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1 Verso l'esame di Stato Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: y ln Rappresenta il campo di esistenza determinato in un piano cartesiano ortogonale. Soluzione Definisci cosa si intende per Intervallo di positività e negatività di una funzione e determinali per la funzione: y. Rappresenta gli intervalli determinati in un piano cartesiano ortogonale. Stabilisci il tipo di discontinuità della funzione la y sen Soluzione nel punto 0 =0. Motiva la risposta e se discontinuità è eliminabile procedi alla sua eliminazione. Soluzione Dopo aver definito la continuità di una funzione in un punto, verifica la continuità della funzione y 5 6 nel punto 0 = Soluzione Verifica che la funzione y non è derivabile nel punto 0 =0. Questo punto è un punto di cuspide o un punto angoloso? Motiva la risposta. Soluzione 5 Determina l equazione della retta tangente alla curva avente equazione Spiega il procedimento applicato. Determina tutti gli asintoti della funzione y y nel punto 0 =. Soluzione 6. Soluzione 7 Enuncia il teorema di Rolle. Verifica se la funzione y = nell intervallo [ -; ] soddisfa le ipotesi del teorema e, in caso affermativo, calcola l ascissa c del punto o dei punti che verificano il teorema. Soluzione 8 Enuncia il Teorema di Lagrange. Verifica se la funzione y = nell intervallo [ -; ] soddisfa le ipotesi del teorema e, in caso affermativo, calcola l ascissa c del punto o dei punti che verificano il teorema. Soluzione 9 e 5 lim Determina la forma di indeterminazione del seguente limite 0 e calcola il suo valore applicando il teorema di De l Hospital. Enuncia il teorema di De L Hospital che hai applicato. Soluzione 0

2 Quando un punto si dice di massimo relativo? Dopo aver descritto il procedimento per determinare i punti estremanti di una funzione, determina i punti di massimo e/o di minimo della funzione y Calcola l integrale ln( )d. Spiega la Regola di integrazione per parti. Soluzione Soluzione Calcola l integrale della seguente funzione razionale fratta applicato e perché. d. Quale metodo hai Soluzione 5 Determinare l area del segmento parabolico determinato dalla parabola y = e dalla retta y =. Rappresenta graficamente. Soluzione Calcola il volume del solido generato dalla rotazione completa intorno all asse del triangoloide limitato dalla parabola y = ¼, dall asse delle ascisse e dalla retta =. Rappresenta graficamente. Soluzione 5 6 Dopo aver sommariamente disegnato la curva y nell intervallo -. 7, calcola la lunghezza dell arco Soluzione 6 Trovare il differenziale df() e l incremento Δf() della funzione f() = per = 0 e Δ = 0,. Qual è la differenza tra df() e Δf()? Quale errore si commette sostituendo df() con Δf()? Soluzione Dopo aver sommariamente disegnato la curva dire su questo integrale? y, calcola l integrale d. Cosa puoi Soluzione 8 Di che tipo è la seguente equazione differenziale y y + y = 0? Dopo averla risolta determina una sua soluzione particolare sapendo che y(0) = Soluzione 9 Di che tipo è la seguente equazione differenziale y + y =? Dopo averla risolta determina una sua soluzione particolare sapendo che y() = Soluzione 0 Risolvi l equazione differenziale del secondo ordine, mancante della variabile y, y = y +y Soluzione Risolvi l equazione differenziale del secondo ordine mancante della variabile y, y + y = 0 Soluzione Soluzione Il Campo di Esistenza di una funzione y= f() è l'insieme dei numeri reali che si possono attribuire alla variabile indipendente in corrispondenza dei quali la variabile dipendente y assume anch'essa valori reali. Si tratta di una funzione logaritmica con argomento fratto. Il Campo di Esistenza, quindi, è

