ANALISI DEGLI INVESTIMENTI. Dispensa per i corsi di Ingegneria

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1 ANALISI DEGLI INVESTIMENTI Dispensa per i corsi di Ingegneria Michele Gorgoglione Sommario Cap. 1. La natura degli investimenti e il processo decisionale Natura degli investimenti nell impresa e cenni alla metrica dei flussi di cassa Tassonomia degli investimenti: obbligatorietà, marginalità, indipendenza, flusso di cassa Cap. 2. Gli strumenti matematici: fondamenti di matematica finanziaria Regimi di capitalizzazione Equivalenza economica Analisi investimenti in regime di inflazione Cap. 3. Gli strumenti matematici: criteri per l analisi e la valutazione La metrica dei flussi di cassa I criteri decisionali Valutazione delle differenze fra alternative Politecnico di Bari

2 Capitolo 1 LA NATURA DEGLI INVESTIMENTI E IL PROCESSO DECISIONALE ORGANIZZATIVO NATURA DEGLI INVESTIMENTI Sebbene il concetto di investimento risulti piuttosto familiare a chiunque, essendo trasversale a molte attività non solo quelle di interesse della gestione aziendale, è utile fornire alcune definizioni formali. Lo scopo è sia quello di delimitare i confini della trattazione, chiarendone inizialmente le connessioni con altre discipline manageriali, sia quello di condurre ad una prima riflessione sui molteplici aspetti che caratterizzano un investimento e gli approcci possibili all analisi. Def. contabile di investimento: «Immobilizzo di parte del patrimonio aziendale in beni di capitale fisso» oppure «impiego di una somma di denaro per ricavarne un reddito» Gli investimenti che in questa trattazione saranno più frequentemente considerati sono quelli relativi all immobilizzo di parte del patrimonio aziendale in beni cosiddetti di capitale fisso. Essi sono quindi da intendersi come incrementi dei beni capitali a fronte di una spesa e vanno quindi intesi come destinazioni permanenti di risorse per lunghi periodi di tempo, i cui benefici si prevede ritorneranno all azienda in intervalli temporali altrettanto lunghi. Sono di questo tipo gli investimenti in macchinari e impianti produttivi, in impianti ausiliari alla produzione (per es. impianti di movimentazione e immagazzinamento di materiali, prodotti, impianti termici, ecc.), in fabbricati industriali, ecc. Gli investimenti di tipo finanziario, a causa della specificità dei processi aziendali che coinvolgono, occupano un posto a parte nelle discipline gestionali, e meriterebbero dunque una trattazione a parte. Tuttavia essi presentano notevoli analogie con gli investimenti operativi dal punto di vista dei modelli matematici utilizzati, e sebbene non verranno considerati oggetto tipico dell analisi nella presente trattazione, potranno essere utilizzati come esempi. Def. operativa di investimento: «trasformazione di mezzi finanziari in beni atti a costituire la struttura produttiva dell azienda» Motivazioni 2

3 Di seguito sono indicate alcune fra le più tipiche motivazioni che spingono le imprese ad investire: aumento della capacità produttiva (investimenti di espansione o di ampliamento); sostituzione di impianti o attrezzature al termine della durata fisica (investimenti di sostituzione); sostituzione di impianti con altri tecnologicamente più avanzati (investimenti di razionalizzazione o di produttività o di ammodernamento); produzione di nuovi prodotti o modifica di quelli esistenti (investimenti di innovazione); miglioramento dell ambiente di lavoro (investimenti ergonomici). Le differenze fra gli investimenti elencati non vanno ricercate solo nella diversità degli oggetti dell analisi, ma soprattutto nelle modalità dell analisi stessa e nella affidabilità del modello matematico di supporto alla decisione. In particolare, la stima dei flussi economici e finanziari coinvolti nell investimento può presentare caratteristiche molto diverse a seconda del tipo di investimento. Ad esempio, nel caso un investimento di sostituzione o di ampliamento, l azienda è di solito in grado di valutare accuratamente i cambiamenti indotti nel sistema produttivo da modifiche negli impianti esistenti in termini di produttività, tempi di attraversamento, costi, ecc. Lo stesso non accade, ad esempio, per un investimento ergonomico o in innovazione: può essere molto difficile valutare in termini monetari i benefici derivanti da un ambiente di lavoro più confortevole o le ripercussioni dell adozione di una tecnologia innovativa sulle performance aziendali. Problemi decisionali Il processo di analisi viene condotto, nella maggioranza dei casi, considerando un insieme di progetti di investimento. Le decisioni che ne scaturiscono sono in genere di due tipi: selezione: scelta fra investimenti alternativi preferenza: determinazione di una sequenza prioritaria tra investimenti. L obiettivo del processo di analisi è dunque quello di valutare in termini matematici degli indicatori che rappresentino la convenienza economica o la redditività di ciascun progetto di investimento allo scopo di fornirne un ordinamento. Cenni alla metrica dei flussi di cassa Se si fanno due ipotesi semplificative: 1) contestualità fra fase di acquisizione dei mezzi e fase di gestione (ricavi e costi) 2) certezza nella valutazione di ricavi e costi la valutazione si riduce alla differenza fra flussi di denaro entranti e uscenti e nel confronto fra gli scarti. 3

