francesca fattori speranza - versione febbraio 2018 { y > 0 4) DETERMINAZIONE DEL TIPO DI FUNZIONE (PARI, DISPARI, PERIODICA)

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1 STUDIO DI FUNZIONE francesca fattori speranza - versione febbraio ) DOMINIO O CONDIZIONE DI ESISTENZA 2) INTERSEZIONE CON GLI ASSI y f (x) intersezione asse x : { y 0 y f (x) intersezione asse y : { x 0 3) STUDIO DEL SEGNO (POSITIVITÀ E NEGATIVITÀ) 4) DETERMINAZIONE DEL TIPO DI FUNZIONE (PARI, DISPARI, PERIODICA) PARI f ( x) f (x): si sostituisce x al posto della x nella funzione, si sviluppano i calcoli e si raccoglie il segno. Se le due funzioni sono uguali la funzione è pari, altrimenti no. DISPARI f ( x) f (x): si sostituisce x al posto della x nella funzione, si sviluppano i calcoli e si raccoglie il segno. Si prende l opposto della funzione. Se le due funzioni sono uguali la funzione è dispari, altrimenti no. PERIODICA f (x + T ) f (x) solo se la funzione è goniometrica 5) VALORI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA Sia Se x 0 x 0 uno degli estremi compreso nel campo di esistenza. appartiene al campo di esistenza, il limite è un valore finito, quindi si segna sul grafico con un punto (pallino pieno) corrispondente. y f (x) { y > 0 y f (x) x x 0 y f (x) x x + 0 6) DETERMINAZIONE DEGLI ASINTOTI (VERTICALI, ORIZZONTALI, OBLIQUI -SE NON CI SONO GLI ASINTOTI ORIZZONTALI -) ASINTOTI VERTICALI: Gli asintoti verticali si ricavano dal dominio della funzione (ce li dobbiamo aspettare per le funzioni fratte, per le funzioni logaritmiche, la funzione tangente e contangente perché sono il rapporto tra seno e coseno, quindi, anch esse fratte, per funzioni di funzioni particolari, ed altre più complicate che qui non trattiamo). Il limite viene sempre infinito, dobbiamo verificare il segno con lo studio del segno della funzione.

2 ASINTOTO ORIZZONTALE: bisogna fare due limiti della funzione, per x che tende a e per x che tende a + (il valore finito di y che trovo, se esiste, sarà una retta orizzontale y l, cioè l asintoto orizzontale). Attenzione: bisogna fare i due limiti x + e x separatamente. ASINTOTO OBLIQUO: bisogna trovare una retta del tipo y m x + q, quindi dobbiamo trovare i valori del coefficiente angolare e del termine noto. Abbiamo le seguenti formule: se m viene finito, allora y f (x) x ± f (x) m x ± x i due limiti x + e x vanno fatti separatamente. 7) DETERMINAZIONI DELLA DERIVATA PRIMA q x ± ( f (x) m x) 8) MASSIMI E MINIMI, CRESCENZA E DECRESCENZA (ZERI E STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA) y 0 Dove la derivata è uguale a zero abbiamo gli estremi (la derivata prima è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva; nei punti estremi la tangente è orizzontale; il coefficiente angolare di una retta orizzontale è 0). Con lo studio del segno possiamo capire se sono massimi o minimi Alla sinistra di un massimo la funzione è crescente, così la sua tangente, che avrà coefficiente angolare positivo; alla destra di un massimo la funzione è decrescente, così la sua tangente, che avrà un coefficiente angolare negativo; alla destra di un minimo la funzione è decrescente, così la sua tangente, che avrà un coefficiente angolare negativo; Alla sinistra

3 di un minimo la funzione è crescente, così la sua tangente, che avrà coefficiente angolare positivo. 9) DETERMINAZIONE DELLA DERIVATA SECONDA 10) DETERMINAZIONE DELLA CONVESSITÀ, CONCAVITÀ E FLESSI (ZERI E STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA SECONDA) y 0 Quando la derivata seconda vale zero la funzione ha dei punti di flesso. 11) DETERMINAZIONE DI EVENTUALI ULTERIORI PUNTI APPARTENENTI ALLA FUNZIONE (Per individuare dei punti ove non si sa di preciso come si comporti la funzione basta sostituire dei valori alla x e calcolare i valori corrispondenti per la y, otterremo così delle coordinate di punti per cui passa la funzione. Questo è si solito un calcolo che viene saltato perché i punti già trattati riescono ad individuare in modo abbastanza preciso il grafico di una funzione. Comunque può essere utile per alcune funzioni particolari) 12) GRAFICO DELLA FUNZIONE. Sebbene questo sia l ultimo punto, andrebbe considerato come un punto a se stante, parallelo ai precedenti 11. Infatti, sarebbe opportuno cominciare a costruire il grafico passo passo dal punto 1. Questo aiuta a visualizzare la funzione mano a mano che si costruisce e a ridurre eventuali errori.

