Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica

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2 Giulio Donato Broccoli Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Comprende: Metodi matematici fondamentali per affrontare i temi assegnati Esercizi interamente svolti e commentati Esercizi da svolgere corredati da suggerimenti e dalle soluzioni Un appendice contenente le nozioni fondamentali di matematica studiate negli anni precedenti Giulio D Broccoli Editore

3 Proprietà letteraria riservata Ogni riproduzione, con qualsiasi mezzo (fotocopie, microfilm, microfiches,, ecc) totale o parziale è vietata Prima edizione Finito di scrivere in Vairano Patenora il mese di Aprile 998 Seconda Edizione: Editore Lulucom (UK) ISBN Terza Edizione 00 Editore Giulio D Broccoli ISBN Per aggiornamenti e correzioni consulta il sito:

4 O studianti, studiate le matematiche, e non edificate sanza fondamenti Leonardo da Vinci

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6 Indice Prima parte Pag7 Nozione di funzione 8 Calcolo di punti appartenenti al grafico di una funzione 0 Insieme di definizione di una funzione 3Simmetrie e periodicità di una funzione 0 4Positività di una funzione 3 5Punti d intersezione tra il diagramma della funzione e gli assi cartesiani 6 6Asintoti del diagramma di una funzione 7 7Crescenza e decrescenza di una funzione Massimi e minimi relativi 36 8Un ulteriore metodo per la ricerca dei massimi e minimi relativi 4 9Concavità e convessità di una curva Punti di flesso 44 0Un ulteriore metodo per la ricerca dei punti di flesso 49 Massimi e minimi assoluti 5 Problemi di massimo e di minimo 5 3Applicazione del calcolo integrale al calcolo delle aree e dei volumi 54 4Calcolo dell equazione di un luogo geometrico 58 5Interpretazione cinematica della nozione di derivata 64 Seconda parte Problemi interamente svolti e commentati 67 Terza parte Problemi proposti 4 Suggerimenti 49 Risultati 6 Appendice 74

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8 PARTE PRIMA Richiami di analisi matematica I quesiti di matematica, assegnati alla maturità scientifica, che prenderemo in esame riguardano essenzialmente i seguenti problemi di analisi matematica : Studio di una funzione reale y = f() e calcolo dell area di una regione finita di piano; Risoluzione di un problema di geometria piana o solida, ossia problemi di massimo e minimo; 3 Determinazione dell equazione di un luogo geometrico Nei numeri seguenti presentiamo alcuni metodi di analisi matematica che maggiormente intervengono nella risoluzione dei suddetti problemi, e la cui conoscenza è condizione essenziale per poterli risolvere Talvolta vengono proposti anche dei quesiti di analisi combinatoria o di matematica applicata alla fisica 7

9 Nozione di funzione Studio del grafico di una funzione a) Dicesi funzione definita in un insieme A e a valori in un insieme B ogni legge che associa ad un elemento A uno ed un sol elemento y B Per indicare che f è una funzione definita in A e a valori in B (fig ) si usa uno dei seguenti simboli: f : A f ( ) B, f : A B, y = f () L insieme A si dice insieme di definizione, o dominio, o anche campo di esistenza della funzione f, si dice variabile indipendente e f() corrispondente, o trasformato, di tramite f ( A) = y B : y = f ( ) si dice codominio della funzione f ; mentre l insieme { } A B f() Se gli insiemi A e B coincidono con l insieme dei numeri reali o con un suo sottoinsieme si dice che la funzione f è reale di variabile reale Nel seguito considereremo soltanto funzioni reali di variabile reale Si dice grafico, o diagramma cartesiano di una funzione reale y = f(), definita nell insieme A R, l insieme: {(, y) R : A, y f ( ) } G ( f ) = = che rappresenta in un riferimento Oy del piano un luogo geometrico d equazione y = f() Osserviamo che la frase una funzione y = f() equivale a dire una funzione il cui grafico ha equazione y = f(); un altra locuzione corrente è la curva d equazione y = f() Una funzione reale y = f(), definita in A R, si dice iniettiva se: f ( ) f ( ),, A mentre si dice suriettiva se: y R, A : y = f ( ) Una funzione che sia iniettiva e suriettiva si dice biettiva o invertibile; in tal caso ha senso considerare la funzione f, inversa di f, definita in f(a) e a valori in A b) Studio del diagramma di una funzione Studiare il grafico di una assegnata funzione reale di variabile reale y = f() consiste nel tracciare il diagramma della funzione in un riferimento cartesiano del piano Oy A e B insiemi non vuoti 8