4 In realtà le due ipotesi non valgono. In particolare sorgono due problemi: 3) valutare l effetto del costo del denaro 4) considerare l effetto dell incertezza Il modello matematico che più tipicamente viene utilizzato nell analisi degli investimenti fa riferimento alla metrica dei flussi di cassa. Un investimento può essere descritto attraverso le uscite e le entrate di denaro che avvengono in periodi di tempo ripetuti, rispetto ad una ipotetica cassa. Tipicamente nella prima fase prevalgono le uscite, che comprendono l esborso iniziale e costi aggiuntivi di attivazione. Nelle fasi successive le entrate sono costituite dai ricavi connessi con la gestione dell investimento, le uscite con i costi d esercizio. Flussi in uscita ed in ingresso possono essere dunque di tipo economico come pure di tipo finanziario. Poiché ogni investimento si protrae nel tempo, le uscite sono dovute anche al costo del capitale impiegato. Def. flusso di cassa: «flusso monetario generato dall investimento in entrata o in uscita rispetto ad una ipotetica cassa» Def. flusso di cassa netto: «somma algebrica delle entrate e delle uscite che si manifestano in un generico istante di tempo» Def. flusso di cassa netto complessivo: «insieme dei flussi di cassa netti generati da un investimento nell intero periodo di vita» Il flusso di cassa netto complessivo di un investimento valutato nell intero periodo di vita può essere descritto attraverso un diagramma crono finanziario: 0 CF CF n CF 3 CF n t CF 0 Nel seguito viene omesso l aggettivo netto, poiché si intenderà parlare sempre di flussi di cassa netti se non indicato diversamente, e dunque esso è da considerarsi sottinteso. Inoltre, il segno algebrico testimonia del carattere entrante o uscente del flusso. Nell uso pratico, infine, viene 4

5 spesso omesso anche l aggettivo complessivo perché il contesto ne rende inequivocabile il significato: un flusso di cassa che si manifesta all istante t è evidentemente un flusso di cassa netto, mentre un flusso di cassa che rappresenta un investimento è evidentemente un flusso di cassa netto complessivo. Def. matematica di investimento: «ogni evento economico che possa essere descritto attraverso un flusso di cassa» oppure «operazione di trasferimento di risorse nel tempo, caratterizzata dal prevalere di uscite monetarie nette in una prima fase e di entrate monetarie nette in una fase successiva, con l aspettativa che le entrate remunerino adeguatamente le uscite» 5

6 TASSONOMIA DEGLI INVESTIMENTI In base ad alcuni criteri di classificazione si può individuare la seguente tipologia di investimenti. Riconoscere diverse classi di investimenti è importante soprattutto perché alcune caratteristiche possono influenzare in modo rilevante le modalità con cui il modello matematico dell investimento viene formalizzato. Criterio di obbligatorietà investimento obbligatorio L impresa può valutare la convenienza di alternative di investimento, ma non può fare a meno di effettuare l investimento. Ad esempio, costruzione di un impianto di smaltimento di rifiuti speciali o affidamento della gestione dei rifiuti ad una impresa esterna per rispettare un vincolo legislativo. investimento opzionale L impresa può decidere di non investire, dunque fra le alternative di investimento prese in considerazione è presente anche l alternativa non investire. Ad esempio, l acquisto di attrezzature specifiche nel caso in cui l impresa stia decidendo se stipulare o meno un contratto di fornitura. Criterio di marginalità investimento marginale Si tratta di un investimento che non modifica in modo sostanziale la posizione di rischio dell impresa o la sua posizione rispetto ai concorrenti nello stesso mercato. Si pensi, ad esempio, ad un investimento di sostituzione. In questo caso i modelli matematici e le tecniche formali di analisi sono estremamente utili e frequentemente utilizzate. investimento strategico L investimento fa parte di un piano a lungo termine che intende modificare la posizione dell impresa rispetto ai propri concorrenti (ad esempio la quota di mercato detenuta). Ad esempio, un investimento in tecnologie avanzate o in attività di ricerca può rientrare in questa categoria. L uso dei modelli matematici per l analisi è limitata a causa della difficoltà di prevedere l evoluzione dell intero settore e di tradurre le previsioni in termini quantitativi. Criterio di indipendenza progetti di investimento indipendenti 6

