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1 istituto professionale versari-macrelli, cesena lorenzo pantieri matematica per le quinte corso serale Dipartimento di Matematica Anno scolastico

2 Questo lavoro spiega il programma di matematica agli alun- ni dell Istituto professionale Versari-Macrelli di Cesena. Ringrazio innanzitutto il Dirigente scolastico ing. Mauro Tosi per aver sostenuto questo progetto. Ringrazio inoltre i miei colleghi del dipartimento di matematica Silvia Bagnoli, Francesco Cerino, Silvia Cortesi, Giulia Degli Angeli, Orlando Fiumana, Maria Chiara Garaffoni, Emanuela Montanari, Monica Morelli, Enrico Petroncini, Manuela Pompili ed Elisabetta Turci per l aiuto fornito nella redazione di questo lavoro, la pazienza e la precisione nei suggerimenti, la competenza e la disponibilità. Un grazie altrettanto speciale va ai miei studenti, per i consigli durante la stesura di un opera che senza il loro contributo non avrebbe mai assunto la forma attuale: questo libro è più loro che mio. Se avete idee su argomenti da aggiungere, togliere o modificare in questo documento, o se vi dovesse capitare di notare un errore, sia di battitura che di sostanza (ed è probabile che ce ne siano parecchi, soprattutto del primo tipo, ma anche del secondo), mi fareste un favore comunicandomelo, così che io possa apportare le opportune correzioni in versioni successive. Mi interessano specialmente i commenti degli studenti su quali parti di questo lavoro risultino di facile comprensione e quali invece si potrebbero spiegare meglio. In particolare, se vi sembra di notare un errore matematico è anche nel vostro interesse discuterne con me per chiarire se si tratta di un incomprensione vostra o di uno sbaglio mio. È con questo spirito che ho scritto questo lavoro: spero che possiate studiare la matematica con il mio stesso piacere. Lorenzo Pantieri Matematica per l Istituto professionale Versari-Macrelli Copright c 2015 Il frontespizio riproduce la ilografia Altro Mondo II di Maurits Cornelis Escher e l incisione Tassellazione del piano con uccelli, dello stesso autore.

3 I N D I C E 1 statistica Fasi di un indagine statistica Definizione del fenomeno Individuazione della popolazione Rilevamento dei dati Elaborazione e rappresentazione Tabelle di frequenza Frequenze assolute Frequenze relative Frequenze percentuali Raggruppamento per classi Rappresentazioni grafiche Indici statistici Moda Media Mediana Esercizi 12 2 matematica per l economia Problemi di scelta Problemi di costi e ricavo Esercizi 32 3 disequazioni Intervalli sulla retta reale Diseguaglianze e disequazioni Principi di equivalenza Disequazioni lineari Disequazioni di secondo grado Disequazioni fratte Esercizi 66 4 funzioni Relazioni e funzioni Definizione di funzione Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche Rappresentazione cartesiana Esercizi 94

4 iv indice 5 introduzione all analisi Classificazione Dominio Intersezioni con gli assi Segno Simmetrie Esercizi limiti Concetto di limite Calcolo dei limiti Limiti di alcune funzioni elementari Algebra dei limiti Forme di indecisione di funzioni algebriche Continuità Asintoti Grafico probabile di una funzione Esercizi 148

5 1 S TAT I S T I C A La statistica è una scienza nata per analizzare e descrivere fenomeni d importanza sociale che riguardano uno Stato. Oggi viene applicata in tutti quei campi dove intervengono fenomeni collettivi, la cui mancanza di ripetitività ne rende impossibile lo studio attraverso la sperimentazione. Sono fenomeni collettivi quei fatti che abbracciano un gran numero di fenomeni individuali fra loro simili. Per esempio, il fatto che Luciana è alta 165 cm è un fenomeno individuale, mentre l altezza dei coetanei di Luciana è un fenomeno collettivo. Il fatto che io vengo a scuola in auto è fenomeno individuale, mentre il mezzo impiegato da tutti i docenti e alunni della mia scuola è un fenomeno collettivo. L aumento della popolazione di uno Stato o la diminuzione dei posti di lavoro in un certo settore sono fenomeni collettivi, e lo studio di un fenomeno collettivo avviene attraverso la statistica che raccoglie e analizza le informazioni riguardanti il fenomeno considerato e permette di fare previsioni sul suo andamento. 1.1 fasi di un indagine statistica Per compiere un indagine statistica si segue uno schema che, in linea di massima, è costituito da quattro fasi essenziali: 1. si definisce il fenomeno su cui si vuole indagare 2. si individua la popolazione interessata 3. si raccolgono i dati 4. si elaborano, rappresentano e interpretano i dati raccolti Definizione del fenomeno Il primo passo di un indagine statistica è la definizione del fenomeno su cui vogliamo indagare. Se per esempio vogliamo prendere in esame il fenomeno distribuzione demografica in una città, è opportuno precisare se vogliamo un esame che riguardi: il numero degli abitanti il numero di maschi e femmine

