C. GINI SULLA REGOLARITÀ DEI FENOMENI RARI

Transcript

1 303 C. GINI SULLA REGOLARITÀ DEI FENOMENI RARI In questa Nota mi propongo di esaminare se la regolarità dei fenomeni rari è maggiore o minore della regolarità dei fenomeni più frequenti. Si consideri una massa di sn osservazioni, raggruppate in s categorie di n osservazioni ciascuna. Sia A un fenomeno dotato di una probabilità p costante nelle s categorie ed indipendente nelle singole osservazioni dalla frequenza con la quale A si è avverato negli altri casi della stessa categoria. La probabilità che, in una categoria di n osservazioni, A si avveri un numero di volte x è data allora dalla formula e il valore probabile dell'errore quadratico medie l/ -^- (dove p ( = p x,p 2,...,p s indica la frequenza di A nelle singole categorie) dalla formula (3) j/l dove è q = 1 p. Qualche volta (ad esempio, nei giuochi di azzardo) è noto a priori che la probabilità dei fenomeni considerati è costante nelle varie categorie e nelle singole osservazioni di una stessa categoria. Si è allora autorizzati a prevedere, in base alla formula (1), la frequenza delle varie combinazioni e, in base alla formula (2), l'intensità dell'errore quadratico medio (Applicazioni deduttive del calcolo delle probabilità). Ma molto più spesso mancano codeste cognizioni a priori. Si assume allora la costanza di p come un' ipotesi di lavoro. Si calcola la frequenza teorica delle varie combinazioni mediante la formula (1) (o formule da essa derivate) e l'intensità teorica dell'errore quadratico medio mediante la formula (2). Si confrontano poi queste quantità teoriche con le quantità effettive corrispondenti. In caso di coincidenza, si dice

2 304 che la dispersione del fenomeno è normale e si conclude che l'ipotesi circa la costanza di p, da cui eravamo partiti, è formalmente esatta. Se gli errori effettivi sono invece più o meno forti dei teorici, si dice che la dispersione è più che normale o, rispettivamente, meno che normale (Applicazioni induttive del calcolo delle probabilità). L'espressione V^=f Vf n viene assunta come indice di dispersione. Q = 1 è indice di dispersione normale; Q> 1 indice di dispersione più che normale; Q < 1 indice di dispersione meno che normale. Si è misurata in questo modo la dispersione di molti fenomeni demografici raggruppati in categorie secondo anni o mesi o circoscrizioni territoriali. Tali i rapporti dei sessi nelle nascite e particolarmente nei nati vivi, nei nati morti, nei nati illegittimi, nei morti distinti in varie categorie di età; tali ancora i coefficienti di illegittimità, di nuzialità, di mortalità ecc. Per i rapporti sessuali dei nati e talora per i rapporti sessuali dei morti e i coefficienti di mortalità, la dispersione è normale; per gli altri fenomeni, la dispersione è notevolmente più che normale. In tutti questi casi p è abbastanza elevato: i fenomeni, cioè, di cui si esamina la dispersione, sono piuttosto frequenti. Che cosa avviene per il caso in cui p sia piccolo, vale a dire per il caso di fenomeni rari? Il VON BORTKEWITSCH avrebbe riscontrato che, quando è piccolo il numero dei casi avveratisi e molto grande il numero delle osservazioni, la dispersione risulta costantemente normale o quasi normale (Legge dei piccoli numeri). Per i suicidi di bambini al disotto dei 10 anni, per i suicidi di donne, per gli infortuni sul lavoro seguiti da morte, per i decessi dei soldati in seguito al calcio di un cavallo, i valori di Q si mostrarono molto prossimi all'unità, variando fra 0.88 e 1.15 con una media di >pq Del curioso fenomeno- il BORTKEWITSCH dava la seguente spiegazione (*). Il valore teorico \l dell'errore quadratico medio sta in ragione inversa di \/n. Il va- /2(p- p) 2 lore empirico j / - ^- si può, invece, quando la dispersione è più che normale, scindere in due componenti : l'ima, la componente accidentale che sta pure in ragione inversa di \/n\ l'altra, la componente fisica, a cui è dovuto l'eccesso di dispersione, che è indipendente da n. Si intende dunque come l'eccesso di dispersione Q 1 debba andar crescendo col crescere di n e viceversa diminuire quanto più n diviene piccolo. Vi era manifestamente in questo ragionamento un equivoco che ho altrove posto in evidenza ( 2 ). Un fenomeno è raro non già perchè è piccolo il numero n delle os- (») Cfr. Das Gesetz der kleinen Zahlen (p. 31, 33 e 37). ( a ) La legge dei piccoli numeri (Giornale degli Economisti, settembre 1907).

