Introduzione alla previsione meteorologica con metodi numerici

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1 Introduzione alla previsione meteorologica con metodi numerici Stefano Serafin Dipartimento di Meteorologia e Geofisica, Università di Vienna stefano.serafin@univie.ac.at Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 1

2 Sommario /1 Sommario Definizioni, parole chiave, storia. Equazioni primitive Fenomeni ondulatori in atmosfera e approssimazioni filtro. L esperimento di Richardson. Sistemi di coordinate. Discretizzazione delle equazioni Discretizzazione nel tempo. Discretizzazione nello spazio. Parametrizzazioni: Trasferimento radiativo. Interazione suolo-atmosfera. Turbolenza. Processi microfisici. Convezione. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 2

3 Sommario /2 Sommario Trattamento delle condizioni iniziali e al contorno. Previsioni numeriche: Previsioni deterministiche. Previsioni probabilistiche (d insieme). Verifica delle previsioni numeriche. Applicazioni delle previsioni numeriche: Studi di sensitività. Modellazione dello strato limite atmosferico in aree montuose. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 3

4 Introduzione Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 4

5 Definizioni e parole chiave /1 Previsione meteorologica con metodi numerici (numerical weather prediction, NWP): integrazione numerica delle equazioni fondamentali della meccanica dei fluidi su un insieme discreto e finito di punti. Matematicamente, il problema consiste nella soluzione di un problema ai valori iniziali ed al contorno. Discretizzazione: le equazioni differenziali originarie, definite su un dominio continuo, vengono approssimate da equazioni definite su un dominio discreto. Parametrizzazione: descrizione quantitativa approssimata dei processi fisici di scala più piccola e non esplicitamente risolti dalla griglia di calcolo. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 5

6 Definizioni e parole chiave /2 L accuratezza della previsione numerica dipende drasticamente dall accuratezza: delle condizioni iniziali e al contorno. della discretizzazione (schemi numerici alle differenze finite, ai volumi finiti, agli elementi finiti). delle parametrizzazioni fisiche (relative a: processi di strato limite, microfisica delle nubi, trasferimento radiativo, interazione suoloatmosfera, convezione). Risoluzione orizzontale tipica delle previsioni numeriche: General Circulation Models (GCM): ~0.25 lat/lon (~20 km). Limited Area Models (LAM): 3 10 km. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 6

7 Definizioni e parole chiave /3 General Circulation Models Limited Area Models Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 7

8 Storia / Vilhelm Bjerknes suggerisce la possibilità di ottenere previsioni quantitative dell evoluzione delle condizioni meteorologiche integrando le equazioni dinamiche e termodinamiche che governano il comportamento dell atmosfera, a partire da condizioni iniziali ottenute dall analisi di misurazioni. 1920~ In mancanza degli strumenti teorici e tecnici adatti, Bjerknes e collaboratori ("scuola di Bergen") sviluppano dei metodi di previsione qualitativi, tuttora alla base della meteorologia sinottica. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 8

9 Storia / Lewis Fry Richardson tenta per primo, e con scarso successo, di integrare a mano le equazioni primitive scritte in forma di differenze finite (Weather Prediction by Numerical Process). Stima che per rendere operativo il processo possa bastare il lavoro di persone. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 9

10 Storia /3 1940~ Durante la seconda guerra mondiale hanno luogo la creazione di una rete di stazioni di misure atmosferiche in quota (radiosondaggi), e lo sviluppo dei primi calcolatori elettronici Jule Charney deriva dei modelli matematici semplificati dei moti atmosferici a grande scala, in linea di principio adatti a descrivere l evoluzione delle condizioni meteorologiche Primi esperimenti di previsione meteorologica con metodi numerici (NWP): previsione del campo di moto all isobara 500 hpa sul Nord America, con 24 ore di anticipo. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 10

11 Storia /4 1950~ integrazione delle equazioni barotropiche. Prime previsioni numeriche operative (Svezia, 1951). 1960~ integrazione delle equazioni barocliniche in approssimazione quasi-geostrofica. 1970~ integrazione delle equazioni primitive. 1980~ disponibilità di misure telerilevate da satellite, a copertura globale e ad alta frequenza: consentono di ottenere condizioni iniziali più complete, in particolare per quanto riguarda i campi di temperatura e umidità, anche in zone non coperte dalle reti convenzionali (es.: emisfero sud). 1990~ modelli accoppiati atmosfera-oceano. 2000~ tentativi sperimentali di previsione probabilistica, mensile e stagionale. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 11