10 Ricordiamo che conviene affrontare il problema procedendo nel seguente modo: determinare l insieme di definizione della funzione y = f(); stabilire se la funzione è pari, dispari o periodica; determinare la positività della funzione ossia l insieme dei punti per i quali f() è positiva, negativa o nulla; determinare i punti d intersezione della funzione con gli assi coordinati; determinare gli eventuali asintoti; determinare gl intervalli in cui la funzione è strettamente crescente o strettamente decrescente, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo; determinare gli intervalli in cui la funzione è concava o convessa, gli eventuali punti di flesso Nei numeri,,0 riteniamo utile ricordare al lettore le procedure atte a determinare gli elementi ( dominio, asintoti, massimi e minimi, ecc) necessari per tracciare il diagramma di una funzione; inoltre nei paragrafi e, ricordiamo alcune ulteriori nozioni ( calcolo di un area, problemi di massimo e minimo, ecc) che sovente vengono utilizzate nello svolgimento dei temi 9

11 Calcolo di punti appartenenti al grafico di una funzione Insieme di definizione di una funzione a) Punti del grafico di una funzione- Spesso si richiede di calcolare alcuni punti di una data funzione y = f(), ossia di calcolare i punti del piano cartesiano che appartengono alla curva grafico d equazione y = f() Per calcolare tali punti si procede come negli esempi seguenti Esempio - Determinare il valore assunto dalla funzione y = nei punti = 0 e = Risulta: y( 0) = y ( 0) ( ) 3 =, ( ) = = / cioè la funzione y esiste nel punto = 0 ed assume valore -, nel punto = assume valore /3 Si suole dire anche che la curva γ d equazione y = passa per i punti di coordinate (0, -) e (, /3), o anche che tali punti appartengono a γ + Esempio - Calcolare la funzione y = nei punti = 3 e = - 4 Risulta: 3 4 y( 3) = y ( 3) + 4 =, ( 5 ) = + ( ) 4 = assurdo 0 Pertanto la funzione y esiste per = 3 ed assume valore 4/5, mentre nel punto = - non esiste, ossia la curva grafico passa per il punto di coordinate (3, 4/5), mentre non interseca mai la retta d equazione = - Esempio 3- Verificare se i punti P(, -), Q(-, 3), O(0,0) e R(-5, 0) appartengono alla curva γ d equazione y = Il punto P(, -) appartiene alla curva γ perché le coordinate di P verificano l equazione della curva Infatti, sostituendo a e - a y in y = si ottiene: = = = () Il punto Q(-, 3) non appartiene a γ perché 3 = = ( ) 4 Allo stesso modo si verifica che O(0,0) appartiene alla curva γ mentre R(-5, 0) non appartiene 0

12 b) Determinazione del dominio di una funzione Si dice insieme di definizione, o dominio, o anche campo d esistenza, di una funzione y = f ( ), l insieme dei numeri reali per i quali esiste f ( ) Per stabilire il dominio di un assegnata funzione occorre capire com è "costruita" in relazione alle funzioni elementari Pertanto conviene procedere con gradualità, imparando a calcolare prima il dominio di funzioni razionali intere, poi delle funzioni razionali fratte, quindi delle funzioni irrazionali, successivamente passare alle funzioni trascendenti, ed infine al calcolo del dominio di una qualsiasi funzione Consigliamo quindi di procedere come nei righi seguenti: ) Sia P( ) un polinomio a coefficienti reali di grado n La funzione: y = P( ) dicesi razionale intera di grado n, e il suo dominio è l insieme R dei numeri reali Esempio 3- Calcolare il dominio della funzione y = La funzione y è razionale intera Pertanto il dominio è R 3 Esempio 4- Determinare il dominio della funzione y= La funzione y è razionale intera, e pertanto il suo dominio è R ) Siano P( ) e Q( ) due polinomi a coefficienti reali di grado n e m rispettivamente La funzione: P ( ) y = Q ( ) dicesi razionale fratta, e il suo dominio è l insieme: R { R : Q( ) = 0 } Pertanto, per calcolare il dominio di una funzione razionale fratta si può imporre ( ) = 0 Q, risolvere tale equazione, e dedurre che il dominio della funzione è l insieme R privato delle eventuali soluzioni di tale equazione Si può anche imporre che il denominatore non si annulli, Q ( ) 0 3 Esempio 5- Calcolare il dominio della funzione y = + L equazione + = 0 ammette l unica soluzione = - Pertanto il dominio della funzione è l insieme: R - {-} Si può anche scrivere + 0 ossia -, il che equivale ad affermare che i numeri per i quali la funzione esiste sono tutti i numeri reali tranne -

