GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova scritta del 9 GENNAIO Compito A

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1 Cognome e Nome: Matricola: Corso di laurea: GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova scritta del 9 GENNAIO Compito A (a) (b) (c) (d) Parziali Regole: TOTALE: Scrivere solo con penna nera o blu (niente matita!), in modo ordinato e leggibile. Scrivere i vari passaggi motivandoli con spiegazioni brevi e precise, niente brutta copia. Esercizio 1. Si considerino i sottoinsiemi di R 5 : W 1 = {(2x + z, x + 3y + 4z, y + 2z, x + 2y z, x y) x, y, z R} W 2 = {(x + y z, y + 2z, x + y, y + 5z, x + 4z) x, y, z R}. (a) Verificare che W 1 e W 2 sono sottospazi vettoriali di R 5. (b) Determinare una base e la dimensione di W 1. (c) Determinare una base e la dimensione di W 2. (d) Ricavare W 1 + W 2, individuandone una base e specificando se si tratti o meno di una somma diretta. Svolgimento dell esercizio 1 1

2 Esercizio 2. Siano date le seguenti rette r 1, r 2 R 3 : r 1 : { x + 2z = 0 y + z = 1 r 2 : { x = 4 + (3k 2)t y = 1 t z = 2 + t, dove k R è un parametro costante. (a) Stabilire la posizione reciproca di r 1 ed r 2 al variare di k R. Ricavare, in particolare, gli eventuali valori di k per i quali r 1 r 2. (b) Stabilire per quali valori di k il punto P = (0, 2, 3) appartiene ad r 2. (c) Dire per quali k R esiste un unico piano π k che contiene entrambe le rette e in tal caso ricavare l equazione cartesiana di detto piano. (d) Determinare la proiezione ortogonale Q di P su r 1. Svolgimento dell esercizio 2 (1 punto) 2

3 Esercizio 3. Si consideri l applicazione f : R 4 R 4 definita da: con k R parametro costante. f(a, b, c, d) = (a + d, b c, c b, a + kd) (a) Scrivere una base per Im(f) e una base per ker(f) al variare di k R, verificando che il teorema nullità più rango sia soddisfatto. (b) Determinare le dimensioni di Im(f) e ker(f) al variare di k R. (c) Dopo aver scritto la matrice rappresentativa di f rispetto alle basi canoniche in partenza e in arrivo, dire se esiste un k R per cui f è suriettiva oppure iniettiva. (1 punto) (d) Sia V := {(x, y, z, w) R 4 x y + z = 0} un sottospazio di R 4. Individuare una base di f(v ) al variare di k R. Svolgimento dell esercizio 3 3

4 Esercizio 4. Si consideri l endomorfismo f : R 3 R 3 definito da: f(x, y, z) = (7x + 6z, ty, 6x + 2z), dove t R è un parametro. (a) Calcolare gli autovalori di f al variare di t R. (b) Scrivere gli autospazi di f, al variare di t, tramite delle loro basi. (c) Dire per quali valori di t R l applicazione f risulta semplice (ammette cioè una matrice rappresentativa diagonale). (d) Posto t = 1 e indicata con M la matrice rappresentativa di f rispetto alle basi canoniche, si determini una matrice ortogonale C per cui la matrice D = C 1 MC sia diagonale. Svolgimento dell esercizio 4 4

5 Cognome e Nome: Matricola: Corso di laurea: GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova scritta del 9 GENNAIO Compito B (a) (b) (c) (d) Parziali Regole: TOTALE: Scrivere solo con penna nera o blu (niente matita!), in modo ordinato e leggibile. Scrivere i vari passaggi motivandoli con spiegazioni brevi e precise, niente brutta copia. Esercizio 1. Si considerino i sottoinsiemi di R 5 : W 1 = {(2x + z, x + 3y + 4z, y + 2z, x + 2y z, x y) x, y, z R} W 2 = {(x + y z, y + 2z, x + y, y + 5z, x + 4z) x, y, z R}. (a) Verificare che W 1 e W 2 sono sottospazi vettoriali di R 5. (b) Determinare una base e la dimensione di W 1. (c) Determinare una base e la dimensione di W 2. (d) Ricavare W 1 + W 2, individuandone una base e specificando se si tratti o meno di una somma diretta. Svolgimento dell esercizio 1 5