6 2 statistica la distribuzione secondo il reddito la distribuzione secondo l impiego Individuazione della popolazione Definito il fenomeno, va chiarita la collettività a cui il fenomeno si riferisce e sulla quale verrà quindi svolta l indagine. In termini statistici tale collettività si chiama popolazione statistica o, semplicemente, popolazione; ogni singolo elemento della popolazione si chiama unità statistica. Costituiscono una popolazione, per esempio: gli alunni di una scuola i docenti di una scuola gli impiegati di un azienda i residenti nel Comune di Cesena Variabili statistiche Se consideriamo una popolazione statistica, per esempio gli alunni di una scuola, ogni unità statistica (ogni alunno) differisce da un altra unità per una o più caratteristiche: l età, il sesso, l altezza, la media dei voti, il mezzo di trasporto usato per recarsi a scuola, il Comune di residenza, il numero dei fratelli, la professione dei genitori. Queste caratteristiche prendono il nome di variabili statistiche (o caratteri statistici) ed è rispetto a una o più di queste variabili che si effettua l indagine statistica. Le variabili statistiche possono essere: variabili quantitative, se espresse da un numero variabili qualitative, se non possono essere espresse da un numero Sono variabili quantitative, per esempio: l altezza il peso l età la media dei voti mentre sono variabili qualitative: il sesso il mezzo di trasporto il Comune di residenza la professione dei genitori Un indagine statistica consiste nell analizzare come una popolazione statistica si distribuisce rispetto a una certa variabile statistica.

7 1.2 tabelle di frequenza Rilevamento dei dati Il fenomeno, la popolazione e le variabili statistiche su cui vogliamo indagare ci suggeriranno come meglio procedere nella fase di rilevamento dei dati. Il rilevamento dei dati può essere diretto (o completo) se viene eseguito direttamente su tutte le unità statistiche della popolazione interessata al fenomeno. Ciò è possibile quando la popolazione è formata da un numero non eccessivo di unità e ogni unità statistica può quindi essere contattata e intervistata. Spesso, però, la popolazione è talmente vasta da non permettere il rilevamento diretto. Si deve quindi scegliere all interno della popolazione un opportuno campione rappresentativo su cui si eseguirà l indagine. In questo caso si parla di rilevamento indiretto (o per campione), perché viene eseguito solo su una parte della popolazione. Scelto il metodo per il rilevamento dei dati, diretto o per campionamento, si passa alla raccolta delle informazioni che può avvenire tramite interviste, questionari, consultazione di archivi o pubblicazioni specializzate Elaborazione e rappresentazione Questa fase, nel suo complesso, abbraccia diversi momenti: si esegue lo spoglio delle informazioni per ricavare i dati statistici si trascrivono i dati in una tabella dall esame di questa tabella si arriva all elaborazione vera e propria dei dati si rappresentano i risultati dell indagine mediante opportuni grafici 1.2 tabelle di frequenza Esercizio 1. Supponiamo di aver indagato sul fenomeno altezza degli alunni di quinta dell Istituto Versari-Macrelli e di avere raccolto informazioni relative a 20 alunni (tabella 1). Elaboriamo, interpretiamo e rappresentiamo i dati raccolti. In questo caso la popolazione statistica è rappresentata dalle classi quinte del Versari-Macrelli ; le unità statistiche sono gli alunni di quinta; la variabile statistica che si vuole studiare è l altezza, che è un numero intero e quindi è una variabile quantitativa.