13 + 3+ Esempio 6- Stabilire il dominio della funzione y = 4 Risolta l equazione - 4 = 0 si vede che il dominio della funzione y è l insieme: R - {-,} Esempio 7- Calcolare il dominio della funzione y = L equazione = 0 non ammette soluzioni reali, e pertanto il dominio della funzione è l insieme R dei numeri reali Esempio 8- Calcolare il dominio della funzione y = Per determinare il dominio della funzione bisogna risolvere il sistema: ± Pertanto il dominio della funzione è l insieme { 0, 3, ± 5} R 3) Sia ora g( ) una funzione reale di variabile reale La funzione: y= n g( ) dicesi irrazionale, e il suo dominio è l insieme { R g } con il dominio della funzione g( ) se n è dispari : ( ) 0 se n è pari, mentre coincide Esempio 9- Calcolare il dominio della funzione y= L indice di radice è n = (pari) Pertanto, bisogna richiedere che il radicando sia non negativo g ( ) 0 Risolta, quindi, la disequazione: - 0, si vede che il dominio della funzione y è l intervallo D = [, + [ Giova osservare che D la funzione si può scrivere in forma di potenza con esponente fratto nel seguente modo: y= ( ) Ne consegue l identità: = ( ), D

14 Esempio 0- Stabilire il dominio della funzione y = L indice di radice è n = 4 ( pari ), e la disequazione è verificata [/, + [ Pertanto il dominio della funzione y è l intervallo [/, + [ Esempio - Calcolare il dominio della funzione y= L indice di radice è dispari ( n = 5 ), e la funzione g( ) = - è definita in tutto l insieme dei numeri reali Pertanto il dominio di y è R Giova osservare che la funzione si può scrivere in forma di potenza con esponente fratto solo per variabile nell insieme J = ]-, -] [, + [, cioè sussiste l identità: solo per ]-, -] [, + [ 5 = + Esempio - Determinare il dominio della funzione y = 3 9 L indice di radice è dispari ( n = 3 ), e la funzione g( ) = + è definita R -{± 3} 9 Pertanto il dominio della funzione y è l insieme R - {± 3} Esempio 3- La funzione y = ha per dominio D = {0}, poiché il radicale esiste solo per = 0 Infatti 0 = 0 4) Sia g( ) una funzione reale di variabile reale La funzione: 5 5 ( ) y= a g, (a > 0, a ) dicesi funzione esponenziale di base a, e il suo dominio coincide con quello di g( ) 3 5 Esempio 4- Calcolare il dominio della funzione y = La funzione g( ) = 3 5 è definita [ 5/3, + [ Pertanto il dominio della funzione y è l intervallo [5/3, + [ 3

15 + 5 6 Esempio 5- Determinare il dominio della funzione y = La funzione g( ) = è definita in R - {, 3} Pertanto il dominio della funzione y è l insieme R - {,3} Esempio 6- Calcolare il dominio della funzione y = 3 La funzione g( ) = (+)/ è definita in tutto l insieme dei numeri reali Ne consegue che anche y è definita in R + 5) Sia g( ) una funzione reale di variabile reale La funzione: y= log g( ) (a > 0, a ) a dicesi logaritmica di base a, e il suo dominio è l insieme: { R : g( ) > 0} + Esempio 7- Calcolare il dominio di y = log 3 + La funzione g( )= è positiva ( come si vede risolvendo la disequazione > 0 ) per > -/3 Pertanto il dominio della funzione y è l intervallo D = ] -/3, + [ Esempio 8- Calcolare il dominio della funzione y = log 4 La disequazione > 0 > 0 è verificata ]-, -[ ], + [ 4 4 Pertanto il dominio della funzione y è l intervallo D = ] -, -[ ], + [ Esempio 9- Determinare il dominio della funzione y = log + La disequazione + > 0 è verificata 3 R - {-} Pertanto il dominio della funzione y è l insieme R - {-} Esempio 0- Determinare il dominio della funzione y = log( + ) 3 Il valore assoluto + è sempre non negativo, per = - è nullo 4

