UN ESPERIENZA DIDATTICA IN UNA SECONDA CLASSE DI LICEO SCIENTIFICO: I RADICALI IN R

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1 ALMA MATER STUDIORUM UNIVERSITA DI BOLOGNA Sede di Bologn Scuol di Specilizzzione per l Insegnmento Secondrio Indirizzo Fisico Informtico Mtemtico Clsse A047 Direttore dell Scuol: Prof. Roberto Greci Direttore Sezione di Bologn: Prof. Antonio Genovese UN ESPERIENZA DIDATTICA IN UNA SECONDA CLASSE DI LIO SCIENTIFICO: I RADICALI IN R Tesi di bilitzione ll insegnmento secondrio Presentt d Dott.ss Chir Gimpietro Il supervisore Prof. Fbrizio Monri Reltore Chir.mo Prof. Piero Plzzi Anno Accdemico 006/007

2 Ringrzio il professore Piero Plzzi, il professore Fbrizio Monri e l professoress Mri Grzi Dell Uomo. Dedico quest tesi i rgzzi dell second B, i miei primi lunni.

3 INDI PRESENTAZIONE... Pg. 1 CAPITOLO 1: LA DEFINIZIONE DEL PERCORSO Pg. 1.1 Introduzione... Pg. 1. Qudro teorico... Pg. 1. Rdicli nei curricoli dell scuol secondri... Pg Osservzione in clsse... Pg Scelte metodologiche... Pg Nscit del progetto... Pg. 1 CAPITOLO : LA SPERIMENTAZIONE IN CLASSE Pg Questionrio inizile: problemtiche riscontrte... Pg. 15. Introduzione ll definizione di rdice n-esim... Pg. 0. Condizioni di esistenz dei rdicli in R... Pg..4 Definizione di vlore ssoluto... Pg. 5.5 Proprietà invrintiv... Pg. 8.6 Trsformzioni di rdicli... Pg..7 Operzioni con i rdicli... Pg. 7.8 Potenze d esponente frzionrio... Pg. 8 CAPITOLO : LA VALUTAZIONE Pg. 4.1 L verific formtiv... Pg. 4. L verific sommtiv... Pg. 50. Un vlutzione estern... Pg Considerzioni finli sull SSIS... Pg. 59. BIBLIOGRAFIA... Pg. 61 ALLEGATI... Pg. 6

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5 PRESENTAZIONE In quest tesi sono riportte lcune considerzioni e riflessioni sull ttività di tirocinio svolt in un second clsse del liceo scientifico E. Fermi di Bologn. L propost del progetto di tirocinio rigurd lo studio dei rdicli in R. Il tirocinio si inserisce come momento fondmentle ll interno del percorso dell Scuol di Specilizzzione. L tesi è suddivis in tre cpitoli cui fnno seguito gli llegti. Il Cpitolo 1 illustr l trttzione teoric dell oggetto mtemtico specificmente interessto e l su colloczione istituzionle, il ruolo che gioc nei curricoli dell scuol secondri, l mi esperienz di osservzione in clsse e l nscit del progetto. Nel Cpitolo viene presentt un cronc rgiont dell ttività didttic svolt; si sono evidenzite le differenze con il percorso ipotizzto e nlizzte le difficoltà incontrte. Nel Cpitolo sono stti discussi e interpretti i risultti ottenuti nelle verifiche formtiv e sommtiv. E stt inoltre inserit un vlutzione sull efficci e sull efficienz dell zione didttic, ll luce delle risposte del questionrio di grdimento, e lcune considerzioni personli sull Scuol di Specilizzzione e sull ttività di tirocinio. Nell sezione Allegti sono inseriti il progetto di tirocinio come pprovto dll Commissione Tirocinio, il test sui prerequisiti, il testo delle verifiche formtiv e sommtiv e il questionrio di grdimento. 1

6 CAPITOLO 1 LA DEFINIZIONE DEL PERCORSO 1.1 INTRODUZIONE L osservzione in clsse è un occsione per vedere messi in prtic i concetti propri dell Didttic dell Mtemtic, per sperimentre personlmente qunto ppreso nei corsi teorici, un opportunità per entrre in conttto con le vrie situzioni d ul, per cquisire informzioni sull clsse nell qule poi srà ttuto il progetto in fse di tirocinio ttivo, nlizzre i processi cognitivi degli llievi, l loro prtecipzione lle lezioni e le loro convinzioni rigurdo l disciplin. Tutte queste informzioni sono importnti per poter relizzre un progettzione che teng conto, non solo del spere d insegnre, m nche dei destintri dell zione didttic. I risultti dell ricerc in Didttic dell Mtemtic e il tirocinio osservtivo consentono di riflettere sui processi di insegnmento-pprendimento e di costruire un percorso didttico in ccordo con l reltà del contesto clsse in cui tle percorso verrà in seguito concretizzto e con lo stile di insegnmento del tutor. L istituto presso il qule ho svolto l ttività di tirocinio è il Liceo Scientifico E. Fermi di Bologn. L fse dell osservzione in clsse si è svolt nei mesi di ottobre, novembre, dicembre e gennio. L scelt dell clsse in cui tture il progetto di tirocinio, l B, e l rgomento del tirocinio, i rdicli in R (per rdicli in R si intendono rdicli con rdicndo nell insieme dei numeri reli reltivi), sono stti concordti con l tutor Mri Grzi Dell Uomo: l rgomento è stto deciso in bse l periodo nel qule dovev relizzrsi il mio intervento didttico, in ccordo con i tempi dell progrmmzione curricolre. Per qunto rigurd le notzioni presenti in quest tesi, si è deciso di derire l libro di testo dottto, N. Dodero, P. Broncini, R. Mnfredi Nuovo corso di lgebr, Ghisetti e Corvi Editori. Con R, quindi, si intende l insieme dei numeri reli, rppresent l insieme dei numeri reli positivi, + R + R 0 indic l insieme dei numeri reli positivi incluso lo zero, N è l insieme dei numeri nturli compreso lo zero, N 0 l insieme dei numeri nturli escluso lo zero.

7 1. QUADRO TEORICO Come già ffermto, oggetto del mio tirocinio sono i rdicli in R. Qunto segue vuole dre un ide dell colloczione teoric di questo rgomento. L proprietà fondmentle che distingue il corpo dei reli d quello dei rzionli è l completezz. Dopo ver ricordto che in R è definito un ordinmento totle per mezzo dell usule relzione,, riprendimo i concetti di estremo superiore e di estremo inferiore. Si A R (non vuoto) limitto superiormente. Il sup A è il minimo dei mggiornti di A. Esso coincide col mssimo di A, qundo questo esiste. Anlogmente, si A R (non vuoto) limitto inferiormente. L inf A è il mssimo dei minornti di A. Esso coincide col minimo di A, qundo questo esiste. Per le definizioni di ordinmento, mggiornte, minornte, mssimo, minimo e ulteriori pprofondimenti ho consultto Pgni Sls, Anlisi Mtemtic, vol.1. Si può enuncire questo punto il teorem di completezz, sull bse dell continuità espress dll ssiom di Dedekind (v. sotto). Teorem (di completezz). Si A R, A. Se A è limitto superiormente (inferiormente), A possiede estremo superiore (inferiore). Si osservi che il teorem di completezz mmette vrie formulzione fr loro equivlenti. Forse l formulzione più ust nelle scuole medie superiori è quell che f ricorso ll ssiom di Dedekind. Al fine di enuncire tle ssiom, bisogn premettere che due insiemi numerici non vuoti A e B si dicono un sezione dell insieme dei reli se ogni numero rele è elemento di A oppure di B e se risult A e per ogni elemento b di B. L ssiom di Dedekind si enunci nel seguente modo: < b per ogni elemento di Per ogni sezione { A, B} dell insieme dei numeri reli esiste un unico numero c, detto elemento di seprzione, tle che c b, qulunque sino in A e b in B.

