MATRICI E SISTEMI LINEARI

Transcript

1 MATRICI E SISTEMI LINEARI - PARTE I - Felice Iavernaro Dipartimento di Matematica Università di Bari 27 Febbraio 2006 Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

2 Definizione di matrice reale Definizione Dati due interi positivi m ed n, una matrice A reale m n è un array bidimensionale avente m righe ed n colonne così definito A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... a m1 a m2 a mn Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

3 Definizione di matrice reale Definizione Dati due interi positivi m ed n, una matrice A reale m n è un array bidimensionale avente m righe ed n colonne così definito A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... a m1 a m2 a mn Più formalmente possiamo dire che una matrice è un applicazione tale che A(i, j) = a ij R. A : {1, 2,..., m} {1, 2,..., n} R Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

4 Notazioni Una matrice verrà solitamente denotata con le lettere maiuscole dell alfabeto, mentre gli elementi di una matrice con le lettere minuscole; ad esempio la scrittura A = {a ij } i=1,...m, ovvero A = {a ij }, i = 1,... m, j = 1,... n, j=1,...n denoterà una matrice ad m righe ed n colonne il cui generico elemento è a ij. Denotiamo con R m n l insieme delle matrici con m righe ed n colonne. Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

5 Notazioni Una matrice verrà solitamente denotata con le lettere maiuscole dell alfabeto, mentre gli elementi di una matrice con le lettere minuscole; ad esempio la scrittura A = {a ij } i=1,...m, ovvero A = {a ij }, i = 1,... m, j = 1,... n, j=1,...n denoterà una matrice ad m righe ed n colonne il cui generico elemento è a ij. Denotiamo con R m n l insieme delle matrici con m righe ed n colonne. Esempio (A R 3 4 ) A = π log(3) 1/3 1 2/3 0 sin(π/7) 4/3 è una matrice 3 4, ovvero a 3 righe e 4 colonne., Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

6 Matrici particolari Se m = n, (num. di righe= num. di colonne), la matrice è detta quadrata di dimensione n (se m n, la matrice è detta rettangolare); se m = n = 1, la matrice si riduce ad un unico elemento e dunque coincide con uno scalare: A = (a 11 ); se m = 1, la matrice possiede un unica riga, pertanto si riduce ad un vettore riga: A = ( a 11 a 12 a 1n ) se n = 1, la matrice possiede un unica colonna, pertanto si riduce ad un vettore colonna: a 11 a 21 A =. ( ) T a 11 a 21 a m1. a m1 Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

7 Matrici particolari La matrice m n i cui elementi sono tutti nulli si chiama matrice nulla e si denota con 0 m n o più semplicemente con 0. Si chiama diagonale principale di una matrice quadrata di dim. n, il vettore: diag(a) = ( a 11 a 22 a nn ) T. Si chiama matrice identica, ogni matrice quadrata aventi elementi diagonali uguali ad 1 ed elementi extra-diagonali nulli: I = Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

8 Matrici quadrate particolari Una matrice quadrata A è detta: diagonale se tutti i suoi elementi extra-diagonali sono nulli: a ij = 0, i, j = 1,... n, i j; triangolare inferiore se tutti i suoi elementi al di sopra della diagonale principale sono nulli: a ij = 0, i < j; triangolare superiore se tutti i suoi elementi al di sotto della diagonale principale sono nulli: a ij = 0, i > j; Esempio: D = 0 2 0, T = , S = Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

9 Addizione tra matrici Definizione Se A = {a ij } e B = {b ij } sono matrici m n si definisce somma tra A e B la matrice A + B = {a ij + b ij } R m n Si osservi che + : R m n R m n R m n è una legge di composizione interna (o legge binaria). Esempio A = /3 1 2, B = /3 4 3, A + B = Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

10 Proprietà dell addizione Commutatività: A, B R m n : Associatività: A, B, C R m n : A + B = B + A; (A + B) + C = A + (B + C); Esistenza dell elemento neutro: A R m n : A + 0 = 0 + A = A; Esistenza del simmetrico (opposto): A R m n, B R m n tale che A + B = 0. L opposto di A si denota con A. Osservazione (R m n, +) è un gruppo abeliano. Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

11 Moltiplicazione di uno scalare per una matrice Definizione Se A = {a ij } R m n e λ R, si definisce prodotto di λ per A la matrice λ A = {λa ij } R m n L applicazione : R R m n R m n è una legge di composizione esterna. Esempio A = /3 1 2, 2 A = / Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