3 305 servazioni fatte, ma perchè è piccola la probabilità p, che si desume praticamente dal rapporto del numero dei casi, in cui il fenomeno si è avverato, ad n. Nelle applicazioni fatte dal BORTKEWITSCH il numero delle osservazioni era molto grande; piccolo era il numero dei casi avverati. La spiegazione data dal BORTKEWITSCH non regge. E certamente vi è anche, nel metodo da lui seguito per confrontare la distribuzione teorica e la distribuzione effettiva degli errori, un' inesattezza. Alla formula (1) egli sostituisce la formula seguente del POISSON: K*e- k xl che è valida fin tanto che p sia molto piccolo, n molto grande e sia costantemente, nelle s categorie, pn = K. E l'errore quadratico medio viene misurato similmente sostituendo a pn la costante K. Ma, nel fatto, il numero delle osservazioni, a cui si riferiscono i singoli termini di una serie demografica, non è mai costante. Il numero delle donne che si possono suicidare varia, ad esempio, di anno in anno. Il BORTKEWITSCH dunque esaminava la varietà di un rapporto tenendo conto delle variazioni di un solo termine, il numero dei casi avverati e trascurando le variazioni dell'altro termine, il numero delle osservazioni. Quali effetti può esercitare, sull'indice di dispersione di una serie, il non tener conto delle variazioni del numero delle osservazioni? Si intende come gli effetti debbano essere differenti secondo i casi. Se il numero delle volte, in cui il fenomeno si è avverato, varia nei termini della serie corrispondentemente al variare del numero delle osservazioni fatte, la dispersione così calcolata sarà maggiore della dispersione calcolata correttamente. Facciamo un esempio. Esaminiamo la dispersione dei rapporti sessuali delle nascite della Nuova Galles del Sud nei venti anni Se si suppone che il numero delle nascite sia nei singoli anni lo stesso, si trova che entro i limiti dell'errore probabile cadono 4 rapporti sessuali, anzi che 10 come dovrebbe avvenire secondo la teoria. Se si tiene conto, invece, di tali oscillazioni, si trova che, entro i limiti dell'errore probabile, cadono 9 rapporti sessuali, vale a dire che la dispersione è presso a poco normale. Ma può darsi invece che il numero delle volte in cui il fenomeno si è avverato, non varii nei termini della serie corrispondentemente a quanto varia il numero totale delle osservazioni. Il numero delle osservazioni, poniamo, va rapidamente crescendo, mentre il numero dei casi, in cui il fenomeno si è avverato, non subisce che variazioni puramente accidentali. La frequenza del fenomeno variera allora solo accidentalmente (e quindi la dispersione potrà essere normale) se si suppone costante il numero delle osservazioni; andrà invece diminuendo (e quindi la dispersione sarà più che normale) se si tiene conto del crescere del numero delle osservazioni. Pare che questo fosse il caso negli esempì addotti dal BORTKEWITSCH. Esaminando, infatti, la dispersione della probabilità ehe un suicidio si riferisca a un fanciullo di 10 anni (Prussia ) si trova che l'indice di dispersione è = 0.97 quando si supponga che il numero dei suicidi rimane lo stesso nei vari anni considerati, ed è invece = 1.06 quando si tenga conto dell'aumento a cui questo numero andò soggetto. Questo risultato si spiega facilmente pensando che le cause che determinarono 39

4 306 nei tempi recenti un aumento nel numero dei suicidi agirono quasi esclusivamente sulle persone adulte. Similmente, per la probabilità che un bambino fra i 6 e i 10 anni si suicidi (Prussia ), si trova Q = 1,12, se si suppone che il numero dei bambini rimanga costante e Q == 1,15 se si tien conto dell'aumento a cui andò soggetto. Per la probabilità che un parto sia quadrigemino si trova Q= 1,005 (Prussia ) se si suppone che il numero annuale dei parti sia rimasto costante e Q = 1,34 se si tiene conto del suo aumento. È da ritenere che anche per gli altri fenomeni rari esaminati dal BORTKEWITSCH si sarebbe riscontrata una dispersione superiore a quella da lui trovata, qualora si fosse tenuto conto del variare del numero delle osservazioni. Conviene riconoscere, è vero, che la differenza non sarebbe stata molto forte ; ma è da ricordarsi che gli esempì del BORTKEWITSCH si riferivano tutti a coefficienti di mortalità i quali spesso mostrano una dispersione normale anche quando il numero dei casi avverati è grande. Rimaneva così impregiudicata la questione : se una dispersione normale o quasi normale costituisce una caratteristica costante dei fenomeni rari tale da potersi elevare a legge. A risolverla, ho esaminato la dispersione di svariati fenomeni. La tavola seguente riporta i valori di p e di Q ( l ) per i coefficienti della mortalità complessiva e della mortalità per alcune cause di morte in Italia nei 13 anni CAUSA DI MORTE VALORI DI p VALORI DI Malattie dei vasi linfatici Colera asiatico Itteiizia Omicidio e conflitto con la forza pubblica Suicidio Vaiuolo Meningite semplice Pneumonite crupale e bronco-polmonite acuta. <.. Mortalità complessiva... 3,38 7, ,8 61,7 66, ,9 55,8 2,1 4;1 2,9 35,4 13,1 18,4 52,0 (*) p è in questi casi non una probabilità semplice, ma una probabilità media, risultante dalla media delle varie probabilità di morte nei van gruppi di età. Se la proporzione degli esposti a morire delle varie classi di età fosse costante, la dispersione sarebbe minore che se p fosse una probabilità semplice. Se codeste proporzioni variano con dispersione normale, la probabilità p mostrerà la stessa dispersione che se fosse una probabilità semplice.