8 Pensndo ll rppresentzione geometric dei numeri sull rett, osservimo che l ssiom di Dedekind è l formulzione modern del postulto di continuità dell rett in Euclide. Questo impinto è funzionle definire le rdici n-esime. Inftti, in conseguenz l teorem di completezz, possimo eseguire nel cmpo rele operzioni che sono solo occsionlmente possibili nel cmpo rzionle. Nel testo di Pgni-Sls si mostr come può essere introdott l operzione di estrzione di rdice n-esim. Considerimo l equzione x = y ; ess non h lcun soluzione se y < 0 (in virtù dell struttur di cmpo ordinto esistente in R) ed h evidentemente l sol soluzione null se y = 0 ; possiede invece esttmente due soluzioni x 1 e x se y > 0, l un positiv e l ltr negtiv. Invece l equzione x = y h sempre, per ogni y R, un sol soluzione x 1 ; risult x = 0 se y = 0, x > 0 se y > 0 e x < 0 se y < L discussione precedente può essere generlizzt ll equzione x n = y, seprndo il cso n pri d quello n dispri. L ricerc di queste soluzioni corrisponde ll operzione di estrzione di rdice n -esim. E possibile quindi enuncire il seguente teorem. Teorem. Si y R, y 0 ed n N 0. Esiste un unico numero rele positivo x tle che x n = y. Tle numero si chim rdice n -esim ritmetic di y e si indic col simbolo n y oppure, come si vedrà, col simbolo 1 n y. Attrverso il teorem precedente si definisce l operzione di elevmento potenz con esponente rzionle e bse strettmente positiv. Bsterà limitrsi l cso 1, poiché se 0 < < 1, porremo: Si dunque 1, m r =, m Z, n N 0 n L definizione è ben post (v. sotto). b : = 1 b, m e n primi fr loro; ponimo 1 m n ( ) n ( ) m r : = = b, 4

9 Vengono dimostrte inoltre le note regole sugli esponenti (sino, b reli positivi, r, s rzionli): r r r i. > 0 r ; > 1 se > 1 r > 0 ; < 1 se < 1 r > 0 ii. r+ s = r s b r r iii. ( ) r = r r s iv. ( ) s = b v. se r < s llor r s < se > 1 oppure r s > se < 1. r Notimo che 1 = 1, r Q permette di confrontre potenze con bsi diverse: vi. < b b r r 0, se > 0. Immedit conseguenz di i. è l seguente proprietà che r. 1. I RADICALI NEI CURRICOLI DELLA SCUOLA SECONDARIA Nei progrmmi Brocc e P.N.I l rticolzione dei contenuti è suddivis in cinque temi: geometri del pino e dello spzio, insiemi numerici e clcolo, relzioni e funzioni, elementi di probbilità e sttistic, elementi di logic ed informtic. L introduzione intuitiv dei numeri reli, i rdicli qudrtici e le operzioni elementri su essi sono inseriti nel tem: Insiemi numerici e clcolo. All luce di qunto ffermto nei progrmmi, nel trttre le potenze bse rele positiv e d esponente rzionle, e quindi nel clcolo dei rdicli, srebbe opportuno non insistere sull ripetitività e complessità delle espressioni, dovendosi privilegire sempre, più che l'esercizio fine se stesso, l pdronnz concettule e l conspevolezz delle procedure seguite. Nell usule trttzione che si f dei rdicli nell insegnmento secondrio viene spesso dt un eccessiv ttenzione d un grn numero di tecnicismi di clcolo, trscurndo spetti concettuli più significtivi: il simbolo n può riferirsi d elementi di R. A questo proposito i risultti di un progetto di ricerc, discusso nell rticolo di E. Fischbein, R. Jehin e D. Cohen Il concetto di numero irrzionle in studenti di scuol superiore ed in futuri insegnnti, dimostrno che i concetti di numero rzionle, irrzionle e rele non sono chirmente definiti nell mente degli studenti, tnto che lcuni di essi rrivno pensre come numeri irrzionli solo quelli provenienti d estrzione di rdice, ignorndo che sono invece irrzionli molti ltri numeri, come il numero π, o l mggior prte dei logritmi o i vlori delle funzione goniometriche di un generico ngolo. Srebbe forse il cso di dre meno spzio ll insieme delle tecniche 5

10 risolutive, pprofondendo lcuni spetti concettuli come, d esempio, il pssggio dl discreto l continuo, l incommensurbilità, l relzione tr quest e l su espressione numeric. Nel documento dell UMI, che consiste di quttro nuclei temtici (numeri e lgoritmi, spzio e figure, relzioni e funzioni, dti e previsioni) e di tre nuclei trsversli, centrti su processi crtteristici dell mtemtic (rgomentre, congetturre e dimostrre, misurre, risolvere e porsi problemi) l introduzione ll insieme dei numeri reli, il clcolo dei rdicli e l potenz di numeri positivi con esponente rzionle sono contenuti nel nucleo Numeri e lgoritmi. Nel documento si dnno lcuni suggerimenti per ffrontre in clsse questi rgomenti: i numeri reli ndrebbero introdotti in form intuitiv, e solo successivmente sostenuti dll introduzione delle clssi contigue; si dovrebbe fre un esme critico sul modo in cui si svilupp il concetto di potenz qundo si pss d un insieme numerico d un ltro (d esempio dgli interi i rzionli, i reli), utile per preprre l strd ll introduzione dell funzione esponenzile e dell funzione logritmic; bisognerebbe ridurre l minimo il clcolo con i rdicli. Srebbe inoltre opportuno rivedere l costruzione teoric degli insiemi N, Z, Q, R non ssiomticmente, m evidenzindo l loro struttur incpsult e le proprietà che li differenzino gli uni dgli ltri. Nel documento dell UMI è inoltre propost un interessnte ttività didttic sull introduzione dell, ttrverso un psso trtto dl testo greco: il Menone di Pltone. Nel testo Socrte propone un problem geometrico d un giovne, servo dell mico Menone, senz prticolri conoscenze mtemtiche. Gli studenti, ripercorrendo i pssi del dilogo tr Socrte e il giovne servo, nlizzno l figur procedendo per grdi e, medinte successive intuizioni, tenttivi e verifiche, rrivno ll conquist del concetto. Nell progrmmzione curricolre dell tutor il clcolo dei rdicli in R è inserito subito dopo l trttzione delle disequzioni di primo e secondo grdo, operndo un vrizione rispetto l libro di testo dottto, N. Dodero, P. Broncini, R. Mnfredi Nuovo corso di lgebr, Ghisetti e Corvi Editori, che dedic ll rgomento il secondo dei dicinnove cpitoli in cui è suddiviso, successivo solo llo studio dei numeri reli. Nel testo i numeri reli vengono introdotti ttrverso il concetto di clssi contigue, dopo vere ccennto ll incompletezz di Q e ll esigenz di un mplimento degli insiemi numerici già noti, ovvero ll necessità di introdurre un nuovo insieme in cui sino possibili ltre operzioni, oltre quelle elementri: l insieme dei numeri irrzionli. 6

