Studio di funzione. R.Argiolas

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1 Studio di unzion R.Argiolas

2 Introduzion Prsntiamo lo studio dl graico di alcun unzioni svolt durant l srcitazioni dl corso di analisi matmatica I assgnat nll prov scritt. Ringrazio anticipatamnt tutti qulli ch vorranno sgnalarmi vntuali rrori o consigli pr migliorar il lavoro. R.A.

3 Indic Ricrca dgli asintoti di una unzion pag. Asintoto vrtical Asintoto orizzontal Asintoto obliquo Punti di non drivabilità pag. Punti angolosi Cuspidi Flsso a tangnt vrtical Tormi sull drivat pag.7 Esrcizi sullo studio di unzion pag. 9

4 Ricrca dgli asintoti di una unzion Asintoto vrtical S al tndr di a la unzion tnd ad ininito, cioè s è vriicata la condizion: ( ) ± la rtta di quazion (rtta parallla all'ass dll ordinat) è un asintoto dlla unzion dtto asintoto vrtical. La ricrca dgli asintoti vrticali si riconduc quindi a qulla di valori initi ch rndono ininita la unzion. Ossrvazioni:. una unzion algbrica intra non prsnta asintoti vrticali,. una unzion algbrica razional ratta ammtt tanti asintoti vrticali quanti sono gli zri dl suo dnominator,. una unzion algbrica irrazional ratta ammtt tanti asintoti vrticali quanti sono gli zri rali dl suo dnominator appartnnti al dominio di tutti i radicali di indic pari,. l unzioni goniomtrich ammttono ininiti asintoti vrticali o nssuno, ( ) 5. la unzion sponnzial a ammtt tanti asintoti vrticali quanti sono i valori initi dlla ch rndono ininita, positiva, la unzion () s a>, ininita ngativa s <a<, 6. la unzion logaritmica ammtt tanti asintoti vrticali quanti sono gli zri rali dlla unzion i valori initi dlla ch rndono ininita la unzion. Asintoto orizzontal S al tndr di condizion: a la unzion tnd ad un numro inito, cioè s è vriicata la ( ) k ± la rtta di quazion y k (rtta parallla all'ass dll asciss) è un asintoto dlla unzion dtto asintoto orizzontal.

5 Ossrvazioni:. una unzion algbrica intra non prsnta asintoti orizzontali,. una unzion algbrica razional ratta ammtt asintoto orizzontal yk (con k ugual al rapporto tra i coicinti di grado massimo) quando il numrator il dnominator sono dllo stsso grado, inoltr una unzion algbrica razional ratta ammtt pr asintoto l'ass dll asciss s il grado dl dnominator è suprior al grado dl numrator. Asintoto obliquo Assgnata una unzion, si utilizza il calcolo di iti pr dtrminar l'vntual asintoto obliquo a tal unzion. Ricordiamo ch un asintoto obliquo è una rtta dl tipo: tal ch dov: y m q [ ( ) ( m q) ] ± m ± ( ) dv sistr inito divrso da zro q ± ( ( ) m) dv sistr inito Ossrvazioni:. una unzion algbrica intra non prsnta asintoti obliqui,. una unzion algbrica razional ratta ammtt un solo asintoto obliquo (ch non potrà mai cosistr con l'asintoto orizzontal) solo quando il grado dl numrator supra di uno il grado dl dnominator,. l unzioni irrazionali il cui campo di sistnza si stnd all'ininito potranno anch avr più asintoti obliqui o asintoti orizzontali obliqui. Punti di non drivabilità Punti angolosi

