Algebra lineare e geometria AA Esercitazione del 14/6/2018

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1 Algebra lineare e geometria AA Esercitazione del 14/6/2018 1) Siano A, B due matrici n n tali che 0 < rk(a) < rk(b) = n. (a) AB è invertibile. (b) rk(ab) = nrk(b). (c) det(ab) = det(a). (d) λ = 0 non è un autovalore di AB. 2) Sia A = ( ). (a) A 2 = A 3. (b) λ = 4 non è un autovalore di A 2. ( ) 1 (c) è un autovettore di A. 1 (d) det(a 3 ) = 8. 3) Si considerino le circonferenze C 1 : x 2 + y 2 + z 2 1 = x + y = 0 e C 2 : x 2 + y 2 + z 2 1 = y = 0. (a) C 1 C 2 =. (b) C 1 C 2 contiene esattamente un punto. (c) C 1 C 2 contiene più di un punto. (d) C 1 = C 2. 4) Si consideri l applicazione lineare f(x, y, z) = (x + y + z, 0, 0). (a) f è suriettiva. (b) f non è iniettiva. (c) (1, 1, 1) è un autovettore di f. (d) dim Ker(f) = 3. 1

2 5) Si consideri l applicazione lineare f(x, y) = (x y, x + y). (a) f rappresenta una rotazione nel piano. (b) f è un isomorfismo. (c) f ha due autovalori reali distinti. (d) dim Ker(f) = 1. 6) Si consideri l applicazione lineare f(x, y, z, t) = (x + y, z + t). (a) f è iniettiva. (b) f è suriettiva. (c) f 1 (2, 2) = {(1, 1, 1, 1)} (d) {(1, 1, 1, 1)} Ker(f). 7) Sia data la trasposta della matrice A (a) rk(a ) = 2. (b) det A = 2. (c) rk(a) = 3. (d) det A = 3. A = ) Sia S il sottoinsieme di R 3 definito dalle equazioni x 2 + y 2 + z 2 2x = x = 0. (a) S è formato da un solo punto. (b) S è una retta. (c) S è formato da due rette del piano Oyz. (d) S è un cono con vertice nell origine. 2

3 9) Consideriamo i vettori u = ı + k e v = ı + j k. (a) u v = 0. (b) u v = 0. (c) u e v sono una base ortonormale di R 3. (d) u e v sono versori. 10) Sia A una matrice non invertibile. Il determinante di A 2 + 2A vale: (a) 0. (b) 2. (c) 3. (d) ) Sia {e 1, e 2, e 3, e 4 } la base canonica di R 4, consideriamo il sottospazio V = e 2 + e 3, e 1 + e 3, e 1 e 2. La dimensione di V vale: (a) 3. (b) 1. (c) 2. (d) 4. 12) Sia V = P 3 lo spazio dei polinomi in x a coefficienti reali di grado minore od uguale a 3 e consideriamo l applicazione lineare f : V V tale che f(p(x)) = p(0)x. (a) f è suriettiva. (b) dim Ker f = 3. (c) dim Im f = 0. (d) f è un isomorfismo. 3

4 13) Sia A una matrice quadrata di rango 2. (a) rk(a 2 ) = 4. (b) rk(a 3 ) 8. (c) rk(a 1 ) = 1 2. (d) rk(a 4 ) 2. 14) Sia A una matrice n n avente autovalore λ = 1 con molteplicità n. (a) A non è invertibile. (b) Una potenza di A I è la matrice nulla. (c) Una potenza di A + I è la matrice nulla. (d) A I è invertibile. 15) Si consideri l applicazione lineare f : R 3 R 4 tale che f(x, y, z) = (x+y, x+z, x+y+z, z y). La matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche è : (a) (b) (c) (d) ) Trovare l affermazione corretta per ogni matrice A R 4,4 tale che A 5 = 0 4,4. (a) A 4 = I 4. (b) A 4 = A. (c) A 4 = 0. (d) A 4 = I 4. 4

5 17) Sia data la conica nel piano C : x 2 + 2y 2 + 2xy 2x + 2y = 0. (a) C è l insieme vuoto. (b) C è un ellisse. (c) C è una parabola. (d) C è un iperbole. 18) Nello spazio V 3 (0) siano dati i vettori applicati u = ı + 3 j k e v = 2 ı 2 j + 2 k. (a) L angolo u v tra u e v è acuto. (b) I vettori applicati u, v, e w = 2 ı j 2 k formano una base di V 3 (0). (c) I vettori applicati u, u u, e w = 2 ı j 2 k formano una base di V 3 (0). (d) Il prodotto scalare u v è nullo. 19) Considerare il sistema di equazioni lineari AX = B, con B 0 di m equazioni in n incognite. (a) Il sistema ammette almeno una soluzione quando lo spazio colonna di A e lo spazio colonna di A B hanno la stessa dimensione. (b) Il sistema ammette un unica soluzione se e solo se m = n. (c) Il sistema ammette infinite soluzioni se e solo se n < m. (d) Il sistema ammette esattamente due gradi di libertà quando n = m ) L espressione ( x y ) ( ) ( x y ) (a) Non è una forma quadratica. (b) È una forma quadratica semidefinita positiva. (c) È una forma quadratica definita negativa. (d) È una forma quadratica indefinita. 5

6 21) Si consideri l applicazione lineare f : R 4 R 4 tale che f(x, y, z, t) = (y, x, z, t). Calcolare la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche. Trovare una base dell autospazio relativo all autovalore -1. Dimostrare o confutare: f è un endomorfismo diagonalizzabile. Scrivere tutti gli elementi dell insieme I = {v R 4 : f(v) = (1, 2, 3, 4)}. Soluzione. M C C (f) = E A ( 1) = (1, 1, 0, 0). f è diagonalizzabile perchè è simmetrica (teo. spettrale). I = {v R 4 : f(v) = (1, 2, 3, 4)} = {(2, 1, 3, 4)}. 22) Al variare del parametro k R, si consideri l applicazione lineare f k : R 4 R 3 associata, rispetto alle basi canoniche, alla matrice: M(f k ) = k Determinare la dimensione dim(im(f k )) al variare di k R. Posto k = 7, determinare una base di Ker(f 7 ). L applicazione f 6 è suriettiva? Giustificare la risposta. Soluzione. dim(im(f k )) = 3 se k 6, dim(im(f 6 )) = 2. Ker(f 7 ) = ( 1, 1, 1, 0). No, perchè dim(im(f 6 )) = 2 < 3 = dim(r 3 ). 6

7 23) Si consideri l applicazione lineare g : R 2 R 3 tale che g(x, y) = (x, x + y, x 2y). Scrivere la matrice associata a g rispetto alle basi canoniche in R 2 e R 3. Dati i vettori u 1 = (1, 1) e u 2 = (2, 1) di R 2 e i vettori v 1 = (1, 0, 0), v 2 = (1, 1, 0) e v 3 = (1, 1, 1) di R 3, mostrare che B = (u 1, u 2 ) e D = (v 1, v 2, v 3 ) sono basi di R 2 e R 3 rispettivamente. Scrivere la matrice associata a g rispetto alle basi B in partenza e D in arrivo. Soluzione. M C 3 C 2 (g) = , dove C i indica la base canonica di R i. B = (u 1, u 2 ) e D = (v 1, v 2, v 3 ) sono basi di R 2 e R 3 perchè i vettori sono lineramente indipendenti. 1 1 MB D(g) =