8 4 statistica Tabella 1: Altezze di alcuni alunni di quinta del Versari-Macrelli : dati grezzi Nome Altezza Nome Altezza (cm) (cm) Maria 165 Ettore 174 Giulio 168 Massimo 177 Mario 174 Cristian 165 Ernesto 177 Rossana 166 Giorgio 166 Elisabetta 158 Elena 168 Roberto 165 Vittorio 174 Walter 166 Marco 168 Nicoletta 186 Eleonora 165 Sara 165 Fabio 165 Nicola Frequenze assolute Eseguiamo lo spoglio delle informazioni. valori in ordine crescente (tabella 2). Innanzitutto conviene riscrivere i Tabella 2: Altezze di alcuni alunni di quinta del Versari-Macrelli : crescente valori in ordine Dopo di che si realizza una tabella dove nella prima colonna scriveremo tutte le altezze registrate e nella seconda colonna il numero degli alunni che hanno quell altezza (tabella 3). Tabella 3: Altezze degli alunni di quinta: frequenze assolute Altezza (cm) Totale Numero di alunni La tabella 3 può già fornirci un immagine del fenomeno. I numeri riportati nella seconda riga (numero degli alunni) rappresentano la frequenza assoluta di ciascun valore (altezza), ovvero il numero di volte con cui quel valore si presenta nell indagine.

9 1.2 tabelle di frequenza 5 Tabella 4: Altezze degli alunni di quinta: frequenze assolute, relative e percentuali Altezza Frequenza Frequenza Frequenza (cm) assoluta relativa percentuale /20 = 0, /20 = 0, /20 = 0, /20 = 0, /20 = 0, /20 = 0, /20 = 0,05 5 Totale Frequenze relative Può essere utile indicare per ciascun valore il rapporto tra la sua frequenza assoluta e il totale dei dati esaminati; in questo caso si parla di frequenza relativa di un valore. Per ottenere la frequenza relativa di un valore si applica la seguente formula: frequenza assoluta frequenza relativa = totale dei dati Applicando la formula precedente alla tabella 3 delle altezze dei 20 alunni otteniamo la tabella Frequenze percentuali La frequenza percentuale di un valore è la sua frequenza relativa moltiplicata per 100. Per ottenere la frequenza percentuale di un valore si applica la seguente formula: frequenza assoluta frequenza percentuale = 100 totale dei dati Raggruppamento per classi Esercizio 2. Supponiamo di eseguire un indagine sul fenomeno peso dei ragazzi iscritti a una scuola di calcio e di raccogliere i valori relativi a 60 ragazzi nella tabella 5a. Elaboriamo, interpretiamo e rappresentiamo i dati raccolti.

10 6 statistica Tabella 5: Peso in kg di alcuni ragazzi iscritti a una scuola di calcio (a) Valori grezzi (b) Valori in ordine crescente L elaborazione di questi valori non è semplice, in quanto si tratta di numeri completamente diversi tra loro. Calcolare le frequenze, assolute o relative, risulterebbe non solo laborioso, ma sopratutto poco significativo. In casi del genere si procede raggruppando i valori e realizzando tabelle suddivise per classi. Innanzitutto riscriviamo i valori in ordine crescente (tabella 5b). Consideriamo l intervallo numerico tra il valore più piccolo e quello più grande, ovvero 50 kg 85 kg; esso rappresenta il campo di variazione della variabile statistica considerata. Consideriamo gli estremi del campo di variazione ed eseguiamo la loro differenza, che vale 35 kg (85 kg 50 kg = 35 kg). Questa differenza è detta ampiezza del campo di variazione, ed è l ampiezza del raggruppamento di tutti i valori. Suddividiamo l ampiezza in opportuni intervalli uguali, ciascuno di ampiezza 5 kg, definendo le classi di peso riportate nella tabella 6. Tabella 6: Classi di peso (in kg) dei ragazzi Classe Intervallo In queste otto classi sistemiamo la nostra popolazione: basterà considerare i ragazzi appartenenti a ogni classe per avere la frequenza della classe, ovvero la distribuzione di frequenza del raggruppamento dei valori (tabella 7).