7 Due investimenti sono indipendenti se l effettuazione di uno non influenza quella dell altro. In questo caso essi rappresentano alternative di investimento. Ad esempio, l acquisto di attrezzature che presentano caratteristiche di costo e di performance diverse o la valutazione di programmi di investimento finanziari alternativi. progetti di investimento dipendenti e condizionati Due investimenti sono dipendenti quando, in generale, effettuarne uno condiziona la valutazione dell altro e dunque non possono essere considerati separatamente. In particolare due investimenti si dicono condizionati quando uno non può essere effettuato senza che prima sia effettuato l altro. Ad esempio, investimenti condizionati possono essere quelli in hardware e software, oppure l acquisto di tecnologia e la successiva formazione professionale. Criterio del flusso di cassa Gli investimenti possono essere distinti per l andamento del loro flusso di cassa complessivo. Point Input - Point Output (es. acquisto e rivendita di terreni o di BoT) Point Input - Continuous Output (es. acquisto di obbligazioni, di impianti produttivi) Continuous Input - Point Output (es. costruzione e vendita di fabbricati, assicurazione sulla vita) Continuous Input - Continuous Output (es. gestione di impianti produttivi) P.I.P.O P.I.C.O C.I.P.O C.I.C.O 7

8 Capitolo 2 GLI STRUMENTI MATEMATICI: FONDAMENTI DI MATEMATICA FINANZIARIA REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE Una transazione finanziaria è caratterizzata dalla presenza di soli flussi finanziari (si veda lo schema in figura). Essa può essere interpretata in modo analogo ad una transazione economica in cui il bene scambiato (venduto) è il denaro (capitale). A differenza di una transazione economica, che può prevedere anche uno scambio simultaneo, in una transazione finanziaria i due flussi non sono mai simultanei, dunque sono sempre presenti una posizione di credito ed una di debito. Il bene venduto, ovvero il capitale prestato dal creditore, può essere utilizzato dal debitore per un periodo di tempo negoziato all atto della transazione. Alla fine del periodo, il debitore avrà restituito l intero capitale ricevuto in prestito più una quantità di denaro aggiuntiva, definito interesse, che ne rappresenta il costo. Dunque ciò che determina il costo del denaro è la variabile tempo. schema di transazione economica impresa flusso finanziario: costo dei beni/servizi flusso economico: beni/servizi fornitore schema di transazione finanziaria flusso finanziario: restituzione del capitale impresa flusso finanziario: capitale flusso finanziario: costo del capitale banche Detto C il capitale prestato dal debitore, I l interesse pagato complessivamente alla fine del periodo previsto dalla transazione ed M il capitale complessivamente restituito (montante), è facile scrivere l equazione fondamentale della matematica finanziaria: M = C + I Un dato regime di capitalizzazione corrisponde alla modalità con cui l interesse viene calcolato. Esso dipende sostanzialmente dall accordo esistente fra le parti. In generale, l interesse viene calcolato come percentuale sul capitale misurato in un certo istante di tempo, introducendo il concetto di tasso di interesse che non è altro che l interesse per unità di tempo. Dunque l interesse guadagnato da un capitale C in una unità di tempo (periodo di capitalizzazione) vale: 8

