EQUAZIONI. Prendiamo in considerazione le funzioni reali in una variabile reale

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1 EQUAZIONI Prendiamo in considerazione le funzioni reali in una variabile reale Una equazione è una uguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile f(x) = g(x) La variabile è detta incognita dell equazione 1

2 SOLUZIONI I particolari valori di x per cui questa è verificata sono detti soluzioni dell equazione Le soluzioni vanno cercate nell intersezione dei domini delle due funzioni. Una equazione che ammette come soluzione ogni valore di x per il quale le due espressioni non perdono di significato si dice equazione indeterminata o identità in x. Una equazione per la quale non esistono soluzioni si dice equazione impossibile Equazione possibile quando esiste un numero finito di valori di x che la soddisfano 2

3 EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Si dice equazione (algebrica) di primo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo: aa + b = 0 con a, b coefficienti numerici, a 0. Per cercare la soluzione si isola il termine che contiene l incognita e si divide per il coefficiente di x: aa = b (aa) a = b a da cui il valore dell incognita che risolve l equazione è: x = b/a Esempio: 2x - 3 = 0 2x = 3 x = 3 2 3

4 EQUAZIONI DI 2 o GRADO Si dice equazione (algebrica) di secondo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo: a x 2 + b x + c = 0 con a, b, c coefficienti numerici e a 0. SPURIA: a x 2 + b x = 0 x(a x + b) = 0 x 1 = 0 x 2 = b / a PURA: a x 2 + c = 0 x = ± c a 4

5 COMPLETA a x 2 + b x + c = 0 Δ > 0 2 soluzioni reali e diverse x 1,2 = b ± b2 4aa 2a Δ = 0 2 soluzioni reali e coincidenti x = b 2a Δ < 0 nessuna soluzione in R (le 2 soluzioni appartengono all insieme dei numeri complessi) 5

6 ESEMPIO 2x 2 = 7x 3 = > 0 x 1,2 = 7 ± 5 4 x 1 = 1 2 x 2 = 3 6

7 ESEMPI 25x x + 1 = 0 = = 0 x 1,2 = = 1 5 x 2 3 x + 8 = 0 = 9 32 < 0 non ha soluzioni in R. 7

8 RELAZIONE TRA I COEFFICIENTI E LE SOLUZIONI aa 2 + bb + c = 0 x 2 + b a x + c a = 0 x2 ss + p = 0 s = x 1 + x 2 = b + b2 4aa 2a + b b2 4aa 2a = 2b 2a = b a p = x 1 x 2 = b + b2 4aa 2a b b2 4aa 2a = b2 b 2 + 4aa 4a 2 = c a s = b a p = c a 8

9 ESERCIZI Determinare i due numeri la cui somma sia s = 4 ed il cui prodotto sia p = 5: assumendo a = 1 si ottiene x x 5 = 0 x 1 = 1 x 2 = 5 Determinare a meno di un coefficiente di proporzionalità l equazione di 2 o grado le cui soluzioni hanno per somma e prodotto i valori s = 3 10 p = 1 10 x x 1 10 = 0 9

10 FATTORIZZAZIONE aa 2 + bb + c = 0 1) se > 0 a x x 1 x x 2 = 0 2) se = 0 a x x 1 2 = 0 3) se < 0 nnn è ppppppppp ii R 10

11 IL SEGNO DEL TRINOMIO «Il Polinomio di secondo grado p 2 x = ax 2 + bb + c assume valori che hanno lo stesso segno del coefficiente a del termine x 2 all esterno dell intervallo delle radici. Il polinomio assume valori che hanno segno opposto rispetto al coefficiente a del termine x 2 all interno dell intervallo delle radici» 11

12 IL SEGNO DEL TRINOMIO CCCC 1: (x 1, x 2 R, x 1 x 2 ) p 2 (x 1 ) = 0 p 2 (x 2 ) = 0 ssss(p 2 (x)) = ssss a x 1 x 2 ssss(p 2 (x)) = ssss a ssss p 2 x = ssss a 12