12 Storia /5 In Europa, le attività connesse alla previsione meteorologica con metodi numerici sono svolte primariamente dallo European Center for Medium-range Weather Forecasts (ECMWF), con sede a Reading (UK). Fondato nel 1973; il consorzio comprende Austria, Belgio, Danimerca, Finlandia, Francia, Germania, Grecia, Irlanda, Italia, Lussemburgo, Olanda, Norvegia, Portogallo, Regno Unito, Spagna, Svizzera, Svezia, Turchia. Previsioni operative dal 1979: ogni giorno vengono fornite previsioni riferite ai dieci giorni seguenti. Presso ECMWF è operativo un GCM (IFS, Integrated Forecasting System) globale; le previsioni di IFS vengono comunemente utilizzate come IBV per modelli LAM. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 12

13 Equazioni primitive Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 13

14 Equazioni: aspetti fondamentali /1 Equazioni primitive dell atmosfera: K2003 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 14

15 Equazioni: aspetti fondamentali /2 Nota: alcuni termini nelle equazioni di continuità e di conservazione del vapor d acqua sono scritti in forma di flusso: Equazione di continuità: Avvezione di una quantità scalare: Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 15

16 Equazioni: aspetti fondamentali /3 Espansione delle equazioni del moto in coordinate sferiche: Espansione approssimata delle equazioni del moto in coordinate sferiche (considerando r a) : K2003 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 16

17 Equazioni: aspetti fondamentali /4 Il sistema di equazioni precedente consta di 7 incognite (u, v, w, p, T, ρ = 1/α, q). L equazione di stato (pα = RT) è necessaria per chiudere il sistema. Nelle equazioni precedenti, i termini F e Q rappresentano rispettivamente l attrito e il riscaldamento diabatico, ed E e C le transizioni di fase (evaporazione e condensazione). F, Q, E e C sono fortemente condizionati da processi fisici di piccola scala, e nei modelli sono rappresentati da diversi schemi di parametrizzazione: F: trasferimento di quantità di moto alla superficie, turbolenza (parametrizzazione strato limite). Q: trasferimento di calore sensibile alla superficie (parametrizzazione strato limite); riscaldamento diabatico (parametrizzazione del trasferimento radiativo). E e C: scambi di calore latente alla superficie (parametrizzazione strato limite) ed in quota (parametrizzazione della microfisica e della convezione). Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 17

18 Equazioni: aspetti fondamentali /5 Componente dinamica di un modello: Termini avvettivi, gradienti di pressione e geopotenziale, termine di Coriolis nelle equazioni del moto. Termini legati alla divergenza del campo di vento nell equazione di continuità (o in equazioni analoghe). Tutti i termini avvettivi nelle altre equazioni (temperatura, umidità), anche scritti in forma di flusso. Componente fisica di un modello: tutto quanto è legato alle parametrizzazioni, cioè: Termini (es. F) che descrivono il trasporto di varie grandezze (quantità di moto, temperatura, umidità) a scale spaziali inferiori alla dimensione della griglia del modello. Termini (es. E, C, Q) che descrivono processi fisici che fungono da sorgente (source/sink) per alcune grandezze (temperatura, umidità). Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 18

19 Equazioni: fenomeni ondulatori in atmosfera /1 Le equazioni di Navier-Stokes ammettono soluzioni ondulatorie. Nota: un equazione d onda (nel caso più semplice, lineare) ha la forma: dove c è la celerità di propagazione. Il modo più semplice per evidenziare le proprietà ondulatorie delle soluzioni delle equazioni di Navier e Stokes è quello di Considerare un sistema semplificato trascurando termini non rilevanti, per esempio a seguito di un analisi di scala. Linearizzare il sistema, in genere considerando le perturbazioni rispetto a uno stato di riferimento e trascurando i termini in cui compare un prodotto di perturbazioni. Combinare le diverse equazioni per giungere ad una singola equazione d onda per una particolare grandezza (es. pressione o velocità verticale). Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 19

20 Equazioni: fenomeni ondulatori in atmosfera /2 Esempio: Sistema semplificato valido per moti con scale orizzontali molto minori del raggio terrestre e nell approssimazione di piano tangente (scompaiono i termini di curvatura, f è costante, dφ dy, dλ dx): K2003 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 20

21 Equazioni: fenomeni ondulatori in atmosfera /3 Esempio: Sistema linearizzato derivato dal precedente. Le variabili (u* = ρ 0 u, v* = ρ 0 v, w* = ρ 0 w, p, T, ρ ) sono definite in funzione di piccole perturbazioni (u, v, w, p, T, ρ ) rispetto ad uno stato base orizzontalmente omogeneo e indisturbato (u 0 = v 0 = w 0 = 0, p 0, T 0, ρ 0 ): K2003 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 21

22 Equazioni: fenomeni ondulatori in atmosfera /4 Onde acustiche Semplificazioni: sistema di riferimento allineato con il vento medio, niente moti verticali, piccola scala (effetto della rotazione irrilevante), effetti diffusivi trascurati in prima approssimazione, condizioni adiabatiche. Sistema e relativa equazione d onda: La soluzione del sistema rappresenta delle perturbazioni nel campo di pressione, che si propagano con celerità c = u±c s = u±(γrt) ½. H2004 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 22