9 I = C i Normalmente l interesse viene calcolato alla fine di periodi di capitalizzazione prefissati all atto della transazione, dunque si divide la durata dell investimento in n periodi, per t = 0,..., n. I quattro principali regimi di capitalizzazione sono: 1) capitalizzazione semplice 2) capitalizzazione composta 3) capitalizzazione frazionata 4) capitalizzazione continua. Si analizzano nel seguito i regimi di capitalizzazione semplice e composta. Capitalizzazione semplice «Il calcolo degli interessi avviene sempre rispetto allo stesso capitale iniziale» Fissato il tasso di interesse i e un capitale iniziale C, l interesse viene calcolato come I = C i, in ogni unità di tempo (o periodo), qualunque sia la durata del contratto. Il montante alla fine del periodo che va da t = 0 a t = 1 vale: M 1 = C + I Sostituendo il valore di I, si ottiene: M 1 = C (1+i) Nel secondo periodo l interesse si calcola sempre come I = C i, dunque: M 2 = M 1 + I = C (1+i) + C i = C (1+2i) In generale dopo n periodi: M n = C (1 + n i) Esempio Investendo un capitale di 100 euro per 5 anni ad un tasso del 10%, si ottiene un montante finale di 150 euro, attraverso i seguenti risultati anno per anno: anno capitale sul quale si calcola interesse i montante M l interesse 0 (100)

10 Capitalizzazione composta «il capitale sul quale vengono calcolati gli interessi maturati nell intervallo di tempo [t, t+1] è pari al montante all istante t» È il regime che normalmente viene utilizzato nelle transazioni fra imprese e istituti di credito e finanziari, sebbene la tipologia di contratti sia molto vasta. Il montante alla fine del periodo che va da t = 0 a t = 1 vale: M 1 = C + I Sostituendo il valore di I, si ottiene: M 1 = C (1+i) Nel secondo periodo l interesse non si calcola più, come in regime semplice, sul capitale iniziale C, ma sul montante alla fine del periodo attuale M 1, dunque: M 2 = M 1 (1+i) = C (1+i) (1+i) = C (1+i) 2 In generale dopo n periodi: M n = C (1+i) n Esempio Investendo un capitale di 100 euro per 5 anni ad un tasso del 10% composto annualmente, si ottiene un montante finale di euro, attraverso i seguenti risultati anno per anno: anno capitale sul quale si calcola l interesse interesse i montante M 0 (100) È possibile calcolare i fattori di capitalizzazione ed i fattori di attualizzazione nel caso di flussi di cassa tipici ed esemplificativi: il primo è il fattore matematico che moltiplicato per un capitale iniziale P (capitale presente) fornisce il montante F (capitale futuro) dopo un certo numero di periodi; il secondo quello che consente l operazione inversa. Il primo flusso di cassa è quello corrispondente ad un capitale P versato all inizio del periodo 1 (cioè alla fine del periodo 0) ed un montante corrispondente dopo n periodi. Il secondo è il flusso di cassa relativo ad un particolare tipo di rendita. 10

11 Singolo pagamento F n t P Fattore di capitalizzazione composta per un singolo pagamento: (1+i) n Infatti vale: F = P (1+i) n Fattore di attualizzazione in un singolo pagamento: (1+i) - n Infatti vale: P = F [1/(1+i) n ] Esempio Si supponga di voler investire una somma di denaro in una impresa di servizi finanziari per costituire un capitale futuro di 150 milioni di lire da ritirare fra dieci anni. Se il tasso di interesse praticato dall impresa è del 8%, la somma da investire attualmente (t = 0) si ottiene applicando il fattore di attualizzazione: P = F (1+i) - n = 150 / (1.08) 10 = 150 / (2.16) = milioni di lire. Rendite e ammortamento Def. rendita: «qualsiasi successione di pagamenti a scadenze diverse (in credito o debito)» Le rendite sono classificabili attraverso i seguenti criteri: rispetto alla rata: costante, variabile in progressione aritmetica o geometrica, indicizzata; rispetto alla periodicità: periodica, variabile; rispetto alla durata: limitata, perpetua; rispetto al momento del pagamento: anticipata (all inizio di ogni periodo), posticipata (alla fine di ogni periodo). Nel seguito verranno considerate solo rendite limitate, posticipate, di rata e periodo costante. 11