4 ESEMPIO 1 FUNZIONE FRATTA y x2 + x 6 1) DOMINIO O CONDIZIONE DI ESISTENZA C.E. 0 x 3 disegnare la retta x 3, con tratto continuo: questa retta rappresenta tutti i punti del piano che hanno x 3 sul quali la funzione non può passare. 2) INTERSEZIONE CON GLI ASSI intersezione asse x: y x2 + x 6 { y 0 0 x2 + x 6 { y 0 x 2 + x 6 0 x 2; x 3, con x 3 ( 3,0); (2,0) { y 0 { y 0 disegna i punti sull asse delle x del grafico con dei pallini pieni, che sta ad indicare che la funzione passa per quei punti (si chiamano gli zeri della funzione, ovvero in quel punto il valore della y è zero) y x2 + x 6 intersezione asse y : { x 0 y { x 0 { y 6 3 x 0 disegna il punto sull asse delle y del grafico con un pallino pieno. { y 2 x 0 (0,2) 3) STUDIO DEL SEGNO y x2 + x 6 { y > 0 x2 + x 6 > 0 (x + 3)(x 2) > 0 x + 3 > 0 x 2 > 0 > 0 x > 3 x > 2 x > significato: i segni più e meno mi dicono se la funzione è positiva o negativa.

5 Per i valori di x più piccoli di -3 la funzione assume valori negativi (se la funzione è negativa, non può essere positiva), quindi sul grafico ombreggio la parte dove non ci può essere la funzione. Attenzione, come si vede dal grafico, la cancellatura del segno della funzione ha un tratto ombreggiato leggero. Infatti, la funzione nella parte di piano a sinistra della retta x 3 esiste: io in questa parte ho scoperto che segno ha (negativo) quindi cancello la parte di piano positiva (ricorda che in matematica se una grandezza è negativa, non può essere contemporaneamente positiva). Per valori di x compresi tra -3 e 2 la funzione è positiva, quindi non è negativa (cancello/ ombreggio la parte negativa). Per valori di x compresi tra 2 e 3 la funzione è negativa, quindi non è positiva (cancello/ ombreggio la parte positiva). Per valori di x maggiori di 3 la funzione è positiva, quindi non è negativa (cancello/ ombreggio la parte negativa). la funzione si trova in questa zona (per ha valori negativi), quindi non può, essere positiva. Cancello la parte positiva.

6 4) DETERMINAZIONE DEL TIPO DI FUNZIONE la funzione non è pari, non è dispari, non è periodica PARI quindi f ( x) f (x): le due funzioni non sono uguali. DISPARI quindi f ( x) f (x): le due funzioni non sono uguali. 5) VALORI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA Il valore x 3 non appartiene al dominio, quindi sarà un asintoto verticale. 6) DETERMINAZIONE DEGLI ASINTOTI ASINTOTI VERTICALE 3 ( x) 2 + ( x) 6 ( x) 3 f ( x) f (x) x 2 x 6 x2 x 6 x + 3 ( x) 2 + ( x) 6 ( x) 3 x2 + x 6 x2 + x 6 x2 + x 6 f ( x) f (x) x 2 x 6 x2 x 6 x + 3 x2 + x 6 x2 + x 6 x2 + x 6 y x 3 x 2 + x 6 y x 3 + x 2 + x Il valore significa un numero molto vicino a 3 ma più piccolo (da sinistra). Quindi, 3 3 sarà un numero molto piccolo, vicino a zero, ma negativo (esempio ). In matematica, un numero molto vicino a zero di segno negativo si scrive. 0

7 Il valore 3 + significa un numero molto vicino a 3 ma più grande (da destra). Quindi, sarà un numero molto piccolo, vicino a zero, ma positivo (esempio ). In matematica, un numero molto vicino a zero di segno positivo si scrive. Guarda il grafico fin qui costruito, e cominciamo a ricavare delle informazioni (ci si muove sempre da sinistra a destra, come sulla scala dei tempi): per x piccoli la funzione ha valori negativi ( viene dal basso ), poi deve passare per il punto ( 3,0) dopo il quale diventa positiva; continuando a muoversi verso destra deve passare per il punto (0,2). Cosa fa dopo? potrebbe andare su o giù. Mi accorgo che deve passare per il punto (2,0): vuol dire che deve scendere (quindi torna indietro, fa una curva, prima del punto (0,2) sale, dopo scende). Dunque, passa per il punto (2,0) e diventa di nuovo negativa. Siamo nella parte compresa tra 2 e 3. Cosa succede adesso? La funzione sta scendendo. Mano a mano che scende si avvicina alla retta x 3, che abbiamo disegnato con un tratto continuo, per ricordarci che la funzione non può passarci sopra. 0 + Quindi, la funzione si avvicinerà sempre di più a questa retta ma non potrà toccarla mai. Se non la può toccare la dovrà saltare. Ma in questo caso quando passa dall altra parte, cioè per x > 3, la funzione deve essere positiva (dallo studio del segno). Quindi, si troverà vicino alla retta x 3, e comincerà a scendere (di troverà a +, lo abbiamo visto al punto 4) mano a mano che mi muovi verso le x positive. A questo punto non posso prevedere se scende fino ad avvicinarsi all asse x o scenderà per un po per poi risalire. Quindi dobbiamo andare avanti con lo studio della funzione e passare al punto successivo.