16 La disequazione + > 0 è verificata per > - Pertanto il dominio della funzione è l intervallo ]-, + [Osserviamo che sussiste la seguenti identità: log( + ) = log +, ]-, + [ 6) Sia g( ), al solito, una funzione reale di variabile reale Il dominio delle funzioni trigonometriche: y = sen [ g( ) ], y= cos [ g( ) ] coincide con quello di g( ), mentre il dominio delle funzioni: è rispettivamente l insieme: y = tg[ g( ) ], y= cot g[ g( ) ] { R : g( ) R e g( ) π/ + kπ, k Z}, { R : g( ) R e g( ) π + kπ, k Z} Esempio - Stabilire il dominio della funzione y = sen La funzione g( )= è definita in R - {0} Pertanto il dominio della funzione y è l insieme R - {0} Esempio - Determinare il dominio della funzione y= cos La funzione g( ) = è definita in ] -, -] [, + [ Ne consegue che il dominio della funzione y è l intervallo D = ] -, -] [, + [ Esempio 3- Calcolare il dominio della funzione y = tg( / ) La funzione g( ) = / è definita R - {0}; inoltre per l esistenza della tangente deve aversi: / π / + kπ ossia π ( + k) Pertanto il dominio della funzione è l insieme: R - { 0 ; ( con k Z), k Z } π ( + k ) 5

17 Esempio 4- Determinare il dominio della funzione y= cot g La funzione g( ) = è definita in R - {}; inoltre per l esistenza della cotangente deve aversi: kπ kπ ossia + kπ ( con k Z) kπ Pertanto il dominio della funzione y è l insieme R -{;, k Z } + kπ 7) Sia g( ) la solita funzione reale di variabile reale Il dominio delle funzioni: è l insieme: y = arcsen [ g( ) ], y= arccos [ g( ) ] mentre il dominio delle funzioni: y { R : - g( ) } = arctg [ g( ) ], y= arccot g[ g( ) ] coincide con il dominio della funzione g() Esempio 5- Calcolare il dominio della funzione y= arcsen ( + / ) Deve aversi - + ½, ossia: + / + / Pertanto il dominio della funzione y è l intervallo chiuso D =, Esempio 6- Determinare il dominio della funzione y = arccos + Deve aversi: 6

18 + + + Pertanto il dominio della funzione y è l intervallo chiuso [ / 3; ] Esempio 7- Determinare il dominio della funzione y = arccos( ) Deve aversi - - ossia 0 Pertanto il dominio della funzione y è l intervallo chiuso D = [ 0, ] Esempio 8- Stabilire il dominio della funzione y = arctg La funzione g( )= è definita in R - {, 3} Pertanto il dominio della funzione è l insieme R - {,3} c) Dagli esempi svolti si evince che se la funzione f() è composta mediante h,, h n funzioni reali di variabile reale, cioè risulti: f()= h ( (h n ())) il dominio della funzione f() si ottiene, allora, risolvendo un sistema di disequazioni ( eventualmente equazioni e disequazioni ) ognuna delle quali è la condizione di esistenza di una delle funzioni h,, h n Esempio 9- Calcolare il dominio della funzione y = log La presenza della radice quadrata impone che bisogna imporre il radicando maggiore o uguale di zero e la presenza del logaritmo impone la condizione che il suo argomento sia positivo Pertanto, bisogna imporre la condizione log 0 per la condizione di esistenza della radice, e > 0 per la condizione di esistenza del logaritmo, cioè bisogna risolvere il sistema log 0 > 0 Risolto, si vede che il dominio della funzione y è D = [, + [ Esempio 30- Calcolare il dominio della funzione y = log( + 3) + Per determinare il dominio della funzione bisogna risolvere il sistema: e > > 0 > 3 0 > 7