11 1.3 rappresentazioni grafiche 7 Tabella 7: Peso in kg dei ragazzi iscritti a una scuola di calcio, suddivisi per classe Classi Frequenza Frequenza Frequenza di peso (kg) assoluta relativa percentuale , , , , , , , ,05 5 Totale rappresentazioni grafiche I dati raccolti nelle tabelle precedenti si possono rappresentare graficamente. I grafici più usati sono gli istogrammi e i diagrammi a torta. La scelta del grafico dipende dal tipo di tabelle che abbiamo creato. Esistono vari software che, partendo dalla serie dei dati raccolti, realizzano automaticamente il grafico desiderato. I più usati sono i programmi per l elaborazione dei cosiddetti fogli elettronici (tra cui il popolare Microsoft Ecel). Se si ha una tabella delle frequenze assolute (come la tabella 3), il grafico più opportuno è l istogramma, serie di barre verticali la cui altezza è proporzionale al valore della frequenza. La figura 1a, per esempio, rappresenta i valori della tabella 3, relativi all esercizio 1 delle altezze dei 20 alunni di quinta. Se si ha una tabella delle frequenze relative o percentuali (come la tabella 4), il grafico più opportuno è il diagramma a torta, che dà un immediato messaggio visivo di come sono distribuiti i valori statistici. La figura 1b, per esempio, rappresenta i valori della tabella 4, relativi al caso dell esercizio 1 delle altezze dei 20 alunni di quinta. Una tabella per classi differisce da una tabella semplice solo per il fatto che si ha a che fare non con singoli valori ma con intervalli di valori. Una tabella per classi come la 7, per esempio, relativa all esercizio 2 dei pesi dei 60 ragazzi iscritti alla scuola di calcio, può quindi essere rappresentata da un istogramma (figura 2a) o da un diagramma a torta (figura 2b).

12 8 statistica 1.4 indici statistici Gli indici statistici sono i risultati di funzioni matematiche che vengono utilizzati per effettuare una sintesi dei dati. Gli indici usati più spesso sono gli indici di posizione, che danno un idea approssimata dell ordine di grandezza dei valori esistenti. I principali indici di posizione sono la moda, la media e la mediana Moda Si chiama moda di un indagine statistica il valore che ha la frequenza maggiore. In una distribuzione può esserci un solo valore che ha la frequenza maggiore, oppure due valori o più: in tal caso si parla di distribuzione unimodale, bimodale, trimodale, e così via. Per esempio, la moda dei valori 4, 4, 8, 9 e 10 è 4. Nel caso dell esercizio 1 la frequenza maggiore è 6, e corrisponde al numero di alunni alti 165 cm. Quindi la moda è 165 cm Media La media aritmetica (o semplicemente media) è la somma di tutti i valori, ciascuno sommato tante volte quante figura nei dati, divisa per il numero dei dati. Per esempio, la media dei valori 4, 4, 8, 9 e 10 è: media = = 35 5 = Numero di alunni % 20% 30% 5% 5% 10% Altezza in cm (a) Istogramma % (b) Diagramma a torta (altezza in cm) Figura 1: Rappresentazioni grafiche del fenomeno altezza degli alunni di quinta

13 1.4 indici statistici Numero di alunni Peso in kg (a) Istogramma % % 10% 25% 5% 5% 10% % (b) Diagramma a torta (peso in kg) Figura 2: Rappresentazioni del fenomeno peso dei ragazzi iscritti a una scuola di calcio In presenza di una tabella delle frequenze assolute (come la 3 dell esercizio 1), la media si calcola più agevolmente sommando il prodotto di ciascun valore per la propria frequenza assoluta e dividendo il risultato per il numero dei dati. media = cm = 169 cm Mediana Si dice mediana di un insieme di valori statistici numerici disposti in ordine crescente, ciascuno preso tante volte quante figura nei dati, il valore che occupa il posto centrale se i dati sono in numero dispari, oppure la media aritmetica dei due valori centrali se i dati sono in numero pari. Per esempio, la mediana dei cinque valori 4, 4, 8, 9 e 10 è 8 (il termine centrale è il terzo, che ha due valori a sinistra e due valori a destra). Per calcolare in maniera semplice qual è o quali sono i termini centrali, basta dividere per 2 il numero totale dei dati. Nell esercizio 1 abbiamo una serie di venti valori. Poiché venti è un numero pari, la mediana è la media aritmetica dei due valori centrali. Poiché 20 diviso 2 fa 10, i termini centrali sono il decimo (che ha nove valori che lo precedono) e l undicesimo (che ha nove valori che lo seguono). Questi valori sono uguali rispettivamente a 166 cm e 168 cm (tabella 8). Quindi la mediana è ( )/2 cm= 167 cm.