12 Proprietà della moltiplicazione per uno scalare Per ogni λ, µ R e per ogni A, B R m n risulta: λ (µ A) = (λ µ) A; (λ + µ) A = λ A + µ A; λ (A + B) = λ A + λ B; 1 A = A. Per semplicità si scriverà λ A in luogo di λ A. Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

13 Trasposta di una matrice Se A R m n, la trasposta di A, denotata con A T, è la matrice ottenuta da A scambiando le righe con le colonne (o viceversa), ovvero Pertanto A T R n m. A T = {a ji }, i = 1,... m, j = 1,... n. Esempio A = ( ) = A T = Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

14 Sottomatrici ( o matrici estratte) Se A = {a ij } R m n, una sottomatrice di A (o matrice estratta da A) è una matrice ottenuta sopprimendo in A un certo numero di righe e di colonne. Esempio sono sottomatrici di A: Considerata A = B = ( 2 ), C = E = ( / , ) ( 1 3 1, D = 2/3 2 1 ),, F = ( 2/ ), G = A, H = (). Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

15 Sottomatrici principali Si chiama sottomatrice principale di una matrice A una sottomatrice di A i cui elementi diagonali sono anche elementi diagonali di A. Esempio Se A = B = / /4 1/ / /2 0, è ottenuta da A considerando 1 a, 3 a e 4 a riga e 1 a, 3 a e 4 a colonna di A. Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

16 Sottomatrici principali di testa Si chiama sottomatrice principale di testa di A di ordine k una sottomatrice (principale) di A ottenuta considerando le prime k righe e colonne di A Esempio Se A = A 3 = / /4 1/ /3 1 2, è la sottomatrice principale di testa di A di ordine 3. Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

17 Partizionamento di matrici Una matrice A si dice partizionata se è riguardata in termini di sue sottomatrici (dette blocchi di A). Esempio Se A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33, ( ) ( a11 a A 11 = 12 a13, A a 21 a 12 = 22 a 23 A 21 = ( ) a 31 a 32, A22 = ( ) a 33. e ), ( A11 A possiamo allora scrivere A = 12 A 21 A 22 ). Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

18 Partizionamenti per righe e per colonne Partizionamento per righe. Se A R m n e denotiamo con a T 1, at 2, at m, le righe di A, potremo scrivere: a T 1 a T A = 2.. a T m Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

19 Partizionamenti per righe e per colonne Partizionamento per righe. Se A R m n e denotiamo con a T 1, at 2, at m, le righe di A, potremo scrivere: a T 1 a T A = 2.. Partizionamento per colonne. Se B R m n e denotiamo con a 1, a 2, a n, le colonne di A, potremo scrivere: a T m A = ( a 1, a 2,... a n ). Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

20 Prodotto di matrici (righe per colonne) Ricordiamo che se a e b sono due vettori (colonna) di lunghezza n, il prodotto scalare di a e b denotato con a T b è così definito: a T b n a k b k. k=1 Siano A R m p e B R p n. Si definisce prodotto (righe per colonne) tra A e B la matrice C = A B R m n il cui elemento generico c ij è il prodotto scalare tra la riga i-esima di A e la colonna j-esima di B: c ij = a T i b j = p a ik b kj, i = 1,... m, j = 1,..., n. k=1 a T i i-esima riga di A; b j j-esima colonna di B. Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

21 ESEMPIO Osservazione Il prodotto tra due matrici è possibile solo se il numero di colonne del primo fattore coincide con il numero di righe del secondo fattore. ( A = ) ( = a T 1 a T 2 ), B = ( a T A B = 1 b 1 a T 1 b 2 a T 1 b ) 3 a T 2 b 1 a T 2 b 2 a T 2 b = ( = ( b 1, b 2, b 3 ) ) B A non è possibile. Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

22 Ulteriori esempi (1/2) ( ) = = = ( ) = Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

23 Ulteriori esempi (2/2) ( ( ) ( ) ( ) ( ) 4 1 = 8 1 ) ( ) 3 4 = 1 0 Osservazione Dunque, se A e B sono quadrate dello stesso ordine, A B e B A sono ben definite, tuttavia, in generale A e B non sono permutabili cioè, in generale, A B B A. Ne segue che la moltiplicazione tra matrici non è commutativa. Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

24 Proprietà della moltiplicazione di matrici quadrate : R n n R n n R n n è una legge di composizione interna su R n n che verifica le seguenti proprietà: Associatività: (A B) C = A (B C); Esistenza dell elemento neutro: A I = I A = A; A 0 = 0 A = 0; Distributività a sinistra: A (B + C) = A B + A C; Distributività a destra: (A + B) C = A C + B C; λ(a B) = (λa)b = A(λB); (A B) T = B T A T. Osservazione La terna (R n n, +, ) è un anello unitario (non commutativo). Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