12 Def. ammortamento di un debito: «versamento di più somme in istanti successivi al fine di estinguere un debito» F A A A A n t Fattore di capitalizzazione composta per una serie di pagamenti uguali A : (1+ i) i n -1 È possibile calcolare il montante F applicando ad ogni rata A il fattore di capitalizzazione per un singolo pagamento. Risulta: F = A (1+i) n-1 + A (1+i) n A (1+i) + A (1) moltiplicando l espressione per (1+i) e sottraendo le due equazioni si ottiene: F (1+i) F = A (1+i) n A da cui F = A [(1+i) n 1]/i Fattore delle rate d ammortamento per una serie di pagamenti uguali: i (1+ i) n -1 Permette di calcolare i pagamenti di fine periodo A necessari per formare una somma futura F. Dalla equazione precedente si ottiene: A = F i / [(1+i) n - 1] Esempio Si consideri nuovamente l esempio precedente e si supponga che la somma di milioni di lire sia ritenuta uno troppo elevata. L investitore può decidere di mettere da parte una somma di denaro ogni anno per costituire lo stesso capitale di 150 milioni fra dieci anni. Se il tasso è sempre del 8%, la rata da pagare vale: A = F i/[(1+i) n - 1] = / [(1.08) 10-1] = milioni di lire. 12

13 0 A 1 A A A n t P Fattore di recupero del capitale per una serie di pagamenti uguali: n i (1+ i) n (1+ i) 1 Si ricava sostituendo nell equazione precedente F = P (1+i) n : A = P (1+i) n i/[(1+i) n - 1] Esso consente di calcolare le rate uguale che si possono ottenere alla fine di ogni periodo investendo un capitale P. n (1+ i) -1 Fattore di attualizzazione per una serie di pagamenti uguali: n i (1+ i) Infatti, ricavando P dall equazione precedente: P = A [(1+i) n - 1] / i (1+i) n 13

14 EQUIVALENZA ECONOMICA Per effettuare una qualsiasi valutazione economica riguardo ad una transazione finanziaria o più in generale ad una operazione di investimento è necessario operare sul cash flow rappresentativo dell investimento: in generale è necessario calcolare uno o più indici sintetici che rappresentino la convenienza o la redditività dell investimento. Il confronto fra investimenti si basa sul confronto fra questi indici. Tuttavia, per un principio generale dell economia non si possono confrontare fra loro flussi finanziari che si manifestano in istanti di tempo diversi, se non si riportano ad una base temporale omogenea. Ciò è dovuto al fatto che il tempo modifica il valore del denaro. Per questo è necessario introdurre il concetto di equivalenza ed alcuni principi. Il principio della preferenza per il presente A chiunque venga rivolta la seguente domanda è preferibile guadagnare 100 subito, oppure 100 fra un anno?, la risposta sarà sempre 100 subito, almeno nel nostro sistema economico. Sebbene, intuitivamente, una giustificazione ragionevole di tale risposta possa essere ritrovata nei comportamenti di consumo e nell inflazione, nella prospettiva della matematica finanziaria la principale ragione per la preferenza per il presente non ha nulla a che fare con questi fattori. La risposta sarebbe valida anche in un sistema senza inflazione ed anche facendo a meno del consumo. La ragione risiede nella ipotesi di base della matematica finanziaria, e cioè il fatto che esista sempre una opportunità di investire il denaro ad un tasso di interesse non nullo: in questa ipotesi, possedere una quantità di moneta subito equivale a possederne di più in un istante futuro. Def. principio della preferenza per il presente: «in un sistema economico che non ha raggiunto né la sazietà dei bisogni né l esaurimento delle possibilità tecnologiche, una unità monetaria disponibile subito è generalmente preferita alla stessa unità monetaria disponibile ad una data futura» Il principio appena esposto, sulla cui generalità e validità non è necessario aggiungere altri commenti, ma che verrà ampiamente utilizzato nel seguito della trattazione, indica chiaramente che due flussi di cassa netti possono essere confrontati solo se si manifestano nello stesso istante di tempo. Ciò è dovuto al fatto che proprio il tempo (e la presenza di un tasso d interesse non nullo) hanno effetto sul valore del denaro. 14