6 Indicati con D D rispttivamnt il dominio dlla unzion () dlla sua drivata ( ), s in un punto D ma D, sistono init divrs la drivata sinistra ( ) dstra ( ), si dic ch il graico dlla unzion prsnta nl punto un P (, ( )) punto angoloso (si può chiamar anch punto angoloso un punto pr qual uno di du iti dstro o sinistro dl rapporto incrmntal sista inito l'altro ininito). Esmpio: La unzion ( ) prsnta in un punto angoloso, inatti la unzion è dinita su tutto l'ass ral mntr la sua drivata prima è dinita ovunqu trann ch nll'origin. Graico dlla unzion ( ) > < La drivata dstra sinistra sono divrs ra loro ma init, inatti: ( ) ( ) quindi l'origin è un punto di non drivabilità pr la unzion assgnata prnd il nom di punto angoloso. Cuspidi Indicati con D D rispttivamnt il dominio dlla unzion () dlla sua drivata ( ), s in un punto D, ma D, inoltr ( ) ( ) oppur

7 ( ) ( ) il graico dlla unzion prsnta nl punto ( ( )) Esmpio P una cuspid., La unzion ( ) prsnta nll'origin un punto di cuspid, inatti è dinita su tutta l ass ral d è ivi continua, ma la sua drivata prima: ( ) non è dinita nll'origin. In tal punto si ha: Graico ( ) ( ) Flsso a tangnt vrtical Indicati con D D rispttivamnt il dominio dlla unzion () dlla sua drivata ( ), s un punto D, ma D inoltr: ( ) ( ) oppur ( ) ( ) allora si dic ch il graico dlla unzion prsnta nl punto ( ( )) tangnt vrtical. P un lsso a, 5

8 Esmpio La unzion ( ) è dinita su tutto l'ass ral d è ivi continua ma prsnta nll'origin un lsso a tangnt vrtical, inatti: ( ) non è dinita nll'origin. In tal punto si ha: ( ) ( ) Esrcizio Studiar la continuità drivabilità dlla unzion: y arccos Svolgimnto La unzion è goniomtrica irrazional con indic pari. Dominio: C. E. [, ] La unzion è continua in tutto il dominio di dinizion. Calcoliamo la drivata y ( ) è dinita pr (, ) (, ) (,) (, ) < < < > Analizziamo il comportamnto dlla drivata dstra sinistra ni punti di non drivabilità: ( ) ( ) 6

9 In si ha un punto angoloso con tangnti rispttivamnt di coicint angolar -. L quazioni dll rtt tangnti sono y (tangnt dstra) y- (tangnt sinistra). Inltr ( ) ( ) Quindi in - si ha un punto di cuspid. Mntr in si ha () ( ) Prciò in abbiamo un altro punto di cuspid. Inoltr Graico ( ) ( ) Tormi sull drivat Il torma di Lagrang Data una unzion continua nll' intrvallo chiuso itato [ a, b] drivabil nll'intrvallo aprto ( a, b) sist (almno) un punto c tal ch: () c ( b) ( a) b a Signiicato gomtrico dl torma Il torma di Lagrang arma ch è smpr possibil dtrminar un punto appartnnt all'intrvallo considrato pr il qual la rtta tangnt al graico dlla 7

10 unzion in qul punto è parallla alla rtta congiungnt gli strmi. Inatti la quantità: ( b) ( a) b a individua il coicint angolar dlla rtta di strmi A ( a, ( a)), B( b, ( b)) mntr () c individua il coicint angolar dlla rtta tangnt ( vdi signiicato gomtrico di drivata di una unzion in un punto ) nl punto C ( c, ( c)) L'uguaglianza tra l du quantità è la bn nota condizion di paralllismo tra du rtt. Ossrvazion: Il torma arma l'sistnza di almno un punto c. Ciò quival ad armar non l'unicità di tal punto ma la possibilità ch di punti ch soddisano tal condizion v n siano più di uno! Un punto prò è smpr possibil dtrminarlo (purchè siano soddisatt l ipotsi dl torma!!!) Esmpio Dir s è applicabil il torma di Lagrang alla unzion, [,], [,]. y ngli intrvalli [-,] Svolgimnto. La risposta è ngativa nll'intrvallo [-,]. Inatti la unzion assgnata non soddisa l ipotsi dl torma, non è drivabil nl punto ch appartin all intrvallo ( -,), bnché sia continua in tutto l'intrvallo assgnato.. La risposta è positiva nll'intrvallo [,], inatti in tal intrvallo la unzion è continua drivabil in qualsiasi punto.. La risposta è positiva nll'intrvallo [,], inatti si ossrvi ch bnché la unzion non sia drivabil nl punto qusto non cra problmi prchè il torma richid com ipotsi la drivabilità nll'aprto non ngli strmi! Graico