25 Inversa di una matrice quadrata Una matrice quadrata A R n n si dice invertibile se esiste B R n n tale che A B = I = B A l inversa di A, se esiste, è denotata con A 1. Osservazione L inversa di una matrice, se esiste, è unica. Infatti, se A B = I = B A e A C = I = C A, segue che B = I B = (C A)B = C(A B) = C I = C. Se A è invertibile, (A 1 ) 1 = A (dim. per esercizio). Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

26 Esempi e controesempi Esempi. I 1 = I ; B = A = ( ( ) = A 1 = ) = B 1 = ( ) ( 2 1 3/2 1/2 Controesempi. Non sono invertibili: 0 R n n (matrice nulla) ( ) 1/2 1 A = 1 2 ) Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

27 Determinante di una matrice quadrata Se A = {a ij } R n n, denotiamo con A ij la sottomatrice quadrata di A di dimensione n 1 ottenuta da A sopprimendone la i-esima riga e la j-esima colonna. Definizione Si definisce determinante di A e lo si denota con det(a) il seguente scalare: a 11, se n = 1, det(a) = n ( 1) j+1 a 1j det(a 1j ), se n > 1. j=1 Osservazione La definizione appena data va sotto il nome di REGOLA DI LAPLACE per il calcolo del determinante. In letteratura esistono diverse altre definizioni equivalenti. Il vantaggio di quella da noi adottata è che essa induce in maniera naturale un semplice algoritmo ricorsivo. Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

28 Determinante di matrici 2 2 e 3 3 ( a11 a A = 12 a 21 a 22 ) = det(a) = a 11 a 22 a 12 a 21. Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

29 Determinante di matrici 2 2 e 3 3 ( a11 a A = 12 a 21 a 22 ) = det(a) = a 11 a 22 a 12 a 21. A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ( a22 a a 11 det 23 a 32 a 33 = det(a) = ) ( a21 a a 12 det 23 a 31 a 33 ) ( a21 a + a 13 det 22 a 31 a 32 ) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 + a 11 a 23 a 32. Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

30 Generalizzazione della regola di Laplace Il determinante di una matrice quadrata A = {a ij } R n n, può essere equivalentemente calcolato mediante una delle seguenti formule che generalizzano quella precedentemente data: Sviluppo lungo la riga i-esima: det(a) = n ( 1) i+j a ij det(a ij ), (n > 1). j=1 Sviluppo lungo la colonna j-esima: det(a) = n ( 1) i+j a ij det(a ij ), (n > 1). i=1 Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

31 Generalizzazione della regola di Laplace Il determinante di una matrice quadrata A = {a ij } R n n, può essere equivalentemente calcolato mediante una delle seguenti formule che generalizzano quella precedentemente data: Sviluppo lungo la riga i-esima: det(a) = n ( 1) i+j a ij det(a ij ), (n > 1). j=1 Sviluppo lungo la colonna j-esima: det(a) = n ( 1) i+j a ij det(a ij ), (n > 1). i=1 Definizione La quantità ( 1) i+j det(a ij ) prende il nome di complemento algebrico dell elemento a ij. Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

32 Secondo teorema di Laplace La somma dei prodotti degli elementi di una riga (colonna) per i complementi algebrici di un altra riga (colonna) è nulla, cioè: ovvero: n ( 1) k+j a ij det(a kj ) = 0, i k j=1 n ( 1) i+k a ij det(a ik ) = 0, j k. i=1 Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

33 Proprietà del determinante (1/3) det(a T ) = det(a). det(a) = 0 se: gli elementi di una riga sono tutti nulli; esistono due righe di A che sono uguali (proporzionali); esiste una riga di A che è combinazione lineare di altre righe (vale anche il viceversa). Aggiungendo ad una riga una combinazione lineare di altre righe, si ottiene una nuova matrice il cui determinante coincide con quello di A. Osservazione Una combinazione lineare tra vettori a 1, a 2,..., a k è una somma della forma c 1 a 1 + c 2 a c k a k Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

34 Proprietà del determinante (2/3) Se per la i-esima riga di A risulta a ij = b ij + c ij, dette B e C le matrici che si ottengono sostituendo in A la i-esima riga con [b i1,..., b in ] e [c i1,..., c in ], risulta: det(a) = det(b) + det(c) Se B è ottenuta da A scambiando due sue righe, risulta det(b) = det(a). Se B è ottenuta da A moltiplicandone gli elementi di una riga per uno scalare α, risulta det(b) = α det(a). Se A e B sono quadrate dello stesso ordine, det(a B) = det(a) det(b). In particolare, se A è invertibile, det(a 1 ) = 1 det(a). Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