11 L docente titolre h scelto un trttzione unitri dei rdicli. L operzione di sintesi consiste nel definire un solo e unico concetto, si pure distinguendo più csi: si un numero rele ed n un numero nturle non nullo. Se 0, chimimo rdice n-esim di e indichimo con n, quell unico numero rele non negtivo b tle che b n =. Se < 0 ed n è pri, non si prl di rdice n-esim di e non si ttribuisce lcun significto l simbolo n. Se < 0 ed n è dispri, chimimo rdice n-esim di, e si indic con n, quell unico numero rele (necessrimente negtivo) b tle che b n =. L scrittur n si dice il rdicle individuto dl rdicndo e dll indice n. E in corso un discussione pert proprio su questo tem, dibttuto l nno scorso nche in sede di coordinmento disciplinre, presso l istituto nel qule ho svolto il tirocinio. Ci sono due correnti di pensiero: i sostenitori dell distinzione tr rdicli ritmetici e rdicli lgebrici e i propugntori di un pproccio che consent un trttzione unitri dell rgomento, sostenendo che tle modello eviti confusione ed errori. Per gli ssertori di questo ultimo pproccio, i vntggi sono evidenti: l scrittur n non dà luogo d mbiguità, ed nzi l n definisce, per ogni numero intero positivo n, un funzione rele di vribile rele (il cui dominio coincide con R se n è dispri, e si riduce ll intervllo + R 0 se n è pri). I sostenitori di questo modello considerno l distinzione dei due rdicli fonte di difficoltà per gli studenti, qundo si rriverà l punto in cui non srà più possibile considerre solo rdicli con rdicndo positivo. Ci srà inftti un momento in cui divent necessrio considerre rdicli con rdicndo negtivo, d esempio qundo si ffrontno le cosiddette funzioni elementri d R R e le loro inverse. L funzione x è definit e crescente su tutto R, è dunque invertibile in R. L su invers verrà indict con x e qui x può ssumere nche vlori negtivi; m certmente i simboli n che compiono nell espressione di un funzione non possono essere rdicli lgebrici, dto che questi rppresentno l'intero insieme di tutti i numeri y tli che y n = x. Il simbolo n nei percorsi del Liceo ssume quindi il significto espresso dll definizione dt in precedenz. V detto llor che si st in effetti cercndo di eliminre quest distinzione, se non ltro perché il ftto di ssocire due significti diversi llo stesso simbolo è inutilmente fuorvinte. A questo proposito mi è stto riferito dl supervisore, che h vissuto in prim person quest esperienz, che gli studenti che si sono imbttuti nell distinzione fr i due rdicli nel corso dei 7

12 loro studi, nche distnz di nni, di fronte d un rdicle, continuno comunque chiedersi se è lgebrico o ritmetico. Alle due correnti di pensiero rigurdo ll trttzione dei rdicli corrispondono i diversi modi di ffrontre l rgomento, presenti nei vri libri di testo. E possibile, quindi, trovre testi che operno un distinzione tr rdicli ritmetici e rdicli lgebrici (d esempio G. Zwirner, L. Scglinti, A. Brusmolin Mntovni Non solo Algebr, Cedm), e ltri che dnno un sol definizione di rdicle, simile quell dt in precedenz in questo stesso prgrfo (Persno M.R., Ribldi L., Znoli G. Mtemtic per il biennio delle superiori, Juvenili). Inoltre, tr i libri di testo che propongono un trttzione unitri dell rgomento, lcuni fnno un ulteriore distinzione (Dodero N., Broncini P., Mnfredi R. Nuovo corso di lgebr, Ghisetti e Corvi Editori): ffrontno lo studio dei rdicli dpprim in + R 0 (si considerno, cioè, solo rdicli con rdicndi fttori positivi), per fcilitre l cquisizione delle regole di clcolo, per poi procedere con i rdicli in R, riprendendo tutte le operzioni precedentemente considerte e discutendole opportunmente. Infine ci sono lcuni testi che scelgono di ffrontre lo studio dei rdicli d un punto di vist funzionle e introducono inizilmente i rdicli qudrtici e cubici. Qunto detto viene poi generlizzto per qulsisi ltro vlore n N 0 definit su R, con insieme dei vlori diviene se si ristringe il dominio vente ncor per dominio e per insieme dei vlori. Si consider, cioè, l funzione y = x, + R 0 : non essendo biiettiv, non è invertibile, m lo + R 0. Allor esiste l su funzione invers y = x, + R 0, ll qule viene dto il nome di funzione rdice qudrt. Si pss poi considerre l funzione y = x, il cui dominio e insieme dei vlori coincidono con l insieme R. L funzione è biiettiv e quindi invertibile; l su funzione invers è y = x ed è dett funzione rdice cubic. 1.4 OSSERVAZIONE IN CLASSE Ho dedicto un intervllo di tempo bbstnz mpio quest fse del tirocinio, in qunto ho ritenuto opportuno seguire l B senz interruzioni, per rendermi conto dei problemi che gli lunni vrebbero eventulmente incontrto nell trttzione delle disequzioni, l cui comprensione er fondmentle per riuscire d ffrontre e cpire l rgomento-oggetto del mio tirocinio. 8