6 Esercizio 2. Siano date le seguenti rette r 1, r 2 R 3 : r 1 : { x + 2z = 0 y + z = 1 r 2 : { x = 4 + (3k 2)t y = 1 t z = 2 + t, dove k R è un parametro costante. (a) Stabilire la posizione reciproca di r 1 ed r 2 al variare di k R. Ricavare, in particolare, gli eventuali valori di k per i quali r 1 r 2. (b) Stabilire per quali valori di k il punto P = (0, 2, 3) appartiene ad r 2. (c) Dire per quali k R esiste un unico piano π k che contiene entrambe le rette e in tal caso ricavare l equazione cartesiana di detto piano. (d) Determinare la proiezione ortogonale Q di P su r 1. Svolgimento dell esercizio 2 (1 punto) 6

7 Esercizio 3. Si consideri l applicazione f : R 4 R 4 definita da: con k R parametro costante. f(a, b, c, d) = (a + d, b c, c b, a + kd) (a) Scrivere una base per Im(f) e una base per ker(f) al variare di k R, verificando che il teorema nullità più rango sia soddisfatto. (b) Determinare le dimensioni di Im(f) e ker(f) al variare di k R. (c) Dopo aver scritto la matrice rappresentativa di f rispetto alle basi canoniche in partenza e in arrivo, dire se esiste un k R per cui f è suriettiva oppure iniettiva. (1 punto) (d) Sia V := {(x, y, z, w) R 4 x y + z = 0} un sottospazio di R 4. Individuare una base di f(v ) al variare di k R. Svolgimento dell esercizio 3 7

8 Esercizio 4. Si consideri l endomorfismo f : R 3 R 3 definito da: f(x, y, z) = (7x + 6z, ty, 6x + 2z), dove t R è un parametro. (a) Calcolare gli autovalori di f al variare di t R. (b) Scrivere gli autospazi di f, al variare di t, tramite delle loro basi. (c) Dire per quali valori di t R l applicazione f risulta semplice (ammette cioè una matrice rappresentativa diagonale). (d) Posto t = 1 e indicata con M la matrice rappresentativa di f rispetto alle basi canoniche, si determini una matrice ortogonale C per cui la matrice D = C 1 MC sia diagonale. Svolgimento dell esercizio 4 8

9 Cognome e Nome: Matricola: Corso di laurea: GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova scritta del 9 GENNAIO Compito C (a) (b) (c) (d) Parziali Regole: TOTALE: Scrivere solo con penna nera o blu (niente matita!), in modo ordinato e leggibile. Scrivere i vari passaggi motivandoli con spiegazioni brevi e precise, niente brutta copia. Esercizio 1. Si considerino i sottoinsiemi di R 5 : W 1 = {(2x + z, x + 3y + 4z, y + 2z, x + 2y z, x y) x, y, z R} W 2 = {(x + y z, y + 2z, x + y, y + 5z, x + 4z) x, y, z R}. (a) Verificare che W 1 e W 2 sono sottospazi vettoriali di R 5. (b) Determinare una base e la dimensione di W 1. (c) Determinare una base e la dimensione di W 2. (d) Ricavare W 1 + W 2, individuandone una base e specificando se si tratti o meno di una somma diretta. Svolgimento dell esercizio 1 9

10 Esercizio 2. Siano date le seguenti rette r 1, r 2 R 3 : r 1 : { x + 2z = 0 y + z = 1 r 2 : { x = 4 + (3k 2)t y = 1 t z = 2 + t, dove k R è un parametro costante. (a) Stabilire la posizione reciproca di r 1 ed r 2 al variare di k R. Ricavare, in particolare, gli eventuali valori di k per i quali r 1 r 2. (b) Stabilire per quali valori di k il punto P = (0, 2, 3) appartiene ad r 2. (c) Dire per quali k R esiste un unico piano π k che contiene entrambe le rette e in tal caso ricavare l equazione cartesiana di detto piano. (d) Determinare la proiezione ortogonale Q di P su r 1. Svolgimento dell esercizio 2 (1 punto) 10

