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1 Verifica di matematica classe 5 a A LST - Dopo aver dato le definizioni di asintoto orizzontale, verticale ed obliquo, determina il Dominio e scrivi le equazioni degli asintoti della seguente funzione. f sen Una retta è detta asintoto del grafico di una funzione se da un certo valore in poi la distanza tra il grafico e la retta tende a 0. lim f q (con q valore finito) si dice che yq è asintoto asintoto orizzontale: se orizzontale. asintoto verticale: se lim f ( ) c si dice che c è asintoto verticale. Asintoto obliquo: condizione necessaria per avere A obliquo è che lim f ( ) è condizione sufficiente; si deve anche verificare che Da questa condizione si ricava che m lim Quindi l equazione dell asintoto obliquo è ymq lim f m q 0. f e q lim f m., ma non DOMINIO: R, sen lim per confronto di infiniti sen lim per confronto di infiniti A.O. quindi cerco A. obliquo sen sen q lim 4 m lim ( ) y A. obliquo 4 lim lim sen sen - A.V.

2 - Stabilisci per quali valori dei parametri a e b è continua in R la seguente funzione. ae b f 4b a < < 5 b 4 a 5 Affinché la funzione sia continua in deve essere. ( ) ( ) lim ae b lim 4b a a b b a b a Affinché la funzione sia continua in 5 deve essere. ( ) ( ) lim 4b a lim b 4 a 5 5 0b a b a 9b a 0 le condizioni per la continuità devono verificarsi contemporaneamente 9 a b a 9b a 0 b - Stabilisci se le seguenti funzioni soddisfano le ipotesi del teorema dei valori intermedi e le ipotesi del teorema dell esistenza degli zeri nell intervallo indicato. 0 f in, e > 0 [ ] f ln 5 in, 5 e Affinché sia verificato il teorema dei valori intermedi la f() deve essere continua in un intervallo chiuso e limitato. Affinché sia verificato il teorema di esistenza degli zeri la f() deve essere continua in un intervallo chiuso e limitato ed inoltre deve assumere agli estremi dell intervallo valori discordi. Per la continuità della prima funzione si ha che i due tratti sono continui nel loro insieme di definizione e quindi si deve avere lim lim e 0 0 quindi la f ( ) non è continua in 0 e

3 Per la seconda funzione il dominio è R, non ci sono discontinuità (perché somma di funzioni continue) quindi la f() è continua nell intervallo dato, cioè sono verificate le ipotesi del teorema dei valori intermedi. Per verificare le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri deve essere f 5 discorde rispetto a f ( ) e 5 5 f lne < e e f ln 5 5 > 0 quindi le ipotesi sono verificate. La f()e si annulla almeno in un punto dell intervallo dato 4- Traccia il grafico probabile delle seguenti funzioni: f f e f DOMINIO : R intersezioni con l'asse y 0 9 segno della funzione f > 0 0 > 0 N > 0 per > quindi f > 0 per > D > 0 per >0 comportamento agli estemi del dominio: lim 0 A.V. sinistro lim A.O. cerco A. obliquo m lim y q lim 0 A. obliquo

4 f e { R } DOMINIO :, intersezioni con gli assi 0 y0 segno della funzione f > 0 per e > 0 > 0 f > 0 per >0 e - > 0 D comportamento agli estremi del dominio lim e lim e A.O. cerco A. obliquo e m lim e e e e e q lim e e lim e e lim lim e y e e A. obliquo lim e e 0 lim e N.B. per confronto di infinitesimi si ha f e lim con c che può essere anche c f

5 correzione Verifica di matematica 5- Dopo aver dato le definizioni di asintoto orizzontale, verticale ed obliquo, determina il Dominio e scrivi le equazioni degli asintoti della seguente funzione. f DOMINIO: lim ln { R,>0} ln ln lim 0 0 ln lim A.O. quindi cerco A. obliquo ln m lim y A. obliquo ln q lim 0 6- Stabilisci per quali valori dei parametri a e b è continua in R la seguente funzione. < e b a 0 < aln b 7 f 5a b 0 Affinché la funzione sia continua in 0 deve essere. e lim b a lim ( 5a b) 0 0 b a b a b Affinché la funzione sia continua in deve essere. ( ) ( ) lim 5a b lim aln b 7 5a b b 7 b 5a 8

6 le condizioni per la continuità devono verificarsi contemporaneamente 0 a a b 7 5a b 8 b 7 7- Stabilisci se le seguenti funzioni soddisfano le ipotesi del teorema dei valori intermedi e le ipotesi del teorema dell esistenza degli zeri nell intervallo indicato. ln f in, < f ln in,e 5 Affinché sia verificato il teorema dei valori intermedi la f() deve essere continua in un intervallo chiuso e limitato. Affinché sia verificato il teorema di esistenza degli zeri la f() deve essere continua in un intervallo chiuso e limitato ed inoltre deve assumere agli estremi dell intervallo valori discordi. Per la continuità della prima funzione si ha che i due tratti sono continui nel loro insieme di definizione e quindi si deve avere lim lim ln 0 quindi la f ( ) non è continua in contenuto in, Per la seconda funzione il dominio è R, non ci sono discontinuità (perché somma di funzioni continue in R ) quindi la f() è continua nell intervallo dato, cioè sono verificate le ipotesi del teorema dei valori intermedi. Per verificare le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri deve essere f discorde rispetto a f ( e ) 5 f ln < 5 f ( e ) lne > 0 e e quindi le ipotesi sono verificate. La f()e si annulla almeno in un punto dell intervallo dato 8- Traccia il grafico probabile delle seguenti funzioni: f f e

7 f DOMINIO : R intersezioni con gli assi 0 y y 0 < 0 > 0 y 0 R 0 0 ± segno della funzione f > 0 > > 0 < < 0 > 0 < < R < < 0 > 0 > f > 0 per > comportamento agli estremi del dominio: lim A.0. cerco asintoto obliquo lim m lim per y A. obliquo destro q lim 0 per y A. obliquo sinistro q lim 0

8 f e { R } DOMINIO, 0 e 0 intersezioni con gli assi segno della funzione f > 0 dominio 0 N > 0 per > 0... D > 0 per > 0... comportamento agli estremi del dominio lim 0 ( per confronto di infiniti ) y0 A. O. destro e lim cerco A. obliquo e m lim e y - A. obliquo sinistro q lim 0 e lim lim 0 e 0 e lim e 0

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