3 determinato dalla soluzione del sistema: 0 condizione di esistenza del log. 0 condizione sup erflua poiché contenuta nella prima 0 Dallo schema si evince che il campo di esistenza della funzione è dato da: C.E. ; ; Disegno del campo di esistenza: Soluzione L'Intervallo di positività ( negatività ) di una funzione Y = f() è l'insieme dei numeri reali che si possono attribuire alle variabili indipendenti in corrispondenza dei quali la variabile dipendente y assume valori positivi ( negativi ). y Si tratta di una funzione fratta definita ; ; ; Per determinare l'intervallo di positività ( negatività ) studiamone il segno: N 0 D 0 Mettiamo i risultati sulla retta reale Nel piano cartesiano la situazione viene così rappresentata

4 Soluzione y sen Si tratta di una funzione fratta pertanto è definita in tutto R tranne =0; la funzione presenta quindi una discontinuità in questo punto. Per classificare la discontinuità calcoliamo i limiti della funzione a destra e a sinistra del punto di discontinuità. sen sen sen lim lim lim sen sen sen lim lim lim lim sen ( Abbiamo fatto uso del limite notevole 0 sen lim Poiché i due limiti sono uguali possiamo affermare che 0 In conclusione: la funzione non è definita in =0 ma il limite della funzione in questo punto esiste ed è finito; si tratta, allora, di una discontinuità di terza specie eliminabile. La discontinuità si elimina ponendo: sen 0 y se 0 Soluzione f() 6 La funzione è continua nel punto 0 = se si verificano le tre condizioni:. deve esistere finito f(). deve esistere finito. si deve verificare che A tale proposito calcoliamo f()=0 e verifichiamo che lim 6 f() 0 Per verificare questo limite dobbiamo provare che in corrispondenza di un ε, positivo, piccolo a piacere, la disequazione 6 0 I() ha per soluzioni. lim 6 lim 6 f() La disequazione è equivalente al sistema: )

5 ( ) 6 Le soluzioni sono rappresentate nello schema Si conclude che il sistema è verificato da ; I() e quindi, essendo il limite verificato, si può affermare che la funzione è continua in = Soluzione 5 y La funzione è definita e, quindi, è continua in tutto e in particolare anche in =0. Calcoliamo la derivata y'. Osserviamo che la derivata è una funzione fratta, per cui il suo Campo di esistenza è quindi la derivata non esiste in =0. 0, In conclusione la funzione è continua in =0 ma non è derivabile in questo punto. Per classificare il punto di non derivabilità calcoliamo il limite del rapporto incrementale a destra e a sinistra di 0. lim e lim 0 0 Poiché questi due limiti divergono verso infinito di segno opposto, il punto =0 è un punto di cuspide. Soluzione 6 y Innanzitutto calcoliamo le coordinate del punto di tangenza P sostituendo P = nell equazione; otteniamo P( ; 0 ). Scriviamo l equazione del fascio di rette di centro P (y-y P ) = m ( P ) y = m( )

6 Ricordando che la derivata in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva passante per quel punto, calcoliamo y'() m. Sostituendo tale valore nell equazione del fascio, otteniamo l equazione della tangente alla curva passante per P t: y = / ( ) Soluzione 7 y Si tratta di una funzione razionale fratta il cui Campo di esistenza è: ; ; ; Studiamo la positività della funzione: Studiamo l andamento della funzione agli estremi del campo: lim lim ( ) questo risultato ci dice che la funzione potrebbe avere un asintoto obliquo di equazione y = m + n lim