14 10 statistica 6 5 Numero di alunni Voto 7 25% 12.5% 6.25% % 6.25% 12.5% 18.75% (a) (b) Figura 3: Rappresentazioni del fenomeno voto di matematica degli alunni di prima Esercizio 3. Supponiamo di aver svolto un indagine statistica sul voto finale di matematica degli alunni iscritti al primo anno dell istituto Versari- Macrelli e di aver raccolto informazioni relative a 16 alunni (tabella 9). Calcola le frequenze relative e percentuali, rappresenta i dati graficamente e calcola gli indici di posizione. In questo caso la popolazione statistica è rappresentata dalle prime dell istituto Versari-Macrelli ; le unità statistiche sono gli alunni iscritti al primo anno; la variabile statistica che si vuole studiare è il voto finale di matematica, che è un numero intero (compreso tra 1 e 10) e quindi è una variabile quantitativa. Eseguiamo lo spoglio delle informazioni realizzando la tabella delle frequenza assolute (dove nella prima colonna scriveremo tutti voti registrati e nella seconda colonna il numero degli alunni che hanno riportato quel voto), delle frequenze relative (rapporto tra la frequenza assoluta di un voto e il totale dei voti registrati) e percentuali (tabella 10). La figura 3 mostra l istogramma dei valori e il diagramma a torta. Determiniamo gli indici di posizione. La frequenza maggiore è 4, e corrisponde al numero di alunni che hanno Tabella 8: I valori centrali sono 166 e

15 1.4 indici statistici 11 Tabella 9: Voti finali di matematica di alcuni alunni di prima del Versari-Macrelli Nome Voto Nome Voto Marco 6 Angela 7 Anna 8 Pietro 4 Luigi 5 Giorgia 10 Lucia 9 Michela 6 Francesco 10 Sergio 5 Elena 6 Roberta 5 Carlo 9 Aldo 9 Giulia 6 Giovanna 7 riportato un voto finale pari a 6: quindi la moda è 6. La media è: media = = 7 Per calcolare la mediana conviene riscrivere i valori in ordine crescente (tabella 11). Tabella 11: Voti in ordine crescente Poiché i valori sono sedici, che è un numero pari, la mediana è la media aritmetica dei due valori centrali, che sono l ottavo (che ha sette valori che Tabella 10: Frequenze assolute, relative e percentuali Voto Frequenza Frequenza Frequenza assoluta relativa percentuale 4 1 0,0625 6, , , , , , , ,0625 6, , , , ,50 Totale

16 12 statistica lo precedono) e il nono (che ha sette valori che lo seguono); questi valori sono uguali rispettivamente a 6 e a 7. Quindi la mediana è (6 + 7)/2 = 6, esercizi Chi non risolve esercizi non impara la matematica. 1 Da un indagine sulla distribuzione delle altezze in un gruppo di studenti sono stati rilevati i seguenti valori grezzi (espressi in cm): Raggruppa i valori in classi di ampiezza 5 cm e costruisci la distribuzione di frequenza. Calcola poi frequenza relativa e percentuale. 2 Data la seguente distribuzione dei risultati dei test d ingresso di matematica in una scuola media, sapendo che l indagine è stata svolta su 200 alunni, determina frequenze assolute e relative. Voto Frequenza percentuale 5% 10% 25% 40% 15% 3% 2% Frequenza assoluta Frequenza relativa 3 Rappresenta attraverso un diagramma a torta la seguente tabella statistica, che indica le ore di studio giornaliere di uno studente. Giorno lunedì martedì mercoledì giovedì venerdì sabato domenica Ore di studio Rappresenta con un istogramma i dati riportati nella seguente tabella relativi alla vendita di automobili da un concessionario nell anno Marca automobile Auto vendute Renault 50 Fiat 270 Ford 120 Toota 40 Alfa Romeo 30