11 Esercizio 3. Si consideri l applicazione f : R 4 R 4 definita da: con k R parametro costante. f(a, b, c, d) = (a + d, b c, c b, a + kd) (a) Scrivere una base per Im(f) e una base per ker(f) al variare di k R, verificando che il teorema nullità più rango sia soddisfatto. (b) Determinare le dimensioni di Im(f) e ker(f) al variare di k R. (c) Dopo aver scritto la matrice rappresentativa di f rispetto alle basi canoniche in partenza e in arrivo, dire se esiste un k R per cui f è suriettiva oppure iniettiva. (1 punto) (d) Sia V := {(x, y, z, w) R 4 x y + z = 0} un sottospazio di R 4. Individuare una base di f(v ) al variare di k R. Svolgimento dell esercizio 3 11

12 Esercizio 4. Si consideri l endomorfismo f : R 3 R 3 definito da: f(x, y, z) = (7x + 6z, ty, 6x + 2z), dove t R è un parametro. (a) Calcolare gli autovalori di f al variare di t R. (b) Scrivere gli autospazi di f, al variare di t, tramite delle loro basi. (c) Dire per quali valori di t R l applicazione f risulta semplice (ammette cioè una matrice rappresentativa diagonale). (d) Posto t = 1 e indicata con M la matrice rappresentativa di f rispetto alle basi canoniche, si determini una matrice ortogonale C per cui la matrice D = C 1 MC sia diagonale. Svolgimento dell esercizio 4 12

13 Cognome e Nome: Matricola: Corso di laurea: GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova scritta del 9 GENNAIO Compito D (a) (b) (c) (d) Parziali Regole: TOTALE: Scrivere solo con penna nera o blu (niente matita!), in modo ordinato e leggibile. Scrivere i vari passaggi motivandoli con spiegazioni brevi e precise, niente brutta copia. Esercizio 1. Si considerino i sottoinsiemi di R 5 : W 1 = {(2x + z, x + 3y + 4z, y + 2z, x + 2y z, x y) x, y, z R} W 2 = {(x + y z, y + 2z, x + y, y + 5z, x + 4z) x, y, z R}. (a) Verificare che W 1 e W 2 sono sottospazi vettoriali di R 5. (b) Determinare una base e la dimensione di W 1. (c) Determinare una base e la dimensione di W 2. (d) Ricavare W 1 + W 2, individuandone una base e specificando se si tratti o meno di una somma diretta. Svolgimento dell esercizio 1 13

14 Esercizio 2. Siano date le seguenti rette r 1, r 2 R 3 : r 1 : { x + 2z = 0 y + z = 1 r 2 : { x = 4 + (3k 2)t y = 1 t z = 2 + t, dove k R è un parametro costante. (a) Stabilire la posizione reciproca di r 1 ed r 2 al variare di k R. Ricavare, in particolare, gli eventuali valori di k per i quali r 1 r 2. (b) Stabilire per quali valori di k il punto P = (0, 2, 3) appartiene ad r 2. (c) Dire per quali k R esiste un unico piano π k che contiene entrambe le rette e in tal caso ricavare l equazione cartesiana di detto piano. (d) Determinare la proiezione ortogonale Q di P su r 1. Svolgimento dell esercizio 2 (1 punto) 14

15 Esercizio 3. Si consideri l applicazione f : R 4 R 4 definita da: con k R parametro costante. f(a, b, c, d) = (a + d, b c, c b, a + kd) (a) Scrivere una base per Im(f) e una base per ker(f) al variare di k R, verificando che il teorema nullità più rango sia soddisfatto. (b) Determinare le dimensioni di Im(f) e ker(f) al variare di k R. (c) Dopo aver scritto la matrice rappresentativa di f rispetto alle basi canoniche in partenza e in arrivo, dire se esiste un k R per cui f è suriettiva oppure iniettiva. (1 punto) (d) Sia V := {(x, y, z, w) R 4 x y + z = 0} un sottospazio di R 4. Individuare una base di f(v ) al variare di k R. Svolgimento dell esercizio 3 15

16 Esercizio 4. Si consideri l endomorfismo f : R 3 R 3 definito da: f(x, y, z) = (7x + 6z, ty, 6x + 2z), dove t R è un parametro. (a) Calcolare gli autovalori di f al variare di t R. (b) Scrivere gli autospazi di f, al variare di t, tramite delle loro basi. (c) Dire per quali valori di t R l applicazione f risulta semplice (ammette cioè una matrice rappresentativa diagonale). (d) Posto t = 1 e indicata con M la matrice rappresentativa di f rispetto alle basi canoniche, si determini una matrice ortogonale C per cui la matrice D = C 1 MC sia diagonale. Svolgimento dell esercizio 4 16

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