7 - Esercitazione sulle derivate

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1 7 - Esercitazione sulle derivate Luigi Starace gennaio 0 Indice Dimostrare il teorema a b Dimostrazioni.a D(e ) = e b e > R Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando la risposta 3 3.a Derivabilità in c continuità in c? b f () = 0, X f costante in X? c f () 0, X f non costante in X? d Derivabilità in c esistenza in c della tangente al grafico e f derivabile in c c punto di ma. relativo f (c) = f f() D[a; b] : f (c) = 0, c [a, b] f(a) f(b) g Teorema di Lagrange Teorema di Rolle h! c che verifica la tesi del Teorema di Rolle i j Studio di funzioni 7.a b + log()

2 Dimostrare il teorema Teorema 5.5.3: Sia f D(I) con I intervallo di R. Si ha che:. f () 0 I f() crescente decrescente in I. f () > < 0 I f() strettamente crescente decrescente in I.a Siano, I : >, f () 0 (a, b). Per il teorema di Lagrange Si ha che: Sia f[a, b] R continua in [a, b] e derivabile almeno in (a, b). Allora esiste un punto c (a, b) : f (c) = f(b) f(a) b a f( ) f( ) = f (c) per qualche c R Siccome la frazione sopra è sempre definita, e il denominatore è sempre maggiore di 0, essendo e distinti, si ha che: f (c) 0 = f( ) f( ) 0 = f( ) f( ) = f() è crescente in I f (c) 0 = f( ) f( ) 0 = f( ) f( ) = f() è decrescente in I La dimostrazione nel caso in cui f () > < 0 I è analoga a quella appena svolta..b Sia f() crescente in I = (a, b). crescente, I : = f( ) f( ) = f( ) f( ) 0,, I : Analogamente si procede nei casi in cui f() è decrescente o strettamente crescente/decrescente. Dimostrazioni.a D(e ) = e Dimostrare che e lim = = D(e ) = e 0 Il limite proposto non è altro che il limite della funzione incrementale di e in 0, ovvero, posto f() = e, f (0). Infatti: e e e 0 lim = lim = Più generalmente si può scrivere: D(e ) = lim h 0 e +h e h e (e h ) = lim = e e h lim = e = e, CVD h 0 h h 0 h Possiamo portare fuori e perchè non dipende dal valore a cui tende il limite. Applichiamo quindi il limite notevole di cui in ipotesi per giungere alla conclusione.

3 .b e > R Dimostrare che e > R Se 0, ricordando le proprietà della funzione esponenziale, si ha che 0 < e, R : 0. Se > 0, sia f() = e. Studiamo f(): f () = e Studiamo il segno della derivata prima: { R : f () > 0} = (0, + ) Dal teorema 5.5.3, possiamo dedurre che f() è strettamente crescente in (0, + ) Da ciò, e dal fatto che f(0) > 0, possiamo concludere, come volevasi dimostrare, che e > R. 3 Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando la risposta 3.a Derivabilità in c continuità in c? Se f è derivabile in c, allora f è continua in c VERO Si veda il teorema 5.3. sulle dispense. 3.b f () = 0, X f costante in X? Se f () = 0, X, allora f è costante in X FALSO Esibisco un controesempio: qualsiasi funzione costante a tratti in X. Infatti: { a, se < f() = con a, b R : a b b, se f() ha derivata nulla in R, ma non è costante in R. 3.c f () 0, X f non costante in X? Se f () 0, [a, b], allora f non è costante in X VERO Infatti, per il teorema (vedi esercizio ): f () 0 R f() strettamente decrescente crescente 3

4 3.d Derivabilità in c esistenza in c della tangente al grafico f è derivabile in c se e solo se esiste la retta tangente al grafico di f nel punto (c; f(c)) FALSO Esibisco un controesempio: f() = 3 è derivabile in R, quindi anche in = 0, ma in = 0 la derivata (in rosso nel grafico) non è tangente al grafico. f() = 3 f (0) e f derivabile in c c punto di ma. relativo f (c) = 0 Se f è derivabile in c e c é un punto di massimo relativo, allora f (c) = 0 VERO Si tratta infatti del Teorema di Fermat (Teorema 5.5. sulle slides). 3.f f() D[a; b] : f (c) = 0, c [a, b] f(a) f(b) Esistono funzioni derivabili in [a; b] tali che f (c) = 0 per qualche c [a; b] e f(a) f(b) VERO. Esibisco un esempio di funzione che soddisfa i requisiti sopra: f() = ( 3) +, con [, 5] 5 f() f (3) =