19 Pertanto il dominio della funzione è l insieme ], + [ { 0} sen Esempio 3- Calcolare il dominio della funzione ( + 4 )/( y = e ) Per la presenza della radice bisogna imporre che il suo radicando sia maggiore o uguale di zero, la presenza del frazione impone che il suo denominatore non si annulli Pertanto, bisogna 0 risolvere il seguente sistema: Risolto, si ha: D = [- 4, + [ - { ± } Notiamo che la presenza dell esponenziale e del seno non implicano ulteriori condizioni poiché tali funzioni esistono per qualsiasi valore reale log( ) Esempio 3- Calcolare il dominio della funzione +4 y = sen La presenza del logaritmo impone la condizione che il suo argomento sia positivo, la presenza della frazione impone che il denominatore sia non nullo, e la presenza della radice al denominatore che il suo radicando sia positivo Pertanto, bisogna risolvere il sistema: 4 > 0 + > 0 sen 0 Risolto tale sistema si vede che il dominio è: D = ], + [-{kπ k N, π+kπ k N 0 } Notiamo che non abbiamo imposto che la radice quadrata sia non nulla poiché richiedendo che il suo radicando sia positivo si esclude anche che possa annullarsi la radice log( + 4) Esempio 33- Calcolare il dominio della funzione e + + La presenza del logaritmo impone la condizione che il suo argomento sia positivo, la presenza della frazione / impone la condizione che il denominatore sia non nullo, e la presenza della radice al denominatore impone la condizione che il suo radicando sia positivo Pertanto, bisogna risolvere il sistema: y = + 4 > > 0 0 e il dominio è R-{0} Esempio 34- Calcolare il dominio della funzione y = e log sen cos nell intervallo [0,π ] 8

20 9 Analizzando la funzione si evince che bisogna risolvere il sistema: > > > + + > > > 0 0 cos cos 0 sen sen da cui si trae che il dominio è D = ]0, π/[

21 3 Simmetrie e periodicità di una funzione a)una funzione reale di variabile reale y = f ( ), definita nell insieme D R, si dice: ) funzione pari se: f ( ) = f ( ), - D ) funzione dispari se: f ( ) = f ( ), - D 3) periodica di periodo ω R se: f ( + ω ) = f ( ) D Chiaramente risulta anche f ( + ω ) = f ( + ω) = f ( + 3ω ) = = f ( + kω), k Z Osservazione Ricordiamo che se una funzione è pari il suo grafico è simmetrico rispetto all asse y, mentre se è dispari è simmetrico rispetto all origine O del riferimento Oy Pertanto una funzione pari o dispari, definita in D R, si può studiare nell insieme [0, + [ D Una funzione trigonometrica periodica di periodo ω si può studiare in qualsiasi intervallo di ampiezza ω Inoltre, se f ( ) e g( ) sono funzioni trigonometriche elementari ed hanno periodo ω allora anche la funzione f ( ) ± g( ) ha periodo ω, mentre la funzione f ( ) g( ) ha periodo ω/ Se invece i periodi di f ( ) e g( ) sono distinti, il periodo delle funzioni f ( ) ± g( ), f ( ) g( ) e f ( ) / g( ) è il minimo comune multiplo dei singoli periodi Esempio - La funzione f ( ) = definita in R è pari Infatti, si ha: f ( ) = - ( - ) 4 + (- ) = = f ( ) Pertanto la funzione si può studiare nell intervallo D = [ 0, + [ Notiamo anche che una funzione algebrica è pari se e solo se, nella sua equazione, la variabile figura solo con esponenti pari Esempio - La funzione f ( ) = è dispari Infatti, si ha: f ( ) = 4( - ) 3 + 5( - ) + 7( - ) 5 = = - f ( ) Pertanto la funzione f ( ) si può studiare nell intervallo D = [ 0, + [ 0