13 Durnte l osservzione in clsse ho vuto modo di osservre le tre componenti coinvolte nel processo di insegnmento-pprendimento, schemtizzte dl tringolo di Chevllrd: l insegnnte, l llievo e il Spere. Ognuno di questi h un ruolo rilevnte ed entr in relzione con gli ltri. Occorre così che il docente progrmmi il suo lvoro conspevole del ftto che il processo di pprendimento non dipende solo dll disciplin insegnt e dlle strtegie didttiche messe in tto. L insegnnte è colui che si pone come meditore tr il spere oggetto dell disciplin e l llievo, e nell dttre il spere mtemtico d un spere d insegnre deve tenere conto nche dei destintri dell trsposizione didttic. Riporto questo punto le mie riflessioni, scturite durnte l fse di osservzione in clsse, in merito gli elementi del processo di insegnmento-pprendimento sopr citti. Lo stile di insegnmento dell tutor è linere e metodico. Prim di ogni lezione l insegnnte fornisce delle indiczioni sui contenuti che verrnno ffrontti. Gli rgomenti vengono spesso presentti in termini differenti d quelli usti nel libro di testo, cercndo sempre il modo più efficce per frlo; vengono inoltre utilizzte fotocopie preprte dl docente ed eventuli ltri testi con lo scopo di confrontre le vrie trttzioni, pprofondire gli rgomenti trttti e biture gli lunni d un tteggimento critico nei rigurdi dei temi ffrontti. Le lezioni sono frontli, m dilogte, per rggiungere meglio l obiettivo del rigore espositivo e del corretto uso del simbolismo qule specifico mezzo del linguggio scientifico. L insegnnte cerc, inoltre, di coinvolgere gli studenti sollecitndo interventi con continue domnde, in modo d tenere vivo l interesse e mntenere il più lto possibile il livello di ttenzione. L prim prte dell lezione è di solito dedict ll correzione ll lvgn degli esercizi ssegnti per cs. Ho notto, inoltre, che l tutor dedic molto spzio ll discussione in clsse dei risultti delle verifiche, in modo d consentire gli studenti di sciogliere gli eventuli dubbi e rrivre d un utovlutzione. L tutor non usufruisce dell usilio di nessun softwre didttico. Il tempo trscorso in B durnte i mesi dell osservzione mi h permesso di frmi un ide sul modo di lvorre degli lunni e sul clim che si respir in clsse. Durnte le lezioni si lternno continumente momenti di mggiore impegno e momenti di minore. Gli lunni si distrggono fcilmente e bisogn cercre sempre un modo per richimre l loro ttenzione. Ho cpito che è necessrio coinvolgerli di continuo, porre delle domnde, renderli protgonisti ttivi dell lezione, perché bst vermente poco per perdere il loro interesse e l loro concentrzione. Nei momenti in cui il livello di 9

14 ttenzione è bbstnz lto, i rgzzi, nche se non tutti, sono prtecipi, fnno interventi pertinenti e chiedono spiegzioni. Dll osservzione è emerso che l mggior prte degli llievi ccett le regole e le tecniche di clcolo per limitrsi riprodurle meccnicmente, senz preoccuprsi dei significti e delle proprietà su cui tli tecniche si bsno. Riporto, questo proposito, un episodio ccduto durnte un lezione sulle disequzioni di primo grdo. L insegnnte suggerisce di sommre d entrmbi i membri x, in modo d vere tutti i termini in x l primo membro. Lo scmbio di bttute che è vvenuto in seguito è molto significtivo. Michele: Prof m cos è quest stori? Bst portrlo di là! Prof: M per qule strno mistero il numero può essere portto di là cmbindo di? Michele: Ah, non l ho mi cpito! Per molti rgzzi il portre di là è un regolett, priv di significto, d ccettre senz porsi troppe domnde, e non h niente che vedere con il primo principio di equivlenz. Durnte l osservzione in B ho vuto modo di riflettere su un ltr questione che secondo me merit prticolre ttenzione. L insegnnte stv interrogndo un rgzz. Le vev dto un equzione ed un numero, e le vev chiesto di stbilire se quel numero fosse o meno soluzione dell equzione dt. L studentess non è riuscit trovre nessun ltro modo se non quello di risolvere l equzione. Mi sono res conto, llor, di qunto gli studenti preferiscno risolvere l esercizio, ttrverso l ppliczione di trttmenti lgebrici, piuttosto che soffermrsi ttentmente sull consegn, e riconoscervi qulche interessnte crtteristic del problem, che vle l pen mettere in evidenz per risprmire lunghi clcoli e tempo. Un ltro problem che ho vuto modo di rilevre durnte l fse di osservzione, emers nche in fse di espletmento del progetto, è l continu ricerc di un formul, un sort di ricett, ll qule potere ffidre lo svolgimento dell esercizio, ed evitre così di rgionre sull oggetto mtemtico coinvolto e fre le opportune considerzioni per giungere l risultto. Sctt questo punto un delle clusole del contrtto didttico, definito d Brousseu come l insieme delle bitudini dell insegnnte ttese dll llievo ed i comportmenti dell llievo ttesi dl docente (D Amore, 1999); l insieme, cioè, di regole implicite che vengono crersi nelle situzioni d ul e che non sono stte dichirte pertmente. L clusol ttivt nell situzione ppen descritt è l 10

15 clusol di deleg formle: lo studente divent un semplice esecutore, deleg ll lgoritmo il compito di risolvere il problem, non controll e non riflette sullo svolgimento. L su unic mnsione srà quell poi di trscrivere il risultto. Ho vuto l impressione che l esistenz di regole cui ffidrsi fosse per loro un certezz cui ppoggirsi nell risoluzione dell esercizio, e che non si fidssero dell loro cpcità di rgionre. All bse di quest ricerc dispert di un formul può esserci un difficoltà nell concettulizzzione. Lo studente non riesce comprendere pieno i concetti coinvolti, si limit pensrli solo come riferimento di procedure formli, spesso complicte, che conducono risultti privi di significto. Mi sembr di poter confermre che gli llievi finiscono così con il credere che le regole ed i metodi studiti rppresentino l ver essenz dell lgebr. L uso delle tecniche in modo completmente utomtico port ll esclusione di un qulsisi tipo di riferimento, fvore di un immotivt fiduci nel procedimento, mentre l lgebr non è uno strumento di puro clcolo, un gioco di simboli senz senso, m uno strumento di pensiero, d utilizzre per cpire generlizzzioni, per cogliere nlogie strutturli, per rgomentre in mtemtic. (Bzzini, 000) Ostcolo epistemologico rilevto in fse di osservzione è l gestione dello zero. E cpitto inftti più volte che lo studente includesse nell insieme delle soluzioni di un disequzione frzionri i vlori che nnullno il denomintore. Ho vuto, inoltre, occsione di riflettere su qunto si difficile per gli studenti comprendere il senso dell ttività del dimostrre. L dimostrzione viene ust spesso dgli llievi come strumento per dimostrre ll insegnnte che hnno cpito, che hnno imprto, senz rgionre su ciò che stnno fcendo. Ho notto, inftti, che in line di mssim riescono ripetere le dimostrzioni ftte in clsse dll tutor, m è sufficiente che i punti sino indicti con lettere diverse, o il tringolo messo in un posizione differente d quell del libro, per confonderli. Un rgzzo pensv ddirittur di ver sbglito l dimostrzione perché l disposizione delle lettere, nel suo di, non coincidev con quell del di che l professoress vev ftto ll lvgn durnte l correzione. Un errore frequente negli lunni che si sono vvicinti d poco ll dimostrzione e quindi non hnno ncor dimestichezz con quest ttività, è nell comprensione del testo del teorem, nel riuscire distinguere le ipotesi dll tesi. Molto più spesso di qunto potessi immginre ho ssistito strne dimostrzioni che pretendevno di provre un tesi prtendo proprio d quest. 11