17 1.5 esercizi 13 5 Uno studente universitario di Fisica ha superato 28 esami con queste valutazioni: Organizza i valori in una tabella e rappresentali tramite un istogramma. 6 Un insegnante di Fisica, per mostrare che le misure di uno stesso oggetto sono soggette ad errori che dipendono dall osservatore, ha fatto misurare la lunghezza di una cattedra con un metro a ciascun alunno della propria classe. I risultati sono stati i seguenti: Lunghezza (cm) 100,8 100,9 101,0 101,1 101,2 Frequenza Qual è la lunghezza media della cattedra? [101,0] 7 Sono dati i seguenti punteggi a un test sostenuto da un gruppo di otto studenti: 20, 24, 20, 15, 8, 5, 11, 17. Calcola la moda, la media e la mediana. [20, 15, 16] 8 In un gruppo di studenti universitari la valutazione dell esame di biologia risulta così distribuita: 29, 24, 28, 18, 23, 19, 20, 24, 30, 20, 21, 30, 22, 30, 23, 24, 27, 29, 29, 30. a. Organizza i dati in una tabella e calcola la frequenza assoluta, relativa e percentuale b. Rappresenta i dati in un grafico a piacere c. Calcola moda, media e mediana [30, 25, 24] 9 È stata effettuata un indagine statistica riguardo al numero di libri letti nella scorsa estate. I dati sono raccolti nella seguente tabella: Numero di libri letti Numero di persone a. Organizza i dati in una tabella e calcola la frequenza assoluta, relativa e percentuale b. Rappresenta i dati in un grafico scelto a piacere c. Calcola moda, media e mediana [0, 2, 1] 10 Indica la risposta corretta. a. Se compi un indagine sul peso degli allievi della tua scuola, la popolazione è costituita? A dagli allievi della scuola C dal peso di ciascun allievo dai pesi degli allievi della tua scuo- B la D da ciascun allievo della scuola

18 14 statistica b. La frequenza percentuale si ottiene: A dividendo la frequenza assoluta per la somma delle frequenze assolute B moltiplicando la frequenza assoluta per 100 C moltiplicando la frequenza relativa per 100 D dividendo la frequenza relativa per 100 c. La mediana: A B C D è la somma dei valori delle singole osservazioni diviso per il loro numero è il valore centrale di un insieme di valori ordinati (se i dati sono dispari) è il valore che si presenta con la massima frequenza in un insieme di valori indica la percentuale di valori al di sopra o al di sotto della media d. Sia data la seguente distribuzione di valori: 2, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 7, 7. Allora, la moda, la media e la mediana valgono rispettivamente: A la moda è 4, la media è 5, la mediana è 6 B la moda è 6, la media è 4, la mediana è 5 C la moda è 6, la media è 5, la mediana è 4 D la moda è 4, la media è 5, la mediana è 5 e. Nella tua classe la moda dell altezza è 165 cm. Questo significa che: A B C D non ci sono alunni più bassi di 165 cm 165 cm è l altezza più comune 165 cm occupa il posto centrale delle altezze degli alunni in ordine crescente in media gli alunni sono alti 165 cm f. Nella tua classe la media dell altezza è 165 cm. Questo significa che: A B C D non ci sono alunni più bassi di 165 cm 165 cm è l altezza più comune 165 cm occupa il posto centrale delle altezze degli alunni in ordine crescente la somma delle altezze degli alunni diviso per il numero degli alunni è 165 cm g. Nella tua classe la mediana dell altezza è 165 cm. Questo significa che:

19 1.5 esercizi 15 A B C non ci sono alunni più bassi di 165 cm 165 cm è l altezza più comune 165 cm occupa il posto centrale delle altezze degli alunni in ordine crescente D in media gli alunni sono alti 165 cm [Una risposta A, due B, due C e due D] 11 Sono state misurate le pulsazioni al minuto di 20 persone ottenendo i seguenti dati: a. Organizza i dati in una tabella e calcola la frequenza assoluta, relativa e percentuale b. Rappresenta graficamente i dati c. Calcola moda, media e mediana [72, 71, 70] 12 Stabilisci se le seguenti proposizioni sono corrette: se lo sono giustificale, altrimenti mostra che sono false attraverso un controesempio. a. Se due sequenze di numeri hanno la stessa media, allora hanno anche la stessa mediana. V F b. Se due sequenze di numeri hanno la stessa mediana, allora hanno anche la stessa media. V F c. Esistono sequenze di numeri per cui la moda, la media e la mediana coincidono. V F d. La moda di una sequenza di numeri interi è sempre un numero intero. V F e. La mediana di una sequenza di numeri interi è sempre un numero intero. V F [2 affermazioni vere e 3 false] 13 Venti ragazzi sono stati sottoposti a una verifica; i dati seguenti indicano il numero di errori commessi da ciascuno di loro: 3, 0, 0, 5, 1, 6, 8, 3, 9, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 5, 7, 9, 9. a. Organizza i dati in una tabella comprensiva di percentuale di frequenze b. Rappresenta graficamente i dati c. Calcola moda, media e mediana [2, 4, 3] d. Quanti alunni, in percentuale, hanno fatto meno di 5 errori? [60%] 14 I dati riportati in tabella si riferiscono al numero di giorni di assenza degli alunni di una classe.