11 Esrcizio Dir s è applicabil il torma di Lagrang alla unzion: nll intrvallo [,]. Svolgimnto y arctan La unzion assgnata è continua in tutto l'intrvallo (chiuso), bisogna stabilir anch s è drivabil in tutto l'intrvallo aprto, pr ar qusto calcoliamo la drivata prima: y sgn ( ) ( ) Si vd con pochi calcoli ch la unzion prsnta un punto di cuspid ( quindi di non drivabilità) nl punto di ascissa, prtanto nll'intrvallo assgnato non è applicabil il torma di Lagrang. Graico Esrcizi sullo studio di unzion è smpr mglio sguir uno schda prordinato in modo potr utilizzar tutt l inormazioni ncssari pr potr tracciar un graico dlla unzion il più accurato possibil. Lo schma ch consigliamo è il sgunt: Nllo studio di una unzion ( ). Dtrminar il campo di sistnza dlla unzion assgnata (qusto è il punto più important, dtrminar un rrato campo di sistnza compromtt l'intro 9

12 studio di unzion). A tal proposito, ricordiamo quanto già nunciato nlla dispnsa unzioni rali di variabil ral continuità : Si dividono in du classi:. Funzioni algbrich L unzioni lmntari Sono costituit da qull unzioni dov il lgam tra y è di tipo algbrico. Possono ssr cosi suddivis: a) Funzioni razionali intr b) Funzioni razionali ratt c) Funzioni irrazionali. Funzioni trascndnti Sono costituit da qull unzioni dov il lgam tra y non è di tipo algbrico. Possono ssr cosi suddivis: a) Funzioni goniomtrich b) Funzioni sponnziali c) Funzioni logaritmich Dominio o campo di sistnza Assgnata una unzion è ncssario dtrminar l insim di valori dlla variabil indipndnt ch dinisc la unzion. Ricordiamo il dominio dll unzioni lmntari.. Funzioni algbrich a) L unzioni razionali intr sono dinit in tutto il campo ral b) L unzioni razionali ratt sono dinit pr tutti qui valori ch NON annullano il dnominator ( ) ( ) P ( ) C.E. Q { / Q( ) } c) Il dominio dll unzionali irrazionali dipnd dall indic dlla radic, distinguiamo quindi du casi. S l indic dlla radic è un numro pari il campo di sistnza è dato da tutti qui valori dlla ch rndono il radicando maggior o ugual a zro.

13 n ( ) con indic pari C.E. { / Q( ) } ( ) Q S l indic è dispari, l unzioni irrazionali sono dinit su tutto il campo ral. ( ) con indic dispari C.E. R n ( ) Q.. Funzioni trascndnti a) L unzioni goniomtrich com sno cosno sono dinit in tutto l ass ral, mntr tangnt cotangnt sono dinit pr tutti qui valori ch non annullano il dnominator. L unzioni invrs sono dinit com sgu: ( ) arcsin C.E.: { / } ( ) arccos C.E.: { / } ( ) arctan C.E.: R ( ) arc cot C.E.: R b) L unzioni sponnziali sono dinit in tutto l ass ral. c) La unzion logaritmica è dinita pr tutti i valori dlla ch rndono l argomnto (dl logaritmo) strttamnt positivo. a ( ) log C.E., ( ). Stabilir s vi sono vntuali simmtri (risptto all'origin, risptto all'ass y o risptto ad una rtta gnrica, tc.). Ricordiamo ch: Una unzion si dic pari (o simmtrica risptto all ass dll ordinat) s ( ) C.E. ( ) Una unzion si dic dispari (o simmtrica risptto all origin) s ( ) C.E. ( ). Dtrminar l vntuali intrszioni con gli assi.