7 questo risultato ci dice che la retta = - è un asintoto verticale per la nostra funzione lim questo risultato ci dice che anche la retta di equazione = è un altro asintoto verticale. C è un asintoto obliquo se m lim 0, Calcoliamo allora questo limite m lim lim Poiché m 0 constatiamo che l asintoto obliquo c è e allora calcoliamo l intercetta n n lim m lim lim lim 0 Sostituendo i valori trovati di m e di n nell equazione y = m + n, otteniamo y = Soluzione 8 y = [ -; ] La funzione, per verificare il teorema di Rolle, deve soddisfare le ipotesi del teorema:. continuità in [ -; ]: essendo la funzione di tipo polinomiale è definita in tutto R; essa è quindi continua in tutto R e a maggior ragione in [ -; ];. derivabilità in ] -; [: y = - essendo la derivata definita in tutto R, si deduce che la funzione è derivabile in tutto R e quindi a maggior ragione in ] -; [;. eguaglianza della funzione agli estremi dell intervallo f(-)=f(): la funzione agli estremi dell intervallo assume sempre il valore 0 0= f(-)=f(). La funzione soddisfa le tre ipotesi del teorema, allora esiste almeno un punto di ascissa c ;, nel

8 quale f (c) = 0 ; Cioè c = 0 c = -. Poiché questo valore di c, questa è l unica ascissa che soddisfa il teorema. Ciò significa che il punto P ( -; 8) è un estremante della funzione ( punto di minimo o di massimo ) e per esso la funzione ammette una tangente parallela all asse delle ascisse. Soluzione 9 y = [ -; ] La funzione, per verificare il teorema di Lagrange, deve soddisfare le ipotesi del teorema:. continuità in [ -; ]: essendo la funzione di tipo polinomiale è definita in tutto R; essa è quindi continua in tutto R e a maggior ragione in [ -; ];. derivabilità in ] -; [: y = - essendo la derivata definita in tutto R, si deduce che la funzione è derivabile in tutto R e quindi a maggior ragione in ] -; [. La funzione soddisfa le due ipotesi del teorema, allora esiste almeno un punto di ascissa c, f() f( ) f'(c) nel quale ( ). Cioè: 0 6 c c c c. ; Dei due valori di c trovati solo c = - è interno all intervallo ] -; [ e quindi è l unico punto che soddisfa il teorema. Questo significa che per il punto P ( -; 0) è possibile tracciare una tangente alla curva, parallela alla secante passante per i punti di ascissa - e

9 Soluzione 0 Questo limite si presenta nella forma indeterminata 0/0. Per calcolarlo, quindi, possiamo applicare il Teorema di de L Hospital: Soluzione e 5 e 0 0 lim lim 0 0 y Si tratta del prodotto di un monomio per una funzione irrazionale con indice pari, il Campo di esistenza è determinato, pertanto, imponendo Calcoliamo la derivata prima: ( ) y' Studiamo il segno della derivata prima N 0 0 D 0 C.E. Ricordiamo che nell intervallo in cui la derivata prima è positiva la funzione è crescente, nell intervallo in cui è negativa è decrescente; il punto =/ che separa l intervallo di crescenza da quello di decrescenza, appartenendo al Campo di esistenza, è l ascissa di un massimo per la funzione; Il punto di ascissa =, appartenendo al Campo di esistenza della funzione, è invece un minimo.

10 Soluzione ln( )d Questo integrale si risolve applicando la regola dell integrazione per parti. ln( )d D() ln( )d ln( ) ln( ) Osserviamo che ora la funzione integranda è fratta con grado del numeratore uguale a quello del denominatore, quindi occorre decomporla operando la divisione, si ottiene: ln( ) ln( ) d ln( ) d ln( ) ln( ) k Soluzione d Scomponiamo il denominatore trovando gli zeri di, 9 6 / da cui ( )( ) ( ) L integrale diventa pertanto d ( )( ) Possiamo risolvere l integrale decomponendo la frazione con il metodo dei coefficienti indeterminati A B A A B B (A B) ( A B) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Confrontando la prima e l ultima espressione si deduce che deve essere A B A 5 A B 0 B 5

11 Sostituendo, l integrale diventa d d d d d ( )( ) ln ln k 0 5 Soluzione Rappresentiamo nel piano cartesiano la parte di piano compresa tra le curve di equazione y = e y =, di cui vogliamo calcolare l area. Determiniamo le intersezioni A e B tra la parabola e la retta, risolvendo il sistema y 0 y y y y da cui A(;) e B(;) S S(CAVBD) S(CABD) ( )d CA CD 6

