GONIOMETRIA. MISURA DEGLI ANGOLI La misura di un angolo si può esprimere in diversi modi, a seconda dell unità di misura che si sceglie.

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1 of. Luigi Cai Anno scolastico 5-6 GONIOMETRIA MISURA DEGLI ANGOLI La misua di un angolo si può espimee in divesi modi, a seconda dell unità di misua che si sceglie. Sistema sessagesimale Si assume come unità di misua degli angoli il gado (cioè u ), che è la 9-esima pate dell angolo etto. I suoi sottomultipli sono il pimo (/6 di gado) e il secondo (/6 di pimo). In tale unità si ha, ad esempio, che l angolo piatto misua 8 o e l angolo etto 9 o. Ossevazione: Gli angoli espessi in gadi non sono numei eali, ma un qualcosa che pemettono di visualizzae apidamente l ampiezza di un angolo; petanto non possono essee ipotati sugli assi catesiani. Sistema adiale o cicolae Dato un angolo (espesso in gadi) e più ciconfeenze aventi il cento nel vetice dell angolo, isulta che il appoto ta l aco l e il aggio è costante al vaiae della ciconfeenza, cioè: l l' l costante; infatti tale appoto, che misua, dipende solo dall angolo al cento e ' 8 non dipende dall unità di misua, essendo un appoto di gandezze omogenee. O l l opio queste consideazioni consentono di assumee tale appoto costante come misua dell angolo, cioè: l misua di e pendee come unità di misua l ampiezza dell angolo pe cui tale appoto vale, ossia l angolo adiante (u ad), cioè l ampiezza di un angolo al cento di una ciconfeenza il cui aco ettificato è uguale al aggio. Esempi - Se è l angolo gio l l Cioè l angolo gio espesso in adianti è pai a.

2 of. Luigi Cai Anno scolastico L angolo etto espesso in adianti è pai a /. - l angolo di adiante misua cica 57, ( ), infatti: o :8 o 8 : 57, assaggio dai adianti ai gadi e vicevesa In teoia, dette e ispettivamente le misue di un angolo in gadi e in adianti, si utilizza la popozione: 8 : : In patica, si pocede nel seguente modo: gadi adianti adianti gadi o 6 6 o 8 8 o 7 o Ossevazione: Gli angoli misuati in adianti sono numei eali, petanto possono essee messi in coispondenza biunivoca con i punti della etta e quindi possono essee ipotati sugli assi catesiani. Ciconfeenza goniometica E la ciconfeenza che ha cento nell oigine del sistema catesiano e aggio unitaio. Un punto sulla ciconfeenza uota in senso antioaio, patendo da A. O A(,) x Il punto A è l oigine degli achi, oientati positivamente secondo il veso antioaio Funzioni goniometiche seno e coseno A Il punto sulla ciconfeenza goniometica (che uota in senso antioaio) individua l angolo AO ˆ. Si definisce seno dell angolo (sen ) l odinata del punto, cioè H Si definisce coseno dell angolo (cos ) l ascissa del punto, cioè OH Il seno e coseno sono funzioni che assumono, al vaiae dell angolo, valoi compesi ta - e, cioè: sen + cos +

3 of. Luigi Cai Anno scolastico 5-6 Inolte sono funzioni peiodiche di peiodo, cioè dopo un gio completo iacquistano gli stessi valoi e si scive: sen + k sen cos ( + k ) cos ( ) Funzione goniometica tangente Sia T il punto in cui la tangente alla ciconfeenza in A(,) inconta il polungamento del aggio che individua l angolo. Y T O A x Si definisce tangente dell angolo ( tg ) l odinata del punto T, cioè AT. La tangente è una funzione che assume, al vaiae dell angolo, valoi compesi ta - e + La tangente è una funzione peiodica di peiodo, cioè iacquista gli stessi valoi dopo mezzo gio e si scive: tg ( + k) tg La tangente non esiste a 9 + k 8. Funzione goniometica cotangente Sia T il punto in cui la tangente alla ciconfeenza in B(,) inconta il polungamento del aggio che individua l angolo. B T O A x Si definisce cotangente dell angolo ( ctg ) l ascissa del punto T, cioè BT. La cotangente è una funzione peiodica di peiodo, cioè iacquista gli stessi valoi dopo mezzo gio e si scive : ctg ( + k) ctg La cotangente non esiste a + k 8. Esecizio Vedee, sulla ciconfeenza goniometica, come vaiano le funzioni goniometiche al vaiae dell angolo. Esecizio Rappesentae sulla ciconfeenza goniometica sen, cos, 5 5 tg