16 1.5 SLTE METODOLOGICHE All luce di qunto è stto desunto in fse di osservzione ho ipotizzto lcune possibili indiczioni generli d seguire durnte l ttivzione del progetto di tirocinio. L ricerc insistente d prte degli lunni di un regol d pplicre mi h portto fre lcune considerzioni. L stori dell Mtemtic ci insegn che le teorie mtemtiche prendono vit d situzioni problemtiche, e sppimo che i concetti si formno nell mbito di questioni d risolvere, ttrverso il rgionmento. Privilegire, llor, problemi che richiedono di mettere in tto rgionmenti, discpito di quelli che richiedono solo l ppliczione meccnic di un formul, cercndo di crere in clsse momenti di comuniczione e discussione fr gli lunni, mi sembr l scelt migliore, così come quell di presentre un oggetto ttrverso diverse rppresentzioni semiotiche. Inftti qundo uno studente si trov dover pprendere un nuovo oggetto, entr in conttto in reltà, con un su rppresentzione semiotic, e non con l oggetto stesso, e questo lo port inevitbilmente confonderli. Allor per fvorire l pprendimento di un concetto è necessrio offrire diverse rppresentzioni semiotiche, crendo delle situzioni nelle quli sino possibili il trttmento (trsformzione semiotic in uno stesso registro) e l conversione (trsformzione semiotic d un registro ll ltro); nche se, mentre il trttmento si prest bene gli oggetti lgebrici, non vle l stess cos per l conversione e gli studenti, in lgebr, non hnno molte possibilità di vedere uno stesso oggetto in scenri diversi. Queste ppen descritte sono solo indiczioni metodologiche livello generle perché purtroppo l rgomento del mio percorso didttico non offre molte opportunità di vedere un oggetto ttrverso vrie rppresentzioni semiotiche. Dt l difficoltà degli studenti tenere lto il livello di ttenzione e l oggettiv difficoltà dell rgomento trttto, ho cercto di fre lezioni dilogte e interttive, con l obiettivo di non perdere il loro interesse. Ho cercto di coinvolgerli in tutto ciò che veniv ftto in clsse. Ogni lezione vev inizio con l correzione ll lvgn degli esercizi ssegnti per cs. Quest ttività vev lo scopo di fr emergere gli eventuli dubbi e l insturrsi di discussioni costruttive rigurdo le problemtiche incontrte. Il psso successivo er presentre brevemente quli srebbero stti i contenuti dell lezione, in modo che vessero chiri gli obiettivi d rggiungere. Nell introduzione dei nuovi rgomenti ho sempre cercto di renderli prtecipi, sollecitndo continui interventi, non solo per tenere vivo il loro interesse, m nche per testre l loro comprensione, incorggindoli interrompermi nel cso lo ritenessero necessrio. Nello 1

17 spzio dedicto lle esercitzioni, ho proposto non solo esercizi inerenti ll lezione del giorno, m ho cercto di non trscurre quelli delle lezioni psste, per ssicurrmi che non dimenticssero i contenuti studiti nei giorni precedenti. Rendendomi conto di qunto sino poco utonomi nello studio, ho ssegnto esercizi per cs tutti i giorni, nche quelli ntecedenti lle verifiche in clsse, per indirizzrli nel ripsso. Al termine poi di ogni verific, ho dedicto mpio spzio ll correzione e ll discussione sugli errori riscontrti. 1.6 NASCITA DEL PROGETTO L orgnizzzione del progetto, dl titolo I rdicli in R, e l su stesur sono vvenute durnte il periodo dell osservzione in clsse. In sintesi le fsi del percorso che erno stte previste sono le seguenti: FASE 1 (tempo previsto: 1 or) Si er pensto di proporre un test per esplorre le conoscenze e le competenze richieste per poter ffrontre lo studio dei rdicli in R, e se necessrio fre un breve ripsso. FASE (tempo previsto: 5 ore) Si er stbilito, in quest fse, di entrre nel vivo dell rgomento del tirocinio, introducendo i rdicli in R ttrverso l definizione di rdice n-esim di un numero rele, esminndo lcuni esempi significtivi e sottolinendo lcuni spetti cui bisogn prestre prticolre ttenzione. Er stto progrmmto, inoltre, di introdurre le condizioni di esistenz dei rdicli e l definizione di vlore ssoluto, necessri per poter enuncire l proprietà invrintiv e pplicrl ll semplificzione dei rdicli, previste sempre in quest fse. FASE (tempo previsto: 7 ore) Si er stbilito di ffrontre lo studio delle trsformzioni con i rdicli e le operzioni con essi: moltipliczione e divisione, trsporto di fttori fuori dl simbolo di rdice, trsporto di fttori sotto il di rdice, riduzione llo stesso indice di due o più rdicli, elevmento potenz di un rdicle, estrzione di rdice di un rdicle, ddizione e sottrzione. FASE 4 (tempo previsto: 1 or) A questo punto del percorso er stt previst un verific formtiv, per ccertre i progressi degli lunni, vlutre l efficci dell mi zione didttic e pportre eventuli modifiche ll progettzione. 1

18 FASE 5 (tempo previsto: 4 ore) Si er pensto di dedicre quttro ore ll rzionlizzzione di prticolri frzioni, ll definizione di rdicle doppio e di potenz d esponente frzionrio. FASE 6 (tempo previsto: 4 ore) In quest ultim fse si proponev un ttività di lvoro di gruppo mirto stimolre il confronto tr gli lunni e l riflessione sugli errori, mio prere un modo costruttivo per imprre qulcos d essi. Infine er stt previst un verific sommtiv di tutti gli rgomenti trttti per vlutre il rggiungimento degli obiettivi prefissti, e reltiv correzione per chirire eventuli dubbi. 14

19 CAPITOLO LA SPERIMENTAZIONE IN CLASSE L fse del tirocinio ttivo è stt svolt nei mesi di febbrio, mrzo e prte del mese di prile. L ttività h subito interruzioni significtive cus dell sospensione delle lezioni dl 1 l 17 febbrio deliberte dl Consiglio d'istituto del Liceo Fermi e del viggio di istruzione progrmmto dl Consiglio di Clsse ll fine di mrzo. Subito dopo ogni interruzione è stto necessrio riprendere i contenuti già ffrontti e questo h vuto un prezzo d pgre livello di tempo. All inizio del tirocinio ttivo ho informto i rgzzi su qule srebbe stto il mio ruolo e sull rgomento oggetto del mio intervento didttico, specificndo l durt del percorso. Ho cercto di insturre sin d subito un clim sereno e collbortivo con i rgzzi, ffinché si sentissero liberi di chiedere spiegzioni, qulor venissero ll luce eventuli difficoltà. Durnte l espletmento del progetto mi sono res conto dell difficoltà oggettiv dello studio dei rdicli in R. Ogni esercizio richiede di prendere in considerzione molti elementi, che devono poi essere rticolti in rgionmenti tutt ltro che bnli, ffinché si poss rrivre d un risultto corretto. L orgnizzzione dei contenuti idet durnte l stesur del progetto è stt soggett d lcune rivisitzioni e modifiche..1 QUESTIONARIO INIZIALE: PROBLEMATICHE RISCONTRATE Il mio percorso didttico h vuto inizio, in ccordo con qunto er stto progrmmto in fse di costruzione del progetto, con un questionrio inizile sui prerequisiti (llegto ), con lo scopo di esplorre in che modo le conoscenze e le competenze richieste per poter ffrontre lo studio dei rdicli fossero stte ssimilte, e se necessrio, dedicre spzio d un breve ripsso, per dre l possibilità gli llievi di colmre le eventuli lcune ed vere così gli strumenti necessri per comprendere i nuovi contenuti. Gli lunni erno conspevoli del ftto che il test non vrebbe vuto un vlutzione (nel senso di dre un voto): è stto ttivto in questo senso un contrtto didttico esplicito. Forse proprio per questo motivo il test h vuto risultti deludenti. I rgzzi, non vendo l pressione del voto, si sono sentiti utorizzti non ripssre, se non in modo superficile e non deguto, i contenuti collegti l questionrio, tnto che molti degli errori commessi sono dovuti proprio ll mncnz di un minimo di studio. 15