23 Equazioni: fenomeni ondulatori in atmosfera /5 Onde di gravità Semplificazioni: sistema di riferimento allineato con il vento medio, piccola scala (effetto della rotazione irrilevante), incomprimibilità, effetti diffusivi trascurati in prima approssimazione, condizioni adiabatiche. Sistema e relativa equazione d onda: La soluzione del sistema rappresenta delle perturbazioni nel campo di velocità verticale, che si propagano in due direzioni (x e z) con celerità diverse, ed entrambe legate alla frequenza di Brunt-Väisälä, N. H2004 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 23

24 Equazioni: fenomeni ondulatori in atmosfera /6 Nelle onde acustiche, la forza di richiamo è legata ai gradienti di pressione: le particelle d aria hanno un comportamento elastico. Nelle onde di gravità, la forza di richiamo è legata alla stabilità statica dell atmosfera (spinta di Archimede in direzione contraria alla perturbazione iniziale). Esistono anche altri tipi di onde; esempi: Onde inerziali, la cui forza di richiamo è la forza di Coriolis. Onde di Rossby, la cui forza di richiamo nasce dalla variazione del parametro di Coriolis con la latitudine. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 24

25 Equazioni: fenomeni ondulatori in atmosfera /7 Perché è importante riconoscere l esistenza di fenomeni oscillatori in atmosfera? K2003 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 25

26 Equazioni: fenomeni ondulatori in atmosfera /8 Perché è importante riconoscere l esistenza di fenomeni oscillatori in atmosfera? Le equazioni primitive dell atmosfera contengono tra le possibili soluzioni anche dei moti oscillatori. Alcuni di questi moti non hanno una effettiva rilevanza meteorologica (es. le onde acustiche). Le variazioni rapide delle grandezze meteorologiche indotte da alcuni tipi di onde possono (i) porre problemi di stabilità computazionale; (ii) mascherare le variazioni meteorologicamente rilevanti. Le perturbazioni indotte dalle oscillazioni veloci dovrebbero essere rimosse dai campi di variabili meteorologiche utilizzati per l inizializzazione dei modelli numerici. E possibile approssimare le equazioni primitive in modo che la forma approssimata non consenta più la propagazione di un determinato tipo di onde (evitando dunque problemi di stabilità). Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 26

27 Equazioni: approssimazioni filtro /1 Introdurre delle forme approssimate delle equazioni primitive (o di alcuni loro termini) può risolvere alcuni problemi legati alla presenza di soluzioni ondulatorie. Esempio, riguardante le onde acustiche: Approssimazione di incomprimibilità. La densità non varia; ciò impedisce a una particella d aria di comprimersi o espandersi, dunque le onde acustiche non si propagano: Approssimazione anelastica. Sono ammesse solo variazioni di densità legate a spostamenti verticali; anche in questo caso vengono rimosse le onde acustiche: Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 27

28 Equazioni: approssimazioni filtro /2 Riassunto: K2003 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 28

29 Equazioni: approssimazioni filtro /3 L utilizzo di sistemi di equazioni filtrati è stato storicamente importante per lo sviluppo della previsione numerica. Oggi, i modelli ad area limitata integrano un sistema di equazioni fully compressible, che supporta tutte le possibili soluzioni ondulatorie. Comunque, si utilizzano molti accorgimenti per minimizzare l impatto computazionale delle onde più rapide (acustiche). I modelli di circolazione generale usano tipicamente l approssimazione idrostatica (rimuove le onde acustiche, consente una modellazione accurata delle onde di gravità a risoluzioni maggiori di 10 km). La stabilità computazionale non è l unico problema! La scelta delle equazioni è importante anche per altri motivi Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 29

30 L esperimento di Richardson /1 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 30

31 L esperimento di Richardson /2 Il tentativo di previsione di Richardson è spesso ricordato per la stima assolutamente non realistica della tendenza della previsione al livello del mare. Simboli: [p]: hpa; [T]: K; [U, V]: kg m -1 s -1 ; [W]: kg m -2. Rispettivamente: pressione alla superficie, temperatura nella stratosfera, integrali della quantità di moto e del rapporto di mescolamento del vapore. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 31

32 L esperimento di Richardson /3 La previsione di Richardson era basata sull equazione: derivata integrando la condizione di equilibrio idrostatico lungo la verticale, derivando rispetto al tempo, ed utilizzando l equazione di continuità per eliminare ρ/ t. Un analisi di scala poco accurata (p s =10 5 Pa, ρ=1 kg m 3, v=10 m s -1, L=10 6 m) suggerirebbe una tendenza della pressione dell ordine di 1 Pa s -1. La previsione di Richardson (145 hpa/6 ore) era di 0.67 Pa s -1. In realtà, la tendenza fisicamente realistica è molto inferiore, a causa di diversi effetti di compensazione. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 32