5 307 Per quanto il valore di p sia spesse volte piccolissimo, non si ha in nessun caso dispersione normale. Nemmeno si può asserire che le cause di morte più rare mostrino regolarmente una dispersione minore delle cause di morte più frequenti. La dispersione della mortalità complessiva risulta invece più alta della dispersione per la maggior parte delle singole cause di morte. Passiamo ad altri esempì. Un padre morendo lascia frequentemente 0,1,2 o 3 figli; rarissimamente invece 17, 18, 19 o più figli. Ecco la dispersione di queste varie probabilità per la Nuova Galles del Sud nei singoli anni PADRE CON V Q 0 figli 1 figlio 2 figli 3» 4» 17 figli 18» 19» 20» e più 0, , , , , , , , ,3 3,2 4,1 3,0 2,5 4,3 2,5 3,0 2,6 La dispersione è sempre più che normale e non risulta sensibilmente maggiore per i casi più frequenti. Sono numerosi, in un'annata, i giorni piovosi; sono rari, specialmente in certe città, quelli di neve e di grandine. La dispersione risulta per fenomeni così diversamente frequenti sostanzialmente la stessa e sempre più che normale. M denota nella tavola seguente il numero annuo medio ( ) dei giorni, in cui si ebbe precipitazione atmosferica, o neve o grandine. OSSERVATORIO PRECIPITAZIONE ATMOSFERICA NEVE GRAN DI M Q M Q M Torino Milano. 117.» o 1.04 Firenze Roma lg Napoli ! 1.96 Palermo 114a ! 1.41 Altro esempio di fenomeni rari ci forniscono i parti quadrupli e i tripli; essi

6 308 pure mostrano una dispersione più che normale per quanto minore di quelli dei parti doppi più frequenti. Nella tavola seguente, p indica la probabilità che un parto sia quadruplo o, rispettivamente, triplo, doppio, plurimo, in Prussia, negli anni PARTI V Quadrupli Tripli. Doppi Plurimi Esaminiamo infine la dispersione delle varie forme di suicidio in Italia per un periodo ( ) in cui la frequenza dei suicidi si mantenne presso a poco costante. SUICIDIO PER Annegamento Armi da fuoco Armi da taglio Impiccamento Precipitazione Schiacciamento Avvelenamento Asfissia Altra causa o causa ignota Qualunque causa La dispersione è leggermente più che normale, e generalmente più alta per le singole forme di suicidio, che per i suicidi complessivamente. Possiamo così constatare: I. Una dispersione normale non è punto una caratteristica dei fenomeni rari. IL Non si può asserire che i fenomeni più rari abbiano regolarmente una dispersione minore dei fenomeni più frequenti. Talora ciò fu riscontrato vero (parti quadrupli e tripli in confronto dei doppi) ; tale altra no (neve e grandine in confronto della pioggia; famiglie molto prolifiche in confronto di famiglie poco prolifiche ; certe cause di morte in confronto di certe altre). Da un punto di vista teorico, si può dimostrare che la dispersione dei fenomeni frequenti è uguale, maggiore o minore della dispersione dei fenomeni più rari che li compongono, secondo che i fenomeni componenti mostrano nelle loro oscillazioni,

7 309 indipendenza o, viceversa, concomitanza o compensazione (*). Ciò spiega da una parte la maggiore dispersione della mortalità complessiva in confronto delle singole cause di morte, e dei parti plurimi in confronto dei parti quadrupli, tripli e doppi e dall'altra la minore dispersione del suicidio per qualunque causa in confronto delle singole forme di suicidio. ( J ) Cfr. per la dimostrazione il nostro articolo: Su la legge dei piccoli numeri e la regolarità dei fenomeni rari. Giornale degli Economisti, dicembre Cfr. pure La regolarità dei fenomeni rari. Ibidem, marzo 1908, nel quale però sono incorsi numerosi errori di stampa.