Lezione VI. La lezione inizia con la lettura della prefazione di Grassmann alla sua Ausdehnungslehre. che viene distribuita agli studenti.

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Lezione VI. La lezione inizia con la lettura della prefazione di Grassmann alla sua Ausdehnungslehre. che viene distribuita agli studenti."

Benedetto Donato
5 anni fa
Visualizzazioni

1 Lezione VI 1. I vettoi: estensioni di dimensione uno Il calcolo geometico, in geneale, consiste in un sistema di opeazioni a eseguisi su enti geometici, analoghe a quelle che l'algeba fa sopa i numei. Esso pemette di espimee con fomule i isultati di costuzioni geometiche, di appesentae con equazioni poposizioni di geometia e di sostituie una tasfomazione di equazioni a un agionamento. Giuseppe Peano La lezione inizia con la lettua della pefazione di Gassmann alla sua Ausdehnungslehe. che viene distibuita agli studenti. Un punto che si muove di moto ettilineo da una posizione A a una posizione B descive un vettoe. Il segmento oientato AB (da A a B) si può appesentae con una feccia che ne indica il veso di pecoenza. In un vettoe non conta il punto iniziale ciò che conta è la diezione del movimento il veso e la lunghezza del segmento pecoso. Nella figua seguente abbiamo divesi segmenti oientati che appesentano lo stesso vettoe Il movimento infatti che pota dal punto iniziale al punto finale è lo stesso ciò che cambia è solo la posizione del punto iniziale. Un vettoe che pota un punto A nel punto B si indica con AB. La feccia che abbiamo posto sul segmento seve a distinguee il vettoe dal segmento: AB denota il segmento oientato che inizia in A e finisce in B mente AB denota il movimento che pota A in B cioè il vettoe che, se applicato nel punto A, lo pota in B. Abbiamo che AB = CD se e solo se i 4 punti sono vetici di un paallelogamma e i due segmenti AB e CD sono oientati nello stesso veso

2 Infatti il segmento oientato CD ha la stessa lunghezza di AB, peché lati opposti di un paallelogamma e la stessa diezione di AB peché le ette AB e CD sono paallele. Questo pemette di disegnae infiniti segmenti che appesentano lo stesso vettoe. Il paallelogamma ci è anche utile pe costuie, dato un vettoe v = AB e un punto O, il punto X che si ottiene applicando il vettoe v ad O. Detto in alti temini abbiamo. Dato un punto O e un vettoe v esiste sempe un punto X tale che v = OX. La seguente figua animata illusta dinamicamente la situazione 1.Vettoe La cosa fondamentale consiste nel fatto che i vettoi possono sommasi come i numei. Siano v e w due vettoi. Scegliamo un punto A dello spazio e applichiamo il vettoe v ad A, otteniamo il segmento oientato AB, applichiamo oa il vettoe w a B otteniamo il segmento oientato BC il movimento composto che pota A in C e si ottiene andando da A in B e poi da B in C è la somma dei due vettoi. La fomula seguente iassume quanto detto v + w = AB + BC = AC La seguente figua animata illusta dinamicamente la situazione 2.Somma Dato che il vettoe somma è ottenuto applicando pima il movimento v e poi w il isultato non dipende dal punto iniziale A. Intoduciamo lo zeo vettoe cioè il movimento che non muove nulla appesentato dal segmento AA di lunghezza nulla. La fomula pecedente quando C=A diventa AB + BA = il vettoe v = AB pota il punto A in B e il vettoe BA pota B in A, itona indieto, ipecoe il cammino AB nella diezione opposta. Tale vettoe che si chiama l opposto di v è indicato con - v e ha la popietà che v + (- v ) = Come nell algeba odinaia la somma dell opposto da luogo alla sottazione e pe semplificae le notazioni si scive v + (- w ) = v - w La egola dei segni significa semplicemente che se faccio un movimento e poi tono indieto e poi ivado avanti, sempe con lo stesso movimento, il isultato finale è il movimento iniziale cioè: -(- v ) = v La cosa inteessante dal punto di vista algebico è che questa opeazione ta vettoi, ta estensioni di dimensione 1, ha le popietà fondamentali della odinaia somma ta i numei elativi. Non solo esiste uno zeo vettoe, non solo ogni vettoe ha un vettoe opposto, ma anche questa opeazione è associativa e commutativa. Popietà associativa Dati te vettoi qualunque u, v, w isulta che ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3 La dimostazione di questa popietà si icava facilmente dalla seguente figua animata. 3.Associatività Sommando più vettoi possiamo, stante vale questa popietà, non usae le paentesi che indicano le somme paziali che via via si eseguono pe ottenee il isultato finale. In paticolae la somma di un vettoe pe se stesso n volte saà indicato con n v = v + v v Questo vettoe avà la stessa diezione di v, lo stesso veso e una lunghezza uguale a n volte la lunghezza di v. Ugualmente -n v = (- v ) +(- v )+... +(- v ) è il vettoe che ha la stessa diezione di v, il veso opposto e lunghezza uguale a n volte la lunghezza di v. Abbiamo che la somma di n vettoi è zeo se e solo se il cammino che si esegue a patie da un punto A e andando da A a B col pimo movimento e poi da B a C col secondo e da C a D col tezo fino all esauimento dei vettoi, ci ipota al punto iniziale A, cioè se e solo se la poligonale ABCD... è chiusa. Popietà commutativa Dati due vettoi qualunque v, w isulta che v + w = w + v Ciò significa che il isultato finale non dipende dall odine col quale eseguo due movimenti. La dimostazione di questa popietà si icava facilmente dalla seguente figua animata. 4.Commutatività Usando la popietà associativa e commutativa possiamo dimostae che n( v + w ) = n v +n w pe ogni numeo inteo n positivo o negativo. Si popongono degli esecizi gafici sul concetto di vettoe Tavola 23 Le tavole seguenti chiedono di isolvee delle equazioni vettoiali Tavola 24 Tavola 25