14 . Studiar il comportamnto dlla unzion agli strmi dl dominio di dinizion, dtrminando quindi gli vntuali asintoti vrticali, orizzontali obliqui. 5. S convin, studiar il sgno dlla unzion pr stabil dov è positiva dov è ngativa ( a sconda dlla unzion qusto calcolo risulta complicato, convin quindi non utilizzarlo smpr, ma solo quando è convnint). 6. Studiar la drivata prima. Analizzar i punti di non drivabilità succssivamnt studiar il sgno dlla drivata pr dtrminar vntuali punti di massimo minimo. 7. Calcolar, quando è convnint, la drivata sconda dtrminar gli vntuali punti di lsso. Concavità convssità Sia : I R, dov I è un intrvallo di numri, una unzion continua du volt drivabil in I. Dirmo ch: è convssa in I s solo s in I è concava in I s solo s in I Tst di monotonia Sia : I R, drivabil. Allora crscnt ( ) I dcrscnt ( ) I. ESERCIZI Studiar il graico dlla sgunt unzion: Esrcizio ( ) Dir s è applicabil il torma di Lagrang nll'intrvallo [-,]. svolgimnto

15 Si tratta di una unzion sponnzial ratta. Dominio Simmtri La unzion è dispari, inatti C.E. (,) ( ), ( ) ( ) ( ) C.E. sarà quindi suicint studiarla solo nll'intrvallo (, ). Si ossrvi ch nl dominio considrato il valor assoluto è suprluo! Comportamnto dlla unzion agli strmi dl campo di sistnza Nl punto la unzion prsnta una discontinuità inabil. Possiamo quindi prolungar con continuità la unzion ridinndola com sgu: Inoltr G ( ) Non ci sono asintoti orizzontali. Ricrca di vntuali asintoti obliqui. m q ( ) ( ) poiché:

16 si ha: q ( ) quindi la rtta y - è un asintoto obliquo pr la unzion. Drivata prima ricrca di punti di massimo minimo ( ) la drivata prima, nll'intrvallo considrato, non si annulla mai d è smpr positiva, la unzion quindi è smpr crscnt. Si ossrvi inoltr ch: Drivata sconda ò ( ) ( ) La drivata sconda non si annulla mai in (, ), inoltr poiché la unzion è smpr crscnt in (, ), la drivata sconda è smpr positiva in (, ). Graico

17 a) Il torma di Lagrang non è applicabil poiché la unzion non è continua nl punto (punto intrno all'intrvallo assgnato) Studiar il graico dlla sgunt unzion: Esrcizio ( ) svolgimnto Si tratta di una unzion sponnzial ratta. Dominio Simmtri La unzion è pari, inatti: C.E. ( ) (,) ( ), ( ) ( ) Sarà quindi suicint studiarla solo nll'intrvallo (, ). Comportamnto dlla unzion agli strmi dl campo di sistnza Il punto è una discontinuità inabil. Possiamo quindi prolungar con continuità la unzion ridinndola com sgu: Inoltr G ( ) Quindi non ci sono asintoti orizzontali. 5

18 Ricrca dgli asintoti obliqui m non vi sono quindi asintoti obliqui (si ricordi ch m dv sistr inito divrso da zro). Drivata prima ricrca di punti di massimo minimo ( ) ( ) La drivata prima, nll'intrvallo considrato, cioè (, ) non si annulla mai d è smpr positiva, la unzion quindi è smpr crscnt. Inoltr si ossrvi ch: Drivata sconda ( ) ( ) ( ) La drivata sconda è smpr positiva (nll'intrvallo considrato) ssndo la unzion smpr crscnt. Graico Studiar il graico dlla sgunt unzion: Esrcizio. 6

19 7 arctan ) ( svolgimnto Si tratta di una unzion goniomtrica irrazional (con indic pari). Dominio La unzion è dinita su tutto l'ass ral ( ),.E. C Comportamnto agli strmi dl dominio ± ± ± arctan ) ( Non ci sono asintoti orizzontali. Ricrca di vntuali asintoti obliqui. arctan ± m 6 arctan arctan ± ± q quindi la rtta 6 y è un asintoto obliquo pr la unzion. Drivata prima ricrca di punti di massimo minimo. < > ) ( ) ( ) ( Si ossrvi ch il campo di dinizion dlla drivata è dirnt da qullo dlla unzion inizial, inatti pr la drivata abbiamo:

20 C.E. (,) ( ) dlla drivata, Studio di punti di non drivabilità: ( ) ( ) quindi nl punto di ascissa si ha una cuspid. Sostitundo nlla unzion dtrminiamo il punto P,. Si ossrvi inoltr ch ( ) è smpr positiva pr >, mntr pr ( ) si ha: > ( ) ( ) > ( ) > ( ) ( ) > ( 5 8) < < Il punto Q, è un punto di massimo pr la unzion. Drivata sconda ( ) > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) < Non ci sono punti di lsso. Graico 8

21 Esrcizio Studiar il graico dlla unzion: ( ) ln( ) Svolgimnto Si tratta di una unzion logaritmica ratta Dominio > ln( ) > C. E. (, ) (, ) Comportamnto agli strmi dl dominio: ln( ) In vi è un punto di arrsto. Inoltr ( ) ln( ) 9

22 ( ) ln( ) La rtta è un asintoto vrtical. inin ln( ) La rtta y è un asintoto orizzontal, non vi sono asintoti obliqui. Drivata prima ricrca di punti massimo minimo ( ) ( )( ln( ) ) si ossrvi ch la drivata prima non si annulla mai, inoltr è positiva pr: ( )( ln( ) ) > pr C. E. La unzion non prsnta né massimi né minimi, d è smpr crscnt. Drivata sconda Graico ( ) ( ln( ) ) ( ) ( ln( ) ) Esrcizio 5

23 Studiar il graico dlla sgunt unzion: log ) ( Svolgimnto Si tratta di una unzion logaritmica ratta Dominio < < < > inoltr quindi:,.e. C Comportamnto agli strmi dl dominio di dinizion Si ossrvi ch: < < log log log ) ( quindi: log La rtta è un asintoto vrtical (dstro) pr la unzion Inoltr log Non vi sono asintoti orizzontali

24 Ricrca di vntuali asintoti obliqui. Non vi sono asintoti obliqui, inatti: log( ) m log (m dv sistr inito divrso da zro) Drivata prima ricrca di massimi minimi ( ) ( ) ( )( ) < < < Si ossrvi ch il campo di sistnza dlla drivata è dirnt da qullo dlla unzion assgnata, inatti si ha: C.E. dlla drivata : (,), Dtrminiamo quindi gli vntuali punti di non drivabilità: ( )( ) ( ) In la unzion prsnta un punto angoloso. In corrispondnza di tal punto si hanno du rtt tangnti al graico dlla unzion, y- (rtta tangnt dstra) y (rtta tangnt sinistra). Inoltr > ( ) > < >

25 quindi la unzion è crscnt pr <, dcrscnt in <</. Drivata sconda ( ) ( ) ( ) ( ) < < < Si vriica acilmnt ch non ci sono punti di lsso. Graico: Studiar il graico dlla sgunt unzion: Esrcizio 6. ( ) ( 5 ) ( ) Svolgimnto Si tratta di una unzion sponnzial irrazional (con indic dispari) Dominio: Comportamnto agli strmi C.E. (, )

26 5 ( ) ( ) (pr la grarchia dgli ininiti) La rtta y è un asintoto orizzontal dstro, mntr ( 5 ) ( ) quindi non vi è asintoto orizzontal sinistro. Ricrca di vntuali asintoti obliqui. ( m 5 ) ( ) Non ci sono asintoti obliqui. Drivata prima ricrca di vntuali punti di massimo minimo: 5 ( ) ( ) 5 5( 5 ) campo di sistnza dlla drivata: C.E. studio di punti di non drivabilità: (, ) (, ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ni punti di ascissa ± il graico dlla unzion prsnta di lssi a tangnt vrtical. Si ossrvi inoltr ch: 6 ( ) > 5 5 < < < la unzion prsnta ni punti di ascissa un minimo un massimo , rispttivamnt, 5