22 Esempio 3- La funzione f ( ) = sen + cos è periodica di periodo ω = π Infatti, R si ha: 4 f ( + π ) = sen ( + π) + cos ( + π) = sen + cos = f ( ) Esempio 4- La funzione f ( ) = tg - cotg è periodica di periodo 5 ω = π b) Sia P( α β ) ; un punto del piano Oy Il simmetrico del punto P rispetto all asse, all asse y, all origine O del riferimento è rispettivamente il punto di coordinate: ( α; β ), ( α; β ), ( α β ) ; Il simmetrico di P( α; β ) rispetto alla bisettrice y =, ( risp y ) ( β; α ), ( risp ( β; α )); invece il simmetrico di P( α; β ) rispetto alla retta = h ( risp y k) ( h α; β ), ( risp ( α; k β )) = è il punto di coordinate: = è il punto di coordinate: Il simmetrico di P( α; β ) rispetto ad un punto generico C(a, b) è il punto di coordinate ( a α, b β ) ; invece il simmetrico di P( α; β ) rispetto alla generica retta y = m + q è il punto di coordinate m + m m m m m q α + β q, α β + + m + m + m + m + m Esempio - Determinare il simmetrico del punto P(-, 3) rispetto all origine O, alla bisettrice y = e rispetto alla retta = - 4 Si ha rispettivamente: (, -3 ), ( 3, - ), (- 8 +, 3 ) = ( -6, 3 ) Esempio - Determinare il simmetrico del punto P(4,-5) rispetto all asse, all asse y, alla bisettrice y = - e rispetto alla retta y = 3 Si ha rispettivamente: (4, 5 ), (- 4, - 5 ), ( 5, -4 ), ( 4, ) Esempio 3- Determinare il simmetrico P del punto P(, -3) rispetto al punto C(4, ) e il simmetrico P di P rispetto alla retta y = +3 Si ha P (6, 5), P (-6, ) 4 Le funzioni sen e cos sono periodiche di periodo ω = π 5 Le funzioni tg e cotg sono periodiche di periodo ω = π

23 y B y A f() f(-) C C f() O A - f() B O fig fig Nella figura è rappresentata una funzione y = f() e la sua simmetrica ( con tratto discontinuo) rispetto all asse ; osserviamo che i punti A e A e B e B sono simmetrici rispetto all asse Nella figura è rappresentata una curva f() è la sua simmetrica rispetto all asse y; i punti C e C sono simmetrici rispetto all asse y Mentre nella figura 3 è illustrato il caso di due curve simmetriche rispetto all origine O del riferimento Oy, i punti V e V sono simmetrici rispetto all origine y -f(-) V f() O V fig 3

24 4 Positività di una funzione Determinare la positività (o segno) di una funzione reale di variabile reale y = f ( ) significa calcolare l insieme dei punti per i quali f ( ) è positiva o nulla Per differenza si determina anche l insieme dei punti per i quali la funzione è negativa Allo scopo si risolve la disequazione: ) f () 0 + Esempio - Determinare la positività della funzione y = 3 + La disequazione 0 è verificata ] -, - ] ]0, + [ 3 Pertanto la funzione y è positiva per ] -, - [ ]0, + [, nulla in = - e negativa altrimenti Si può riassumere l esame del segno di y nel seguente prospetto: - 0 y + 0 -? + fig ove ad occhio si vede che y è positiva (+) per < - oppure > 0, nulla per = - e negativa per - < < 0; mentre nel punto = 0 non è definita Esempio - Calcolare la positività della funzione y = + 3 Risolta la disequazione 0 si vede che la funzione y è positiva per - 3 < < - oppure + 3 >, nulla per = - oppure = e negativa altrimenti y A B P Q C D fig Pertanto possiamo asserire che il diagramma della funzione y è situato nelle regioni A, B, C, e D (fig) e interseca l asse nei punti P(-,0) e Q(,0) 3

25 Esempio 3- Determinare la positività della funzione y = 4 4 ( )( + 5) Occorre risolvere la disequazione ( )( + 5) Tenuto conto che > 0 R, > 0 R, si deduce che la disequazione è equivalente alla seguente - 0 Pertanto, risolta quest ultima disequazione si vede che la funzione y è positiva per >, nulla per = e negativa altrimenti Esempio 4- Determinare la positività della funzione Bisogna risolvere la disequazione: 3( ) y = + 3( ) 0 +, ossia, tenuto conto che + > 0 R, 3 < 0, la disequazione: 0 Ne consegue che la funzione è positiva per < <, nulla per =± altrimenti (fig 3) e negativa y fig 3 Esempio 5- Determinare la positività della funzione y = log( ) log( ) Si ha (fig 4): y 0 log( ) log( ) 0 log 0 log log

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