12 Soluzione 5 Rappresentiamo le curve nel piano cartesiano. Occorre determinare il volume del solido colorato in 5 verde. V d d Soluzione 6 y L equazione può essere scritta nella forma y + = apparendo evidente che si tratta dell equazione di una semicirconferenza di centro (0;0) e raggio. La lunghezza dell arco è quindi pari a metà circonferenza e quindi a π. Arriviamo a questo risultato anche con il calcolo integrale L f'() d d d d d d arcsen arcsen arcsen

13 Soluzione 7 y = in = 0 e Δ = 0, Calcoliamo df() = f () Δ = Δ =. 0. 0, = Calcoliamo Δf() = f(+ Δ) f() = (+ Δ) = ( 0+0,) 0 =,0 Si vede che l errore che si commette è pari a Δf() df() =,0 = 0,0 Soluzione 8 La funzione y ;, rappresentata in figura, presenta una discontinuità in = 0, l integrale è quindi improprio. Il suo valore è allora dato dalla somma dei limiti c c lim d lim d lim lim 0 c0 c 0 c' c 0 c 0 c' lim lim c c' c0 c0 L integrale diverge.

14 Soluzione 9 y y + y = 0 L equazione poiché può essere messa nella forma y = y(-) è una equazione di primo ordine a variabili separabili. ( ) ( ) ( ) k k k ( ) ( ) k k () k dy ( ) d lny k y e y y e y e y e dove k k y e e y k e dove k e Per determinare la soluzione particolare imponiamo la condizione y(0) =, ottenendo ( ) (00) y k e k e k e k 0 la soluzione particolare è pertanto y e ( ) Soluzione 0 y + y =

15 L equazione può essere scritta nella forma y y ' y y ' per cui è omogenea di ordine. Per risolverla riconduciamola ad un equazione a variabili separabili operando la sostituzione y z y z y' z' z Otteniamo: z' z z z' z che è appunto un equazioni a variabili dz d dz d dz d int egrando z z z ln z ln k ln z ln k ln z ln k dove k k k k z z separabili k ln z ln ln k dove k e ln z ln k Sostituendo questo valore di z nella sostituzione effettuata y = z Otteniamo la soluzione generale k k y Per determinare una sua soluzione particolare imponiamo la condizione data y() = k k La soluzione particolare è quindi y Soluzione y = y + Poiché in questa equazione manca la variabile y, la risolviamo operando la sostituzione y = z() e quindi y = z (), in tal modo diventa z () = z() + che è un equazione lineare di ordine che risolviamo applicando il Metodo delle variazioni delle costanti o Metodo di Lagrange Risolviamo l equazione associata trascurando il termine -

16 dz z z d ln z k z ke dove k e z dz z z d ln z k z ke dove k e z k k Consideriamo ora k = t() z = t() e e quindi z = t e +te Sostituendo nell equazione z () = z() + otteniamo t e te te t ' separando le var iabili e int egrando e dt e d t D e d t e e d t e e d t() e e c ( abbiamo applicato la Regola dell integrazione per parti) Sostituiamo t() in z = t() e ottenendo z = - - +c e Ritorniamo ora alla nostra prima sostituzione y = z() e otteniamo y = - - +c e che è un equazione a variabili separabili y c e dy c e d y c e c Che è la soluzione cercata. Soluzione y + y = 0 Poiché in questa equazione manca la variabile y, la risolviamo operando la sostituzione y = z() e quindi y = z (), in tal modo diventa z + z = 0 che si può scrivere z = -z che è un equazione di ordine a variabili separabili. Separando le variabili ed integrando otteniamo

17 dz d z z z ln z ln k ln z ln lnk dove k e k k ln z ln z k Sostituendo nella posizione y = z() otteniamo k k k k k k y ' dy d dy d y ' dy d dy d y k ln k y k ln k

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