27 Graico (lasciato al lttor com srcizio con il calcolo dlla drivata sconda) Studiar il graico dlla sgunt unzion: Esrcizio 7. ( ) svolgimnto Si tratta di una unzion sponnzial ratta Dominio: C.E. Comportamnto agli strmi dl dominio (,) ( ), la rtta è un asintoto vrtical dstro pr la unzion Si ossrvi ch: ~ pr ± quindi Prciò non ci sono asintoti orizzontali Ricrca di vntuali asintoti obliqui: m m 5

28 q q si ossrvi ch: ~ 6 pr ± quindi: q ± 6 ± 6 abbiamo il sgunt asintoto obliquo: y6 Drivata prima ricrca di punti di massimo minimo: 6 ( ) ( ) ( ) Si ossrvi ch il campo di sistnza dlla drivata è lo stsso dlla unzion inizial, non vi sono quindi punti di non drivabilità. Inoltr: ( ) > > < 5, > 5 abbiamo in corrispondnza di punti 5 5, rispttivamnt, un punto di massimo uno di minimo. Drivata sconda 6 8 ( ) ( ) Annullando la drivata sconda si trova il punto di lsso pr F,. 5 5 Graico (lasciato al lttor com srcizio) 6

29 Studiar il graico dlla sgunt unzion: svolgimnto Esrcizio 8. ( ) log Si tratta di una unzion logaritmica irrazional (con indic dispari). Dominio: C.E. Comportamnto agli strmi dl dominio ( ), log log y [ ] posto ( y ) y y (dalla grarchia dgli ininiti) In si ha una discontinuità di trza spci (inabil). Inoltr log Non ci sono asintoti orizzontali. Ricrca di vntuali asintoti obliqui: m log log non ci sono asintoti obliqui. Drivata prima ricrca di punti di massimo minimi Risulta ) ( (log ) ( ) > log > > nl punto di ascissa la unzion prsnta un minimo. 7

30 Inoltr si ossrvi ch: ( ) (log ) Drivata sconda ) 9 ( ( log ) Annullando la drivata sconda si trova il punto di lsso F,. Graico: 5 Esrcizio 9 Studiar la sgunt runzion: ( ) arctan( ) Svolgimnto La unzion è goniomtrica. Dominio C. E. (, ) 8

31 Si ossrvi ch oprando la traslazion X- la unzion assum la orma: g( ) ( X ) arctan Comportamnto agli strmi dl dominio arctan arctan Non ci sono asintoti orizzontali. Ricrca dgli vntuali asintoti obliqui m arctan arctan q arctan arctan H arctan [ ] m arctan arctan q H arctan [ ] arctan arctan abbiamo quindi l asintoto obliquo y ( ) pr y ( ) pr. Drivata prima vntuali punti di massimo minimo La drivata non è dinita in, analizziamo la natura di qusto punto di non drivabilità: g ( ) arctan arctan arctan > < La drivata non è dinita in, analizziamo la natura di qusto punto di non drivabilità: 9

32 arctan arctan abbiamo qundi un punto angoloso di ascissa. Si ossrvi inoltr ch la drivata prima non si annulla mai, la unzion è smpr crscnt pr dcrscnt pr <. Graico: Studiar il graico dlla sgunt unzion: Svolgimnto Esrcizio. ) arcsin ( Si tratta di una unzion goniomtrica ratta Dominio Si ossrvi ch il dnominator dlla razion è smpr divrso da zro, dv risultar: (trann ) quindi

33 ( ),.E. C Comportamnto dlla unzion agli strmi dl dominio ± ± arcsin Non vi sono asintoti orizzontali. Ricrca di vntuali asintoti obliqui arcsin ± m arcsin ± q abbiamo dtrminato l'asintoto obliquo di quazion: y Drivata prima ricrca di massimi minimi: ( ) > < 5 7 ) ( 6 ) ( si ossrvi ch il campo di dinizion dlla drivata è dirnt dal campo di dinizion dlla unzion inizial, pr la drivata si ha: ( ) ( ),,.E. C Studiamo quindi la drivata sinistra nl punto zro: ( ) 7 ( ) 5 Nll'origin si prsnta un punto angoloso