33 L esperimento di Richardson /4 Fenomeni di compensazione: orizzontale: i flussi orizzontali in entrata e in uscita da un volume d aria hanno spesso intensità simile. Il flusso netto è molto minore delle singole componenti. verticale (1): spesso, flusso orizzontale entrante implica flusso verticale uscente (e vv.). Dunque, la divergenza tridimensionale è molto minore di quella bidimensionale. verticale (2): spesso, il flusso orizzontale può essere entrante su certi livelli e uscente su altri. In sintesi: la divergenza del campo di vento (e dunque la tendenza della pressione al livello del mare) è il piccolo risultato della differenza di termini molto grandi. Come tale, è molto sensibile a piccoli errori nella stima della velocità del vento. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 33

34 L esperimento di Richardson /5 Un ragionamento simile si può applicare alle equazioni per la quantitò di moto. La tendenza è una piccola differenza tra il gradiente di pressione e la forza di Coriolis. Le condizioni iniziali di Richardson erano molto lontane dall equilibrio geostrofico. Integrando nel tempo, esse causavano una eccessiva convergenza del campo di vento assolutamente, e dunque una variazione della pressione al livello del mare troppo elevata. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 34

35 L esperimento di Richardson /6 Lezioni utili ricavate dall esperienza di Richardson: Per quanto possibile, non si devono usare equazioni la cui soluzione è molto sensibile a piccoli errori nelle condizioni iniziali. Si devono trattare i dati iniziali in modo da rimuovere eventuali grandi discrepanze da condizioni bilanciate. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 35

36 Equazioni: sistemi di coordinate /1 Tipicamente, i modelli meteorologici non usano un sistema cartesiano, ma un sistema in cui le griglie orizzontali sono riferite ad una proiezione cartografica (es. lambertiana conforme, Mercatore), e in cui la coordinata verticale è modificata e in genere non uniformemente spaziata: σ = z z top z z surface surface Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 36

37 Equazioni: sistemi di coordinate /2 Le equazioni effettivamente integrate in un modello numerico dunque includono: dei termini metrici originati dal cambio di coordinate da un sistema cartesiano o sferico ortogonale a uno curvilineo terrain-following (dipendenti dal determinante della matrice Jacobiana della trasformazione). dei termini metrici necessari per tener conto di griglie irregolari lungo la verticale. Proiezioni cartografiche normalmente utilizzate nei modelli ad area limitata: Lambertiana conforme secante (medie latitudini). Stereografica polare (alte latitudini). Trasversa di Mercatore (basse latitudini). Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 37

38 Equazioni: sistemi di coordinate /3 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 38

39 Equazioni: riformulazioni delle equazioni primitive Normalmente si formula il problema in modo che esista una equazione prognostica per ogni variabile di interesse. Per esempio, le variabili necessarie per un modello minimale sono: u, v, w, p, θ, q. Si definisce dunque un sistema chiuso di equazioni per u/ t, v/ t, w/ t, p/ t, θ/ t, q/ t. Le equazioni di continuità e di stato non compaiono esplicitamente; in genere sono implicite nell eqn. per p/ t, es.: Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 39

40 Equazioni: esempi /1 MM5, modello a mesoscala (PSU/NCAR) Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 40

41 Equazioni: esempi /2 ARPS, modello a mesoscala (OU/CAPS): Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 41

42 Discretizzazione delle equazioni Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 42

43 Discretizzazione delle variabili /1 Nella maggior parte dei modelli meteorologici oggi in uso si utilizza un approccio alle differenze finite: le derivate vengono approssimate da rapporti incrementali definiti su una griglia discreta nello spazio e nel tempo. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 43

44 Discretizzazione delle variabili /2 Differenziazione nel tempo Poiché le equazioni di Navier e Stokes ammettono tra le loro soluzioni delle onde con celerità di propagazione estremamente diversa, è usuale integrare i termini delle equazioni responsabili delle onde più rapide con τ brevi, e i termini responsabili delle onde più lente con t lunghi (time splitting). Esempio: I termini avvettivi vengono integrati con un t adeguato in base al criterio CFL. I termini che supportano la propagazione delle onde acustiche (divergenza del campo di vento e gradiente della pressione) vengono integrati con un τ t/10. Anche la scelta dello schema numerico dipende dal termine considerato. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 44

45 Discretizzazione delle variabili /3 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 45

46 Discretizzazione delle variabili /4 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 46

47 Discretizzazione delle variabili /5 Differenziazione nello spazio Per ragioni complesse (mantenimento di alcune proprietà di conservazione, prima tra tutte quella dell energia; maggiore accuratezza) è d uso distribuire le variabili nello spazio. Se le quantità scalari sono definite al centro di ogni elemento della griglia di calcolo, le componenti della velocità del vento sono definite al centro delle facce. Si usano normalmente schemi centrati, con secondo o quarto ordine di accuratezza. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 47