20 16 statistica Alunno n. giorni Alunno n. giorni Alunno n. giorni Alunno n. giorni Mauro 3 Romeo 8 Bruna 7 Silvia 0 Antonio 6 Anna 3 Pietro 9 Alessio 2 Paola 2 Luca 6 Nicola 1 Patrizia 6 Luisa 1 Amedeo 3 Aldo 5 Franca 9 Carla 0 Marco 1 Luigi 2 Chiara 6 a. Organizza i dati in una tabella comprensiva delle frequenze percentuali b. Rappresenta i dati con un istogramma c. Calcola moda, media e mediana [6, 4, 3] d. Quanti alunni, in percentuale, hanno fatto meno assenze rispetto alla media? [55%] 15 Quattro amici sostengono l Esame di Stato conseguendo punteggi la cui media aritmetica è 77,5/100. Se tre di essi hanno conseguito un punteggio, in centesimi, rispettivamente di 70, 76 e 80, quale punteggio ha conseguito il quarto studente? [90] 16 La media aritmetica di 11 numeri è Se ciascuno degli undici numeri viene diminuito di 10, quanto diventa la loro media aritmetica? [4840] 17 I 25 alunni della terza C, dopo aver raccolto i voti conseguiti nella verifica scritta di matematica, hanno costruito il seguente grafico: % 28% 4 12% 4% 4% 8% 12% Quanti ragazzi hanno conseguito come voto 7? [3] 18 Indica la risposta corretta. a. Lo sfruttamento medio della capacità ricettiva di un albergo è uguale all 88% durante i tre mesi estivi e al 44% durante i rimanenti mesi dell anno. Qual è lo sfruttamento medio relativo all intero anno? A 46% B 50% C 55% D 66% b. Antonio, Carlo, Giovanni, Filippo e Matteo fanno una gara di tiro a segno. Antonio e Filippo totalizzano ciascuno 16 punti, Carlo totalizza 18 punti, Giovanni ne totalizza 14 e Matteo 10. Qual è il punteggio medio realizzato dai cinque amici?

21 1.5 esercizi 17 A 11,6 B 14,8 C 15 D 15,2% c. La media degli studenti promossi da una scuola, nei quattro anni , è stata di 325 studenti l anno, mentre nei cinque anni la media è stata superiore del 20% rispetto al precedente intervallo temporale. Quanti studenti sono stati promossi dalla scuola nel 2014? A 390 B 455 C 600 D 650 d. Stabilisci quale delle seguenti affermazioni è vera. A B C D La mediana di un insieme di dati può essere uguale alla media. La media di un insieme di dati non può mai essere uguale a zero. La moda di un insieme di dati non può mai essere uguale alla mediana. La media di un insieme di dati non può mai essere uguale alla moda. e. Mario, Luigi e Giacomo pesano complessivamente 210 kg. Sapendo che Mario e Luigi pesano rispettivamente 3 kg in meno e 4 kg in più della media aritmetica fra i pesi di tutti e tre, quanto pesa Giacomo? A 68 kg B 69 kg C 70 kg D 71 kg f. Le temperature massime giornaliere registrate a Cesena in una settimana sono le seguenti: Giorno lunedì martedì mercoledì giovedì venerdì sabato domenica Temperatura 29 C 30 C 32 C 31 C 28 C 30 C 30 C Quale delle seguenti affermazioni è falsa? A La temperatura media è quella registrata martedì. B C D La temperatura modale è quella registrata mercoledì. La temperatura mediana è quella registrata sabato. La temperatura mediana è uguale alla temperatura modale. g. Un impiegato ha percepito per i primi 3 mesi dell anno uno stipendio mensile di 1000 e. Nei 9 mesi successivi lo stipendio mensile è aumentato di 400 e. Qual è lo stipendio medio nell anno di quell impiegato? A 1250 e B 1300 e C 1350 e D 1400 e h. La media dei voti ottenuti in un compito in classe è stata 6 e la mediana 5,5. Il professore decide di alzare tutti i voti di mezzo punto. Allora:

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