8 ASINTOTO ORIZZONTALE: x 2 + x 6 y x x 2 ( x 6 x 2 ) x ( 1 3 x ) x ( x 6 x 2 ) ( 1 3 x ) x 2 + x 6 y x + x 2 ( x 6 x 2 ) x ( 1 3 x ) x ( x 6 x 2 ) ( 1 3 x ) + Se il valore del limite viene l asintoto obliquo. ASINTOTO OBLIQUO: +. ± non esiste asintoto orizzontale. Allora devo cercare f (x) m x + x x + x 2 + x 6 x x 2 + x 6 x + 1 x x 2 + x 6 x + x 2 3x x 2 ( x x 2 ) x + x 2 ( 1 3 x ) ( x x 2 ) x + ( 1 3 x ) 1 m 1 allora q ( x 2 + x 6 f (x) x) x + x + ( x 2 + x 6 x() x ) x + ( ) x 2 + x 6 x 2 + 3x x + ( ) 4x 6 x ( 4 6 x + ( ) x ) x + x ( 1 3 x ) ( 4 6 x ) x + ( 1 3 x ) 4 q 4. Quindi, y x + 4 Attenzione, questo asintoto lo troviamo per le x positive (il limite per x che tende a + ). Ripetiamo tutto per. f (x) m x x x x 2 + x 6 x x 2 + x 6 x 1 x x 2 + x 6 x x 2 3x

9 x 2 ( x x 2 ) x x 2 ( 1 3 x ) ( x x 2 ) x ( 1 3 x ) 1 m 1 allora q ( x 2 + x 6 f (x) x) x x ( x 2 + x 6 x() x ) x ( ) x 2 + x 6 x 2 + 3x x ( ) x ( +4x 6 x ( 4 6 ) x ) x x ( 1 3 x ) 4 ( x ) x ( 1 3 x ) 4 q 4. Quindi, y x + 4. Disegna questa retta sul grafico. Abbiamo capito cosa fa quando arriva da e quando va a +.

10 A sinistra viene da vicino la retta obliqua (come faccio a capire che viene da sotto la retta obliqua? perché poi si deve ricongiungere col pezzetto rosso che passa per ( 3,0)) e dato che la retta obliqua è un asintoto non può essere intersecata. A destra va verso la retta obliqua (come faccio a capire che viene da sopra la retta obliqua? analogamente a prima, perché proviene dal pezzetto rosso che scende dalla retta verticale x 3) e dato che la retta obliqua è un asintoto non può essere intersecata. Vedete che sia ha già un idea abbastanza chiara dell andamento della funzione. Mi aspetto che abbia una duna (massimo) nel punto (0,2) e una buca (minimo) da qualche parte a destra dell asintoto verticale e a sinistra di quello obliquo. Mi aspetto, quindi, 2 massimi o minimi, ma per essere sicura di quanti e di dove sono esattamente devo passare al punto successivo. 7) DETERMINAZIONI DELLA DERIVATA PRIMA y (2x + 1)() (x 2 + x 6) () 2 2x2 6x + x 2 x + 6 () 2 x2 6x + 3 () 2 8) MASSIMI E MINIMI, CRESCENZA E DECRESCENZA y 0 x2 6x + 3 () 2 0 x 1,2 6 ± ± 24 2 x x ± ± 6 La disequazione diventa: Prodotto dei segni (poiché il denominatore è sempre positivo è un quadrato non occorre includerlo) Numeratore (x x 1)(x x 2) () 2 0 ( 6 )( + 6 ) () 2 0 x x 3 6

11 x_2 x_ Il punto x 1 è un massimo, il punto x 2 è un minimo. A questo punto, possiamo chiudere la funzione e oramai abbiamo un idea piuttosto completa del suo andamento. Manca l ultimo passo: la verifica se abbia o meno punti di flesso. 9) DETERMINAZIONE DELLA DERIVATA SECONDA y x2 6x + 3 x 2 6x + 9 (per semplicità di calcolo ho svolto il quadrato al denominatore della derivata prima, ma poi nella derivata seconda dovendo farne di nuovo il quadrato, al denominatore della derivata seconda lo lascio scritto il fattori primi) y ( 2x 6)(x 2 6x + 9) (x 2 6x + 3)(2x 6) () 4 2() (x 2 6x + 9 x 2 + 6) () 4 2 (x 2 6x + 9 x 2 + 6) () 3 posso sempre dividere per perché il valore non fa parte del dominio della funzione. 2 (+6) () 3 12 () 3 10) DETERMINAZIONE DELLA CONVESSITÀ, CONCAVITÀ E FLESSI y 0 12 () () 3 > 0 sempre positivo > 0 x >

12 la derivata decresce prima di 3 e cresce dopo 3. La funzione è convessa per x < 3 e concava per x > 3, ma non ci sono flessi perché la derivata seconda non è mai uguale a zero.