20 Gli rgomenti coinvolti nel test sono le proprietà delle potenze, l scomposizione in fttori dei polinomi e l risoluzione di disequzioni. Il test consistev in 0 domnde rispost multipl, d svolgere in un or. I risultti sono schemtizzti in figur 1. Non vendo l possibilità di discutere tutti i quesiti del test, riporto i più significtivi. risultti test 8% 0% 4% 8% voti: / voto: 4 voto: 4.5 voti: 6/7 Figur 1 Uno dei quesiti proposti richiedev di individure il numero o i numeri interi n tli che n = 0. L rispost corrett dovev essere scelt tr le seguenti: 6 A. n può essere un numero intero qulsisi B. n = 1 C. n = 0 D. n può essere un numero intero positivo qulsisi. Hnno risposto in modo estto solo 9 lunni su 4. Le conoscenze sulle proprietà delle potenze coinvolte in questo quesito erno: - l espressione 0 0 non h lcun significto n 1 - = se n > 0 e 0. n L domnd sbglit più ccreditt è stt l prim. L difficoltà incontrt d prte degli lunni in questo quesito, è riconducibile l ftto che, per rispondere correttmente, vrebbero dovuto considerre contempornemente le due proprietà sopr citte: non er sufficiente in questo cso pplicre un tecnic di qulche sort. Ho inftti notto, in 16

21 fse di espletmento del progetto, l difficoltà di lcuni lunni nel risolvere problemi che non richiedono l ppliczione di un sol formul, m necessitno di un rgionmento un po più complesso, di scvre tr le conoscenze che si possiedono, pescre quelle necessrie e rticolrle in modo opportuno per giungere l risultto. Un ltro quesito sulle proprietà delle potenze, sbglito d un grn numero di lunni, chiedev di individure, tr quttro uguglinze, quell ottenut pplicndo le proprietà delle potenze in modo corretto. Mi sono res conto di essere stt un po cttiv nell 1 scelt delle uguglinze proposte. Tr quelle possibili vevo indicto = 1. 4 Non vevo considerto che quest uguglinz vrebbe potuto trrre in ingnno gli lunni, che vrebbero pensto fosse quell estt, senz verificre se l bse fosse divers d zero. Ben nove rgzzi sono cduti nel trnello, che in ogni modo non volev essere tle. Gli errori più significtivi sono inerenti lle disequzioni. Sorprendente è il numero di lunni che h dto un rispost errt l seguente quesito: I numeri 0 e pprtengono ll insieme delle soluzioni di un delle seguenti disequzioni. Qule? A. x + 1 < 0 B. 4x 9 < 0 C. 9 x > 0 D. nessun delle precedenti Lo scopo di quest domnd er quello di vedere in che modo vrebbero regito gli lunni di fronte d un consegn divers rispetto quelle cui erno bituti. E emers un disbitudine porre ttenzione ll consegn e d un tipologi di esercizi non stndrdizzt che non h necessrimente come obiettivo quello di trovre un soluzione numeric. Ero conspevole che vrebbero incontrto delle difficoltà, m vevo sottovlutto il problem. Hnno risposto, inftti, correttmente solo quttro studenti. E stt ttivt in quest situzione un clusol del contrtto didttico: gli lunni hnno delle convinzioni rigurdo ciò che il docente si spett d loro, e cercno di ricondurre l esecuzione del problem esercizi già svolti. Durnte l correzione, con mi grnde sorpres, ho scoperto che nessuno di loro vev risolto l esercizio sostituendo ll incognit i vlori indicti nel testo e verificndo l disuguglinz ottenut. Hnno invece trovto l intervllo delle soluzioni di ciscun disequzione, 0 17

22 nche se poi non sono stti in grdo di stbilire qule di essi pprtenessero 0 e. Questo dimostr un buon pdronnz nell mnipolzione delle disequzioni, m un scrs cpcità di nlisi globle dell situzione e l tendenz non considerre un esercizio finito finchè non si trovi un soluzione numeric. Emerge un problem legto l concetto di soluzione, di insieme di verità e quello di verific : gli studenti pensno che risolvere un esercizio si trduc esclusivmente nel trovre uno o più numeri che rppresentino l soluzione. Mettere l llievo dvnti situzioni -tipiche potrebbe essere un modo, non solo per stimolre l su curiosità, m nche per rggiungere un pdronnz dell oggetto mtemtico livelli più lti, che non si limiti i meccnismi mnipoltivi. Altri due quesiti possono ricondursi qunto è stto ppen esminto. Uno dei due 1 richiedev di trovre le soluzioni dell disequzione < 1. I rgzzi sono bituti x studire disequzioni già ridotte in form normle, e l presenz del -1 l secondo membro li h destbilizzti: non sono stti in grdo di risolvere correttmente l esercizio. L ltro quesito cui fccio riferimento è il seguente: Individure l prte che mnc ffinché l disequzione x +... > 0 risulti verifict x. A B. 4 x C. x + 1 D. le ltre risposte sono errte A confondere gli studenti, second di qunto è emerso nel corso dell correzione del questionrio in clsse, è stt l presenz del numero Un numero così elevto è inftti inconsueto in un disequzione, e questo li h indotti escluderlo priori dlle possibili risposte estte. Un quesito interessnte è quello che richiedev di individure le soluzioni del sistem x 4 0. Un osservzione significtiv rigurd l tbell delle intersezioni x x (vero/flso). Quest tbell gener tlvolt delle incomprensioni e viene spesso confus dgli studenti con quell dei segni ( +, ). Questo port ovvimente d un risoluzione non corrett dell esercizio. 18

