CONSEGUENZA PROPORZIONI

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1 Corso di laurea: BIOLOGIA Tutor: Floris Marta PRECORSI DI MATEMATICA CONSEGUENZA PROPORZIONI PROBLEMI DEL TRE SEMPLICE Le conoscenze acquisite sui rapporti e sulle proporzioni possono essere applicate per la risoluzione di molti problemi di tipo pratico, tecnico, economico e scientifico. Una delle principali applicazioni della proporzionalità tra due grandezze riguarda i problemi del tre semplice, cioè problemi in cui sono noti tre valori corrispondenti a due grandezze proporzionali ed occorre determinarne il quarto. Se le due grandezze sono direttamente proporzionali si ha un problema del tre semplice diretto, se sono inversamente proporzionali si ha un problema del tre semplice inverso. Vediamo separatamente il metodo di risoluzione di questi tipi di problemi, incominciando da quelli del tre semplice diretto. Problema: Nonna Adele ha raccolto nel suo giardino 10 kg di pesche e vuole fare la marmellata. Non conosce la dose di zucchero da usare per ogni kg di pesche, ma ricorda che per 4 kg di pesche ha sempre usato 3 kg di zucchero. Quanto zucchero le occorre ora? Per la risoluzione seguiamo questo schema risolutivo: 1

2 Individuare le grandezze coinvolte Stabilire se tra queste grandezze esiste un legame di proporzionalità diretta Predisporre uno schema in cui trascrivere i valori noti delle due grandezze e l incognita (x), cioè il valore da trovare Poiché le due grandezze sono direttamente proporzionali disegnare due frecce aventi pesche (kg), zucchero (kg) le due grandezze sono direttamente proporzionali perché, raddoppiando o triplicando la quantità di frutta, deve raddoppiare o triplicare la quantità di zucchero pesche (Kg) zuchero (Kg) 10 x 4 3 pesche (Kg) zuchero (Kg) 10 x 4 3 lo stesso verso, quello che va dalla x verso il termine noto Scrivere la proporzione seguendo il verso 10 : 4 = x : 3 delle frecce Risolvere la proporzione x = = 7, 5 Lo zucchero occorrente a nonna Adele corrisponde a 7,5 kg. Problema: Il signor Russo, dovendo recarsi in Gran Bretagna, decide di cambiare 700 euro in sterline. Sapendo che al momento del cambio 1 euro vale 0,6939 sterline, quante sterline riceverà? Le grandezze coinvolte sono euro e sterlina e sono direttamente proporzionali: infatti raddoppiando gli euro cambiati raddoppiano anche le sterline ottenute. Abbiamo così il seguente schema: euro sterline 700 x 1 0,6939 e la corrispondente proporzione: 700 : 1 = x : 0, 6939 da cui x = 700 0, = 485, 73 2

3 Il signor Russo riceverà quindi 485,73 sterline. PROBLEMI DEL TRE SEMPLICE INVERSO Sono analoghi ai precedenti: varia solo la proporzionalità che non è diretta, ma inversa. Problema. Per piastrellare i pavimenti di una casa a più piani 8 piastrellisti impiegano 24 giorni. Quanti giorni occorrerebbero a 12 piastrellisti per compiere lo stesso lavoro? Lo schema risolutivo è simile a quello utilizzato per i problemi del tre semplice diretto per cui: Individuare le grandezze coinvolte n pistrellisti, n giorni di lavoro Quale tipo di proporzionalità esiste tra queste grandezze le due grandezze sono inversamente proporzionali; infatti, raddoppiando o triplicando il numero dei piastrellisti i giorni di lavoro diventano 1/2 o 1/3 di quelli iniziali Costruire lo schema con i dati (i tre valori n pistrellisti n giorni noti) e l incognita x e disegnare le frecce x aventi verso contrario, perchè le grandezze sono inversamente proporzionali Scrivere la proporzione seguendo il verso 8 : 12 = x : 24 delle frecce Risolvere la proporzione x = = 16 Quindi lo stesso lavoro potrebbe essere eseguito da 12 piastrellisti in 16 giorni. 3