35 Proprietà del determinante (3/3) Poiché det(a T ) = det(a), le precedenti proprietà continuano a valere se riferite alle colonne piuttosto che alle righe di A. det(α A) = α n det(a) Se A è una matrice triangolare, allora det(a) = cioè il determinante di A è il prodotto dei suoi elementi diagonali. In particolare se I è la matrice identica, risulta det(i ) = 1. (Dimostrare i punti per esercizio, applicando i teoremi di Laplace.) n i=1 a ii Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

36 Esistenza dell inversa Una matrice quadrata A si dice non singolare se det(a) 0. Si definisce matrice aggiunta di A e si denota con agg(a), la trasposta della matrice dei complementi algebrici di A: [agg(a)] ij = {( 1) i+j det(a ij )} T = {( 1) i+j det(a ji )} Teorema A è invertibile ( A 1 ) A è non singolare (det(a) 0). Inoltre risulta: A 1 = 1 det(a) agg(a) Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

37 Dimostrazione del teorema di esistenza Posto B = 1 agg(a), sarà sufficiente provare che C A B = I. Gli det(a) elementi di C sono: c ij = 1 det(a) ( a i1 ( 1) j+1 det(a j1 ) + a i2 ( 1) j+2 det(a j2 ) a in ( 1) j+n det(a jn ) ) Distinguiamo due casi: per i = j, per la regola di Laplace, c ii = 1 det(a) det(a) per i j, per il secondo teorema di Laplace segue che c ij = 0. Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

38 Sistemi lineari di n equazioni in n incognite Un sistema lineare di n equazioni in n incognite ha la seguente forma: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1.. a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i.. a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n La matrice A = {a ij } prende il nome di matrice dei coefficienti; il vettore x = [x 1, x 2,..., x n ] T prende il nome di vettore delle incognite; il vettore b = [b 1, b 2,..., b n ] T prende il nome di vettore dei termini noti. Il sistema lineare sopra riportato può scriversi come Ax = b (forma compatta) Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

39 Soluzione di un sist. lin. (di n eq.ni in n incognite) Consideriamo il sistema lineare Ax = b. Se supponiamo che la matrice dei coefficienti A è non singolare (det(a) 0), allora A sarà invertibile: moltiplicando ambo i membri a sinistra per A 1 otteniamo: x = A 1 b dunque possiamo concludere che: Teorema Se la matrice dei coefficienti di un sistema lineare di n equazioni in n incognite è non singolare, il sistema lineare ammette una ed una sola soluzione (vale anche il viceversa). Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

40 Metodo di Cramer Da x = A 1 b = 1 det(a) agg(a)b, eguagliando le i-esime componenti dei due vettori ad ambo i membri si ha: x i = 1 ( ( 1) i+1 b 1 det(a 1i ) +... ( 1) i+n b n det(a ni ) ) det(a) Detta A i la matrice che si ottiene sostituendo in A la i-esima colonna con il vettore dei termini noti, si riconosce immediatamente che x i = det(a i), i = 1,..., n. det(a) Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

41 Conclusioni In questa prima parte di lezioni di Algebra Lineare abbiamo introdotto le matrici e ne abbiamo studiato alcune proprietà di base. Abbiamo poi applicato i risultati allo studio dei sistemi lineari con ugual numero di equazioni ed incognite Abbiamo poi osservato che, benché la regola di Laplace ed il metodo di Cramer siano facilmente implementabili sul calcolatore, le relative complessità computazionali (numero di operazioni) sono talmente elevate da rendere tali tecniche del tutto inefficienti. Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1

42 Conclusioni In questa prima parte di lezioni di Algebra Lineare abbiamo introdotto le matrici e ne abbiamo studiato alcune proprietà di base. Abbiamo poi applicato i risultati allo studio dei sistemi lineari con ugual numero di equazioni ed incognite Abbiamo poi osservato che, benché la regola di Laplace ed il metodo di Cramer siano facilmente implementabili sul calcolatore, le relative complessità computazionali (numero di operazioni) sono talmente elevate da rendere tali tecniche del tutto inefficienti. Alcuni argomenti della PARTE II : approccio numerico ai problemi finora affrontati; generalizzazione della teoria a matrici e sistemi rettangolari; ulteriori proprietà delle matrici; introduzione della teoria degli spazi vettoriali; applicazione della teoria delle matrici allo studio degli spazi vettoriali. Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/ / 1