecnico di Torino. Funzioni con dominio in R 2 Nota Bene: delle lezioni. Questo materiale non deve essere considerato come sostituto Il dominio U di una funzione f e
DettagliDocumentazione esterna al software matematico sviluppato con MatLab
Documentazione esterna al software matematico sviluppato con MatLab Algoritmi Metodo di Gauss-Seidel con sovrarilassamento Metodo delle Secanti Metodo di Newton Studente Amelio Francesco 556/00699 Anno
DettagliApplicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni
Capitolo 9 9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi Sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità,
Dettaglif(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da
Data una funzione reale f di variabile reale x, definita su un sottoinsieme proprio D f di R (con questo voglio dire che il dominio di f è un sottoinsieme di R che non coincide con tutto R), ci si chiede
DettagliTSP con eliminazione di sottocicli
TSP con eliminazione di sottocicli Un commesso viaggiatore deve visitare 7 clienti in modo da minimizzare la distanza percorsa. Le distanze (in Km) tra ognuno dei clienti sono come segue: 7-8 9 7 9-8 79
DettagliLEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0
LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi
Dettagli09 - Funzioni reali di due variabili reali
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014
DettagliMatematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esercitazione su massimi e minimi vincolati 9 dicembre 005 Esercizio 1. Considerare l insieme C = {(x,y) R : (x + y ) = x } e dire se è una curva
DettagliForze come grandezze vettoriali
Forze come grandezze vettoriali L. Paolucci 23 novembre 2010 Sommario Esercizi e problemi risolti. Per la classe prima. Anno Scolastico 2010/11 Parte 1 / versione 2 Si ricordi che la risultante di due
DettagliEsempi di funzione. Scheda Tre
Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.
DettagliCondizionamento del problema
Condizionamento del problema x 1 + 2x 2 = 3.499x 1 + 1.001x 2 = 1.5 La soluzione esatta è x = (1, 1) T. Perturbando la matrice dei coefficienti o il termine noto: x 1 + 2x 2 = 3.5x 1 + 1.002x 2 = 1.5 x
DettagliCap 3.1- Prima legge della DINAMICA o di Newton
Parte I Cap 3.1- Prima legge della DINAMICA o di Newton Cap 3.1- Prima legge della DINAMICA o di Newton 3.1-3.2-3.3 forze e principio d inerzia Abbiamo finora studiato come un corpo cambia traiettoria
DettagliLE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE
LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE Sia f:a B una funzione tra due insiemi. Se y appartiene all immagine di f si chiama fibra di f sopra y l insieme f -1 y) ossia l insieme di tutte le controimmagini
DettagliCONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti
CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione
Dettagli~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE
STUDIO DI FUNZIONE Passaggi fondamentali Per effettuare uno studio di funzione completo, che non lascia quindi margine a una quasi sicuramente errata inventiva, sono necessari i seguenti 7 passaggi: 1.
DettagliCorrispondenze e funzioni
Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei
Dettagli5 10 17 26 37 2,,,,,,... 2 3 4 5 6
MATEMATICA GENERALE 2014 - CTF Funzioni e successioni - Esercizi Docente: ALESSANDRO GAMBINI 1. a) Rappresenta mediante espressione analitica la seguente successione numerica. Motiva la tua risposta. 5
DettagliEsercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: e x. per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1 < x
FUNZIONI Esercizio 1 Studiare la funzione f(x) = ln ( ) x e disegnarne il grafico. x 1 Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: { e x per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1
Dettaglia t Esercizio (tratto dal problema 5.10 del Mazzoldi)
1 Esercizio (tratto dal problema 5.10 del Mazzoldi) Una guida semicircolare liscia verticale di raggio = 40 cm è vincolata ad una piattaforma orizzontale che si muove con accelerazione costante a t = 2
DettagliISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti
ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE A. A. 2014-2015 L. Doretti 1 Il concetto di derivata di una funzione è uno dei più importanti e fecondi di tutta la matematica sia per
DettagliTSP con eliminazione di sottocicli
TSP con eliminazione di sottocicli Un commesso viaggiatore deve visitare 7 clienti in modo da minimizzare la distanza percorsa. Le distanze (in Km) tra ognuno dei clienti sono come segue: 3 5 7-8 9 57
DettagliProposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014
Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,
DettagliMatematica e Statistica
Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie
DettagliLezione 9: Cambio di base
Lezione 9: Cambio di base In questa lezione vogliamo affrontare uno degli argomenti piu ostici per lo studente e cioè il cambio di base all interno di uno spazio vettoriale, inoltre cercheremo di capire
DettagliLE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE
LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE La sequenza costituisce un esempio di SUCCESSIONE. Ecco un altro esempio di successione: Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe
DettagliIntorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in
Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in Solitamente si fa riferimento ad intorni simmetrici =, + + Definizione: dato
Dettagli1. LE GRANDEZZE FISICHE
1. LE GRANDEZZE FISICHE La fisica (dal greco physis, natura ) è una scienza che ha come scopo guardare, descrivere e tentare di comprendere il mondo che ci circonda. La fisica si propone di descrivere
DettagliModelli per la gestione delle scorte
Modelli per la gestione delle scorte Claudio Arbib Università di L Aquila Seconda Parte Sommario Sui problemi di gestione aperiodica equazioni di stato Funzioni di costo Un modello convesso formulazione
DettagliMATEMATICA GENERALE - (A-D) Prova d esame del 7 febbraio 2012 - FILA A
MATEMATICA GENERALE - (A-D) Prova d esame del 7 febbraio 2012 - FILA A Nome e cognome Matricola I Parte OBBLIGATORIA (quesiti preliminari: 1 punto ciascuno). Riportare le soluzioni su questo foglio, mostrando
DettagliInterpolazione ed approssimazione di funzioni
Interpolazione ed approssimazione di funzioni Lucia Gastaldi Dipartimento di Matematica, http://dm.ing.unibs.it/gastaldi/ 9 novembre 2007 Outline 1 Polinomi Valutazione di un polinomio Algoritmo di Horner
DettagliComputational Game Theory
Computational Game Theory Vincenzo Bonifaci 24 maggio 2012 5 Regret Minimization Consideriamo uno scenario in cui un agente deve selezionare, più volte nel tempo, una decisione tra un insieme di N disponibili:
DettagliRICERCA OPERATIVA GRUPPO B prova scritta del 22 marzo 2007
RICERCA OPERATIVA GRUPPO B prova scritta del 22 marzo 2007 Rispondere alle seguenti domande marcando a penna la lettera corrispondente alla risposta ritenuta corretta (una sola tra quelle riportate). Se
Dettagli