15 Principi di equivalenza fra flussi di cassa Possono essere enunciati alcuni principi, derivati dal precedente. «due flussi di cassa o due investimenti sono equivalenti quando producono lo stesso effetto» «due flussi di cassa che si manifestano in periodi diversi sono equivalenti solo se il tasso d interesse è nullo» «due flussi di cassa sono equivalenti se hanno lo stesso valore quando riportati ad una base temporale omogenea» «Se due flussi di cassa sono equivalenti in un certo istante di tempo, lo sono in qualunque altro istante» Dai principi esposti deriva che, se il tasso d interesse è non nullo, dato un flusso di cassa netto CF 1 in un istante generico t 1 è possibile calcolare il flusso di cassa netto equivalente in un altro istante t 2. Se l istante t 2 segue l istante t 1 allora è necessario capitalizzare il flusso CF 1, cioè moltiplicare il flusso CF 1 per il fattore di capitalizzazione per pagamenti singoli (1+i) n, dove n è il numero di periodi fra i due istanti di tempo (Fig. 2.6). Ciò corrisponde a calcolare il valore futuro del flusso di cassa, ovverosia quanto varrà il denaro rappresentato da CF 1 fra n periodi (nell istante futuro t 2 ), nell ipotesi che il tasso di interesse al quale il flusso di cassa può essere investito sia i. Da un punto di vista meramente matematico, la capitalizzazione corrisponde a spostare verso il futuro un flusso di cassa: poiché l ipotesi di base della matematica finanziaria è che il soggetto di qualunque operazione sia un investitore, il valore del denaro cresce con il tempo. Il valore del denaro resterebbe immutato nel tempo solo se esso non venisse investito in alcun modo, ma ciò non è coerente con le ipotesi di base. Naturalmente, se un sistema economico è in fase di recessione, il valore del denaro può diminuire (è il caso in cui il tasso di interesse è negativo): ma questa eventualità non diminuisce in alcun modo la generalità del principio di equivalenza. CF 2 eq. CF 1 capitalizzazione (1+i) n n = 1: CF 2 eq. = CF 1 (1+i) t t 15

16 Fig Capitalizzazione per il calcolo di un flusso di cassa equivalente L operazione inversa può essere effettuata invece moltiplicando il flusso CF 2 per il fattore di attualizzazione per pagamenti singoli (1+i) n. Mentre il significato matematico di questa operazione è piuttosto evidente, è utile commentarne il significato economico. Attualizzare una somma di denaro significa calcolarne il valore in un istante precedente (spostare il flusso di cassa verso il passato). Tipicamente, attualizzare significa calcolare il valore del denaro nell istante attuale (per convenzione t = 0), cioè calcolare quale sarebbe il valore se il flusso si manifestasse oggi. Tale valore è sempre più basso, nell ipotesi di tassi di interesse positivi, proprio perché l investitore ha sempre la possibilità di far crescere nel tempo il valore del denaro. Esempio Se si adotta un tasso d interesse del 10%, possedere una somma di 250 fra 5 anni è equivalente a possedere una somma di 155,23 oggi. Infatti risulta: CF 0eq. = CF 5 1,1-5 = 250 1,1-5 = 155,23. L equivalenza per valutare la convenienza di un investimento I principi sopra esposti danno la possibilità di risolvere qualunque problema di analisi di investimenti, in particolare la valutazione della convenienza di un investimento, la misura della redditività, il confronto fra alternative di investimento. Mentre nel prossimo capitolo verranno costruiti ed esposti tutti gli strumenti utili per tale analisi, in questa fase si vogliono anticipare i principi di base della analisi degli investimenti. Il primo caso riguarda il confronto fra flussi di cassa, il secondo quello della convenienza degli investimenti. Confronto fra flussi di cassa Si consideri il caso in cui un soggetto debba confrontare due flussi di cassa, ad esempio due incassi, che si manifestano in istanti di tempo futuri diversi. È il caso, ad esempio, di un ingegnere che si appresti a vendere un progetto, e si trovi di fronte a due alternative di pagamento: la prima, una somma pari a Q A pagata subito, la seconda Q B pagata dopo un anno, con Q A > Q B. Sebbene la seconda alternativa proponga una somma maggiore, i principi di equivalenza rendono evidente che tale confronto è fuorviante, perché non tiene conto dell effetto del tempo. L unico modo per effettuare il confronto è riportare i flussi ad una base temporale omogenea, passata o futura, confrontando, cioè, i flussi di cassa equivalenti. Ad esempio, si può calcolare l equivalente capitalizzato della prima somma e confrontarla con la seconda. Ciò equivale a domandarsi quanto varrà nel futuro (dopo un anno) la somma Q A. Per 16