4 of. Luigi Cai 4 Anno scolastico 5-6 Relazioni fondamentali ) sen + cos Dimostazione Applico il teoema di itagoa al tiangolo OH : O H + H A ( ) + ( cos ) sen sen + cos Tale elazione pemette di calcolae il seno conoscendo il valoe del coseno e vicevesa. sen + cos sen cos sen ± cos cos sen cos ± sen N. B. Il segno ± dipende dal quadante in cui si tova la funzione. ) sen tg, + k cos T A Dimostazione I tiangoli OH e OTA sono simili, pe cui: OH : OA H : AT cos : sen : tg sen tg cos 4

5 of. Luigi Cai 5 Anno scolastico 5-6 ) cos ctg, + k sen B T Dimostazione I tiangoli OH e OTB sono simili, pe cui: OH : BT H : OB cos : ctg sen : cos ctg sen Ossevazione: La funzione ctg è l inveso della tg opietà paticolai emettono di calcolae il seno e coseno conoscendo il valoe della tangente. cos, + k + tg cos ± + tg sen tg, + k + tg sen ± tg + tg Dimostazione della pima fomula: cos cos cos cos cos cos + sen cos + sen cos sen + tg + cos cos cos In modo analogo si dimosta la seconda. 5

6 of. Luigi Cai 6 Anno scolastico 5-6 Valoi delle funzioni goniometiche in angoli paticolai ( o, 45 o, 6 o ) ) Angolo A OH è un tiangolo ettangolo con ipotenusa uguale ad unità e gli angoli paticolai di e 6, pe cui: sen H cos OH tg sen cos ctg ) Angolo 6 6 A OH è un tiangolo ettangolo con ipotenusa uguale ad unità e gli angoli paticolai di e 6, pe cui: sen 6 H cos 6 OH 6 tg 6 sen cos6 ctg 6 6

7 of. Luigi Cai 7 Anno scolastico 5-6 ) Angolo A OH è un tiangolo ettangolo con ipotenusa uguale ad unità e gli angoli paticolai di 45, pe cui: sen 45 H cos 45 OH 45 tg 45 sen cos 45 ctg 45 Tabella iassuntiva sen cos tg 6 ctg

8 of. Luigi Cai 8 Anno scolastico 5-6 LEGAME TRA IL COEFFICIENTE ANGOLARE m DI UNA RETTA E LA TANGENTE DELL ANGOLO CHE LA RETTA FORMA CON IL SEMIASSE OSITIVO DELL ASSE DELLE X Sia un punto sulla ciconfeenza goniometica tale che O fomi un angolo con il semiasse positivo dell asse delle x. A Il punto ha coodinate (cos ; sen ), quindi il coefficiente angolae della etta passante pe i punti O e isulta: O sen sen mo tg x x x cos cos O In geneale, il coefficiente angolae di una etta coincide con la tangente dell angolo che la etta foma con il semiasse positivo dell asse delle ascisse, cioè: m tg 8

9 of. Luigi Cai 9 Anno scolastico 5-6 ANGOLI ( o ARCHI) ASSOCIATI Si definiscono angoli associati due angoli le cui funzioni goniometiche sono uguali in valoe assoluto. Ne esistono di vaio tipo: Angoli che oscillano intono all asse x (-, +, -, -): il nome della funzione imane invaiato e il segno dipende dal quadante. Angoli che oscillano intono all asse (/-, /+, /-, /+): il nome della funzione cambia e il segno dipende dal quadante. Ad esempio, pendiamo in consideazione: Angoli che diffeiscono di : e + + H O H I tiangoli OH e O H sono conguenti pe il 4 o citeio di conguenza (angolo etto, OO, OH ˆ ' Oˆ H ' ). etanto: odinata di uguale ed opposta odinata di, cioè: sen( + ) sen ascissa di uguale ed opposta ascissa di, cioè: cos( + ) cos sen( + ) sen tg ( + ) tg cos( + ) cos Angoli che diffeiscono di : e + + H O H I tiangoli OH e O H sono conguenti pe il 4 o citeio di conguenza (angolo etto, OO, OH ˆ ' Oˆ H ' ). etanto: odinata di uguale ascissa di, cioè: sen( + ) cos ascissa di uguale ed opposta odinata di, cioè: cos + sen sen( + ) cos tg( + ) ctg sen cos( + ) 9