48 Discretizzazione delle variabili /6 Di conseguenza, le equazioni discretizzate assumono un aspetto abbastanza complesso, e oltre agli operatori di differenziazione compaiono anche degli operatori di media. Esempio (equazione del moto lungo x in un modello 3D): Integrazione su time step breve τ, iterata n volte (n = t/ τ) Integrazione su time step lungo t Discretizzazione spaziale del termine avvettivo Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 48

49 Discretizzazione delle variabili /7 Esempio di modello bidimensionale: time step lungo Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 49

50 Discretizzazione delle variabili /8 Esempio di modello bidimensionale: time step breve Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 50

51 Parametrizzazioni Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 51

52 Parametrizzazioni /1 Trasferimento radiativo: assorbimento di radiazione a onda corta, assorbimento ed emissione di radiazione ad onda lunga in atmosfera, effetto delle nubi. Interazione suolo-atmosfera: assorbimento di radiazione a onda corta, assorbimento ed emissione di radiazione ad onda lunga da parte della superficie terrestre, flussi di calore sensibile e latente, ruolo della vegetazione. Turbolenza nello strato limite atmosferico: trasferimento turbolento di quantità di moto, calore e umidità in prossimità della superficie terrestre. Convezione: effetti dinamici e termodinamici dei moti convettivi non esplicitamente risolti (rilascio di calore latente, convergenza al suolo e divergenza in quota). Processi microfisici: transizioni di fase tra vapor d acqua, acqua e ghiaccio in atmosfera, formazione e deposizione delle idrometeore (pioggia, neve, grandine). Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 52

53 Parametrizzazioni /2: Trasferimento radiativo I modelli più semplici sono basati sulle equazioni che descrivono la radiazione di corpo nero, e stimano soltanto la radiazione in ingresso/uscita alla superficie (metodi empirici). Bilancio radiativo netto della superficie (onda lunga): R LW = ε s (ε a σt a 4 -σt s4 ) Bilancio radiativo netto della superficie (onda corta): R SW = S 0 (1-a) τ cosζ I modelli più complessi integrano lungo la verticale delle relazioni derivate dalla legge di Lambert e Beer, fornendo una stima del flusso radiativo netto a vari livelli in atmosfera e in diverse bande spettrali: E, B, J: assorbimento, emissione, scattering. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 53

54 Parametrizzazioni /3: Interazione suolo-atmosfera I flussi di quantità di moto, calore sensibile e umidità/calore latente sono modellati da una relazione del tipo: F x0 = -ρc dm (u 2 +v 2 ) ½ u H 0 = -ρc p C dh (u 2 +v 2 ) ½ (T a -T s ) E 0 = -ρl v C dq (u 2 +v 2 ) ½ (q a -q s ) dove i vari C d sono dei coefficienti di drag adimensionali, in genere variabili in funzione delle condizioni di stabilità statica dell atmosfera, e i pedici s e a indicano rispettivamente la superficie e l atmosfera a contatto con la superficie. Anche T s e q s (temperatura e umidità del suolo) sono calcolate con un apposito modello. Per esempio l equazione per T s può essere del tipo: dove il coefficiente C t, con dimensioni K/(Jm -2 ), dipende dal tipo di suolo (tessitura, copertura vegetale, contenuto d acqua). Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 54

55 Parametrizzazioni /4: Turbolenza I flussi di quantità di moto, calore e umidità causati da moti atmosferici di scala minore rispetto alla risoluzione del modello sono spesso descritti con delle chiusure di tipo Boussinesq (si assume che siano assimilabili a processi diffusivi): In prima approssimazione, si considerano importanti solo i flussi verticali. Le diffusività turbolente (K) possono essere parametrizzate con vari metodi di diversa complessità. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 55

56 Parametrizzazioni /5: Convezione Obiettivo: stimare i flussi di umidità e calore legati a eventuali fenomeni convettivi non esplicitamente risolti dalla griglia. stimare i relativi tassi di condensazione del vapor d acqua e precipitazione. Metodo (a grandi linee): Le singole colonne di una griglia computazionale vengono considerate separatamente. La parametrizzazione si attiva solo quando una specifica trigger function legata a dei criteri di instabilità convettiva (es. CAPE) raggiunge un valore soglia. La parametrizzazione riporta il profilo termodinamico dell atmosfera in condizioni neutrali (θ e costante lungo la verticale) in un certo lasso di tempo (rimuovendo umidità e calore nei pressi della superficie e condensando vapor d acqua e riscaldando la colonna d aria in quota). Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 56

57 Parametrizzazioni /6: Processi microfisici Si definiscono diverse classi di idrometeore, ciascuna corrispondente ad una particolare idrometeora (φ: pioggia, neve, grandine, acqua di nube, ghiaccio di nube). Per ognuna (per ogni φ) si definisce una equazione del tipo: I termini di sedimentazione (velocità in funzione del diametro: V=aD b ) e di diffusione (D qφ ) sono calcolati assumendo una particolare distribuzione statistica (gamma o esponenziale) del diametro delle particelle. La conoscenza dei momenti delle distribuzioni consente il calcolo delle velocità e diffusività medie. I termini sorgente (indicati collettivamente con S qφ ) descrivono ciascuno un particolare processo microfisico (nucleazione eterogenea, accrescimento per coalescenza, brinamento ) Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 57