34 Studiando il sgno dlla driva prima si dtrmina un punto di minimo con ascissa 5. Drivata sconda ( ) ( ) ( ) < > Graico: Studiar il graico dlla sgunt unzion: Esrcizio. ( ) arctan Svolgimnto Si tratta di una unzion goniomtrica ratta

35 Dominio Posto, da cui sgu ch: C.E. Comportamnto agli strmi dl dominio (, ) (, ) ( ), arctan ± La rtta Inoltr y un asintoto orizzontal. arctan arctan Prciò nl punto - si ha una dicontinuità di prima spci. Inin arctan arctan Nl punto si ha una dicontinuità di prima spci. Drivata prima ricrca di punti di massimo minimo ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) Si ossrvi ch il dominio dlla drivata è dirnt dal dominio dlla unzion assgnata. La drivata ha il sgunt dominio: C.E. (, ) (, ) (,) ( ), Studiamo quindi il comportamnto dlla drivata in

36 ( ) ( ) n dduciamo ch nl punto si ha un punto angoloso. Si ossrvi inoltr ch la unzion è smpr dcrscnt pr >, mntr è crscnt pr <. Drivata sconda ( ) ( ) Graico: Esrcizio. Studiar il graico dlla sgunt unzion: ( ) log(log( )) Svolgimnto Si tratta di una unzion logaritmica Dominio

37 > log( ) > < - > < Quindi (,) C. E. Comportamnto agli strmi dl dominio: Non ci sono asintoti orizzontali. log(log( )) La rtta è un asintoto vrtical dstro. Inoltr log(log( )) Ricrca di vntuali asintoti obliqui: log(log( )) log( y) m (posto y log( ) y y Non ci sono asintoti obliqui. Drivata prima ricrca di punti di massimo minimo ( ) log( ) La driva prima non si annulla mai nl dominio di dinizion, inoltr è smpr ngativa, quindi la unzion è smpr dcrscnt. Drivata sconda Graico log( ) ( ) log ( ) ( ) 5

38 Esrcizio. Studiar il graico dlla sgunt unzion: ( ) ( ) log( ) Svolgimnto La unzion è logaritmica irrazional Dominio ( ) > > Comportamnto agli strmi > ( ) log( ) (posto y ) ( log y) y y Inoltr ( ) log( ) Non ci sono asintoti orizzontali. Ricrca di vntuali asintoti obliqui. 6

39 ( ) log( ) m Drivata prima ricrca di punti di massimo minimo ( ) ( ) log( ) Si ha: ( ) log( ) Inoltr: Drivata sconda: Si ha: ( ) ( ) ) ( ) log( ) ( ) log( ) ( ( ) > ascissa dl punto di minimo. Si ossrvi ch il punto va scluso in quanto non appartin al campo di sistnza. 8 8 Annullando la drivata sconda si trova il punto di lsso F, Inoltr la unzion è crscnt pr >, mntr pr < la unzion è dcrscnt. Graico 7

40 Studiar il graico dlla sgunt unzion: Esrcizio. ( ) svolgimnto Si tratta di una unzion sponnzial ratta Dominio: C.E. Comportamnto agli strmi dl dominio (,) ( ), la rtta è un asintoto vrtical sinistro pr la unzion Inoltr 8

41 9 Non ci sono asintoti orizzontali Ricrca di vntuali asintoti obliqui: m m q q si ossrvi ch: ~ pr ± quindi: q ± ± abbiamo il sgunt asintoto obliquo: ) ( y Drivata ricrca di punti di massimo minimo: ) ( 5 ) ( Si ossrvi ch il campo di sistnza dlla drivata è lo stsso dlla unzion inizial, non vi sono quindi punti di non drivabilità. Inoltr: 5, 5 5 ) ( > < > >