5 3.g Teorema di Lagrange Teorema di Rolle Il Teorema di Rolle è una conseguenza del Teorema di Lagrange VERO Il Teorema di Rolle è, infatti, un caso particolare del Teorema di Lagrange, in cui il fatto che f(a) = f(b) implica che esiste, tra le tangenti al grafico in (a, b), almeno una retta parallela a quella che unisce f(a) ed f(b), cioè una retta orizzontale. 3.h! c che verifica la tesi del Teorema di Rolle Il punto c che verifica la tesi del Teorema di Rolle è unico FALSO Il Teorema di Rolle non dice affatto che il punto c sia unico. Si consideri ad esempio la funzione: 0.5 f() = sin() f () = i Se esiste la derivata seconda di f : X R R in c, punto interno a X, e se f (c) = 0, allora: la funzione f ha un minimo relativo in c se e solo se f (c) > 0 VERO Si tratta infatti del Teorema 5.5. delle slides, qui riportato: Sia f D n (X) e c interno ad X tali che f k (c) = 0, k < n, allora: se n è pari e f n (c) > < 0 = c è un punto di minimo massimo relativo. se n è dispari e f n (c) > < 0 = δ R + : f è strettamente decrescente crescente in (c δ; c+δ) X Nel secondo caso si dice anche che c è un punto di flesso orizzontale ascendente discentente per f. 5

6 3.j Se esiste la derivata terza di f : X R R in c, punto interno a X, e se f (c) = f (c) = f (3) (c) = 0, allora f non ha nè minimo nè massimo relativo in c FALSO Esibisco un controesempio: ( ) f() = le cui derivate sono: f () = 3 f () = f (3) () = f () () = Per la funzione proposta, in c = 0, si ha che f (c) = f () = f (3) (c) = 0 Nonostante ciò, siccome f () (c) > 0, per il teorema 5.5. (riportato nell esercizio precedente), la funzione ha un minimo (in questo caso assoluto, visto che la positività di f () ci dice che f() è decrescente per 0 e crescente per 0) in c. f() Minimo assoluto 6

7 Studio di funzioni.a Siccome la funzione è un polinomio, il campo di esistenza è R. Di seguito studieremo la funzione per un dominio che corrisponde al campo di esistenza. Calcoliamo il limite agli estremi del dominio: lim f() = ± ± Da ciò possiamo già dedurre che la funzione non ha asintoti orizzontali. Possiamo anche calcolare facilmente l intersezione con l asse delle, ponendo = 0, ottenendo che il grafico della funzione passa per il punto (0, 5). Studiare la positività della funzione, cioè definire come unione del minor numero possibile di intervalli di R l insieme { R : > 0} non sarebbe affatto semplice, e non ci sarebbe neanche di grandissima utilità (potremo desumere questa informazione tra qualche passaggio, in modo più semplice), quindi lasciamo perdere e proseguiamo. Calcoliamo la derivata prima di f(): f () = 3 + Vedere dove f () si annulla è molto semplice (radici di polinomio di grado ). Calcoliamole:, = ± 6 (3) = ± 6 = 3, = Sappiamo quindi che in = 3 e = la funzione ha dei punti a tangente orizzontale, potenziali massimi/minimi relativi. Possiamo calcolare, ponendo = 3 e =, le coordinate dei suddetti punti, che sono M = ( 3, ), P = (, 5) Calcoliamo la derivata seconda di f(): f () = 6 Risulta immediato calcolarne la radice, = 3. Siccome f () si annulla in = 3, ma non fanno lo stesso f () e f (), possiamo affermare che la funzione ha un cambio di concavità in C = ( 3, ). Da quanto abbiamo visto finora, possiamo disegnare il grafico della funzione: M C P f() Massimo relativo Minimo relativo Flesso 3 6 f() 8 7

8 Abbiamo già escluso all inizio dello studio l esistenza di asintoti orizzontali perchè il codominio della funzione non è limitato. Possiamo escludere l esistenza di asintoti orizzontali perchè non ci sono altri punti di accumulazione esterni al dominio. Non ci resta che controllare che non ci siano asintoti obliqui. Ricordiamo che: = m + q, m 0 è un asintoto obliquo del grafico di f per + se lim f() ± = + q = lim (f() m) ± Nel nostro caso la prima condizione è verificata, quanto alla seconda: ( lim 3 + ( m) 5 ) ± Appare evidente che non converge indifferentemente da m. Possiamo quindi concludere che non ci sono asintoti obliqui. Ecco un ultimo grafico per riempire la pagina. 8 6 f() =

9 .b + log() Il campo di esistenza, e quindi il dominio in cui studieremo la funzione, sono i numeri reali positivi R +. Per comodità riscriviamo la funzione in questo modo: { { log() +, se f() = f () = +, se log() +, se 0 < <, se 0 < < La derivata prima è definita in tutto il dominio, ed è sempre positiva, dunque la funzione è sempre crescente, dunque non ha massimi o minimi. ( ) = è un punto di non derivabilità (punto angoloso) lim f () = 0 lim f () =. + Studiamo il comportamento della funzione agli estremi del dominio: lim f() = + lim + f() = 0 + Possiamo affermare che la funzione non ha asintoti orizzontali e che la retta = 0 è un asintoto verticale per 0 +. Siccome: lim (f() m) = lim log() + ( m) + + diverge indipendentemente da m, possiamo affermare che la funzione non ha asintoti obliqui. Calcoliamo la derivata seconda: f () = La derivata seconda è sempre negativa, dunque il grafico della funzione avrà sempre concavità verso il basso e non ci saranno punti di flesso. 5 3 f() log()

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