23 Le difficoltà mggiori sono emerse con le ultime tre domnde. Riporto i quesiti: Individure le soluzioni dell disequzione x + bx + c > 0 spendo che le soluzioni dell equzione ssocit x + bx + c = 0 sono x 1 e x con x 1 < x A. x < x < x1 B. x 1 < x < x C. x < x1 x > x D. x < x x > x1 Se l equzione x + bx + c = 0 mmette un sol soluzione x = llor le soluzioni dell disequzione x + bx + c 0 sono: A. x B. x = C. x D. le ltre risposte sono errte Quli sono le soluzioni dell disequzione x + bx + c > 0 se l equzione ssocit x + bx + c = 0 non h soluzioni reli? A. l disequzione è sempre verifict B. nche l disequzione non h soluzioni reli C. non si può dire perché dipende dl di D. le ltre risposte sono errte Le risposte errte queste domnde sono imputbili ll difficoltà degli studenti nell generlizzzione e l conseguente gestione dei prmetri. Quest vlutzione è stt confermt, in fse di correzione del questionrio, d un ffermzione di uno dei rgzzi. Michele: L esercizio er difficile: c erno troppe x!. L difficoltà è nel mneggire lettere nziché numeri. Durnte l correzione dell ultimo quesito è emerso che molti di loro vevno considerto l come un quntità positiv, il cui er stto omesso per convenzione, nziché come vribile. Dti gli scrsi risultti del test e le difficoltà riscontrte, ho ritenuto importnte fre l correzione in clsse di ciscuno dei quesiti, prendendo d qui lo spunto per ripssre insieme gli rgomenti in cui vevno dimostrto di vere più lcune. Un buon pdronnz di questi rgomenti è inftti fondmentle per ffrontre lo studio dei rdicli. 19

24 . INTRODUZIONE ALLA DEFINIZIONE DI RADI N-ESIMA Le lezioni del mio intervento didttico sono stte esclusivmente frontli, dto che l rgomento oggetto del mio tirocinio non si prest d ltri tipi di ttività. Ho cercto comunque di coinvolgere l clsse sollecitndo continui interventi per cercre di ttirre il più possibile l ttenzione degli studenti. Per lcuni degli rgomenti trttti vevo preprto delle mppe concettuli. In figur ho inserito l mpp dell prim lezione. Prim di introdurre l definizione di rdice n-esim di un numero rele si è voluto indgre sulle convinzioni che vevno gli lunni sul concetto di numero irrzionle. Si è ripreso il concetto di insieme dei numeri reli livello intuitivo, come unione dell insieme dei rzionli e dell insieme degli irrzionli. E stto chiesto i rgzzi di dre un definizione di numero irrzionle. Dopo lcuni tenttivi si è rrivti formlizzre che i numeri irrzionli sono quei numeri che non possono essere espressi sotto form di frzione, ossi ogni numero decimle illimitto non periodico. Qui viene chimto in cus il concetto di infinito, che può rppresentre un ostcolo cognitivo. Si è voluto sottolinere che non sono irrzionli solo quei numeri provenienti d estrzione di rdice ed è stto chiesto gli lunni se conoscessero qulche ltro numero irrzionle. Si sono nlizzti questo punto lcuni oggetti: 9, 7, 8, 5, 4 16, 4 17 ; 5; 1, per ttribuire loro un senso. Si è ftto notre che 7 non esiste nell insieme dei numeri reli, dto che non c è lcun numero pprtenente d R che elevto l qudrto si ugule 7. Nei csi in cui fosse possibile, si è provto trsformre questi oggetti, sottolinendo che c è un proprietà d rispettre, l univocità: bisogn cioè grntire che rppresentino lo stesso oggetto. D qui si è potuto introdurre l proprietà che bbimo chimto concordnz di tr il primo e il secondo membro. Si è studito questo proposito 9. Nonostnte ci sino due numeri reli che elevti l qudrto sino uguli 9, ±, il risultto è solo quello positivo. Essendo, inftti 9 un numero positivo, necessrimente deve esserlo nche il risultto; in questo cso +. Si è cercto questo punto di rendere protgonisti ttivi dell lezione gli lunni, in modo che l lezione frontle non risultsse troppo pesnte. Ho scritto ll lvgn i seguenti rdicli: 4 ; 1 4 ; ; 1 4 ; 1 ; 4 ;

25 chiedendo di indicre qunti di questi hnno senso in R e quli sono numeri rzionli. L confusione che hnno i rgzzi rigurdo i concetti di numero rzionle e numero irrzionle può essere rissunt ttrverso l emblemtic ffermzione di uno degli lunni: Nessuno è rzionle. Hnno tutti l rdice. L lunno non è in grdo di identificre 4 e 1 4 come numeri rzionli. L incertezz è dovut ll presenz del simbolo di rdice: c è un sort di identificzione tr numero irrzionle e numeri sotto il di rdice. Si è introdott questo punto l seguente definizione (in ccordo con qunto previsto dll progrmmzione curricolre dell tutor): Si R ed n un numero nturle non nullo. Se 0, chimimo rdice n-esim di, e si indic con n, quell unico numero rele non negtivo b tle che b n =. Se < 0 ed n è pri non si ttribuisce lcun significto l simbolo n. Se < 0 ed n è dispri, chimimo rdice n-esim di, e si indic con n, quell unico numero rele negtivo b tle che b n =. L scrittur n prende il nome di rdicle, il numero si chim rdicndo, il numero n è l indice del rdicle. Si sono dottte due convenzioni: =, 1 =. Si è ftto notre che mentre l prim h un vlenz tipogrfic, l second è livello di significto. Inoltre, in prticolre si sono definite: n 0 = 0 n 1 = 1 A questo punto è stt ftt un osservzione importnte sui rdicli di indice dispri con rdicndo negtivo. Ho chiesto ll clsse di clcolre 7, pplicndo l definizione. Sono stti tutti d ccordo con l ffermre che 7 = poiché ( ) = 7. Ho sottolineto che però, i fini dei clcoli, è più comodo operre con rdicndi positivi; perciò, qundo l indice è dispri e il rdicndo è negtivo è bene sostituire n con n. In questo cso 7 = 7. 1

26 Prole chive: - n. irrzionle - n. rele - esistenz - unicità - disequzione - insieme delle soluzioni - intervllo - C.E. R = Q I Quli sono i numeri irrzionli? Alcuni esempi: 9, 7, 8, 5, 4 16, 4 17 ; 5; 1. esistenz unicità: concordnz di 4 ; 1 4 ; ; 1 4 ; 1 ; 4 ; 9 11 domnde: quli hnno senso? quli sono numeri rzionli? Convenzioni: = 1 = Formlizzzione: n Esercizi: ; ; 4 1 Condizioni di esistenz Esempio: + 4 con = 9 1 ; x ; x 4 ; x x + 1 ; x x + x x