4 PERCENTUALI La percentuale è un modo per esprimere un rapporto tra due grandezze (generalmente, ma non sempre, una parte rispetto ad un tutto), come se il denominatore valesse 100. Si tratta di una semplice proporzione. Supponiamo di volere stabilire che percentuale rappresenta a rispetto a b: percentuale : 100 = a : b La percentuale esprime quindi un rapporto, oppure, se volete, una frazione: p = a b Per convenzione, la percentuale si esprime riferita a 100 (non c è motivo, se non storico, per avere preferito il 100 per esprimere un denominatore normalizzato). E cioè quel numero che risolve la proporzione indicata sopra. Matematicamente parlando, non c è quindi differenza tra: 12% e 0, 12 Entrambi i numeri esprimono la stessa cosa, sono lo stesso numero, solamente rappresentato secondo una convenzione diversa. Esattamente come 10/3 e 3, sono lo stesso numero, solamente scritto in due modi diversi. Se a è minore di b (non sempre è così, però!), la percentuale è un numero compreso tra 0 e 1, un numero minore di 1 (ovvero, minore di 100%). Facendo i calcoli a mano, siamo abituati a fare: a b 100 Questo porta molti a confondere il numero con la sua rappresentazione. Quella moltiplicazione per 100 non ha un significato quantitativo, serve solo a cambiare rappresentazione (esattamente come la conversione di un numero da decimale a binario cambia la sua rappresentazione, non il numero stesso). 4

5 Dire che un negoziante realizza un tanto per cento, ad esempio il 12% dalla vendita di una certa merce, significa dire che su ogni 100 di merce venduta ha un guadagno di 12. Il tanto per cento si dice tasso percentuale e si indica con la lettera r. CALCOLO DELLA PERCENTUALE. Supponiamo ad es. di voler determinare qual è il guadagno, cioè la percentuale P realizzata dalla vendita di di N di merce se il tasso percentuale di guadagno è r. Si forma il seguente quadro: importo della vendita percentuale 100 r N p Scriviamo la proporzione risultante: da cui si ottiene la percentuale P: 100 : N = r : P P = N r 100 Per calcolare la percentuale di un numero N basta moltiplicarlo per il tasso percentuale e dividere il risultato ottenuto per 100. Esempio: Un paio di scarpe costano 70. Durante i saldi il negoziante applica lo sconto del 30%. Quanto sarà il risparmio per il cliente? In questo caso si ha che la quantità totale è N=70 e r=30%; applicando la formula appena vista si ha P = = = 21 Esempio: Quanto zolfo è contenuto in 85Kg di polvere pirica se questa contiene il 12% di zolfo? In questo caso si ha che la quantità totale è N=85Kg e r=12%; applicando la formula appena vista si ha P = Kg 100 = kg = Kg10, 2 5

6 CALCOLO DEL TASSO PERCENTUALE. Supponiamo ora che una libreria piena pesi 350Kg. Dopo aver tolto i libri in essa contenuti ne pesa 70. Vogliamo sapere quant è la percentuale del peso originario dovuta ai libri. Tornando alla proporzione di prima 100 : N = r : P ora la nostra incognita è la r. Perciò si ha: r = P 100 N Consideriamo il rapporto 70 su 350, possiamo usare la proporzione per calcolare il rapporto percentuale: 70 : 350 = x : 100 da cui x = e scriveremo che 70 è il 20% di = 20 Poiché per ottenere il numero 20 abbiamo dovuto eseguire materialmente la divisione fra numeratore (7 000) e denominatore (350), possiamo semplificare l operazione senza dover ogni volta impostare la proporzione, ricordando che è sufficiente eseguire la divisione tra il primo termine del rapporto, al quale siano aggiunti due zeri, e il secondo termine. Ad esempio, per calcolare il rapporto percentuale di 60 su 240 si può eseguire direttamente l operazione: e infati 60 è il 25% di : 240 = 25 CALCOLO DEL VALORE INTERO DATA LA PARTE PERCENTUALE E IL TASSO PERCENTUALE. Sempre dalla proporzione iniziale 100 : N = r : P ora la nostra incognita è la N. Perciò si ha: N = P 100 r 6