58 Condizioni iniziali e al contorno Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 58

59 Condizioni al contorno /1 Nei modelli meteorologici a mesoscala usati per simulazioni ad alta risoluzione in aree circoscritte, oppure per simulazioni in contesti idealizzati, i margini laterali e superiori del dominio di simulazione non corrispondono ad alcuna superficie reale. Di conseguenza, non è possibile porre alcuna condizione al contorno semplice (es. impenetrabilità). Per ottenere un problema ben posto (con un unica soluzione che dipende in maniera continua dalle IC/BC) le condizioni al contorno andrebbero specificate in funzione della natura delle equazioni considerate. Per esempio, per equazioni lineari: iperboliche: una condizione iniziale per ogni punto, una condizione al contorno solo nei punti attraversati da una caratteristica entrante. paraboliche: una condizione iniziale e una condizione al contorno per ogni punto del bordo. ellittiche: una condizione al contorno per ogni punto del bordo. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 59

60 Condizioni al contorno /2 Le equazioni del moto atmosferico sono a coefficienti non costanti, e non lineari. Dunque, le condizioni al contorno non sono specificate in base a condizioni teoriche. Vengono progettate in modo pragmatico e se ne valuta l efficacia tramite la sperimentazione. Spesso si assume che ai bordi del dominio le equazioni siano approssimabili localmente come delle equazioni di avvezione lineare (condizioni radiative): φ φ + c = 0 t x La celerità c viene stimata in base al comportamento della variabile φ immediatamente all interno del dominio. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 60

61 Condizioni al contorno /3 Condizioni periodiche: sono utilizzate solo ai bordi laterali di un dominio di simulazione, quando si vuole studiare un processo idealizzato in una porzione di atmosfera uniforme lungo l orizzontale (es. la crescita dello strato limite convettivo su un terreno piano e uniforme). In un dominio di dimensioni L x ed L y per ogni variabile ξ si impongono le condizioni: ξ(x=l x ) = ξ(x=0) ; ξ(y=l y ) = ξ(y=0) Di conseguenza, è come se si simulasse un atmosfera a mosaico, nella quale vale la relazione: ξ(x+nl x,y+ml y ) = ξ(x,y) per qualunque valore di m ed n. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 61

62 Condizioni al contorno /4 Condizioni forzate (utilizzabili nel caso in cui il dominio del modello sia innestato all interno di simulazioni a scala più grande): a) tendency modification ; φ φ ( φ φ + c = γ ) t x t b) flow relaxation : φ φ + c = K( φ φ ) t x Il valore φ proviene dalla simulazione di scala maggiore: a) si specifica la tendenza di φ al bordo, oppure b) si include nell equazione un termine di smorzamento che impone che la soluzione converga verso φ. I coefficienti K e γ sono diversi da zero solo in una zona prossima al bordo del dominio. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 62

63 Condizioni iniziali /1 Per la modellazione di casi di studio reali o per la previsione meteorologica con metodi numerici, i dati osservati dalla rete sinottica devono essere modificati e resi consistenti con le equazioni del modello: la natura non lineare delle equazioni primitive favorisce l amplificazione incontrollata di eventuali errori nelle misurazioni. Tre operazioni fondamentali da compiere nella produzione delle condizioni iniziali: rimozione di dati fisicamente non plausibili o troppo discordi dalla climatologia o da dati prossimi (controllo di qualità). interpolazione su una griglia regolare dei dati osservati, tipicamente distribuiti in maniera non uniforme. Spesso l interpolazione è soggetta all applicazione di alcuni vincoli fisici. rimozione degli errori introdotti dall interpolazione e della variabilità ad alta frequenza nei dati osservati, e approssimazione degli stessi ad uno stato compatibile con le equazioni dinamiche. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 63

64 Condizioni iniziali /2 Oggi, la produzione delle condizioni iniziali nei modelli operativi di previsione meteorologica permette di soddisfare tutti e tre questi requisiti per mezzo di una combinazione statistica di osservazioni e previsioni a breve termine (data assimilation). Le sole osservazioni non sono sufficienti per inizializzare un modello perché il numero di condizioni iniziali da specificare in un modello globale (numero di nodi di griglia numero di variabili) è tipicamente dell ordine di , mentre il numero di osservazioni disponibili in una finestra temporale di ± 3 ore è di , con una distribuzione spaziale molto disuniforme. Dunque, alle osservazioni si aggiunge un ulteriore fonte di informazioni (definita first guess oppure background ). Oggi, si usano delle previsioni a breve termine in un procedimento ciclico. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 64