13 IL SEGNO DEL TRINOMIO CCCC 2: (x 1, x 2 R, x 1 = x 2 ) p 2 (x 1 ) = p 2 (x 2 ) = 0 ssss(p 2 (x)) = ssss a x 1 = x 2 ssss(p 2 (x)) = ssss a 13

14 IL SEGNO DEL TRINOMIO CCCC 3: (x 1, x 2 R) ssss(p 2 (x)) = ssss a 14

15 DISEQUAZIONI Si dice disequazione una disuguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile che vi compare: f x > g x f x g x f x < g x f(x) g(x) 15

16 SOLUZIONI Le soluzioni vanno cercate nell insieme: I = D(f) D(g) Possibile: un sottoinsieme di valori dell insieme I verifica la disequazione (ex: x < 1) Identicamente verificata: tutti i valori dell insieme I verificano la disequazione (ex: x > 0) Impossibile: nessun valore dell insieme I verifica la disequazione (ex: x < 0) 16

17 ESEMPIO 2 3 x > 8 2x > 24 x < 12 17

18 INTERVALLI DELLA RETTA Siano a e b due numeri reali (che possono essere interpretati come coordinate ascisse sulla retta reale) e si supponga a < b. Si possono definire i seguenti intervalli reali di estremi a e b: [ a, b ] = {x R: a x b} chiuso ] a, b ] = {x R: a < x b} = ( a, b] chiuso a destra [ a, b [ = {x R: a x < b} = [a, b) chiuso a sinistra ] a, b [ = {x R: a < x < b} = ( a, b ) aperto 18

19 INTERVALLI DELLA RETTA ], a ] = {x R: x a} = (, a ] ], a [ = {x R: x < a} = (, a ) [ b, + [ = {x R: x b} = [ b, + ) ] b, + [ = {x R: x > b} = ( b, + ) 19

20 DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO ax + b > 0con a e b numeri reali e a 0. Per ottenere le soluzioni reali (esistono sempre!), Si isola il termine che contiene l incognita x: aa > b Si dividono entrambi i membri per il coefficiente a x > b a se a > 0 20

21 DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO ax 2 + bb + c > 0 con a, b, c R e a 0 Per risolvere una qualunque disequazione algebrica di secondo grado basta applicare il teorema sul segno del trinomio di secondo grado. 21

22 ESEMPIO 3 x x 2 > 0 = = 49 > 0 x 1,2 = 5 ± 49 6 x 1 = 2 x 2 = 1 3 S = x R: x < 2 x R: x >

23 ESEMPIO 3 x x 2 < 0 = = 49 > 0 x 1,2 = 5 ± 49 6 x 1 = 2 x 2 = 1 3 S = x R: 2 < x <

24 ESEMPIO 4x x + 9 > 0 = = 0 x 1,2 = 12 8 = 3 2 S = x R; x

25 ESEMPIO 3 x 2 x + 2 < 0 = 1 24 < 0 S = { } 25

26 DISEQUAZIONI FRATTE f(x) g(x) > 0 I = D(f) D(g) {x R: g(x) 0} 1) Studio segno numeratore 2) Studio segno denominatore 3) Uso regola segni 4) Determinazione dell insieme nel quale la disequazione è verificata 26

27 x 4 x + 3 > 0 x 3 ESEMPIO x 4 > 0 x + 3 > 0 x > 4 x > 3 (x + 3) (x 4) x 4 x

28 Continuazione ESEMPIO S = {x R: x < 3} {x R: x > 4} N.B.: I = {x R: x 3} 28

29 SISTEMI DI DISEQUAZIONI Insieme di due o più disequazioni di cui si vogliono determinare le soluzioni comuni. La soluzione si ottiene trovando l insieme intersezione degli insiemi che risolvono ciascuna disequazione: S = S 1 S 2 S n ss S = { } allora il sistema è impossibile 29

30 ESEMPIO 2x + 1 > 0 x 3 0 (2x + 1) (x 3) S = x x R: 1 2 < x 3 30