7 Esempio: Sappiamo che 35 è il 25% di un dato numero. Vogliamo trovare questo numero. 25 : 100 = 35 : x da cui x = = 140 Anche in questo caso si vede facilmente che si può evitare di impostare la proporzione: per calcolare il valore dell intero, data la parte percentuale e il tasso, è sufficiente aggiungere due zeri alla parte percentuale (cioè moltiplicarla per 100) e dividere il numero risultante per il tasso. Esercizio svolto: Per calcolare la parte intera, sapendo che il numero 18 ne è il 30%, si può eseguire direttamente l operazione: e infatti 18 è il 30% di 60. N : 1800 = 30 : 60 Esempio: Un mediatore ha ricevuto quale compendo per la vendita di un appartamento. Se il tasso percentuale di mediazione è il 2%, qual è il costo dell appartamento? N = = ESERCIZIO. Calcola l intero, date le parti percentuali e i tassi percentuali: 25 è il 20% di è il 19% di è il 50% di è il 20% di... il 30% di... è 450 il 33% di... è 297 il 14% di...è 112 il 65% di...è 299 7

8 Trasformare un numero percentuale in un numero decimale Per trasformare un numero percentuale in un numero decimale è sufficiente eseguire la divisione per 100: 5% = 5:100 = % = 83.5: 100 = % = 271:100 = 2.71 Trasformare un numero decimale in un numero percentuale Per trasformare un numero decimale in un numero percentuale occorre riscrivere il numero decimale come frazione con denominatore 100. Possiamo dunque moltiplicarlo per 100/100 (cioè per 1): 0.05= = 5 =5% = = 45.6 = 45.6% = = 670 = 670% Trasformare un numero percentuale in frazione Un numero percentuale, se non ha la parte decimale, può essere visto come una frazione con denominatore 100, poiché x% è soltanto un modo alternativo di scrivere x. Nel caso in cui x sia decimale, occorre invece 100 trasformarlo in frazione. Quindi, per esempio: 200% = = 2 3.7% = 3.7 = = 37 1 = a proposito di genetica La genetica è, tra le scienze, una delle più giovani: la sua nascita può essere datata nell anno 1866, quando l abate agostiniano Giorgio Mendel formulò per la prima volta le leggi che regolano la trasmissione dei caratteri ereditari. Egli scoprì che vi sono caratteri dominanti e caratteri recessivi. Infatti, incrociando piselli a seme liscio con piselli a seme rugoso ottenne, per la prima generazione, solo piselli a seme liscio, mentre nella seconda generazione ottenne sia piselli a seme liscio che piselli a seme rugoso (ma non nella stessa percentuale!). Questi risultati permisero a Mendel di formulare la prima legge fondamentale sulla trasmissione dei caratteri ereditari: Di due caratteri ereditari diversi uno è dominante (seme liscio), l altro è recessivo (seme 8

9 rugoso); il primo prevale sull altro nella prima generazione, mentre il secondo riappare soltanto nella seconda generazione. Anche il colore degli occhi è un carattere ereditario in cui si presentano un carattere dominante e uno recessivo, non nella stessa percentuale. La chimica: proporzioni e rapporti percentuali L acqua è formata da idrogeno e ossigeno (H 2 O); in peso, 2 g di idrogeno si combinano chimicamente con 16 g di ossigeno. Quanti grammi di idrogeno sono necessari per formare acqua combinandosi con 80 g di ossigeno? Calcola anche la percentuale di ossigeno presente in peso nell acqua. [10 g; 88,8%]... Quanti grammi dì idrogeno sono necessari, e quanti di ossigeno, per ottenere 90 g di acqua? [10 g; 80 g] Quanti grammi di ossigeno sono necessari per formare l acqua combinandosi con 96 g di idrogeno? [768 g] In 24,45 g di sale da cucina (cloruro di sodio) 10 g sono costituiti dal sodio. Quanti grammi dì sodio sono presenti in 122,25 g di sale da cucina? Qual è la percentuale di sodio, in peso, presente nel sale da cucina? [50 g; 40,9%] Limatura di ferro e polvere di zolfo mescolate insieme e scaldate reagiscono, dando origine a un composto chimico detto solfuro di ferro. Sapendo che queste due sostanze si combinano secondo un rapporto in peso definito e costante di 7:4, calcola quanti grammi di ferro reagiscono con 32 g di zolfo. Esprimi in percentuale la parte di zolfo presente nel solfuro di ferro. [56 g; 36,4%] Per formare del solfuro di ferro, quanti grammi di zolfo sono necessari per reagire con 392 g di ferro? [224 g] L acido solforico è rappresentato dalla formula H2SO4: per ottenere una molecola di acido solforico sono, cioè, necessari 2 atomi di idrogeno (H), l atomo di zolfo (S), 4 atomi di ossigeno (O). Sapendo che i pesi dell atomo di idrogeno, zolfo, ossigeno, sono proporzionali ai numeri 1, 32 e 16, calcola il peso di questi tre componenti in 245 g di acido solforico. [5 g; 80 g; 160 g] 9