65 Condizioni iniziali /3 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 65

66 Condizioni iniziali /4 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 66

67 Previsioni numeriche Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 67

68 Interpretazione delle previsioni numeriche /1 Output LAM (BOLAM) Superficie: SLP Precipitazione T/vento Copertura nuvolosa Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 68

69 Interpretazione delle previsioni numeriche /2 Output LAM (BOLAM) Quota: Θ e 850hPa 700hPa 700hPa 500hPa Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 69

70 Previsioni d insieme /1 Nei modelli numerici dell atmosfera esistono varie sorgenti di errore: Condizioni iniziali e al contorno imperfette. Approssimazione delle equazioni di governo con metodi numerici alle differenze finite; descrizione solo approssimata della variabilità a piccola scala dei processi fisici. Determinazione imperfetta dei coefficienti contenuti negli schemi di parametrizzazione. In processi governati da equazioni non lineari, gli errori (di qualunque origine, anche derivanti da round-off numerico) possono rapidamente crescere fuori controllo. L atmosfera è un sistema solo limitatamente predicibile; il limite di predicibilità è mediamente stimato in 10 giorni. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 70

71 Previsioni d insieme /2 Una previsione d insieme (ensemble forecast) è costituita da una serie di previsioni riferite allo stesso momento, e prodotte a partire da condizioni al contorno leggermente diverse (perturbate rispetto ad una di riferimento), o da modelli previsionali leggermente diversi (es. nei coefficienti di alcune parametrizzazioni). La differenza osservata nelle previsioni d insieme dà un idea dell affidabilità complessiva della previsione stessa. L analisi di grandi insiemi di previsioni consente di formulare previsioni probabilistiche (nelle quali viene fornita la probabilità che un determinato parametro sia maggiore o uguale a un dato valore soglia). Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 71

72 Previsioni d insieme /3 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 72

73 Previsioni d insieme /4 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 73

74 Previsioni d insieme /5 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 74

75 Verifica delle previsioni numeriche La verifica delle previsioni di un modello consiste nella valutazione della loro corrispondenza con le osservazioni. Concettualmente, la verifica consiste nella caratterizzazione della distribuzione di probabilità congiunta di previsioni e osservazioni. Operativamente, le tecniche di verifica più semplici sono basate sulla formulazione ed analisi di una tabella di contingenza, nella quale diversi eventi sono distribuiti in base alla correttezza delle previsioni riferite ad una soglia s. O>s O<s P>s a b P<s c d bias ETS = = a a + + b c a a r a + b + c a r a ( a + b)( a + c) r = a + b + c + d Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 75

76 Altre applicazioni delle simulazioni numeriche Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 76

77 Applicazioni delle simulazioni numeriche /1 Simulazioni idealizzate: I modelli numerici consentono una riproduzione realistica dei processi atmosferici, e l utente ha il completo controllo sulla realtà da essi simulata. E possibile svolgere simulazioni idealizzate in cui alcuni fattori rilevanti (es.: condizioni iniziali, caratteristiche del dominio di simulazione, processi fisici) sono drasticamente semplificati. Ciò consente di valutare il ruolo e l importanza di questi fattori nel determinare l evoluzione meteorologica; in questo modo i modelli numerici diventano degli strumenti utili alla comprensione della dinamica atmosferica. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 77

78 Applicazioni delle simulazioni numeriche /2 Esempio 1 Ruolo di una catena montuosa e della distribuzione dell umidità atmosferica nel favorire il verificarsi di precipitazioni intense. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 78

79 Applicazioni delle simulazioni numeriche /3 Simulazione di un evento reale (alluvione Piemonte 5-6 Novembre 1994) su una topografia idealizzata. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 79

80 Applicazioni delle simulazioni numeriche /4 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 80

81 Applicazioni delle simulazioni numeriche /5 La convergenza di masse d aria umida nelle Alpi Occidentali è favorita dalla configurazione orografica, e dalla presenza di gradienti di umidità specifica E-W. Riferimento: Richard Rotunno and Rossella Ferretti (2001): Mechanisms of intense alpine rainfall, Journal of the Atmospheric Sciences, 58, Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 81

82 Applicazioni delle simulazioni numeriche /6 Esempio 2 Simulazione numerica di circolazioni forzate termicamente in una valle, con lo scopo di identificare le principali strutture del campo di moto e delineare la loro influenza sulla struttura termica dell atmosfera e sulla turbolenza nello strato limite. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 82

83 Applicazioni delle simulazioni numeriche /7 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 83

84 Applicazioni delle simulazioni numeriche /8 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 84

85 Applicazioni delle simulazioni numeriche /9 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 85

86 Applicazioni delle simulazioni numeriche /10 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 86

87 Applicazioni delle simulazioni numeriche /11 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 87

88 Applicazioni delle simulazioni numeriche /12 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 88

89 Applicazioni delle simulazioni numeriche /13 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 89

90 Applicazioni delle simulazioni numeriche /14 Esempio 3 Simulazione numerica di processi di separazione dello strato limite atmosferico a valle di un ostacolo orografico, con conseguente formazione di circolazioni a rotore. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 90