42 abbiamo in corrispondnza di punti punto di massimo uno di minimo. 5 5 < >, rispttivamnt, un Graico: (lasciato al lttor com srcizio insim al calcolo dlla drivata sconda) Esrcizio 5 Studiar il graico dlla sgunt unzion: ( ) log Svolgimnto Si tratta di una unzion logaritmica ratta. Dominio: > > C. E. (, ) (,) (, ) Comportamnto agli strmi dl dominio: log log La rtta un asintoto vrtical (sinistro), mntr la rtta un asintoto vrtical (dstro). Inoltr log log La rtta un asintoto vrtical Inoltr 5

43 log ± prciò non vi sono asintoti orizzontali. Ricrca di vntuali asintoti obliqui m log m log Inatti: log log log m Non vi sono asintoti obliqui. Drivata prima ricrca di massimi minimi Si ossrvi ch ( ) > quando: 8 ( ) ( )( ) log log log 8 ( )( ) > (, ) (nlla risoluzion dlla disquazion si è tnuto conto anch dl campo di dinizion dlla unzion) La unzion prsnta un minimo in. Lasciamo al lttor lo studio dlla drivata sconda. Graico: 5

44 Esrcizio 6 Studiar il graico dlla sgunt unzion: ( ) log Svolgimnto Si tratta di una unzion logaritmica ratta. Dominio: > < quindi: (,) C. E. Simmtri Non vi sono simmtri Comportamnto agli strmi dl dominio log log 5

45 La rtta è un asintoto vrtical (sinistro) pr la unzion. Inoltr log log quindi non vi sono asintoti orizzontali Ricrca di vntuali asintoti obliqui log (dalla grarchia dgli ininiti) non vi sono asintoti obliqui. Drivata prima ricrca di punti di massimo minimo ( ) La drivata prima non si annulla mai, inoltr è smpr positiva nl dominio considrato, quindi la unzion è smpr crscnt. Drivata sconda Graico ( ) ( ) Esrcizio 7. 5

46 Studiar il graico dlla sgunt unzion: ( ) log Si tratta di una unzion logaritmica ratta Dominio: > > > < > quindi: C.E. (,) ( ), Simmtri La unzion non prsnta simmtri. Comportamnto dlla unzion agli strmi dl dominio: log log La rtta di quazion è un asintoto vrtical sinistro mntr la rtta è un asintoto vrtical dstro. Inoltr log log log log La rtta ylog è un asintoto orizzontal pr la nostra unzion (non vi sono quindi asintoti obliqui). Drivata prima ricrca di massimi minimi ( ) ( ) La drivata prima non si annulla mai. Inoltr è smpr positiva nl dominio di dinizion, quindi la unzion è smpr dcrscnt. Drivata sconda 5

47 ( ) ( ) E acil vriicar ch la unzion non prsnta lssi. Graico: Studiar il graico dlla sgunt unzion: Esrcizio 8 ( ) Si tratta di una unzion sponnzial irrazional (con indic pari) ratta. Dominio: quindi: C.E. [, ) (, ) Simmtri la unzion non prsnta simmtri. Comportamnto dlla unzion agli strmi dl dominio 55

48 Nl punto la unzion prsnta una discontinuità di sconda spci, inotr la rtta di quazion è un asintoto vrtical (sinistro) pr la unzion. Inoltr la rtta y è un asintoto orizzontal pr la unzion. Non vi sono quindi asintoti obliqui. Inoltr si ossrvi ch: ( ) Drivata prima ricrca di massimi minimi ( ) ( ) La drivata non si annulla mai, inoltr è smpr ngativa nl dominio di dinizion, quindi la unzion è smpr dcrscnt. Si ossrvi anch ch il campo di dinizion dlla drivata è dirnt dal campo di sistnza dlla unzion (), inatti la drivata non è dinita nl punto di ascissa -. Studiamo quindi il comportamnto dlla drivata prima in tal punto: ( ) Graico (lasciato al lttor com srcizio insim al calcolo dlla drivata sconda). 56