10 L anidride carbonica (CO2) è il gas che noi eliminiamo attraverso la respirazione; è costituito da 1 atomo di carbonio (C) e 2 atomi di ossigeno (O). Questo gas è pericolosoperché irrespirabile, nocivo per l uomo, ma di importanza vitale per le piante che l utilizzano nella sintesi clorofilliana. Sapendo che 12 g di carbonio si combinano con 32 g di ossigeno per formare l anidride carbonica, calcola quanti grammi di carbonio e quanti di ossigeno sono presenti in 220 g di anidride carbonica. Esprimi anche, in percentuale, la parte di carbonio [60 g; presente nell anidride carbonica. 160 g; 27,3%] Un blocco di bronzo pesa 36,900 kg. Sapendo che il bronzo è costituito mediamente per il 40% di stagno e per il resto di rame, calcola quanto stagno e quanto rame, in chilogrammi, [14,760 kg; sono contenuti in quel blocco. 22,140 kg] Nell edilizia si fa uso di cemento e di calce; la calce, che il muratore utilizza soprattutto nell intonaco dei muri, va preparata di volta in volta aggiungendo acqua alla cosiddetta calce viva (CaO): l operazione è detta spegnimento della calce in quanto provoca una reazione chimica e sviluppa molto calore. Per spegnere la calce viva occorre aggiungere 33,3% del suo peso di acqua. Quanti litri di acqua saranno necessari per spegnere la calce viva contenuta in un sacco di 40 kg? [13,32 kg]... Quanti litri d acqua sono stati necessari per ottenere 400 kg di calce spenta? [ 99,9 kg] Sapendo che l ottone è una lega metallica composta per il 40% da [32 kg di zinco zinco (simbolo chimico Zn) e per il 60% da rame e 48 kg di rame; (simbolo chimico Cu), calcola quanto zinco e quanto 60 kg di zinco rame sono presenti in due blocchi di ottone del peso, e 90 kg di rame] rispettivamente, di 80 kg e 150 kg. La respirazione e il ricambio dell aria L uomo, respirando, emette in un ora circa 20 l di anidride carbonica (CO 2 ). La respirazione diventa faticosa quando nell aria di un ambiente è presente l 1% in volume di anidride carbonica: si ha mal di testa, sensazione di soffocamento e, in individui più deboli, si può arrivare allo svenimento. Calcola il massimo intervallo di tempo durante il quale si possono tenere chiuse porta e finestre, in una stanza da letto di circa 36 m 3, nella quale 10

11 dormano 2 persone. (Per semplicità di calcolo considera trascurabile la quantità di CO 2 presente anche nell aria pura: circa 0,03%.) [9 h ] Per quanto tempo calcoli di poter rimanere chiuso in un baule nel quale sia presente, oltre al tuo corpo, un volume d aria di 300 dm 3? [9 ] Quanto tempo 3 persone potrebbero resistere chiuse in un ascensore che misuri (120X165X250)cm, considerando che i corpi delle tre persone occupino, complessivamente, un volume di 150 dm 3? [48 ] Dopo quante ore sarebbe necessario aprire le finestre di un soggiorno di 100 m nel quale siano presenti contemporaneamente 6 persone, considerando che le persone e i mobili occupino complessivamente uno spazio di 800 dm3? [8 h 16 ] In un ascensore lungo 150 cm, 110 cm e alto 300 cm, viene a mancare la corrente per la durata di 30 ; al suo interno restano così bloccate due persone. Considerando che il volume per ogni persona sia di 50 dm 3, sai dire se le due persone potrebbero resistere, se l ascensore fosse ermeticamente chiuso fino al ritorno della corrente? Giustifica la tua risposta. 11

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