17 quanto detto precedentemente, tale somma è destinata ad aumentare (se il sistema economico non è in recessione), ed è dunque possibile che la prima alternativa eguagli o superi la seconda. Naturalmente, il modo con cui il valore del denaro aumenta nel tempo dipende dal tasso di interesse a cui la somma può essere investita. Se, al contrario, si vuole utilizzare il principio dell attualizzazione, bisogna calcolare l equivalente attuale della seconda somma di denaro e confrontarla con la prima. Ciò equivale a chiedersi a quanto ammonterebbe la somma futura Q B se fosse pagata subito. Naturalmente, il flusso equivalente attuale risulterà più basso (se l economia non è in recessione), perché investendo tale somma si potrà raggiungere un montante pari a Q B. Esempio Un ingegnere si appresta a vendere un progetto, e si trova di fronte a due alternative di pagamento: la prima di pagati subito, la seconda di pagati dopo un anno. Si supponga che l ingegnere possa investire il denaro al 12%. Seguendo il criterio della capitalizzazione, la somma pagata nella prima alternativa diventerà dopo un anno ,12 1, cioè La prima alternativa è più conveniente. Utilizzando il criterio della attualizzazione, il flusso di cassa pagato nella seconda alternativa equivale ad una somma attualizzata pari a ,12-1, cioè Poiché possedere oggi è preferibile a possederne poco più di , la prima alternativa rimane la migliore. Il procedimento più utilizzato nella pratica per confrontare economicamente flussi finanziari è quello della attualizzazione che consiste nel riportare tutti i flussi di cassa che si manifestano in istanti di tempo diversi ad una base temporale omogenea corrispondente all istante attuale, e nel confrontare poi i flussi di cassa equivalenti così ottenuti. Il procedimento è giustificato dal fatto che cash flow equivalenti sono tali in ogni istante di tempo. Due flussi di cassa CF 1 e CF 2 che si manifestano in istanti diversi t 1 e t 2 possono essere confrontati riportandoli all istante t 0 e confrontando fra loro i due flussi di cassa equivalenti ottenuti. Alcuni autori definiscono flussi di cassa scontati, i flussi equivalenti attuali (Fig. 2.7): DCF 1 = CF 1 (1+i) -1 e DCF 2 = CF 2 (1+i) -2 (DCF, discounted cash flow). CF 1 CF 2 DCF 1 DCF t t 17

18 Fig Attualizzazione di flussi di cassa: flussi di cassa scontati Esempio Si dica se è più conveniente una somma di euro oggi o una serie di pagamenti uguali pari a euro nei prossimi dieci anni, se il tasso d interesse è del 12%. La situazione può essere schematizzata come segue: anno cash flow cash flow Si può calcolare il singolo pagamento attuale equivalente al cash flow 2 applicando il fattore di attualizzazione di una rendita: CF 0eq. = 2000 ( )/( ) = Poiché possedere euro è meglio che possederne è chiaro che la prima alternativa è più conveniente. Convenienza di un investimento: il valore attuale netto Il procedimento esposto da potenzialmente la possibilità di confrontare investimenti alternativi comunque complessi. Tuttavia, si deve prima considerare il caso in cui un investimento preveda più di un flusso di cassa. In generale, un investimento prevede esborsi e incassi, e può essere modellizzato attraverso un diagramma crono-finanziario, come discusso precedentemente. In questo caso, è possibile valutarne la convenienza confrontando gli incassi con gli esborsi, sapendo, evidentemente, che solo se i primi superano i secondi, l investimento è conveniente. Anche in questo caso, la soluzione consiste nel confrontare gli equivalenti degli incassi con gli equivalenti degli esborsi, capitalizzati in un istante futuro o attualizzati. Si supponga, ad esempio, che l ingegnere del caso precedente decida, prima di vendere la propria invenzione, di registrare un brevetto. Ciò richiede di sostenere una spesa nell istante attuale, e di posticipare la vendita, ma potrebbe consentire di fissare un prezzo più alto. Per capire se l operazione è conveniente, non basta verificare che l incasso sia maggiore dell esborso, ma si devono confrontare gli equivalenti. In primo luogo, è possibile attualizzare l incasso per confrontarlo con la spesa iniziale. Si supponga che la registrazione del brevetto costi e che la vendita, dopo un anno, faccia incassare Attualizzare l incasso di significa calcolare il suo valore nell istante presente, considerando che il denaro può essere investito al 12%. Ricavare fra un anno equivale a ricavare ,12-1, cioè : poiché questa somma supera l esborso di , si può concludere che l operazione è conveniente. Evidentemente, se il costo della registrazione fosse superiore a , l operazione non sarebbe più conveniente. 18