91 Applicazioni delle simulazioni numeriche /15 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 91

92 Applicazioni delle simulazioni numeriche /16 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 92

93 Applicazioni delle simulazioni numeriche /17 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 93

94 Alcuni modelli meteorologici a mesoscala BOLAM (Italia, ISAC-CNR): < COSMO/Lokal-Modell (Germania, Svizzera, Italia, Grecia, Polonia): < HIRLAM (Danimarca, Finlandia, Islanda, Irlanda, Norvegia, Olanda, Spagna, Svezia): < ALADIN (Francia, Belgio, Marocco, Polonia, Portogallo, Tunisia, Austria, Croazia, Repubblica Ceca, Ungheria, Slovacchia, Slovenia, Bulgaria, Moldova, Romania): < Unified Model (UK, MetOffice): < ARPS (USA, University of Oklahoma): < WRF (USA, National Center for Atmospheric Research): < MM5 (USA, Pennsylvania State University, NCAR): < RAMS (USA, University of Colorado): < COAMPS (USA, marina militare): < Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 94

95 Riassunto Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 95

96 Riassunto /1 I modelli di previsione meteorologica integrano le equazioni primitive dell atmosfera su un insieme finito e discreto di punti, utilizzando come condizioni iniziali e al contorno delle stime dello stato dell atmosfera derivate da misure o da altri modelli. I sistemi di equazioni risolti dai modelli possono includere delle semplificazioni o approssimazioni; il loro scopo è quello di filtrare alcune possibili soluzioni delle equazioni primitive, indesiderate perché non significative dal punto di vista meteorologico e al contempo problematiche dal punto di vista numerico (es.: onde acustiche). I sistemi di riferimento in cui sono proiettate le equazioni constano spesso di una coordinata verticale terrain-following, e sono riferiti ad una proiezione cartografica (es. Lambertiana, trasversa di Mercatore). La trasformazione di coordinate dal sistema sferico naturale a quello utilizzato dal modello introduce nelle equazioni una serie di termini metrici. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 96

97 Riassunto /2 L integrazione delle equazioni primitive avviene nella maggior parte dei casi utilizzando metodi alle differenze finite, espliciti. Le modalità di integrazione nel tempo sono differenziate per i diversi termini delle equazioni; per ogni termine si usa il metodo numerico più appropriato (es.: leapfrog per i termini avvettivi, Crank-Nicolson per i gradienti di pressione), con il passo temporale di integrazione più appropriato (lungo per i termini avvettivi, breve per quelli legati a u o al gradiente di pressione). Le variabili del modello sono distribuite nello spazio, in modo che le quantità scalari e le componenti u, v, w siano definite su insiemi disgiunti di punti (griglie di Arakawa B o C). Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 97

98 Riassunto /3 La risoluzione orizzontale e verticale delle griglie di calcolo dei modelli non è sufficiente per risolvere esplicitamente tutte le scale di moto caratteristiche dell atmosfera. In particolare, i moti convettivi e la turbolenza nello strato limite corrispondono spesso a scale di sottogriglia. Inoltre, esiste una serie di processi (esempi: trasferimento radiativo, processi microfisici) che fungono da sorgenti per diverse grandezze di interesse meteorologico (esempi: umidità, temperatura). Tutti questi processi (sottogriglia e sorgenti) devono essere parametrizzati, cioè descritti con formule quantitative approssimate, spesso calibrate per mezzo di dati sperimentali. L accuratezza delle previsioni dei modelli dipende in modo drastico dall accuratezza delle parametrizzazioni (processi microfisici, turbolenza, trasferimento radiativo, interazione suolo-atmosfera, convezione). Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 98

99 Riassunto /4 I modelli numerici possono essere utilizzati per la previsione meteorologica operativa; i metodi di d insieme, in questo caso, consentono di stimare il livello di incertezza della previsione. I modelli numerici possono anche essere utilizzati per simulazioni idealizzate, consentendo (in contesti semplificati) di comprendere i processi fisici alla base di alcuni fenomeni atmosferici. Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 99

100 Testi di riferimento Eugenia Kalnay, Atmospheric Modeling, Data Assimilation and Predictability. Cambridge University Press, FISATMO-106 David J. Stensrud, Parameterization Schemes: Keys to Understanding Numerical Weather Prediction Models. Cambridge University Press, FISATMO-84 Roger A. Pielke, Mesoscale Meteorological Modeling, 2nd Edition. Academic Press, FISATMO-214 George J. Haltiner and Roger T. Williams, Numerical Prediction and Dynamic Meteorology. John Wiley & Sons, FISATMO-49 Fisica dell Atmosfera e del Clima A.A. 2010/2011 Stefano Serafin 100