27 Figur E stto chiesto llor ll clsse: 7 e 7 sono effettivmente sostituibili uno con l ltro?. Per verificre che effettivmente i due rdicli bbino lo stesso risultto ho consiglito di procedere nel modo seguente: 7 individu un numero che elevto l cubo si -7 7 individu un numero che elevto l cubo si +7 e poi cmbi il. Mi è sembrto che gli studenti non bbino incontrto prticolri difficoltà, che sono invece emerse con lo studio delle condizioni di esistenz.. CONDIZIONI DI ESISTENZA DEI RADICALI IN R Ho proposto di esminre + 4, per introdurre il problem delle condizioni di esistenz. Ho ftto notre ll clsse che questo oggetto non sempre esiste in R. Ho chiesto loro di considerre il cso in cui fosse ugule 9. Si è rrivti così d vere 5, che come spevno non h significto in R perché non esiste nessun numero rele che elevto l qudrto si ugule 5. Ftte queste considerzioni ho chiesto ll clsse di trrre delle conclusioni e di stbilire qule condizione dovesse soddisfre il rdicndo di un rdicle di indice pri. In molti hnno dto l rispost corrett. Ho llor formlizzto il tutto dicendo che tli condizioni sono le condizioni di esistenz del rdicle, che indicheremo con C.E. e si trovno, se l indice di rdice è pri, risolvendo l disequzione ottenut ponendo il rdicndo mggiore o ugule zero. Se l indice dell rdice è dispri, il rdicle esiste indipendentemente dl del rdicndo. Dlle loro risposte ho pensto llor che vessero già cpito come gestire il problem di individure le condizioni di esistenz di un rdicle, m le mie vlutzioni si sono dimostrte ffrettte. Gli esempi ftti in seguito hnno svelto l difficoltà di mettere in prtic ciò che si è ppreso teoricmente. Come primo esempio ho scritto ll lvgn il rdicle. Non ci sono stti problemi e i rgzzi hnno individuto correttmente le condizioni di esistenz. Già il secondo esempio h messo in evidenz che gli lunni non vevno bene compreso l rgomento:. Le C.E. indicte d un prte di loro sono stte 0. Hnno ftto confusione tr rdicndo e vribile, convinti che fosse sufficiente porre

28 mggiore o ugule zero l prte letterle del rdicndo. L difficoltà è nel cpire che si h dvnti un nuovo rdicle, diverso d, che h come rdicndo ; bisogn quindi sostituire d. E lo stesso problem che si incontr nello studio dei prodotti notevoli, d esempio qundo si vuole sviluppre ( ) x + y e bisogn sostituire, in ( + b), con x e b con y. Per ovvire questo errore, ho chiesto i rgzzi di considerre il cso in cui fosse = 1, cso contemplto dlle loro condizioni di esistenz e ho dimostrto loro che, in questo modo, vrebbero corso il rischio di dre significto rdicli che non esistono nell insieme dei numeri reli, oppure, in cso contrrio, di escludere dlle condizioni di esistenz, rdicli che invece hnno senso in R. A questo proposito ho portto l esempio + 5. Ho poi riscontrto un ulteriore problem, oltre quello di ssimilzione del nuovo contenuto: l difficoltà nel risolvere le disequzioni. Avevno vuto il compito due settimne prim, m sembrvno ver cncellto tutto dll memori. Riporto le loro risposte ll mi richiest di trovre le C.E. dei seguenti rdicli: 1. x Inizilmente vevno indicto come C.E. x 0. Sotto l mi guid sono rrivti x > 0. Arinn: No m comunque bisogn specificre che si diverso d zero. Dll ffermzione di Arinn si evince un problem nell utilizzre il simbolismo lgebrico. L difficoltà è nel ftto che in x > 0 è coinvolto il concetto di inclusione: nell scrittur x > 0 si include nche x 0 prtizione. x., mentre gli studenti rgionno per L C.E. indict dgli lunni è nessun x. L difficoltà è nel ftto che gli studenti sono portti pensre un qudrto come un quntità sempre positiv. Andre h proposto llor un ltr soluzione x 0. L incertezz però, in questo cso, è imputbile lle lcune sulle proprietà delle potenze. Ho inftti chiesto d Andre di motivre l su soluzione ed ho cpito che l errore er dovuto ll convinzione che ( ) x = x. x 4 4

29 Anche di fronte questo esercizio ll inizio erno tutti perplessi. Allor ho detto ll clsse che dovevno semplicemente risolvere un disequzione di secondo grdo. Lur, che per di più è tr le più brve, ccenn un timido x ±. Questo è un errore molto frequente. E ttivt in quest situzione un delle clusole del contrtto didttico: l clusol di deleg formle. Lo studente divent un semplice esecutore, deleg ll lgoritmo il compito di risolvere il problem, non controll e non riflette sullo svolgimento. L su unic mnsione srà quell poi di trscrivere il risultto. Molti studenti giscono sulle disequzioni come se fossero equzioni, tentno di riprodurre schemi di clcolo riconducibili csi già trttti in precedenz, con un ssolut mncnz di ttenzione i significti delle espressioni in gioco ed ll legittimità delle trsformzioni lgebriche. x x + x Le C.E. si trovno risolvendo x ( x 1) 0. L clsse h ftto ftic cpire che ( x 1) è un quntità sempre positiv o null e quindi non vrebbe influito sul del prodotto. Significtiv è inoltre l rispost di Andre: x 0 x 1. Al di là dell errore che h ftto escludendo 1, dll su rispost si evince l difficoltà d utilizzre il simbolismo mtemtico, rilevt nche in ltre occsioni. Gli esercizi sulle condizioni di esistenz ssegnti per cs sono: ; ; 4 x + 4 ; x x + x ; 4 x + x + x ; 5 x x ; 6 b 4 Ho scelto nche esercizi con rdicli di indice dispri, perché individure le condizioni di esistenz solo di rdicli di indice pri, con il tempo, vrebbe potuto indurre gli studenti pensre che il rdicndo positivo o nullo fosse un condizione necessri per qulsisi rdicle, indipendentemente dll indice. Nell lezione successiv, dll correzione degli esercizi in clsse, è emerso che l esercizio che h creto mggiori difficoltà tr quelli ssegnti è stto l ultimo. Gli lunni non erno riusciti cpire che b 4 fosse un quntità positiv. Essendo però precedut dl meno diventv negtiv, così che l unic soluzione che potev essere ccettt er = b = 0..4 DEFINIZIONE DI VALORE ASSOLUTO In figur è inserit l mpp concettule dell lezione dedict l vlore ssoluto. 5

30 E stt introdott l seguente definizione di vlore ssoluto, inteso come operzione. L definizione è quell presente nel libro di testo: Si R, si definisce vlore ssoluto di un numero rele. Se è positivo o nullo, il vlore ssoluto di è stesso; se è negtivo, il vlore ssoluto di coincide con il suo opposto. In simboli se 0 =. se < 0 Subito dopo l definizione ho portto i seguenti esempi ffinché gli studenti riuscissero comprendere meglio il nuovo concetto: Riporto uno scmbio di bttute significtivo: π tirocinnte: A cos è ugule 11? Lur: 11 Lorenzo: Qule srebbe stto il risultto se l indice fosse stto 4, invece che? D quest domnd è emerso un problem di comprensione: Lorenzo non vev ncor ben chiro che rdicli di indice pri con rdicndo negtivo non esistono nell insieme dei numeri reli, oppure sperv che in vlore ssoluto potessero essere presi in considerzione. Er poi necessrio considerre espressioni lgebriche con i vlori ssoluti, e spiegre in che modo potev essere sciolto il modulo: x -individure gli intervlli in cui l rgomento del vlore ssoluto è positivo e quelli in cui è negtivo: x 0 per x x < 0 per x < -pplicre l definizione di vlore ssoluto in ognuno degli intervlli individuti: x x = x + x x < A questo punto dell spiegzione, l tutor mi h chiesto, visto che si er in tem, di trttre le equzioni con vlore ssoluto. Er inftti un rgomento che non er riuscit 6