19 Analogamente, si può utilizzare il metodo della capitalizzazione. In questo caso, capitalizzare l esborso significa calcolarne il suo valore fra un anno, cioè a quanto ammonterà l esborso fra un anno. L equivalente capitalizzato risulterà maggiore (in valore assoluto): il motivo è che privarsi di una somma di denaro nell istante attuale implica il privarsi della opportunità di guadagnare altro denaro. Infatti, poiché che il soggetto della matematica finanziaria è sempre in grado di far crescere il valore del proprio denaro, ogni esborso rappresenta una perdita che cresce nel tempo, a seconda del tasso di interesse corrispondente alle opportunità di cui il soggetto si priva. Nel caso del brevetto, la spesa di priverà l ingegnere di guadagnare il 12% su quel capitale: infatti, se non spendesse quel denaro, esso sarebbe, per ipotesi, comunque impiegato in qualche modo nel sistema economico, che gli garantisce un tasso del 12%. L esborso capitalizzato vale ,12 1, cioè Perdere questa somma fra un anno, è più che compensato dall incasso di Il procedimento seguito fornisce una misura della convenienza di un investimento, definito come valore attuale netto (o Net Present Value, NPV, nella terminologia anglo-americana): Def. valore attuale netto: «la somma algebrica fra gli equivalenti attualizzati degli incassi e gli equivalenti attualizzati delle uscite rappresenta una misura della convenienza di un investimento» Se l NPV è maggiore di zero, ciò significa che gli incassi superano gli esborsi e che l investimento è conveniente. Al contrario, se è minore di zero, l investimento non conviene. Esempio Si valuti la convenienza di un investimento che prevede un esborso di e 11 incassi pari a ogni anno, se il denaro può essere investito al 12%. La situazione è la seguente: anno cash flow Poiché l equivalente degli incassi vale (si veda il calcolo precedente), essi non compensano l esborso iniziale. Infatti risulta: NPV = = L investimento non è conveniente, ed equivale ad una perdita netta di Confronto fra più investimenti 19

20 A questo punto, è possibile estendere il principio di equivalenza al problema del confronto fra più investimenti. Il confronto può essere effettuato confrontando il valore del NPV dei due investimenti. Quello più conveniente è quello che presenta il valore attuale netto più alto. Come verrà commentato più diffusamente in seguito, il passaggio chiave, al di là dell algoritmo risolutivo, consiste nel valutare quale sia il tasso di interesse a cui effettuare l analisi: esso deve essere considerato il tasso di interesse al quale il soggetto dell investimento (e dell analisi) può sempre investire il proprio denaro in un certo sistema economico. Esempio Due imprese di intermediazione finanziaria propongono investimenti alternativi: il primo caratterizzato da versamenti rateali di all anno per 5 anni (a partire dalla fine del primo anno) e da un incasso di il quinto anno, il secondo da un pagamento di subito e lo stesso incasso dopo 5 anni. Si dica quale delle due alternative è più conveniente. Le alternative si presentano come segue: anno investimento A investimento B Si supponga che il soggetto dell analisi abbia attualmente investito il proprio denaro in un deposito bancario che rende il 5%. Gli NPV dei due investimenti si calcolano come segue: NPV A = (1,05 5 1)/(0,05 (1,05 5 )) / 1,05 5 = 371,68 NPV B = / 1,05 5 = 201,16 La prima alternativa è più conveniente perché equivale ad un guadagno attuale netto maggiore. Equivalenza fra entrate ed uscite: il tasso interno di rendimento Il criterio del valore attuale netto non è l unico utilizzabile per valutare la convenienza e misurare la redditività di un investimento. Essa infatti, come è piuttosto abituale nelle transazioni finanziarie, può essere espressa anche in termini di tasso di interesse guadagnato o pagato. Ad esempio, nei casi analizzati precedentemente, le due imprese di intermediazione finanziaria avrebbero anche potuto proporre le proprie alternative semplicemente comunicando all investitore il tasso di interesse garantito dagli investimenti. Tuttavia, se, come nell esempio precedente, è il cash flow complessivo ad essere comunicato all investitore e non il tasso di interesse, quest ultimo può essere facilmente calcolato utilizzando le formule che consentono di calcolare il montante a partire da una serie di rate (per l investimento A) o da un singolo pagamento (per l investimento B), nelle quali l incognita è il tasso di interesse. 20

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