4 2. Cento di una configuazione di punti Gassmann si seve di questa nuova algeba pe studiae questioni geometiche e fisiche. Osseviamo intanto che il punto medio ta due punti A e B è quel punto S tale che A S = SB e dato che SB = -B S il punto medio ta AB è quel punto S tale che A S + B S = Vicevesa un punto S che veifica la elazione pecedente deve tovasi sulla etta AB peché SB e SA hanno la stessa diezione e deve essee il punto medio peché SB e SA sono uguali ed opposti. La popietà di essee il punto medio di un segmento si taduce così in una equazione. Gassmann estende il concetto di punto medio al caso di n punti A 1, A 2,..., A n e chiama cento della configuazione quel punto C tale che A 1 C + A 2 C A n C = e indica una semplice costuzione geometica pe calcolae il punto C. Vediamo la costuzione nel caso di te punti A 1, A 2, A 3. Gassmann dimosta usando la nuova algeba dei vettoi da lui inventata, che A 1 C + A 2 C + A 3 C = se e solo se, pe ogni punto R accade che RA 1 + RA 2 + RA 3 = 3RC La dimostazione usa tutte le nuove egole di calcolo RA 1 + RA 2 + RA 3 = 3RC " = 3RC - (RA 1 + RA 2 + RA 3 ) " (R C - R A 1 ) + (R C - R A 2 )+ (R C - R A 3 ) = " (A 1 R + R C )+ (A 2 R + R C ) + (A 3 R + R C ) = " A 1 C + A 2 C + A 3 C = Pe tovae il punto C si deve quindi sommae i te vettoi RA 1 + RA 2 + RA 3 e dividee il vettoe isultante in te pati uguali. La figua animata seguente illusta la costuzione e il fatto che il punto C non dipende dalla paticolae posizione del punto iniziale R. 5.Cento3.fig Se ad esempio pendiamo come punto iniziale R, il punto medio ta A 1, A 2, alloa RA 1 + RA 2 = e quindi, poiché questa scelta compota che RA 3 = 3RC il punto C si tova dividendo in te pati uguali il la mediana RA 3 del tiangolo A 1, A 2, A 3.

5 Abbiamo così questo fatto notevole: il cento di te punti è il baicento del tiangolo che ha quei punti come vetici. La costuzione di Gassmann può facilmente genealizzasi al caso di 4 o più punti anche quando alcuni di questi vengono ipetuti dato che si dimosta, nello stesso modo che nel caso di 3 punti, che A 1 C + A 2 C A n C = se e solo se, pe ogni punto R accade che RA 1 + RA RA n = nrc Come vedemo, questo isultato, ulteiomente genealizzato, poteà alla costuzione geometica del baicento di una qualunque distibuzione disceta di pesi. La tavola seguente acconta di un tesoo da scopie usando il concetto di Gassmann di cento Tavola 26 La mappa del tesoo Laboatoio infomatico La lezione posegue nel laboatoio infomatico facendo costuie agli studenti, divisi in guppi, con il softwae Cabi-géomète, le seguenti figue animate: Il cento di a 4 punti A,B,C,D dati abitaiamente Il cento della configuazione data da 4 punti di cui uno è ipetuto due volte A, A, B, C Il cento della configuazione di 6 punti A,A,A,B,B,C. Si fa notae come la posizione del cento non dipenda dalla scelta iniziale del punto R col quale si costuiscono i vai vettoi

Documenti analoghi

Lo schema seguente spiega come passare da una equazione all altra e al grafico della circonferenza. Svolgere i calcoli.

Lo schema seguente spiega come passare da una equazione all altra e al grafico della circonferenza. Svolgere i calcoli. D4. Ciconfeenza D4.1 Definizione di ciconfeenza come luogo di punti Definizione: una ciconfeenza è fomata dai punti equidistanti da un punto detto cento. La distanza (costante) è detta aggio. Ci sono due